Лекции: Физические и математические основы оптической обработки информации

Распознанный текст из изображения:

Лекция б. ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ОПТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ

1. Понятие оптического сигнала.

Особенностью световой волны по сравнению с радиоволной является то, что вследствие малой длины волны в ней может быть практически осуществлена передача, прием и обработка сигналов, модулированных не только по времени, но и по пространственным координатам.

Скалярное поле в точке пространства с координатами (х,у,к), создаваемое монохроматическим источником света можно описать выражением:

АнюцтудоУ(х, у, е, г) = А(х, у, г) соя ~27ф — фх, у, ~)] (1.1)

Функция У(х,у,г,г) — скалярная функция координат пространства и времени, числено равная

мгновенному значению напряженности электрического поля световой волны Е~ху,,~); А(ху,-)

амплитуда колебаний напряженности электрического поля, а у(х,у,г) — фаза световой волны в точке

(х,у,~); ~ — частота колебаний.

В комплексной форме этой записи соответствует функция к нФЖьсо~с~~ '~~

~ КОИ

У(х, у, г,г) = Ке(А(х, у, г) ехр~ уср(х,у, г)]ехр( — у2зф)1 = Ке(У(х,у, г) ехр( — у2зф)) (1.2)

Величина У(х, у, ) = А(х, у, г) ехр[~у(х, у, г)] представляет собой комплексную амплитуду электромагнитного колебания. Эту величину принято называть оптическим сигналом. Временной множитель ехр( — ~2тф), являющийся для монохроматического сигнала гармонической функцией времени, обычно опускают.

В оптических системах обработки информации, как правило, работают с двухмерным оптическим сигналом, который описывается распределением комплексной амплитуды световой волны по точкам пространства, лежащим в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Если в рассматриваемой плоскости ввести координаты х, у, то информация, содержащаяся в двухмерном сигнале, будет определяться комплексной амплитудой

У(х, у) = А(х, у) ехр~ур(х, у)1,

являющейся функцией двух пространственных координат.

2. Методы Фурье-анализа ( Ярос~ О Ко ~г ЯО.НОИЖЮ ~ь~~~

В основе анализа Фурье лежит разложение сигнала в частотный спектр.

Частотный сиект одноме ных сигналов

В курсах математики доказывается, что любую периодическую функциюЯг) периода Т можно

представить в виде дискретного ряда Фурье

(2.1)

2

я =пйзО =и

где — круговая частота и-ой гармонической составляющей, ф— комплексная амплитуда и-ой гармоники

Совокупность коэффициентов С„называют спектром функции ф); при этом ~ С„~ есть амплитуда

гармоники частоты м„, агу ф— относительный фазовый сдвиг.

Распознанный текст из изображения:

Прямое преобразование Фурье удобно обозначать как действие оператора У( )

на заданную функцию, а обратное преобразование Фурье — как действие оператора 3'

У ( У(х, у) ) = 0(~,', ~,) — прямое преобразование Фурье

3' ~~0(~„, ~,) ~=У(х,у) — обратное преобразование Фурье

(Примечание: Далее в тексте наряду с символом .У' будет использоваться и

определяется возможностями текстового редактора и редактора формул).

интегрирования

символ 5, что

П име ы Ф ье-об азовдв ме ных сигналов

(Магурин В.Г., Тарлыков В.А. Когерентная оптика С.-П, 2006 г.)

1. Форма сигнала - круг радиусом Я, распределение амплитуды

равномерное

Фкигчсакий дидлог — дифрчкиик Фрвунгофсрд

плоской полни нд круглом отвсратпи.

Фурьс-серка тикого сигндли ~с точностью до

пастоякного ниожвгслк):

Р 1н,т) = — '- скр1 ~кот'„. + ~кф';),

',(Рр)

гдс р= ~~~, .Г1 — функция Вссссяя верного роли парного поряд1щ, атд к ду~ — сисщснис аигиялв по осям Х к У соотвстатвскно.

Л квлястся дайствнтальной и чстной фукягисй„ побтаиу прк отсутствии сксщскив (стд = пуд = О) фтрьс.обрит тл1ака дсйствитальньн1 н чсткый. При нвлнчии сжщснии в фурьа-абра вотки1аиот дополннтсльныа ссцилляцни. чдстотд которых пропорциондчькд сисщсн1зн1. дайстВптсльнвя чдсть сстдстся чстиок, ьгниыдя члсть яяляатся нсчстисн. сисщскпа являстся чисто фиювдй лобдвкой, к ыолуль фуръа-сорвзд ис итмснястск, тдк что вид дкфрвкциокной кдртины„пропорционвчькый сго кввдрдту, со:садивстак фис. 2 2).

,16

.26,12-16,61 12Д6-626 6 6Д6 12,М 16,64 Ю,12

4 Форьга сигнала — прямоугольник со сторонами 2а н 2о

Фктичсаккй дивлог - лифрдкцив Фрдукгафсрв плоской Валим ид

иряыоущльном отвсрстни.

