Ещё много теории (1021372), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

(ABC),

(AEC).

Аналогично точками В и Е граница разбивается на линии ВАЕ и ВСЕ, уравнения которых можно записать так:

(BAE),

(BCE).

Рис.5

Рассечем рассматриваемое цилиндрическое тело произвольной плоскостью, параллельной плоскости Oyz, т.е. x=const, (рис). В сечении мы получим криволинейную тра­пецию PMNR, площадь которой выражается интегралом от функции , рассматри­ваемой как функция одной пе­ременной у, причем у изменя­ется от ординаты точки P до ординаты точки R. Точка P есть точка входа прямой х =const (в плоскости Оху) в область D, а R - точка ее выхода из этой области. Из уравнений линий АВС и АЕС следует, что ординаты этих точек при взятом х соот­ветственно равны и .

Следовательно, интеграл

дает выражение для площади плоского сечения PMNR. Ясно, что величина этого интеграла зависит от выбранного значения х; другими словами, площадь рассматриваемого поперечного сечения является некоторой функцией от х, мы обозначим ее через S(х):

Согласно формуле (**) объем всего тела будет равен интег­ралу от S(x) в интервале изменения .( При выводе формулы (**) мы считали, что S(*) есть геометриче­ская площадь поперечного сечения. Поэтому дальнейшие рассуждения справедливы, строго говоря, лишь для случая . Основываясь на уточненном геометрическом смысле двойного интеграла, нетрудно до­казать, на чем мы не будем останавливаться, что получающаяся формула для вычисления двойного интеграла будет верна для любых функций.

Заменяя в этой формуле S(x) её выражением, окончательно получим

или в более удобной форме

(А)

Пределы внутреннего интеграла переменные; они указывают границы изменения переменной интегрирования у при постоянном значении второго аргумента х. Пределы внешнего интеграла постоянны; они указывают границы, в которых может изменяться аргумент х.

Меняя роли х и у, т. е. рассматривая сечения тела плоскостями y=const , мы найдем сначала, что площадь Q(у) такого сечения равна , где у при интегрировании считается величиной постоянной. Интегрируя затем Q(у) в пределах измене­ния у, т. е. от c до d, мы придем ко второму выражению для двойного интеграла

(Б)

Здесь интегрирование совершается сначала по х, а потом по у.

.Формулы (А) и (Б) показывают, что вычисление двойного ин­теграла сводится к последовательному вычислению двух обыкно­венных определенных интегралов; нужно только помнить, что во внутреннем интеграле одна из переменных принимается при интегрировании за постоянную. Для краткости правые части фор­мул (А) и (Б) называют повторными (или двукратными) интегра­лами, а сам процесс расстановки пределов интегрирования - при­ведением двойного интеграла к повторному.

Формулы приведения двойного интеграла к повторному приобре­тают особенно простой вид, когда область D является прямоуголь­ником со сторонами, параллельными осям координат (рис.6). В этом случае становятся постоянными пределы не только внеш­него, но и внутреннего интегралов:

В других случаях для сведения двойного интеграла к повтор­ному необходимо прежде всего построить область интегрирования; лучше всего изобразить эту область прямо в плоскости Оху, как это сделано на рис. Затем нужно установить порядок интегрирования, т. е. наметить, по какой переменной будет про­изводиться внутреннее интегрирование, а по какой - внешнее, и расставить пределы интегрирования.

Поясним на примерах, как производится расстановка пределов интегрирования.

а) Примеры.

1) Приведем к повторному двойной интеграл если область D- треугольник,

Рис. 6. Рис. 7.

ограниченный прямыми y=0, y=x и х=а (рис.7). Если интегрировать сна­чала по у, а потом по х, то внутреннее интегрирование произво­дится от линии у=0 до линии у=х, а внешнее - от точки х=0 до точки х=а. Поэтому

Меняя порядок интегрирования, получим

2) Приведем к повторному интеграл если область D ограничена линиями у=0, у=х² и х+у=2.

Область D, а также координаты крайних ее точек показаны на рис. 158. Вид области указывает на то, что удобнее интегрировать сначала по x, а потом по y:

Если изменим порядок интегрирования, то результат уже не удастся записать в виде одного повторного интеграла, так как линия OBA имеет на разных участках разные уравнения.

Рис.8

Разбивая область D на две : OBC и CBA, получим

Этот пример показывает, как важно с самого начала продумать порядок интегрирования.

