Лекции: Курс лекций по аналит. механике Г.Б. Ургапова, В.Н. Егоров

Распознанный текст из изображения:

и о)~ ) р,) аии)

. УРГАН(ЗВЛ В,Н. ЕГОРОВ

(С("О() .

ЫО(СКВЛ 0007

КОНПОДЬНЫЙДИ( П)Ь

СРОКОВ НО)НР( ! (

К(В(ГЛ ДОДЖНЛ ЬЫ (Ь

НО )Н!'Л ЩЦ й ИЬ ! К ЯК!)

УКАЗА! Н(Д'О ('Р(ЬКЛ

)

ФР, (ГРАДЫ(О(- ЛГЮП С ! ВО ПО ОЫ ЛЗОВЛНИК)

ГГК УДЛРСТВГЗН КОЕ ОБРАЗОВАН ЛЫК)Е УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСГНГ!'О (П'ОФ! ССИОНАЛЬНОГО ОЬРЛЗОВЛНИЯ

иМ(К:КОВСК((Й ! 'ОСУДАРСТВБН! )ЫЙ ИНСТИТУТ

РАДИОГЕХНИКИ. ЭЛЕКТРОНИКИ И АВГОЫАТ'ИКИ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВБРСЗ П СТ)п

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ

МЕХАНИКЕ

УЧЕБНО> (ТОСОБИЕ

(перерзвотапное и аоаопненное)

Распознанный текст из изображения:

ББК 22.21

Е30

УДК 531.011

Рецензегпы: к ьн. ЛМ.11егров.

кл.и. 83.С. Иванов

1' 30 Уй~опоив Г.Б, Еторов В.11 Курс лекций по анюззпги чесьой механике: Учебяое пгюобпе 1 1'осуларствепное образователыюе учреждение высшего профессионального образования аМосковокий государственный институт радиотехники. зтектроники н автоматики !технический универсигет1» — М.,2007. — 72 с

Дюгы основные попяпг» алаппической ме .аники. Рассмотрены уравнения движения механических систем на попоне варнационных ггриншпгов Учебное пособие предназначено для студентов сцщ нальностей 210 ! 05. 210! 04, 230! 01. а глюке 220201.

Табл. пет. Ил. 71. Биолиагрл 9 нюв.

Г1счатвется по решению редакционно-нздательочюго совета

Юиверситсгк

18Вг! 978-5-7339-Об!8-8

Ел Г.Б Ургвпова,

В.Н. Егории.2007

ВЗБЛЕСНИ Е

К .с лекций по агзюги~ззческой механике ках раздела теоур

ркглческой механики, в котором равновссзы н движение механических систем определяется пттем црнмеиення днфференпиазгьных и интегральных вар~иагшоннььз принципов механики и орнснзпрован на цо.Литовку специалистов рз.игозлектргзтгногс прпфиля.

В курс лекций включены основные понятой анадитнческозз механики свободные и несвободные мсханнческлс системы. обобщенные координгпы и силь!, возможпыс перемещения н внр.гуальпая работа. !1рпводены услпвия равновесия зю: аннческих сисюм и условия устойчивое~и состояний равновесия„ длфференциальпью уравнения малых колебаний механических систем. И ~ дифферепциальиьж прннципон механики рассмотрены прннцоп возмояаыь перемеглений н оощсе уравнение динамики. из инго~рюгьныь . принцип стационарного дейс|аня Гвмильзона. Выведены и проанализированы уравнения Лагранжа "- рода и канонические уравнении Гамильтона. Разобраны инюгрвлы движения механических систем, нюночая обобш;нный интеграл знергг~и и циклические инюгралы. 1!аны преобразования Лежандра и меточ Якоби-Гамильтона.

С целью лучшего восприятия студентаьзн материала в курсе лекцнуз презусмотрег<ы поясняющие прилюры.

Даняос учебное пособие предназначено для сттлспгов специальностей 101!Бь 2!0104. 230101 а глюке полезяо для сгулснтов. нзз щшщнь теоретическую механиху ! .

