Математический анализ и дифференциальные уравнения - ответы на вопросы

Общим решением системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами является …

• функция, удовлетворяющая хотя бы одному уравнению системы
• совокупность функций, содержащая все решения системы ДУ, и только их совокупность функций, удовлетворяющая хотя бы одному уравнению системы

Если множество С содержит элементы множества А и множества В, то можно сказать, что С – это …

• соединение двух множеств
• объединение двух множеств
• расширенное множество
• пересечение двух множеств

Расположите следующие интегралы в порядке возрастания их значений:

• 1 ∫_(-2 ^1▒〖(3-2x-x^2 dx〗
• 2 ∫_(-2 ^4▒〖(8+2x-x^2 dx〗
• 3 ∫_(-1 ^2▒〖(4x-5)dx〗

Точка Р (х0, y0) называется точкой … функции z=f(x,y), если выполняется неравенство: f(x0,y0)

Существует несколько методов интегрирования, в частности, метод … используется тогда, когда нужно упростить имеющийся неопределённый интеграл или свести его к табличному значению

• интегрирование по частям
• замены переменной
• непосредственного интегрирования

Степень n в уравнении Бернулли может быть …

• как положительной, так и отрицательной
• только положительной
• только отрицательной

Стационарная точка – это точка, в которой производная функции равна нулю

Система функций, состоящая из линейно-независимых решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений, называется...

Система дифференциальных уравнений называется канонической, если она …

• разрешена относительно старших производных неизвестных функций
• содержит канонические уравнения
• содержит характеристические уравнения

Ряд называется расходящимся, если … (Укажите 2 варианта ответа)

• его члены принимают положительные и отрицательные значения
• предел последовательности частичных сумм не существует
• предел бесконечен
• предел последовательности частичных сумм равен нулю
• Ряд, содержащий вещественные числа произвольного знака, называется …
• знакопеременным

Решения дифференциальных уравнений подразделяются на …

• дробные и цельные
• положительные и отрицательные
• частные и общие

Решение уравнения y '+ y ∙ sinx=0 имеет вид...

• ln y=cos x+C
• ln x=cos x+C
• ln y=cos y+C

Решение задачи … – это выделение частного решения из общего

Расположите этапы нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции:

• 1 найти область определения функции
• 2 найти производную функции f'(x)
• 3 найти критические точки в области непрерывности функции
• 4 исследовать знак производной на промежутках, определить точки максимума, минимума и промежутки монотонности
• 5 вычислить значения функции в точках экстремума

Точки максимума и минимума называются …

• точками экстремума
• точками разрыва
• критическими точками
• точками перегиба

Расположите пределы в порядке возрастания их значений:

• 1 1
• 2 2
• 3 3
• 4 4

Расположите интервалы множества в порядке возрастания их длин:

• 1 (10,30)
• 2 (-5,10)
• 3 (-∞,0)
• 4 (10,+∞)

Расположите заданные множества в порядке возрастания количества их элементов:

• 1 пустое множество
• 2 {x∈N│33≤x≤37}
• 3 {2,3,5,7,11,13,17,19}
• 4 множество целых чисел

Расположите данные выражения для функции двух переменных z=3x^2+2x^2 y+5y^3 (в порядке от 1 до 3 : частная производная по переменной x (1 , частная производная по переменной y (2 , вторая частная производная по переменной x (3

• 1 6x+4yx
• 2 2x^2+15y^2
• 3 6+4y

Расположите выражения в порядке возрастания значения y, при x=1:

• 1 1
• 2 2
• 3 3
• 4 4

Расположите в правильной последовательности этапы решение задачи Коши для дифференциального уравнения:

• 1 найти общее решение дифференциального уравнения
• 2 найти частное решение
• 3 найти особое решение дифференциального уравнения

Расположите в правильной последовательности алгоритм решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка:

• 1 найти общее решение соответствующего однородного уравнения
• 2 найти какое-либо частное решение неоднородного уравнения
• 3 составить общее решение неоднородного уравнения
• 4 найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

Расположите в правильной последовательности алгоритм решения дифференциальных уравнений:

• 1 найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению
• 2 убедиться, что найденное множество имеет вид y=f(x; С), где С – произвольная постоянная
• 3 выполнить проверку, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство)

