ДЗ: Преподавательские ответы 1-го варианта вариант 1

Распознанный текст из изображения:

'.".:,.2' ('"к ."-'А . ";.":", '.О МАТЕ ЫА ЛЧЕЬ'.(СМУ Аг~АПИЭУ

2 СЕМЕС"ГР

ВАРКАКТ 1

,'!Р~.'!АЧА '..~(4сследова-.ь на скодймость'Й бственный йнте~~рал и Вь(числить 8) О,если он скодйтсв.

сО

разложим на лростейизйе Дроби

', х2(х+1)

1 4 В С Лх(х+1)+8(х+1)+Сх

Х2 х 1)' х х2 х+'. х2(х+1)

Рх - Лх+Вх+В+Гх

д Р У~ ~ -г ' †' м Я-6 =-. С

".! „'68~',",~'.к.првДЗл с~'.:::,Вс: вует, 70 интеГРЯЛ сходитсй и РЯВен 14л2.

ЗАДАЧА 2.

У

фх) =1- —;~у(х) = у4-х

4 / /

;4 х 2 ф~ У 1 2~~" У

,'~х ~,"(х,у)ау = ~ бу,. Г;х,уфх — ~ ау ~Р(х,у)(х

и з С 6

О

2

х

2 х>О=»

=2;,— — у ~/4- У =1- — = 241-У

х=241-у

У2 =- 1Г4 — х =~ х = +~4 — у

!В:"'с.'.(,"»,.'. '.", Ь'.,";."~1~э~! 18 6 ~. ~Г, Щ,ВЕТВИ НЯЛРЯЭЛВНЫ ВДОЛЬ ОСИ ОХ ВЛЕВО.

х, —. (У - -- 4,/4; х2 - (4- у",/2 . ЙЯЙдем точкй ле ресечения ларабол: 4к+4='4-2к;

с.'18довятельно К==О; у=-"2 или у=-2.

:-=.: Йдем координать( центра тяжести (хо,уо). В силу симметрии ясно,что У6 = О.

М

~,— у 4 у2

2 2 2 2 2

М = (~ Ф Ф = ( Ф ~ х~ = ~ ~У

16-6 2+ " 4-6У2+16

2 16

-2 >~~,~ — 2

1

2 2

2

=-- — .', ~ 64 — Зф2+4у -у +6У~ — 16у~у= — ) ~46-2ф2+Зу ~у= — 4ф — — + — = — ~96-6.6+ — 32+96-64+-.32/= — ~З вЂ” 2+ — ~ 2=—

1 24УЭ Зуб 1 ( 3 3 32 3 16

32~ ~,

-2

У

-2

Р =32 3 6 =32~ 6

6

,6 2 Р ~ 4 У2 У2 4 1 2/

:4=: „",у~х;.У==-: ~У ( ~х=:;, '. — -- — = — ) ~8-2У2-у2+4~1у= — ) ~12-Зу ~~= — ~12У-у ~ = — (24-8+24-8)= —.32=8

4 4 42 4 -2 4 4

у ' — ф

'':у "6 ' 2 ;"и 6 6 5

а-гсвг координаты Центра тркзсти (215; О).

3~'-~УЧА 4,С помощью трОЙНОГО интеГРЯЛЯ Вычислить Объем 78ла Ч, лерекодй к ЦйлинДрйческйм йли

"ЗВРИЧВСКИМ КОООДИНЯТЯМ.

(х2 у2 22 < О Х2 + у2 22 -КОНУС, НЕРЯВЕНСТВО ЗЯДЯЕТ ОбЛЯСТЬ ВНУТРИ КОНУСЯ

,'2х<х +У2+1 х2+У2 =22-1 -ла болой Ве айна В 7. О О И2 не авенство авто

Ра д, Р (,, ), Р зад бласть

снаружи ларабОЛОиДЯ

. = ЯЙдем линию пересечФФИЯ конуса й лараболоида: 22 = 22-1=Ф 22 -22+1= о =Ф (х-1)2 = О =Ф 2 =1

«и 2-1 %Отчим Уравненйе,,Окружности, Й-'). х + у =1 - такаЯ же ОкЩжность буДВТ й В лроекЦий 78ЛЯ на ХОУ.

~!'8РВЙдем к цилиндрическим кООрдйнятам:.

— --+ —;. ~-- — ~х=,',,,:~п -~пх- — +1п(х+1) = 1! и — — +(и — = Кщ — — +1+:, 1+ — -(п2 =О+1+(п1-,'п2="1- и .

