ДЗ: Типовик В. 11 вариант 11
Описание
Характеристики домашнего задания
Список файлов
- Типовик В. 11
- TFKP_1~1.TIF 113,05 Kb
- TFKP_1~2.TIF 138,15 Kb
Распознанный текст из изображения:
7ИПОВОЙ РАСЧЕ7
по мат. ан., 7ФКЛ
Вариант 11.
8 +8 8 — 8 8 +8
сйг=; зЫ—
2 2 2
х -х
2 — ~ГЗ+~ ~ 8 ~ = ~ГЗ+1
Задача 1. юг-злг =,ГЗ+~
— л» О~(Гв;-л)» 1и Гз'-л'лл)влв~ГЗлл)л2ле)»!п2-;л' — -.-2ю» л»-1п2 — л' — -;2ле)
с )Гз+л=ввл1=2; вля~Гвлл)= ~д
Д е
Задача 2. и(х,у) = з)пх с~1ау. Функция и~х,у) должна быть гармонической, т. е. ~ '+ ~ ' = О. Г1роверим это.
®2 ~2
сЪ
— = созх свау
~В~
,~2„
— =-з)пх свау
,2
,п2ц р2ц
д2 ~2
+ — з)пх сйау+а зглх свау = -1+аг з)пх сйау =О
сЪ
— = азглх злау
д~и
= а з)пх свау
Сф'
и(х,у) = з1пх сну)= з)пх слу. Найдем ч(х,у) иэ условий Коши - Римана.
Ж ~Ъ ~Я/
— = — ~ — =созх слу ~ 1~(х,у) = ~созх слубу=созх злу+С(х).
Й~' сф
Ж Й~ ~Ъ
— =~ — = з)пх злу = — (созх злу+С(х))„=+з)пх зйу+С'(х)) ~ С'(х) = О ~ С(х) = С = солзР => и(х,у) = созх аду+С.
ф СЪ ф
/1 8-~х у -у ~х -/х у -у
1(ху) =и(ху)+~~(ху) =з)пх сйу+~созх зйу+С1= . +1 +~С=
21 2 2 2
= — ')(ев-е 'л))е" ле ")+)еелв ф-е "))ллС= — )вв)-в"-в "+е'
ф+(у) -!(хй )~ 1 а -а
)
22 +г+2
3 Дача 3. г(г) = 2 г,=-2- является особой точкой. Разложим Г(г) на простейшие дроби:
2Р
2+ +2 лл В С,вв ( 2)+В(г+2) С 2
— в л)-в '"(е" лв л+е"-в л): лС= — (-2вв "+2в "'")+лС=
— / л~: ~л»
2 = А+ С ==> А = О =:> 1'(г) = — +
2. 1 2
2 (г+ 2)
2=2В;
8 — 2+2=4С =э В=1; С=2;
)
Разложим дробь — в ряд по степеням г+2.
2
л ! л
1 " г+2 " (г+2)п " (г+2)п " л1г+2)' " (л+1)(г+2)п
п»О п»О 2 и= 2 п»1 2 п»О
2 г ( +2) 2 2 г+2
г+2
Ряд сходится при <1 ~ )г+2 < 2. ( Ряд можно дифференцировать почленно, т. к. степенные ряды сходятся
2
равномерно на любом замкнутом отрезке внутри области сходимости).
2 " (л+1)(г+2)п
Г(г) = + ~ ряд сходится при О <)г+2~ < 2. В главной части ряда Лорана - слагаемое
(г+ 2) 2п+2
первого порядка, значит точка гО=-2- полюс первого порядка, и:з Г(г) = с „= 2.
хО»-2
Второе разложение:
л
л л
х+2
- ряд сходится при < 1 => ~г+ 2~ > 2.
2
г+2
Щвв +~
о ( 1)2п-2
- ряД схоДитсЯ при г+ 2~ > 2 .
п»2 1г+ 2)
Задача 4. Г(г) = С:~ -2=1Д.
(г — 1)(г — 2)2
Внутри контура С лежит одна особая точка: г = 2 - полюс второго порядка.
Особые точки 1(г)
Распознанный текст из изображения:
Р
Р
гвз1(г) = )1п1 (г — 2)2 = )гп1 = )1гп — — 1.
У=2 г-и (г ф 2)2 г-иг\;г — 1хг г~г (г 1)2 1
~Цг)бг = 2лг~~Г газ Г(г) = 2м' гвз Г(г) = 2лг'~- 1) = -22з' . и ги
со
1
оо
Задача 5. ~ сгх. ~Г(г)ог = 22з,'Ггвз~(г), где ги - полюса, лежащие в верхней полуплоскости.