Разложение подынтегральной функции в степенной ряд позволяет …

• определить сходимость ряда
• вычислить интеграл с заданной точностью
• найти сумму ряда

Радиус сходимости – это …

• интервал, где ряд сходится
• интервал, где сумма членов ряда равна нулю
• половина длины интервала сходимости

Процесс перехода физических систем из одного состояния в другое описывается …

• системой линейных уравнений
• дифференциальными уравнениями
• тригонометрическими уравнениями

Установите соответствие между символами и их обозначениями неопределенного интеграла функции ∫▒f(x)dx:

• A. ∫
• B. f(x)
• C. x
• D. dx
• E. знак интеграла
• F. подынтегральная функция
• G. переменная интегрирования
• H. дифференциал переменной интегрирования

Чтобы привести систему дифференциальных уравнений к нормальному виду, необходимо …

• разрешить уравнения относительно наименьших производных
• нормализовать уравнения
• разрешить уравнения относительно старших производных

Чтобы найти полный дифференциал функции нескольких переменных, необходимо найти …

• ее значение в точке дифференцирования
• ее частные производные по всем переменным
• приращение функции по одной из переменных

Частной производной n-го порядка от заданной функции называется …

• частная производная n-1 порядка в степени n
• частная производная от частной производной n-1 порядка
• сумма частных производных n-1 порядка

Функция y=1n(2x-3 имеет нуль в точке …

• х = 1,5
• х = 0
• х= 2
• х = 4

Функция y=√(х-4 является …

• показательной
• дробно-рациональной
• иррациональной
• логарифмической

Функция y = 〖3x〗^6/2x имеет нуль в точке …

• х= 1
• х = 2
• х = 0
• х = 7

Функцию, которая может быть представлена в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены, называют … функцией

• рациональной
• подынтегральной
• первообразной
• неправильной

Формула∫_a^в▒〖f(t)dt =〗F(b)-F(a) – это формула …

• Лагранжа
• Коши
• Коши Ньютона-Лейбница
• Фундаментальная система дифференциального уравнения второго порядка содержит … функции
• две

Установите соответствие между функциями и классами, к которым они могут относиться:

• A. y=sin3x
• B. y=1n(3x-7)
• C. y=2^(x-2
• D. y=x^3
• E. тригонометрическая функция
• F. логарифмическая функция
• G. показательная функция
• H. степенная функция

Установите соответствие между условием функции и ее выводом:

• A. Если у функции есть:lim┬(x→a-0)f(x)
• B. Если у функции есть пределы и они равны:lim┬(x→a-0)〖f(x)〗=lim┬(x→a+0)〖f(x)〗
• C. Если существует lim┬(α→0)〖((sinкα))/α〗= к
• D. то функция имеет односторонний предел слева
• E. то функция непрерывна
• F. то функция имеет первый замечательный Предел

Установите соответствие между типами математических функций и их примерами:

• A. Обратная функция
• B. Логарифмическая функция
• C. Степенная функция
• D. y = f(х), х = f(у)
• E. у = logах
• F. у = ау

Производная функции y=-2e^(-3x)в точке x=0 равна …

• 6
• 3
• -3
• 9

Установите соответствие между рядом и его первым элементом:

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 5
• E. 6/5
• F. 1

Установите соответствие между пределом функции и его значением:

• A. 1
• B. 3
• C. 2
• D. 4
• E. -2.25
• F. 7
• G. 2
• H. 1

Установите соответствие между понятием и его обозначением:

• A. z – функция переменных х и у
• B. частная производная по x
• C. полный дифференциал по y
• D. z_x'
• E. d_y z
• F. z=f(x,y)

Установите соответствие между понятием и его аналитической записью:

• A. Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
• B. Характеристическое уравнение
• C. Общее решение дифференциального уравнения второго порядка
• D. Однородное дифференциальное уравнение второго порядка
• E. у" + р(х)у' + q(x)y =f(x)
• F. k2 + pk + q= 0
• G. y=C_1 (x)⋅y_1 (x)+C_2 (x)⋅y_2 (x)
• H. у" + pу' + qy = 0

Установите соответствие между определением понятия и его аналитической записью:

• A. Система дифференциальных уравнений в канонической форме
• B. Система дифференциальных уравнений в нормальной форме
• C. Интеграл системы ДУ
• D. Система однородных ДУ
• E. 2
• F. 3
• G. ψ(t, x1,..., xn)
• H. 4

Установите соответствие между множествами и их элементами:

• A. N – множество натуральных чисел
• B. Z – множество целых чисел.
• C. А – множество чисел
• D. {1,2,...,n,…}
• E. {0,±1,±2,...,±n, ±… }
• F. {1,2,3,5,7}

Установите соответствие между видом дифференциального уравнения и его общим видом:

• A. однородное
• B. линейное
• C. с разделяющимися переменными
• D. P(x,y)dx=Q(x,y)dy
• E. y^'+py+q=0
• F. f_1 (x)g(y)dx=f_2 (x)dy

Установите соответствие между видом дифференциального уравнения и его аналитической записью:

• A. Уравнение Бернулли
• B. Уравнение с разделяющимися переменными
• C. Однородное дифференциальное уравнение
• D. M1(x)∙N1(y)dx+M2(x)∙N2(y)dy=0
• E. M(x;y)dx+N(x;y)dy=0
• F. y^'+P(x)∙y=Q(x)∙yn

Установите правильную последовательность элементов, пропущенных в приведенном ниже тексте (в порядке от 1 до 4 : Согласно теореме «Вейерштрасса», если … (1 определена и непрерывна на отрезке … (2 , то она ограничена и снизу, и сверху, т.е. существуют такие постоянные и конечные числа М и m, что … (3 для всех … (4

• 1 y=f(x)
• 2 x∈[a,b]
• 3 [a,b]
• 4 m

Установите последовательность этапов разложения функций в ряд Маклорена для получения степенного ряда:

• 1 разложить в степенной ряд функцию f(x) = e^x
• 2 последовательно продифференцировать функцию
• 3 вычислить значения функции и ее производных при х = 0
• 4 подставить найденные значения производных в правую часть формулы ряда Маклорена

Уравнение вида y '+ p ( x ) y=q(x )∙ yn называется...

• уравнением Бернулли
• уравнением Пифагора
• уравнением Коши

… функции – предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю

Если последовательность {x_n } монотонно возрастающая и ограничена сверху числом М, то она …

• не может достичь М
• имеет предел меньший или равный М
• равна М
• равно удалена от М

Если все частичные суммы положительного ряда ограничены,

Если в дифференциальном уравнении функция зависит от одной переменной, то это дифференциальное уравнение …

Если в дифференциальном уравнении функция зависит от нескольких переменных, то это дифференциальное уравнение …

• частных производных
• обыкновенное
• однородное

Если α – бесконечно-малая величина, а переменная х имеет предел ≠ 0, то α /х …

• бесконечно-малая величина
• имеет предел ≠ 0
• не имеет предела
• бесконечно большая величина

Если r и φ полярные координаты точки (x, y), то имеют место формулы вида...

• x=r∙cosφ,y=r∙tgφ
• x=r∙ctgφ,y=r∙tgφ
• x=r∙cosφ,y=r∙sinφ
• x=sinφ,y=cosφ

Двойной интеграл численно равен …

• массе неоднородной пластины D
• площади плоской области D
• весу плоской пластины D
• высоте, проведенной в трехмерной фигуре на области D
• Дифференциал от неопределенного интеграла равен … выражению
• подынтегральному

Данное дифференциальное уравнение x y '− y= x e x имеет вид...

• линейное
• однородное
• другой вид

Данная формула lim┬(α→0)〖((sinα))/α〗=1 описывает …

• второй замечательный предел
• первый замечательный предел
• передел бесконечно малой функции
• предел бесконечно большой функции

Установите соответствие между свойствами двойного интеграла и их значениями:

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 2
• E. 1
• F. 3

… функция имеет вид y=x^6

• Четная
• Нечетная
• Общего вида
• Неявно заданная

Если предел частичных сумм ряда конечен, то числовой ряд …

… способ задания функции имеет вид y=2x^3+x^2-5x+2

… система дифференциальных уравнений – система, которая может быть разрешена относительно старших производных неизвестных функций