Формулы (А) и (Б) сведения двойного интеграла к повторному справедливы и для случая областей более общего вида. Так, формула (А) применима к области, указанной на рис.9, а формула (Б) - к области, изображенной на рис.10. В случае области ещё более общего вида (Рис.11) двойной интеграл следует разбить на сумму интегралов по более простым областям, а затем каждый из них сводить отдельно к повторному, пользуясь формулами (А) и (Б).

Рассмотрим теперь несколько примеров, связанных с вычислением двойных интегралов.

Примеры. 1) Найдём двойной интеграл от функции

по прямоугольной области D

Геометрически I выражает объём четырёхугольной призмы

(рис.12), основанием которой служит прямоугольник D, усечённый плоскостью .

Возьмём повторный интеграл сначала по y, затем по x:

То же самое получим, интегрируя сначала по x, а затем по y:

2) Вычислим двойной интеграл

по области D, ограниченной линиями y=x и y=x². Область D

изображена на рис.13. Интегрируя сначала по y, а потом по x,

получаем

Правильность результата можно проверить, изменив порядок интегрирования :

Вычислим объём тела, ограниченного цилиндрическими поверхностями и плоскостью z=0 (рис.14,а).

Поверхность, ограничивающая тело сверху, имеет уравнение z=4-y². Область интегрирования D получается в результате пересечения параболы с линией пересечения цилиндра z=4-y² и плоскости z=0, т.е. с прямой y=2 (Рис. 14, б). Ввиду симметрии тела относительно плоскости Oyz вычисляем половину искомого объёма :

Следовательно, куб.ед.

4) Вычислим объём V тела, ограниченного поверхностью и плоскостью Oxy.

Заданное тело представляет собой сегмент эллиптического

параболоида, расположенный над плоскостью Оху (рис.15). Параболоид пересекается с плоско­стью Оху по эллипсу

Следовательно, задача состоит в отыскании объема цилиндрического тела, имеющего своим основанием внутренность указанного эллипса и ограниченного параболоидом

В силу симметрии тела относи­тельно плоскостей Oxz и Oyz можно вычислить объем четвертой его части, заключенной в первом координатном угле. Этот объем равен двойному интегралу, распространенному по области, заданной условиями т. е. по четверти эллипса. Интегрируя сначала по у, затем по х, получим

Подстановка даёт

откуда

4. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.

а) Объём.

Как мы знаем, объем V тела, ограничен­ного поверхностью , где - неотрицательная функ­ция, плоскостью и цилиндрической поверхностью, направ­ляющей для которой служит граница области D, а образующие параллельны оси Oz, равен двойному интегралу от функции по области D :

Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x=0, у=0, х+у+z=1, z=0 (рис. 17).

Рис.17 Рис.18

Решение. D - заштрихованная на рис. 17 треугольная область в плоскости Оху, ограниченная прямыми x=0, у=0, x+y=1. Расставляя пределы в двойном интеграле, вычислим объем:

Итак, куб. единиц.

Замечание 1. Если тело, объем которого ищется, ограни­чено сверху поверхностью а снизу—поверхностью , причем проекцией обеих поверхностей на пло­скость Оху является область D, то объем V этого тела равен разности объемов двух «цилиндрических» тел; первое из этих цилиндрических тел имеет нижним основанием область D, а верх­ним - поверхность второе тело имеет нижним осно­ванием также область D, а верхним - поверхность (рис.18).

Поэтому объём V равен разности двух двойных интегралов :

или

(1)

Легко, далее, доказать, что формула (1) верна не только в том случае, когда и неотрицательны, но и тогда, когда и - любые непрерывные функции, удовлетворяющие соотношению

Замечание 2. Если в области D функция меняет знак, то разбиваем область на две части: 1) область D₁ где 2) область D₂ ,где . Предположим, что области D₁ и D₂ таковы, что двойные интегралы по этим обла­стям существуют. Тогда интеграл по области D₁ будет положи­телен и будет равен объему тела, лежащего выше плоскости Оху. Интеграл по D₂ будет отрицателен и по абсолютной величине равен объему тела, лежащего ниже плоскости Оху, Следовательно, интеграл по D будет выражать раз­ность соответствующих объемов.

б) Вычисление площади плоской области.

Если мы со­ставим интегральную сумму для функции по области D, то эта сумма будет равна площа­ди S,

Характеристики

Список файлов лекций