Распознанный текст из изображения:

а) Материальная точка.

б) Совокупность материальных точек

в) Сггстема магсриазьных точек [матери

альпах система)

р', - внчтренние сивы.

Рп — внешние сильк

"ггз'...)

г) Твердое юао (абсошотно.пюрдое гепгг)

Пргеиер.

Опоры зеркала антенны в ошнческих системах

пгг

)с = сонет

Кривошипно-ползунный мехашгзм

2. Свити в ик клаееификапва

ОС НОВИ)з)Е ПОНЯТИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

1. Механические системы

Спязязш называются «ранпчптельнгге услстгш, «оторып поочпняггчвся обобигеплып ноо)ганпати п ю производные

Геоггепг)гггчеыая связь — все, гто оеропнпмоепг гсречегаепне пште)шазпной пгогна Гме.птпчесепй сггсггггзны) и пространстве,

Реакшш связи направлена в сгоронч противопогюжнзю гой.

куд» связь не дпез' псремеШаться телу.

Пример.

) ) Гладкая поверхность )тренггя нет).

й) Нить.

3) Н)арггиргго-ггсггодвггжная опора гпилиидрнческнй шарнир).

л,

й

77 = й,г' г 1)г)'.

р, з

4) Г ф«рггчсглии шарнир.

й - й г з й, 7 г й,й,

г

5) Шарнггргго-пггдвияогая

я я

опора.

)гг = йз/.

6) Заделка. ьг

У) Невесомый стержень

йя = — йгг

а) Своооднпя материальная точка,

б) Несвободная матерпалыпш ючкв.

в) Свободная механическая система

г) Несвободная механическая система

чт

гз ппп С'гппггейг «г

)ггг

Мвтеривльиая система «остыл из гт то*гск. Коордикапг е-и тггчки .тг, Гг

(и =),2 .,гг).

Есггн на материальную системз оудсг

р

иалогкенс одна связь, 'со в общем случае

Распознанный текст из изображения:

/Тргьиер.

Нпи

г(т г/у гЕ-

х — еу — и =О

гй иу '//

,Рзз ри зыы«мия связь

/й эээе/евсин«ээээээ«я э ыэ эь

отсэода

(2.2)

аналзггически уранненне связи можно записать в анде

,)(.',, =,.-, „=2"-дбрУ,,=:р-. я-.'„--„,~)-О, (2Д)

где Х(,, УР.-( - проекции скорости /г-й точки (/г = 1,2,..л) на

оси декартовой систамы координат. э — время.

1) Улсрэкиааюоам связь,' —. О.

21 Неулсранввюлш» связь / <О.

! )срвс гяжнмый стержень (2держиваэо.

Шая авязь).

взш

/-(з,— ):.(Р,-/ 'б.(ы-г~-/-=О,

Нерве э вжимая ни гь (нсудерживаюлвы связь).

О

(Хз-Х/)2 а(.)е)-2)) +(г -г!) -"

или ° Лси

ээээ

=( 2 —,)-' ('. —,)" (-"-=,)'-- -'-«

/-/ — /:э

2) Нестлционарная (реономная) связь

/(х)- Р! х! х2.) 2 я2 - х(:.У):х) --.тээ -'и яээ /) й()

Уравнегиа'. связи содержит явно время г

Пусть дюлж атержня меияотся ла закю/у. например. / = /а + и/ .

Уравнение удерживаюэцей связи а этом случае солержит явно время

/и имеез влд.

/ =(з., — х)) з (уз — у ) -ь(лз — л)) — (/)-элг) =О.

)) Кннемагическгэя свяэь — связы )равнение катарий инее~

вид (2 2). г.е. яани вяолят координаты и скоросэи точек

Гесэметрггческая (э олономная) связь авязь. Уравнение кото-

рой не садеряоэ э л реп вводных о г координат.

/(хи П,=...,...,.„,;,.:., ) =О. ЕЕЗ)

Если путем иитегриронания уравнено» кинемашческой саяе (2.2) можно привести л виду ('.3). не иодержащсзэу лроизвалныз, го связь буден гиланомной (интегрируемой). Если нсльзя— связь будет иеголонозпюй (неннтегриру евой).

