ДЗ: Типовик В.15 вариант 15

Распознанный текст из изображения:

Вариант 1 б.

и е-и и «х и -и и и

8%2 =; СОЗЕ = — — '=»

2 21 2 2

Задача 1. з(п2 соз 2 =—

2

«х е"и )еи «е-и) 2 и» е2и е-2и + 2 0 Пуот~ е2и

(Еи -и и -и 2и -2и

=» ! — -+2=0~! +2! — 1=0 ~ !!г =-1+с!+1=-1 «Г2.получнлидва уравнения:

г Г'

2и 1 Г2 ~ еги =-1-Л

21 = !л(-1+ Г2) = 1п~-1+ Л2~+ 1(а«д(-1 Г2)+ 2лх) --Л)= )- — Л).~ (- -Л). )

~-1+ Л~ = Г2 — 1; а«р~-1+ Г21)=0 ~-1 — ~Г2~ = . «Л; а«!1(-1- Л) = л

212=!я(д-1). 2.я 2=-'1О~,Г2-1).~ и~ 212=!с(! Л21+1(и~2ли«) => х=--Иб+ Г2)а~ — +л«е~

2

хи 0,441+ л!«или 2 и-0,441+ — + ля!

!л

! сг«

, — =совх зл(у-а)

. «52М

—:. Совх с)г(у — е)

'Ф2

! .тх и «уг ««

— — + — = — сов х ' сб(у — а) + сов х . с«г(у — а) = О

ай' «ф

Ж

— =-в!пх.сл(у -а)

«е«

Игу

— = — сов х. С)»1у — е)

6к

Найдем у(х, у) из условий Коши - Римана.

Ж азу

— 'г~-в)п'хл о)г(У«-а)=»У(х,У)=-)Мх.сЬ(У-а)2!У=-в«пх з)!~У-и)+С(х)

! х,'ЗЕ чд; «уу: ««1

4«ау,Ж

— =- — ~ — =сазу з««(у — а)= (-загх за(у — з«аС(х1)„=+сазу.зл1й. 1.Ст«1, . Стх,'-.С.~ С'х,' —.С.

=» у(х,у)= — в!йх в)г(у — а!+«;

ее +е и еу а+е' уаа еи — е"и еу а-е"у+а

1(х у)=и(х,у)+«у(х,у)=созх сс(у — а) — «з!Ох зо(у — а)+1С= — — ° — — 1 — аС1=.

2 ' 2 21 2

1 ( и~(у-а) и-(у-а) -и+(у-а) -и-(у-а) и (у-а) и-(у-а) .и+(у-а) -и-(у-аД . ! ( и-(у-а) -и ~(у-а)»

е +е

~!хч(у-а)! -~(х*«(у-а)) 4(хай!-и) у!х «у1-~а)

«е

а С1 =. — — - — — а С« = агз!«х — ~а) - С«

Дх) = сое(2 — е) + С«

хе=2 - является особой точкой. Разложим ((2) на простейшие дроби:

2 — 32+ 5 4 В С 4(2-2) + В(2 — 2)(2+ !)+ С(2 «1)

)г 2 ., ! (2 2) ( г (2 а !)(2 — 2)г

1и4+В =» В=О » ((2)= — +

г. ! 1

2 + 1 (2 2)

2=2: 4-ба5=3С

1+3+54а4 =» 4=1; С

Оа

с

1 1 1 1 с У вЂ” 2

а)

. (2-2)"

=',! (-!)

а=о

— — — (,---к~-) ~—

2+1 (2-2)+3 .( 2 — 2) 3~ «, 3

1+ .~ ос

- ряд сходится при ! — <1 =» !2 — 2~ < 3.

~х — 2

) 3

(2 — 2)

((2) = — + ~~! (- !) — ' — - ряд сходится при О < )2 - 2~ < 3. Б главной части ряда Лорана - сла!аемое

(2 2)2 3 о+!

Задача 2, «г(х, у) -- сов х сп(у — а) . Функция а(х,у) должна бе«ть !армонической, т. е. — е — = О . Проверим зто.

д««д««

(аг ~„г

Распознанный текст из изображения:

б) — = — = = — 2 (-1!"( — =~(-1!" 201 (г — 2)03,,3' 3 1 г — 2 (,г — 2 ! !0+! Р— 2)~1+ — — -~ )!=О

) !=О

г-2

3 - ряд сходится при — < 1 =~ ~~ — 2~ > 3 .

у-2 1(г)=т, +2'(-1)" = —,. — — —,+2'(-1)" ' = — —, 02'(-1)" '

(2-2)' „.; (г-2)" (2-2)' г 2 (2-2)' „=, (г-2)' г 2 (2-2)' 3 (2-2)'

- ряд сходится при ~2 — 2~ > 3. Задача В. )(г) - — С (г) = 1)2. СОЗ Х

Особыеточжи Г~г): 2 =О;г=-1.

2'2(г+ 1) Внутри контура С ле3хит Одна особав точха: 2 = О - пол!Ос второ О порядка. !ив 3(г)= йт .г = (1т( — ) = (!т

совг, . ('сова'3 . — в!пг(2+1! — совг — в!пб — сове г=о 2-3 22(г 0 1! 2-30 2.3 1 2-~0 (г 3 1)2 1 ) 3(г)3(г 2к32 твг(г) = 2т' гав ((г) =2т(-11- -2т.

