ДЗ: Типовик В. 11 вариант 11

Распознанный текст из изображения:

7ИПОВОЙ РАСЧЕ7

по мат. ан., 7ФКЛ

Вариант 11.

8 +8 8 — 8 8 +8

сйг=; зЫ—

2 2 2

х -х

2 — ~ГЗ+~ ~ 8 ~ = ~ГЗ+1

Задача 1. юг-злг =,ГЗ+~

— л» О~(Гв;-л)» 1и Гз'-л'лл)влв~ГЗлл)л2ле)»!п2-;л' — -.-2ю» л»-1п2 — л' — -;2ле)

с )Гз+л=ввл1=2; вля~Гвлл)= ~д

Д е

Задача 2. и(х,у) = з)пх с~1ау. Функция и~х,у) должна быть гармонической, т. е. ~ '+ ~ ' = О. Г1роверим это.

®2 ~2

сЪ

— = созх свау

~В~

,~2„

— =-з)пх свау

,2

,п2ц р2ц

д2 ~2

+ — з)пх сйау+а зглх свау = -1+аг з)пх сйау =О

сЪ

— = азглх злау

д~и

= а з)пх свау

Сф'

и(х,у) = з1пх сну)= з)пх слу. Найдем ч(х,у) иэ условий Коши - Римана.

Ж ~Ъ ~Я/

— = — ~ — =созх слу ~ 1~(х,у) = ~созх слубу=созх злу+С(х).

Й~' сф

Ж Й~ ~Ъ

— =~ — = з)пх злу = — (созх злу+С(х))„=+з)пх зйу+С'(х)) ~ С'(х) = О ~ С(х) = С = солзР => и(х,у) = созх аду+С.

ф СЪ ф

/1 8-~х у -у ~х -/х у -у

1(ху) =и(ху)+~~(ху) =з)пх сйу+~созх зйу+С1= . +1 +~С=

21 2 2 2

= — ')(ев-е 'л))е" ле ")+)еелв ф-е "))ллС= — )вв)-в"-в "+е'

ф+(у) -!(хй )~ 1 а -а

)

22 +г+2

3 Дача 3. г(г) = 2 г,=-2- является особой точкой. Разложим Г(г) на простейшие дроби:

2Р

2+ +2 лл В С,вв ( 2)+В(г+2) С 2

— в л)-в '"(е" лв л+е"-в л): лС= — (-2вв "+2в "'")+лС=

— / л~: ~л»

2 = А+ С ==> А = О =:> 1'(г) = — +

2. 1 2

2 (г+ 2)

2=2В;

8 — 2+2=4С =э В=1; С=2;

)

Разложим дробь — в ряд по степеням г+2.

2

л ! л

1 " г+2 " (г+2)п " (г+2)п " л1г+2)' " (л+1)(г+2)п

п»О п»О 2 и= 2 п»1 2 п»О

2 г ( +2) 2 2 г+2

г+2

Ряд сходится при <1 ~ )г+2 < 2. ( Ряд можно дифференцировать почленно, т. к. степенные ряды сходятся

2

равномерно на любом замкнутом отрезке внутри области сходимости).

2 " (л+1)(г+2)п

Г(г) = + ~ ряд сходится при О <)г+2~ < 2. В главной части ряда Лорана - слагаемое

(г+ 2) 2п+2

первого порядка, значит точка гО=-2- полюс первого порядка, и:з Г(г) = с „= 2.

хО»-2

Второе разложение:

л

л л

х+2

- ряд сходится при < 1 => ~г+ 2~ > 2.

2

г+2

Щвв +~

о ( 1)2п-2

- ряД схоДитсЯ при г+ 2~ > 2 .

п»2 1г+ 2)

Задача 4. Г(г) = С:~ -2=1Д.

(г — 1)(г — 2)2

Внутри контура С лежит одна особая точка: г = 2 - полюс второго порядка.

Особые точки 1(г)

Распознанный текст из изображения:

Р

Р

гвз1(г) = )1п1 (г — 2)2 = )гп1 = )1гп — — 1.

У=2 г-и (г ф 2)2 г-иг\;г — 1хг г~г (г 1)2 1

~Цг)бг = 2лг~~Г газ Г(г) = 2м' гвз Г(г) = 2лг'~- 1) = -22з' . и ги

со

1

оо

Задача 5. ~ сгх. ~Г(г)ог = 22з,'Ггвз~(г), где ги - полюса, лежащие в верхней полуплоскости.