„х -(4гх+5)2
Найдем особые ~очки Г(г):
гз — 14)гче)г = (г -4(г-5)(г зззгзе)=с т гз г =21г,)-ззе =2(г1; гзз =-2)гтт-4 — Б =-2)гзз = з,-е)
21 2,4 - простые полюса. В верхней полуплоскости лежат точки г = 2г ~ 1, г = г .
гее Цг) = Ип) (Г(г)г(г-2! — 1))= Ип)
1
(г — гг' — 1) = 1ип ( 1
гаг)+1 2~2)пв1
.-;(т — з=..еч... )-.-.( -;..- ..
гез 1(г) = 1ип (Г(г)(г — 2) + 1)) = 1ип (г — 2/+ 1) = Игп
1 ( 1
гаг(-1 г-а2(-1
.-, (т —;з —,.тит ) ... (
1 1 — 1 3+4/
ИГ \кт/ з) )и- з в) 4(з — зп — ззз
1 1 1 3-4!
гее Цг) = Игп(Г(г)(г — г))т Игп~
г=( г-+(~
(г — г) = Ип)
т
1 1 1
г-+)' (гг 4)г +~4 61) — 2 61 12/
=~ ~Г(г)бг = 2лг~ газа(г) = 2лг' + — 2а — —. — — ~ = 22г — — + — = 22г = гг
3+4г' 3 — 4! . 1 8г' ') 1 2 — 25+24 — 1 гг
и и 12г' 100 100 12! 100) 12 25 25 12 150 150
ч 6 56 44 Зз 22
а) Найдем количество нулей функции Р(г~ в области ф <1.
56 44 Зз 2г. ~() ~~() ()
нв контгое 121=1: /тз(г)/=/-1т/=1т; 1ез(г1= Бг'чзг' — згз — гг) < Бг)+ 4гз ч/зг'+ 2гг =Бзизз+2=14
~~~(г)! > !р1(г)~. По теореме Руше функции гг(г) и Р(г) имеют внутри контура ф=1 одинаковое число нулей й1.
Для функции Ц ) = -17 ))ч =О, значит и для Н4 чис~о ~ул~й внутри ~~~~ура!4=1 )ч' =О.
б) Найдем количество нулей функции ~(г~ в области ф<2.
ии е ~а.- '= ' ' -' . *. Ачз:
-: -'4: - ж' теззз~зтевеге;4зБКрзп'
1*(*))-) " =~ 1'=
)гг(г)! > ~рг(г)~ . По теореме Руше функции гг(г~ и ~(л) имеют внутри контура ф=2 одинаковое число нулей йг. Дпя
функци~ гг(г) = 52' й2=5, значит и для ~ф число нулей внутри контура ф=2 йг=б. В кольце 1< ф < 2
количество нулей функции 1=(г) равно й=йг-й1=5-О=5.
Задача 7. Найти синус-преобразование Фурье функции г(х) =
1+хг 9+хг
Гз(а) = — )тт(х)з(пахах = /гз~гез((Г(г)в"'), где г„- особыв точки, пехтвЩие в вепхней попгппоскости.
О
г(г) =; особые точки: г =+г, г = ~Зг; в верхней полуплоскости лежат точки г = г, Зг - простые полюса
1+22 9+2~
тз(Г(г)е' )=)(т 1г-(1 =1)т
г=1 г-+г' 1+22 9+гг г+г' (г+г' г+9 2)',8 16
гв гвгаг Згв-3 в-за
тз((Ще'а) ))т (г — 2)) = 1)т
* з * з 1+г' З+г' * з 1гзз) г'чт 5) )-ет)
-а -За -а 1 -2а
и (а) =,)гз (~тз(т(г)ва)ч тз(т(г)в' ф))= Де ( — — = (гз
~ гт)' г=21 ,г' 16 16 16
гг Зл — < агяу <—
4 4
Задача 8. иг = (2-2г')г~+(2-г')) 01 , ')2~ < 3;
а) ии1 = г = )в1) < 27; — < агдв1 < —.
3 Згг 92г
4 4
б) Игг = (2-21М' 11игг = ~2-4'11И)г1~ = '(4+4~иг1~ = 2(4иг1~' агЯигг = агЯ(2 2)+агЯиг1
гг Згг гг Ягг гг
=« )1йгг~ < 2~)2 27 = 54~(2; — — + — < агЯигг < — — + — ~ — < агЯвг < 22г.
4 4 4 4 2
и
),=
Начать зарабатывать