Основные уравнения газодинамики
Основные уравнения газодинамики
1.1. Уравнение состояния для идеального газа (Уравнение Менделеева - Клайперона):
Уравнение Ван-дер-Ваальса для реального газа:
Значения коэффициентов «а» и «в» можно найти в литературе
Мягков М.П. «Справочник по физико-техническим основам глубокого охлаждения».
1.2. Уравнение неразрывности
Рассмотрим стационарное течение элементарной струи газа, поперечные размеры которой настолько малы ,что в каждом ее сечении постоянными являются все основные параметры потока: скорость, давление, температура и плотность. Выделим участок струйки между сечениями 1 и 2. За бесконечно малый промежуток времени dt эта часть струйки переместится в положение 1¢-2¢. Перемещение струйки можно рассматривать как перемещение газа из объёма 1-1¢ в объём 2-2¢.
Количество газа, перетекающего из объёма 1-1¢ ,составляет:
(кг),
где 
.
Тогда 
, кг.
Приток газа в объём 2-2¢ составляет:
, (кг).
В соответствии с законом сохранения массы:
, или
и из этого следует, что:
1.3. Уравнение неразрывности потока газа.
Для несжимаемой жидкости, когда 
:
В дифференциальной форме уравнение неразрывности:
имеет вид:
или поделив на 
имеем:
1.4. Уравнение количества движения.
В соответствии с законом Ньютона элементарное изменение количества движения 
равно элементарному импульсу силы 
:
,
где: P – сумма проекций всех сил на ось;
w-проекция скорости на ту же ось;
dt – время действия силы P.
В гидродинамической форме уравнение количества движения выведено Эйлером и применительно к элементарной струйке потока газа имеем:
Рассмотрим изменение суммарного количества движения 
за время 
. Изменение суммарного количества движения элементарной струйки можно рассматривать как изменение количеств движения для масс 1-1¢ и 2-2¢, так как масса 1¢-2 остается общей для обоих положений струйки.
Прирост суммарного количества движения равен разности количеств движения масс 2-2¢ и 1-1¢.
,
где: 
– масса газа в элементе 1-1¢ или 2-2¢, кг;
и 
– проекции скоростей в сечениях 1 и 2 на ось x.
,
где G – секундный весовой расход газа, кг/с.
Тогда:
Откуда:
, или
- уравнение Эйлера
Аналогичные уравнения можно составить для других осей.
Рассмотрим элементарную струйку , расположенную параллельно оси х.
Проекция силы, действия машины на газ – 
. Тогда сумма проекций всех сил на ось х равна:
Тогда уравнение Эйлера имеет вид:
Если расстояние между сечениями 1 и 2 бесконечно мало (dl), то уравнение количества движения записывается в дифференциальной форме:
Используя уравнение неразрывности 
и разделив все на F имеем:
, или
Если отсутствуют силы трения и силовое воздействие на газ имеем:
, или
Это уравнение выражает важное свойство газового потока: при отсутствии сил трения и внешних сил увеличение скорости потока (dw>0) может быть вызвано только уменьшением статистического давления (dP<0) и наоборот, торможение потока всегда связано с увеличением давления в нем.
В интегральной форме уравнение количества движения:
Если 
и 
, то:
, или
Из уравнения неразрывности:
.
И для цилиндрической струйки когда 
:
, и тогда:
, откуда:
В цилиндрической струйке давление может измениться в случае изменения скорости, что может быть достигнуто подводом или отводом теплоты.
1.5. Уравнение энергии.
Составим баланс энергии для элементарной струйки при перетекании из объёма 1-2 в объём 1'-2' за бесконечно малый промежуток dt. Так как объём 1'-2 является общим, то приращение энергии измеряется разностью количеств энергии в бесконечно малых объемах 2 - 2¢ и 1-1¢.
Приращения кинетической энергии:
Приращение потенциальной энергии:
Приращение внутренней энергии:
Используя, что 
, а 
можно записать:
Работа сил давления:
На участке 1-2 за время dt может быть подведена теплота dQ и струйка может совершать техническую работу 
и на преодоление сил трения 
.
Согласно первому закону термодинамики подведённая к газу тепловая энергия и работа сил давления расходуются на совершение технической работы, работы сил трения, а также на повышение запасов потенциальной, внутренней и кинетической энергии.
Или для единицы веса газа:
1.6. Уравнение Бернулли.
Уравнение энергии для 1кг газа:
В дифференциальной форме:
(1)
В соответствие с первым законом термодинамики тепло, подведённое к газу, может расходоваться только на повышение внутренней энергии и работы расширения (деформации):
(2)
Вычитая из (1) уравнения (2) получим:
, или:
– уравнение Бернулли в дифференциальной форме, так как 
После интегрирования:
– обобщенное уравнение Бернулли.
Сила изохорического процесса при v=const (
):
В изобарическом процессе (Р=const):
В изотермическом процессе при P=rRT:
В адиабатическом процессе при 
:
При отсутствии технической работы и гидравлических потерь 
и 
, а запас потенциальной энергии не изменяется 
, уравнение имеет вид:
НУРИЕВ Рудольф Хаметович - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
В случае, когда r=const (для идеальной несжимаемой жидкости):
, и уравнение приобретет вид:
, или:
, или:
– полное давление потока.
Величина 
– скоростной напор или динамическое давление потока.