2'„, г=О бадана б. ), ох. 3(г) =,; р(г) = —,; 3(г) =)(ер(г)

ХСОЗХ УСОЗЕ Уе

Х вЂ” 2Х+ 1О У вЂ” 22'+ 1О г — 22'+ 1О 30(г)с)г -2и2 ' тв р(г), где г - полюса, пех3вщие в верхней попуппоскости.

' - !тростой Вол)ос тк х(2)= кт (х(к)(г — ! — 31))= ит (2-1-3!)=

6 . 26'* !1+3!)0( ') (13 3!)6 (3 — !)Ф (те!3!6301) к=!+31 л — й 1+3! г-31~31(к — ! — 33)(2 — ! 3 31) г — ! +3! ! + 3!' — 1+ 3! 6! . 6

гт)+3)

'1 13 с6$ ! + $Ь 1) + !13$!и ! — со$1) — — 3(~ 3 ) 3 бб) 6$'

~3соз1+ з!л 1) + ф з)л1 — сов 1) ф соз1+ з(л 1) -(3З!п1 — соз 1) Р(2)бх =2л1~!азl=(г) =2ю айвз 1=(г) =2Ы

= Д'

г =1+31 68' 3е3 13(х)0(г= 13(г)бг =((в 1Ъ(г)0(г =)(е г 3(3сов1+ в!и!!-(30!п1- сов!! -(30!01-сов 1) о201 30 01 =т =!Г

Зе 3е3 Задачаб. 2г -5г +5г — 1=О; 2<ф<3 1=(г)=2г -52 +5г — 1 а) Найдем количество нулек функции 1-'12) в области ф < 2 .

~~(2) = -5г~; у!~2) =2г~ +52' — 1; 1=12) = ~~~2)+ Р!(г) 3(акант)3Ре(г)=2! )г!(21-('-бг~~ б(г( -б 21=69 (В(г»-~(222л0~т3бг-1~<)22 ~+)бг(+)1(=2 23+в 2+1 Уб В'4>Ы2)~. ~1 1 ру фу ц Ч4 ~Ф УтП яра! 1=2од в спо ну й К,. Для функции ~~12) = -5г~ К!=4, значит к дпя 1=~и~ число нулей внутри контура ф=2 К!=4. б) Найдем количество нулей функции Ц2) в областк ф<З. !212) = 2г~; Р2(г) = -52'~ + 5Х вЂ” 1; 1=12) = 12 (г) + Р2 (г) "а конттра (г(=3! )~2(г! =(22 ~ =2)г( =2'3 =~~; )е2(21=(-32 +32 )-)бг )+)321+!11=3 3 ~~2Ф~ >~Р2®~ 11О теореме1 У133е фунхции Ч4 к 1 ~4 име)от внутри контура 14=З одина~©овое '!испо нупеи К$ Дпя функции 12® = 22' К2=5! ®начкт к дпв "У4 число нулек вну1рк )контура ф=з К2=5. В кольце 2 < ~2~ «3 количество нулей функции 1=~~~ равно К=К2-К~=5-4=1.

Распознанный текст из изображения:

Х

Задача 7. Найти синус-преобразоваиие Фурье ф~уикции 1(х) =

(1 х)

гк(а) = — ) г(х) в(падок = чдх2 гев(г(д)е' *), где д„- особые точки, пежещие в веохкей поптппоскости

г ~д

Е'

)'(г) =

особые точки: г =+!; в верхней полуплоскости ле3кит точка г = ! - пол)ос третьего порядка.

1(; ( у 3а3 1) 1( пд ( у3 3~3 ) ва( 3у (у.г!) — у .фч г)~ 2ф4. ()~ д34(у+()~11

+ 3)

д,г~ ~ ( .)3 ( .)4)) ~2~ ~ ( .)3 ( .)4! .) 6 )8

е'" г3 . ук3 3)г3 2ф+() — г 4 . е"' ~3 . 31~3 .2~(-2~3 е ' (3 га .2(3 — 2)а

= !! — -а !а +)а + 3) (!'" -а, +2)а 4 +3(, = — -а, -ба 4 +3/

(д + () (д 4/) (д + г) (д + г) д ' (д 4 !) (д 4 () (д+ () (2!) (2/) (2()

е а( а ба1 е аа(3 — а)

2 ( 8 !6) 16

~,(а) = — ) Г(х)в(п тх = Л ~'ге~((д)е' ) = Гд геф(д)е'"*) =.3х

2 е а(3 — а)

У=! )6

О

и

03. г <2; О < айаг <вЂ

Задача 8. (4 =(3+))г -);

г. ~ ~ г ~ ~г ~ ~ г

4 2

б) вг =(1+))(4г3, '~и(г = ')+) в1 = Я+1~в!~=Д~в1~; ~ игг~<Л 4=43/2;

)8 33(

— < ЗГяигг <

4

)т 7( )8 т(

а)с)вг = ащ()+!)+ а)'Яи~1 = 8)с~д3+ а)д(А! = — + а)с)иг! ~ — + О < а)цвг < — +—

4 4

в) вз =юг -1 ЩФИ7 В'ОЧКУ Уд 8.'

-1

) — к ) „°,„, „, (

д ! д (2 ~ 3)3 д г2 (,)3 д,2 (,)3 (,)6 (2 ( .)3 (,)4