… система дифференциальных уравнений – система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных первого порядка всех искомых функций

• Каноническая
• Нормальная
• Неоднородная
• Однородная

… приращение – это приращение, которое получит функция при изменении всех переменных

… пределы – это пределы, раскрывающие неопределенности вида 0/0 и ∞/∞

… к поверхности в точке – это прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в точке касания

… интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых

… дифференциальное уравнение – дифференциальное уравнение, в правой части которого стоит ноль

… графика функции – это такая прямая линия, что расстояние от любой ее точки до линии функции y=f(x)стремится к нулю при бесконечном удалении от начала координат точек графика функции

… – это точка, в которой функция достигает своего максимального или минимального значения в области определения

• Экстремум функции
• Точка перегиба
• Стационарная точка
• Производная функции

… – это результат применения интегралов к функциям более чем одной переменной таким образом, что каждый из интегралов рассматривает некоторые переменные как заданные константы

На функцию F(x,y,z), чтобы уравнение F=(x,y,z)=0 определяло действительную функцию z=f(x,y), накладываются ограничения …

• F(x,y,z)непрерывна в окрестности точки M(x_0 〖,y〗_0 〖,z〗_0)
• F(x,y,z) разрывна в окрестности точки M(x0,y0,z0)
• F(x_0,y_0,z_0 )=max

… – это операция взятия неопределенного интеграла

Признак … является достаточным признаком сходимости ряда

При решении дифференциальных уравнений ищется …

• число либо функция
• число (несколько чисел)
• функция (семейство функций)

Последовательность называется бесконечно большой, если ее предел равен …

Площадь криволинейной трапеции и длину дуги можно найти с помощью … интеграла

Площадь … фигуры вычисляется по формуле S =

Остаточный член формулы можно представить в … (Укажите 2 варианта ответа)

• интегральной форме
• дифференциальной форме
• форме Лагранжа

Нормальную систему дифференциальных уравнений можно привести к однородному уравнению методом …

Неопределенный интеграл функции f(x)=sin(3x) равен …

• -1/3 cos〖(3x)+C〗
• 3 cos〖(3x)〗
• -1/3 sin〖(3x)〗

Неопределенность вида 1∞ раскрывается …

• первым замечательным пределом
• алгебраическим преобразованием
• вторым замечательным пределом
• путем подбора

Неверно, что к области D в записи двойного интеграла можно отнести …

• плоскую фигуру
• фигура, ограниченная прямыми линиями
• сферу
• треугольник

Процесс нахождения первообразной, называется …

• интегрированием
• дифференцированием
• логарифмированием

Множество значений независимой переменной х, для которых определена функция у(х), называется … определения функции

Метод неопределенных коэффициентов применяется в случае, если …

• правая часть дифференциального уравнения имеет специальный вид
• заданы начальные условия
• правая часть дифференциального уравнения равна нулю

Метод вариации произвольной постоянной решения линейного дифференциального уравнения так же называется методом...

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка

• называется уравнение, …
• линейное относительно неизвестной функции
• линейное относительно неизвестной функции и ее производной
• линейное относительно производной неизвестной функции

Касательная плоскость имеет уравнение …

• z=∂z/∂x(x-x_0)+∂z/∂y(y-y_0)
• z – z0 = ∂z/∂x+∂z/∂y
• z – z0 = ∂z/∂x(x-x_0)+∂z/∂y(y-y_0)

К полярным координатам при вычислении двойного интеграла целесообразнее перейти в случае, если …

• область интегрирования – прямоугольник
• сложно расставить пределы интегрирования
• подынтегральная функция – сложная функция
• не выполняется условие непрерывности подынтегральной функции

К вычислению двойного интеграла при повторном интегрировании применяют формулу …

• Ньютона-Лейбница
• Лагранжа
• Бернулли
• Адамара

К вычислению двойного интеграла относят такие операции, как … (Укажите 2 варианта ответа)

• определение допустимой области
• вычисление определителя
• сведение к повторному интегралу
• вычисление внутреннего интеграла

Из перечисленных функций непрерывны в точке х = 1 является функция …

• 2
• 1
• 3
• 4

Если элемент x не принадлежит множеству X, то записывают …

• x∈X
• x|X
• x