1 И

Распознанный текст из изображения:

1

з1

=222.— =—

~~(,8 4 3) 'О 24 24 12

с

', —,х~у

1 .= Г ~/

(11(у".(ОЗКЦЖВ НЯ ЙЛОЖО' (га Рк[. Х

,:,';,( [,"'1»1"', 2: 2.-(У[' (У1(2,:,В~[Мй С.'ОСО'.[ЯМА: [ЧЗЙОС~ЯДС7ВЯНН40 И Л10 фО~МуЛЯ ГЕРОИНЯ К1~ИВОЛИНЯЙНЬ[Й ИН ГОГ~~ЯП ЛО

.,' "( Г,, '": '3."",У (С((" 1[1)[ (1, ((~Х)бОГЯВ44»ОМУ Л~Р07ИВ ЧЯСОВОИ С738ЛКИ.

бЛЯС7гЬ ('

КОНГУ~ ': лМВС, ®3422)ДР)

([1апрааляния сбхОда: 07 Л к 3 к С [( А.

х ~ ',,2,1у =;„бх

— ~~( — -я — - 'г — - = — (": Х

2 2 2 З2

2 х - . ";:х —,х-1 у г."у=) 2ух +х 1ах+(х+х' О(х = [(4х +4х )ах = ) 8х дх=8 — = — (8 — 1) =—

рк, г ',Р4 г ,2 Р 2 2 г 2 х 8 58

»

)

3 3 3

1 1

(,', 3 и», "' и, '[ -"-',1 "Х, ь2)( — ОХ, Х Е ~~,11

21 т ° ук б» . (х+ у»~бу = [2(х ° (4 — х[2)бх — (х ° 4 — х[кбх = [(2»2 ° 82 — 16х+ 2хк — 18)бх =

1»

/

2 2

4... 4, 4 28 24-28

'':х' †.'.,5х-( '..с'(Ь =-- — х' — 8х'+16х = — — 8+ 16 — —.8+8 4 — 32 = 8 — — ==

3 3 3 3 3

2

"! ''. ~(:!,'('.;:: 1 'к.. ':. ' Х ~ » г~Хг:0» )(е,3,1~

3+3+1 †9 †27 56

.-, ",, '- У' 'х+,х ууууу= ((')+(1нк/Гбу= ~ '.+2у+у )аукс у+у + — 1 =~1+1+ — — 3 — 9 — 9!—

3 3

3 3 '13

тр 55 4 58 4

У к[;С('0[;"[ г(0 [2СЕЫУ ХОН(7УД [( 3ЯВЯН: (~2~х + У У~х+(х+ У~ бУ = — — — — — = ——

3 3 3 3

(г[дЯ ду~[ (' 2 2' у а . М

[ у.'(Я. 1([ бх ( '~."у=- ( — — — с[хс[у, 0=2(х +у ~,Я=(х+у)1; — =2х+2у,— =4у

24~ дх ду,(- ( ) дх

ду

!.. 0

2 и — х 2

4 — х

2

Х)» ,'~.у,"»у= Ь(2 ку-»~~яку,'б [ (2 -2У(6»=[482»у-ук) =[л(2»(4-Х(-(4-~(2-22» )У~=((8»-2»2-16 8 -»2-»2)Ь=

1 х 1 х 1 1

2 2 з

= '[ — 4х у'5х — '5~х» -4(~х — 4х+4~х»х — 4)[х — 2~ с(х=—

2, .,.'т гг 2 '(. у (2 (х-2) у -Й 4

1 1

1

,.:; ''~,; 1»",»и,"1( ';: . 4,1, -'.(У'.:,"(1У. (".(» П.' (С(:8ЫД[а '-'ЯСТИ ПОВЯ13ХНОС7И сг, ЗЯКЛ[ОЧВННУ(0 ВНУ7РИ ЦИЛИНД1[ОИЧЯСЮЙ ЙОВВРХНОС7И Ц.

;: .:: 'Хк х +у =1 - ЦИЛИНДР, [(= (

: У=» — «У=О 6»кбт=[У,-»1) и= ° ' ' (4441(=

(-у;,1( 1

у+х+1 1+х +у

2 .2

пдккц1»1у нв ппогкость ХОУ, п - единичная норивпь. Нв плоскости ХОУ пврвйдви к попярнь1и

(г,, ([ ОХ'-7

ба =

2) О-~,~ а (.у

400 [8„у(„у [Я (га»[я(

1

2л 1 2л 1 2л 3

к "б, "1 — "'":"У ""т('.+ »,У'бхбУ = [ бк[ У1 7ш~ = [бб[Д 2 — б(1 ° ') = — [44(1 ° 2)2 = — '4( ' 22 -1) = — Р~гк — 1)

О О О О О

Распознанный текст из изображения:

:".;.;«,'",.': .» .7~[...~У - сЬласть З

' »!::«1"'.и ',с' Ок векгорнОГО Йопя а ч8рез замкнутую ЙоверхнОсть О ДВумЯ сйосОбами".

[) 8Й»осредственно, Вычисляя ЙОтОки ч8рез Все Гладкие куски ЙОВерхнОстй П;

,«. [ Йо "'ВО[ООме ОстРОГРадского-[[ аусса.