Фурьс эбрдв триго спгнвчв (с точностью до

настоянного миожитадяг;

Ягп(ап) 61И(Ь)

г 1В, к) = — '- — '-скр~,что; + рф; )

и

Фтнкцпв Яшгф'к Явлвстсв дсйатвитсльиой к чстной, подтому прн отсутствии снсщсжсг фурьсСЕрвд тягака дсйатвктслькый к чстнъ1й.

Нсрввснство сторон лрнВодит кдсфо~6$впки фтрьс осрддд рвчвороту нв оаь аткосптсльно дафоривцип исходного пряноугрдьнккл 1рис. 2.5).

.25,12 1644-$2„66.626 6 6,26 12,% 16,64 26,12

4. Свойства преобразования Фурье

1) Изменение масштаба: растяжение координат в пространственной области приводит к их

сжатию в области пространственных частот.

У (У(ах,Ьу) )= — 0( — ",— У)

1-~ У,

(4.1)

~аЬ~ а Ь

2) Смешение ~сдвиг): смещение функции в пространственной области приводит к появлению

линейного фазового сдвига в частотной области.

У Я(х — а,у — Ь) )=0(~„,~')ехр~ — у' 2л'(~,'а+ ~'Ь)~ (4.2)

Распознанный текст из изображения:

2 2

й

Г(х,у)= ехр! — ) — — ~х'-;у') ЦС',(х„у,)ехр — — ~хх,+уу,) Ых,Шу, (е.1)

ИГ

Если входная плоскость системы совпадает с передней фокальной плоскостью линзы (т.е.

при а' = Ц, то выражение для выходного сигнала приобретает вид:

Г(х,у) = ~/У,(х„у,)ехр — — (хх, ~.уу,)~Ыхфу, 1 й ИГ „Г

Из сравнения выражения (5.2) с (3.2) видно, что интеграл в выражении (5.2) есть Фурье-

преобразование функции Уо(хо,уо) с пространственными частотами:

Хх е Ху (5.3)

у~

Таким образом, выходной сигнал рассматриваемой простейшей оптической системы с

точностью до постоянного множителя совпадает с фурье-образом входного сигнала. Поэтому

выходную плоскость такой системы называют спектральной или фурье-плоскостью.

Следует отметить, что фурье-образ входного оптического сигнала существует в виде физически реального пространственного распределения комплексных амплитуд светового поля. Благодаря этому когерентные оптические системы могут быть эффективно использованы для решения широкого круга задач, связанных с получением, преобразованием и обработкой фурье- спектров, корреляиионных функций и сверток.

оптический процессор, использующий методы

6. Когерентный аналоговый

пространственной фильтрации.

Линза Л1 формирует плоскопараллельный пучок когерентного света с амплитудой Цх),у))=~4, который освещает входную плоскость Р) оптической системы. Входной сигнал фильтра — это произвольная двумерная комплексная функция передачи транспаранта Я, (х„у, ), который осуществляет модуляцию прошедшего через него света по амплитуде и фазе.

Если на вход такой системы (рис. 5.1) поступает оптический сигнал Ц~(хо,уо), то на выходе

появляется сигнал Цх,у), связанный со входным сигналом следующим соотношением:

Распознанный текст из изображения:

Сигнал на выходе транспаранта: У,(х„у,) = УД(х„у,) .

(6.1)

Линза Л2 осуществляет двумерное преобразование Фурье входного оптического

сигналами,(х„у,). В результате в плоскости Рг формируется световое распределение с комплексной

амплитудой:

~',(~„,~;) =~ ~(~,(х„у,)).

(6 '-)

С вЂ” постоянный комплексный коэффициент пропорциональности, вид которого для дальнейших

рассуждений несущественен. ~„, ~, — координаты пространственных частот, связанные с

пространственными координатами х2 и у2 соотношениями ~, =

2 уг

у~.

Размещая в плоскости Рг второй транспарант с комплексной функцией прозрачности Кг ( ~„~,,),

которая является Фурье-образом некоторой функции Яг(х„у,), можно непосредственно воздействовать

на спектр входного сигнала. На выходе транспаранта Я (~„~ ) комплексная амплитуда света равна:

~.,(Х„1,) =~Я. Х,) ~г(Х, Х,)

(6.3)

Линза Л3 осуществляет еще одно преобразование Фурье комплексной амплитуды света. В результате в выходной плоскости Рз формируется распределение комплексной амплитуды света У,(х„у,):

~~'з(хз,уз) = С-~ УгЧх~Х )' огЧх~Х ) = С5'~(х„у,) ЭЬ'г(х„у,)

Таким образом, выходной сигнал представляет собой свертку сигналов Я,(х„у,) и Яг(х, „у,) .

(6.4)