Лекция 13 (1014399), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В результате получаем матрицу жесткости балочного конечного элемента в окончательном виде:
|
|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
|
|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 |
|
|
|
|
| 0 | 0 |
|
|
|
|
| 0 | 0 |
|
|
|
|
| 0 | 0 |
|
|
|
|
Ниже приведена структура полученной матрицы:
|
|
| ||||
|
|
| ||||
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
Следующим этапом метода конечных элементов является получение матрицы жестокости всей системы.
Построение матрицы жесткости системы
В
качестве примера получения матрицы жесткости всей системы, рассмотрим задачу с балкой, приведенной ранее, представив ее системой из трех конечных элементов с единой системой нумерации неизвестных усилий.
Для формирования матрицы жесткости воспользуемся матрицей жесткости элемента из предыдущего раздела. Построение матрицы жесткости проводим по столбцам. Для этой цели будем последовательно придавать единичное смещение каждому из узлов балки поочередно в одном из направлений координатных осей, как показано на рисунке.
В результате, получим матрицы жесткости каждого из элементов в общей системе нумерации.
Элемент 1
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|
|
| ||||
|
|
| ||||
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
Элемент 2
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|
|
| ||||
|
|
| ||||
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
Элемент 3
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|
|
| ||||
|
|
| ||||
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
После суммирования коэффициентов матрицы жесткости, приходящихся на один узел, имеем полную матрицу жесткости, представленную в следующей таблице.
| U1 | U2 | U3 | U4 | V1 | V2 | V3 | V4 | 1 | 2 | 1 | 4 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
| 1 | K11 | K12 | ||||||||||
| 2 | K21 | K22 +K22 | K23 | |||||||||
| 3 | K32 | K33 +K33 | K34 | |||||||||
| 4 | K43 | K44 | ||||||||||
| 5 | K55 | K56 | K59 | K5,10 | ||||||||
| 6 | K65 | K66 +K66 | K67 | K69 | K6,1+K6,10 | K6,11 | ||||||
| 7 | K76 | K77 +K77 | K78 | K7,10 | K7,11 +K7,11 | K7,12 | ||||||
| 8 | K87 | K88 | K8,11 | K8,12 | ||||||||
| 9 | K95 | K96 | K99 | K9,10 | ||||||||
| 10 | K10,5 | K10,6 +K10,6 | K10,7 | K10,9 | K10,10+K10,10 | K10,11 | ||||||
| 11 | K11,6 | K11,7 +K11,7 | K11,8 | K11,10 | K11,11 +K11,11 | K11,12 | ||||||
| 12 | K12,7 | K12,8 | K12,11 | K12,12 |
Учет граничных условий производится за счет вычерчивания строк и столбцов, относящихся к 1, 2, 4 узлам (U1 = V1 = 1 = U2 = V2 = V4 = 0).
В результате размерность матрицы жесткости и, следовательно, порядок системы уравнений снизится до шести и само уравнение равновесия примет вид:
– вектор узловых неизвестных (в нашем случае, U3,U4,V3,2,3,4)
– матрица жесткости всей системы
– вектор внешней нагрузки (в нашем случае Px3=0, Px4, Py3,M2, М3=0, М4=0)
Но здесь необходимо напомнить (см. начало раздела), что исключение известных значений из системы путём удаления соответствующих строк и столбцов матрицы жесткости – не единственный способ реализации граничных условий. Можно поступить иначе, приняв один из диагональных элементов матрицы жесткости, равный какой-либо большой величине, намного превышающей значения других элементов, этот прием имеет важное преимущество, позволяя сохранить исходную форму системы уравнений, и часто используется при формировании пакетов программ, разработанных на основе МКЭ.
12
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
