Непараметрические методы

4. Непарамет­рические методы

Непараметрические методы математической статистики это методы непосредственной оценки и проверки гипотез о теоретическом распределении вероятностей и тех или иных его общих свойствах (симметрии, независимости и т. п.) по ре­зультатам наблюдений. Название «Непараметрические методы» подчёркивает их от­личие от классических (параметрических) методов, в которых предполагается, что неизвестное теоретическое распределение принадлежит какому-либо семейству, зависящему от конечно­го числа параметров (например, семейству нормальных рас­пределений), и которые позволяют по результатам наблюде­ний оценивать неизвестные значения этих параметров и прове­рять те или иные гипотезы относительно их значений. Особенность непараметрических методов, в отличие от классических методов, состо­ит в независимости от неизвестного теоретического распреде­ления.

В качестве примера непараметрических методов можно привести критерий провер­ки согласованности теоретических и эмпирических распреде­лений (критерий Колмогорова). Пусть результаты  независи­мых наблюдений имеют функцию распределения  и пусть  обозначает эмпирическую функцию распределения, построенную по  независимым наблюдениям ( — несмещённая и состоятельная оценка для ). Пусть D_n — наибольшее по аб­солютной величине значение разности . Случайная величина  имеет, в случае непрерывности , функцию распределения , не зависящую от  и стремящуюся при безграничном возрастании  к пределу

.

Отсюда при достаточно больших  для вероятности  нера­венства  получается приближённое выражение

                                          (*)

функция  табулирована. Её значения для некоторых  приведены в таблице.

Таблица значений функции

Равенство (*) используется для проверки гипотезы о том, что теоретическим распределением является распределение с заданной непрерывной функцией распределения : сначала по результатам наблюдений находят значение величины , a затем по формуле (*) вычисляют вероятность получить откло­нение  от , большее или равное наблюдённому. Если ука­занная вероятность достаточно мала, точнее равна наперёд за­данному малому числу , 0<< 1, то в соответствии с общими принципами статистических ги­потез проверки проверяемую гипотезу отвергают. В против­ном случае считают, что результаты опыта не противоречат проверяемой гипотезе. Аналогично проверяется гипотеза о том, что две независимые выборки объёма , и  соответственно получены из одной и той же генеральной совокупности с не­прерывным законом распределения, т. е. что соответствующие функции распределения одинаковы (гипотеза однородности двух выборок). При этом вместо формулы (*) пользуются тем, что вероятность неравенства

имеет пределом , где  есть наибольшее по абсолют­ной величине значение разности . Приведённые примеры относятся к непараметрическим методам, основанным на разностях теорети­ческого и эмпирического или двух эмпирических распределе­ний.

Дополнительным примером непараметрических методов могут служить методы про­верки гипотезы о том, что теоретическое распределение при­надлежит семейству нормальных распределений. Один из этих методов — так называемый метод выпрямленной диаграммы. Этот метод основывается на следующем замечании. Если случайная вели­чина имеет нормальное распределение с параметрами  и , то

,

где  — функция, обратная нормальной:

.

Таким образом, график функции  будет прямой линией, а график функции  — ломаной линией, близкой к этой прямой. Степень близости и служит простей­шим критерием для проверки гипотезы нормальности распре­деления .

"11 Инициирование государственной политики" - тут тоже много полезного для Вас.

Значительное место в современной математической статисти­ке занимают непараметрические методы, в которых используются не сами эмпири­ческие функции распределения, а некоторые функции от по­рядковых статистик — членов вариационного ряда. Если ис­пользуются порядковые номера результатов наблюдений или ранги, то такие непараметрические критерии называются ран­говыми, они, как правило, являются критериями однородно­сти. Например, пусть  и  — взаимно независимые элементы двух выборок с непрерывными функциями распределений. Для проверки гипотезы о том, что соответству­ющие  и  функции распределения одинаковы, можно ис­пользовать ранговый критерий, основанный на значениях функции от рангов:

где  — ранг случайных величин , в общем вариационном ряду  и , а функция ,  определяется за­ранее заданной подстановкой

где  — одна из возможных перестановок чисел 1,2,..., . Выбор подстановки может быть осуществлён оп­тимальным образом.

Ранговые критерии также используются для проверки гипо­тез случайности и независимости.