Основные уравнения газодинамики

Основные уравнения газодинамики

1.1. Уравнение состояния для идеального газа (Уравнение Менделеева - Клайперона):

Уравнение Ван-дер-Ваальса для реального газа:

Значения коэффициентов  «а» и «в» можно найти в литературе

Мягков М.П. «Справочник по физико-техническим основам глубокого охлаждения».

1.2. Уравнение неразрывности

Рассмотрим стационарное течение элементарной струи газа, поперечные размеры которой настолько малы ,что в каждом ее сечении постоянными являются все основные параметры потока: скорость, давление, температура и плотность. Выделим участок струйки между сечениями 1 и 2. За бесконечно малый промежуток времени dt эта часть струйки переместится в положение 1¢-2¢. Перемещение струйки можно рассматривать как перемещение газа из объёма 1-1¢ в объём 2-2¢.

Количество газа, перетекающего из объёма 1-1¢ ,составляет:

 (кг),

где .

Тогда                      , кг.

Приток газа в объём 2-2¢ составляет:

, (кг).

В соответствии с законом сохранения массы:

, или

 и из этого следует, что:

1.3. Уравнение неразрывности потока газа.

Для несжимаемой жидкости, когда :

В дифференциальной форме уравнение неразрывности:

 имеет вид:

 или поделив на  имеем:

1.4. Уравнение количества движения.

В соответствии с законом Ньютона элементарное изменение количества движения  равно элементарному импульсу силы :

,

где: P – сумма проекций всех сил на ось;

w-проекция скорости на ту же ось;

dt – время действия силы P.

В гидродинамической форме уравнение количества движения выведено Эйлером и применительно к элементарной струйке потока газа имеем:

Рассмотрим изменение суммарного количества движения  за время . Изменение суммарного количества движения элементарной струйки можно рассматривать как изменение количеств движения для масс 1-1¢ и 2-2¢, так как масса 1¢-2 остается общей для обоих положений струйки.

Прирост суммарного количества движения равен разности количеств движения масс 2-2¢ и 1-1¢.

,

где:  – масса газа в элементе 1-1¢ или 2-2¢, кг;

 и  – проекции скоростей в сечениях 1 и 2 на ось x.

,

где G – секундный весовой расход газа, кг/с.

Тогда:

Откуда:

, или

 - уравнение Эйлера

Аналогичные уравнения можно составить для других осей.

Рассмотрим элементарную струйку , расположенную параллельно оси х.

Проекция силы, действия машины на газ – . Тогда сумма проекций всех сил на ось х равна:

Тогда уравнение Эйлера имеет вид:

Если расстояние между сечениями 1 и 2 бесконечно мало (dl), то уравнение количества движения записывается в дифференциальной форме:

Используя уравнение неразрывности  и разделив все на F имеем:

, или

Если отсутствуют силы трения и силовое воздействие на газ имеем:

, или

Это уравнение выражает важное свойство газового потока: при отсутствии сил трения и внешних сил увеличение скорости потока (dw>0) может быть вызвано только уменьшением статистического давления (dP<0) и наоборот, торможение потока всегда связано с увеличением давления в нем.

В интегральной форме уравнение количества движения:

Если  и , то:

, или

Из уравнения неразрывности:

.

И для цилиндрической струйки когда :

, и тогда:

, откуда:

В цилиндрической струйке давление может измениться в случае изменения скорости, что может быть достигнуто подводом или отводом теплоты.

1.5. Уравнение энергии.

Составим баланс энергии для элементарной струйки при перетекании из объёма 1-2 в объём 1'-2' за бесконечно малый промежуток dt. Так как объём 1'-2 является общим, то приращение энергии измеряется разностью количеств энергии в бесконечно малых объемах 2 - 2¢ и 1-1¢.

Приращения кинетической энергии:

Приращение потенциальной энергии:

Приращение внутренней энергии:

Используя, что , а  можно записать:

Работа сил давления:

На участке 1-2 за время dt может быть подведена теплота dQ и струйка может совершать техническую работу  и на преодоление сил трения .

Согласно первому закону термодинамики подведённая к газу тепловая энергия и работа сил давления расходуются на совершение технической работы, работы сил трения, а также на повышение запасов потенциальной, внутренней и кинетической энергии.

Или для единицы веса газа:

1.6. Уравнение Бернулли.

Уравнение энергии для 1кг газа:

В дифференциальной форме:

                                   (1)

В соответствие с первым законом термодинамики тепло, подведённое к газу, может расходоваться только на повышение внутренней энергии и работы расширения (деформации):

                                                    (2)

Вычитая из (1) уравнения (2) получим:

, или:

 – уравнение Бернулли в дифференциальной форме, так как

После интегрирования:

 – обобщенное уравнение Бернулли.

Сила изохорического процесса при v=const ():

В изобарическом процессе (Р=const):

В изотермическом процессе при P=rRT:

В адиабатическом процессе при :

При отсутствии технической работы и гидравлических потерь  и , а запас потенциальной энергии не изменяется , уравнение имеет вид:

НУРИЕВ Рудольф Хаметович - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

В случае, когда r=const (для идеальной несжимаемой жидкости):

, и уравнение приобретет вид:

, или:

, или:

 – полное давление потока.

Величина  – скоростной напор или динамическое давление потока.