„х -(4гх+5)2

Найдем особые ~очки Г(г):

гз — 14)гче)г = (г -4(г-5)(г зззгзе)=с т гз г =21г,)-ззе =2(г1; гзз =-2)гтт-4 — Б =-2)гзз = з,-е)

21 2,4 - простые полюса. В верхней полуплоскости лежат точки г = 2г ~ 1, г = г .

гее Цг) = Ип) (Г(г)г(г-2! — 1))= Ип)

1

(г — гг' — 1) = 1ип ( 1

гаг)+1 2~2)пв1

.-;(т — з=..еч... )-.-.( -;..- ..

гез 1(г) = 1ип (Г(г)(г — 2) + 1)) = 1ип (г — 2/+ 1) = Игп

1 ( 1

гаг(-1 г-а2(-1

.-, (т —;з —,.тит ) ... (

1 1 — 1 3+4/

ИГ \кт/ з) )и- з в) 4(з — зп — ззз

1 1 1 3-4!

гее Цг) = Игп(Г(г)(г — г))т Игп~

г=( г-+(~

(г — г) = Ип)

т

1 1 1

г-+)' (гг 4)г +~4 61) — 2 61 12/

=~ ~Г(г)бг = 2лг~ газа(г) = 2лг' + — 2а — —. — — ~ = 22г — — + — = 22г = гг

3+4г' 3 — 4! . 1 8г' ') 1 2 — 25+24 — 1 гг

и и 12г' 100 100 12! 100) 12 25 25 12 150 150

ч 6 56 44 Зз 22

а) Найдем количество нулей функции Р(г~ в области ф <1.

56 44 Зз 2г. ~() ~~() ()

нв контгое 121=1: /тз(г)/=/-1т/=1т; 1ез(г1= Бг'чзг' — згз — гг) < Бг)+ 4гз ч/зг'+ 2гг =Бзизз+2=14

~~~(г)! > !р1(г)~. По теореме Руше функции гг(г) и Р(г) имеют внутри контура ф=1 одинаковое число нулей й1.

Для функции Ц ) = -17 ))ч =О, значит и для Н4 чис~о ~ул~й внутри ~~~~ура!4=1 )ч' =О.

б) Найдем количество нулей функции ~(г~ в области ф<2.

ии е ~а.- '= ' ' -' . *. Ачз:

-: -'4: - ж' теззз~зтевеге;4зБКрзп'

1*(*))-) " =~ 1'=

)гг(г)! > ~рг(г)~ . По теореме Руше функции гг(г~ и ~(л) имеют внутри контура ф=2 одинаковое число нулей йг. Дпя

функци~ гг(г) = 52' й2=5, значит и для ~ф число нулей внутри контура ф=2 йг=б. В кольце 1< ф < 2

количество нулей функции 1=(г) равно й=йг-й1=5-О=5.

Задача 7. Найти синус-преобразование Фурье функции г(х) =

1+хг 9+хг

Гз(а) = — )тт(х)з(пахах = /гз~гез((Г(г)в"'), где г„- особыв точки, пехтвЩие в вепхней попгппоскости.

О

г(г) =; особые точки: г =+г, г = ~Зг; в верхней полуплоскости лежат точки г = г, Зг - простые полюса

1+22 9+2~

тз(Г(г)е' )=)(т 1г-(1 =1)т

г=1 г-+г' 1+22 9+гг г+г' (г+г' г+9 2)',8 16

гв гвгаг Згв-3 в-за

тз((Ще'а) ))т (г — 2)) = 1)т

* з * з 1+г' З+г' * з 1гзз) г'чт 5) )-ет)

-а -За -а 1 -2а

и (а) =,)гз (~тз(т(г)ва)ч тз(т(г)в' ф))= Де ( — — = (гз

~ гт)' г=21 ,г' 16 16 16

гг Зл — < агяу <—

4 4

Задача 8. иг = (2-2г')г~+(2-г')) 01 , ')2~ < 3;

а) ии1 = г = )в1) < 27; — < агдв1 < —.

3 Згг 92г

4 4

б) Игг = (2-21М' 11игг = ~2-4'11И)г1~ = '(4+4~иг1~ = 2(4иг1~' агЯигг = агЯ(2 2)+агЯиг1

гг Згг гг Ягг гг

=« )1йгг~ < 2~)2 27 = 54~(2; — — + — < агЯигг < — — + — ~ — < агЯвг < 22г.

4 4 4 4 2

и

),=