в=х2[~у» — гх; .»: 2к=.4 — х -у;х>Оу~02>О

2 2.

х2 у2.=4-22 - Йараболоид Вра" Щения, Вериина В точке (О,О,2), ВытЯну7 Вниз Вдоль Оси Оу

Йру '".-'Г~ [.ОГ:~-:.Вем окружность х +у =4, Я=2.

х

"1 ' 1«',[аи,",»3 у[ ",О»ло[4 неЙссредственко.

! 1) [1О[ ОК ЧВРВЗ ВЫГ»УКГ1У[О Час7Ь. о: Г = 22-4+ х + у = О д«аб«. = (2Х2у2)

.-[2Х,2у,2) (х,у,1)

— т, к. нормаль Вне[Оняя, 7О ю = +

(х, у,1)

,,„'4х' +Ху'+4 1/х +у +1

2, . 2 х2+у2+1

3 проа4[...и [[а; —.г::Оскость ХОУ - четверть круга В=2, Йерейдем к Йолярным координатам.

3 2 2 2

~о,л х +у — 2 1+х +у 3 2 4 — х

:"",' у,:- — ==.. =х +У -2=2 =х +У -2=

1 2

'ть».»- ЦИЯ

ХОУ

»»-»'+»' ~""'"»~,[»»»»»» '

3 2 4'х у 3, 3 2 4-«

2

х +у'- — — =,- ~л$ (Р+«8[[у ф—

.»» 2

и л

2 2'

2

ф1;~ оо~ ф-.«8[,;~- «=~<ф~ «ооо ф+«3[п-ф-2«+ — «=) — оо~-ф+ — 8[овф-«2+ — =~~ — оок ф+43[й ф-4+2

о» х .;-;.";~-~2~ »[ —:х:.»2~»ф — 2(~,, = — 11 — ~~~" ф'ф3[бф+ ~[» — — 2 — =" — Ф«[ф- — "„+Я вЂ” — О '-л= — '["".'---' +л — х=—

л 4-«

2

л

4 «2

:4 [В»-."м. [Б [. у»»"'.жи»~~) хческих коорд»йнатах: Й = Щ2хбхбуб2 = ~бср~«б« ~2«оо84хй = "бф~кб«2«оооф2~

о

о о о о о

л л

=.ОЬ,"«2.'.о ~ б~=.,с~о~бО~~ ~4- Ъ=зм~,)~4 -«р=1. 4 — — — =4-- — =З2 — =—

4-«[ 2«2~, . 2 «2 4и. ««8 32 5 3 ~4

~о о ~ о ~ 3 5 3 5 15 15

о о

4 .2

»,урав!1[ен[48 [Йараболоида В ЦилинДрических коОРДинатах: 22=4-Г =~2= )

2

;.".ДДА1',А 8.:.-,6,4тй .4йркуляцйго Векторного Йоля а Йо контуру [Г Двумя сйособамй: 1) нейосредственно, ВьгчислЯЯ

.'»[»['"'[Вйнь[[«[ [«[[.»78«РВГ[ ВектОРнОГО ЙолЯ ЙО контУРУ Г; 2) ЙО Теореме Стокса.

- = Ф вЂ” х[+ Х2х« Г: х +2 =4-у, х=О, у=О, х=О (1октант))

2 2

х '+ х = 4 — у -,".'ВрабОПОИД Вращения, ВЫТЯНУ7 ВДОЛЬ ОСИ ОУ В ОТРИЦВТЕЛЬНУ[О СТОРОНУ,

верайна В точке (О,4,О).

В плоскости,кОу Йри У=О Йолучится окружность,Я=2: х2+ 22 = 4 (дуга СА)

В Йлоскоаги ХОУ Йри г="О Йолучится Йарабола: х2 = 4 — у (дуга АВ)

.3 плоскОстй У02. 'Йрй х=О ЙОлучй7ся Йарабола: 2 = 4- у (ДУГВ ВС)

~!) [к;"-;84 «-81383::-;[«»ж[»: — Основание: 1: 2 = О о1 = ф,о,+ единичная нормаль; Йроекцйя на Йлоскость )~ОУ-

- область О ( см. Вьи.[6)

.6 [Зо'ск 8[38 б ко- У[О сте[' ку ' У О Й (О "~ О) ~ 2)= — у = О 2 = О(о,я2~ь =О

и2

0 [[о"Ок'['-Рез 364нго[О -Генку: ~3:х=О ~УЗ =ИО,О)' ~о «[3)=-х =О=~«[3 = О(айза =О

~з

«.-.Вк. Об[[[»[х Г:О-:Ок через Вс[О замкнутуа Йоверхность а Равен Л = — +с+ О+ с = — СОВЙВЛО1

15 15

2) 11-1ай,,-,е»1«. Г»сток ЙО теореме Остроградского-~ аусса. Й =Щбйабхбубх бра = 2х+1-1=2х - интеграл

[«