ДЗ: Готовый типовик М2.6 вариант 6

Распознанный текст из изображения:

.'".: "»С»ООу) РАСЧЕТ 1")О МА'~"ЕЧАТИ'-': СКОМУ А~"'.ОЛКЗУ

2 СЕМЕСТР

Фигура симметрична, позтому наЙдем

объвм ВЕРХНЕЙ ~В~ТИ ~, з а ПОТОМ удвОИМ,

В нОВых координатах: О < р < 2л,

юlб < И <л /2 «2.

,О Г

2а 2 2 .3 2/у

~/, = ЩЛхЛуЛм = »х))»с/Н»у'созЮ = »з)д»сома/а' = »х)д з)ли),' — =

0 О 6

6 6

2 1 8 4 ал' '16~

=Р~ 1- — — =2 — = — = 1/'=2Ж, =—

2 3 3 3 3

ЗАДАЧА 5. Вычислить двумя способами: непосредственно и по формуле Грина криволинейный интеграл по

замкнутОму контуру ), пробеГаемому про Гив часОВОЙ стрелки.

)~е"убх+ е"с~у Контур (: у = апх;у = О О < х < л, Направление обхода - против часовой стрелки

1) Иепосредственно. а) дуга АВС: у = з1пх; бу = сов хох; х изменяется от и до О.

О О О О

) Е"УбХ+ Е"ОУ =) Ем З)ПХбХ+ Е" СОЗХдХ =) Е" (З)ОХ+ СОЗХ)ОХ = ) (3)/) Х+ СОЗК~»Ем =Ем(З/ОХ+ СОЗХ~ -) Е"б(ЗаУж+СОЗХ) =

Лес

л л л л

О О О

=З)О+1)-з )О-3)-)е*)созе-иох)хх=хл+е'-е*'Хсозх — зих» )е*Х-иох-созх)мх=з*+3-Ххзс)зе''Х-\-О)з ///з»

О О О

) ем(з)у)х+ созх)с»х у 2) ем(з/лх+ созх) )х = ел +1 — ел — 1= О =Ф ~ем(з/у)х+ созх)с»х = 0 =: ) емудх+ емоу ц

л л лВС

ВАРИАНТ 6. ЗАДАЧА 1.ИсспедОВЯть нЯ схсдимость н8собственный ин,'Ограл и Вычислить ВГО, если Он схОДится. х.з)лхдх= Фщ )хзз1."ох= ьл )хб(-созх)= з)11 — хсозх~ + )созхох = ит~-асозе+с+зпх~ »= //уп(-зсаза+зе1е)

а а О а 3 со 0 а -+ох О а -уохх 0

а+Ф о,» »)»редел не су)цествует, интеГрал расхОдится. ЗАДАЧА 2, Оу~х,» = ~х, »//»'х,» = 3 — 2х

у,=,/х -парабола. 11Рих=1: У1=1' У2=" у= /'х => х=у ~~х <у<3 — 2х у2-3-2х -прямая. Г»рих О у1=О у2=З- у=З вЂ” 2х=)'х=(3 — у)//2 I // 1 3-2м 1 3 (3-у)/2 1,;„ /„ )дх )у»х,у)с»у =~бу ))'»'х,уфх+ )о)у )Г~х,у,»с)х О,/м О О 1 0 ЗАДАЧА 3. ЧО1кно считать, что плотность у =1 (т. к. Масса распределена рав:-:Омерно).

х

О х = О -О х 1 у2 1)»айдем коорДинаты Центра тяием. Ги (хозу1)) .' у -1 Х»»рИХ О; уж+1, ХО =))»/зууМ;уо =)ЧМуМ. Фигура симметричнЯ, уО = О. Найдем хО. 1У 1 2 у '1 х 1 2 ) 3 5

1 М„= Д х» <»хс»у сх (с)у (хох = (с)у . — = — (»1 - у ~~с»у = — (»1 - 2у + у Г»у = - у - — +— Х 1 1з 212 1 ~ 2 4з 2 2 2 2 3 5 1-1

1. =- 1 — — + — +1 — — + — )=— З 5 З 5) 15 1 1у' 1 1

1 о=Ол/хлу- ~лу»ск»лу х)1 у = ф — уз)/у= у ——

4 Р -1' О -1 »и,. ф З/2

»~л:-:-": 15:-:4о: 5 ЩЦАЧА 4.С помо»ць)О Тройного интеграла вычислить Оосьем Гела Ч, первходя к ципи;)дрззх'-хескизз или СФЕРИЧЕСКИМ КООРДИНЯТЯМ.

х С С

х2 + у2 < 322 2+ 2 3 2 -конус, неравенство задает область В~у~ри конуса х +у2+22 <4 2 г

- сфера, Я = 2; нерЯвенство задает Область внутри сферы Найдем л~нии пересечения ~о~уса и сферы: х +у =32 32' =4 — У х =1 2' =+1 х +у =4 — г х +у =32 х +у =32' х +у =3 Перейдем к сферическим координатам:

Распознанный текст из изображения:

")) стсезок «Л: ' =- ~~; су = О; к изме'*'кетсЯ от 0 До тт ~е"удх.у~"ду =-,'О+Π— О

Сл о 3нячит, интец)яп по ВсемУ контуру ) ряяен: с~е"убх + е"Д~ = О+ 0 = С (3

А 2) )-) ф , .)-р, ф~ +Ст У т У У ~~ О ех~. ~-)У 1 х. ех х

х . х ~~~ х ~~ х и

х т)"РДХ+Я(ф = ~ — — — бХСф = ))')8" — Е" фХСф = ~ Отее'Гь.' соепада Вт.

Р~ 3АЦА'-'~А Й .'туьчгислйть ппго;чадь части поеерхности ту, закпкученной 3:-Утри ЦипинДрической поеерхности Ц.

2 2,.2 .. 2 о':х +У +2 = 4; Ц: х +У =2У .=> х +/ — 2у+1 — 1= О =.-> х +(~-1) =1 -ципиндр, И=1, центра ;.НЯЧЯПЯ НЯЙДЕМ ППС' ..;,О1гзгв З ВЕ"ХНЯИ Части ПрИ 2 > О, Я ПОТОМ агдас.4М:

тачке Я, 1, О1.

ц' ц' ба',нг у = Д~0 = )11:, Э-проекции на ппоскость ХО~: Р

,),1' ~ = Х + у + 2 — 4 = 3; Д/.Я~Я= = /2Х, 2~у, 2~~;

Х

«~~. 2У. 221 ~'Х, у,2'~ ~Х, у. г~ ~Х, у,2~ л = — ' ' = — = ' * = ' ' = ' ' -единичняй нормаль. 2+~ 2+„~. 2 ,/4 2 у ~созу~ = —. На ппоскости ХОУ перейдем к попирнмм координатам.

2 Урае~геуние окрУК4ности В .":оппрнь)к координатах:: х + У = 2У =~ т = 2т'айте~ =~ т' = 2а~ту з,=фЬ= ) — """у =0 гууау=2)гун ) глг--)гуу ) 4:-'-~=-~ло(а-гу)т.

о~ у~ о Π— '-у' О ~О- ' О Й- О л 2

л 2, Г

у = — р') ° .-1 — 4 ~л У вЂ” 4 ор = — 4 02са — Ррр = — 81 ' — Р1 = — Р ' — — — О =4 — В' Я = РЯ =Π— 18

О о мчъФТ."-: %Г~:"::ВГ=.: 7'.ф .::: 1) непбсредстВ6нно, Вьтчиспйй потоки через Все Гпадкие КУСКИ поеерхности о; 2) по т8ореме Остроградското 4 ЯУсса. а=х~'+у~ — х х; а..х +у +г =1; х>О, у>О, 220 х +У +2 =1 - сфера, Й=1. 1) Найде~ пото~ непосредстаенно. 2 2 2

.) Х2+ 2+~2 1 0 Д" (2Х 2у 2л) )У2х,2у,2х) 1тх,у,х) 2 — =~г +у +* =~=(г,уг~ -анашнна нормана.

4х +4у +4х х +у +2 В проекции на плоскость ХОУ-область О, перейдем к попярнкм координатам.

т2

2 1 2 Сннтааи поток П,= щйп~о = ц — '-'-Лулу = ) — 1+ г' гтгоа = )гуОг -ту гт гог =

~~ого у) Я 2 Я 2 л л л л 2 1 3 2 1 З 1 2 1 1 1 = )Оу г -гггт г )Он ) г Огг))гггу)» = )гг -') О)г-гт)г -г г' )о ')' г 'О~г-гт)-~г' л л 2 1 = )Π— Д-гт- — ' )г — гт)- — )Π— 'у-г~)т ° — ~ — г )у т — — =~4 к~ — (Π— -Огт)--)=—

-Г о

б) поток через никнее осноеание: ~1. 2 = О и, = (О,О,-1) - единичная нормаль; проекция на плоскость ХОУ- область В ( см. выше). (Я,й1)=0+0-22 =0 = П, = ~~(а,й1)зо.=с

ту1

ау) поток ~Врез бокоВУто стенкУ о2 У 'Сг п2 Р "1 г0) (Яг п2) у 0 — ~ у ~2 Ц( ° 2М~"