Прэгггер, Задано уравнание стационарной свяш.

/(х.у.юх.у.=.)=г(+ Р( э ге — О.

дт/х ~- уг/у е гс х = О

Нрашп еэ рируем цалучоииое днфференшзааьное уравнение;

(Ызь (.жду- (жЕ= -,:

2,2 „2

х

— =()г

т Ч г" Р гз =(,

гдсг', и/' — постоянные инта рирования.

Найденное путем иипжрировация уравнение связи не имеет

лронзводньж оз координат, слеловюелыю, связь яг+ Рясе == = ОвЂ

галонамиаа.

4) Стационарная (скзерономиая) связь - голоиомная связь,

уравнешм которой не содержит явно время /:

/(л/.1/.х) ..т,,.,.:.н,ул.гл)=О.

Ыаэлер/эгэ эьээээя сислэеиа, шг яолкэрпо ниэиягеюя,«головные

лиэи. яяэьэа эеэээся ггээ н,инэ и и ээзээээерээ ьэьэээлэ скслгюлэ тоэля оы

с «иной нс. о льюин«л сьязы« — гмс«л нэьзгнээл.

Уравнения связей голономиы . млтериаиьныь систем;

/'.('. ').г...... ' .г,/)КО (/=ЕЗ...Л)), (24)

где й число связей.

В лгюыыйшам нами будут попользоваться гээзьки эоэюном-

иые свкэн.

Распознанный текст из изображения:

3. Обобщенные координаты

с«б б ле ыс ксаРаиншпы б!. с«з... О, нсзаалслагые лаР.»- е

»лелнры набанр »черн спал ас»н начло ялрс

с кк '«дкшлаиплс на юле» ллм (халлг«лишрлсл«ллнл« .иеманичеекай скошены и лр лснлра» »силл и.

Гн

соеюнг нз и мащриачьньж тачек. При отсутствии связей число обобщенных координю».—.3л, так щк кюкдая толка имееттрн независимыекоардинагыс.т,г .= (й —.(Р..,,, ).

Пусть на систему »»аль»жень» Ь голономных связей. Тогда число независимых координат, определяющих полоскание системы из п материачьных тачек в пространспм бу«ыг:

з=уа-й, (3,1! и ано равно числу степеней свободы систеклы при наличии талька галаномиы: снязей.

В ка юстас обобщенных координат молсна на!биран ь нс »олькао декартовы координаты ючек сиатемы. па саюке углы поворота. а в злектрамехвнических системах — лаже заряди на коиделлсшорах и т.,чл вот почему эти координаты называются обобщенными. Выбор обобщеннык координат стараются обычно производить так„чз абы решенне задачи ныло наиболее простым.

На плоскости лля апре;шлеппя числа степеней свободы исппльзуется выражение

Числом слепеней свободы (и! системы называется число пезчаисимой вариаций каарлинат. определяющий наложение системы.

Для неголанамных сиатсм и* = Я вЂ” м, !де и — число пслолонпмныз связей.

Для » олонанных снсым и = ».

Прлмсер. Для свободного тела з, у, -. В,, гд.

 — коарлпналы. характеризующие положе»псе

системы.

1'алонамная система Для несвободно»о,'

села = — О, щ-Л щ= б — голоноцные сщзи. Тогла число незанпснмых параметров, характернзулашси палож пне системы, т е члкщ абобщснньж координат, будет В-.. б — 3 =3. т.е с«л — — с. Лз = г. »В='Р:- Нсзависпмых вариаций координат таксе три: А«иск«з,б«ь Числ»» степеней свободы будет: »г =3 — по числу независииык вариаций координат. Значит, и = з» = 3.

2, Нсгатанамная система. Пусть есть лолюлнилкльиая вогана«х сб

номная связь: хля(»»=О. та есть си —.О или лнх сх«г=б.

кй ' с««

Па так как «!обста»»тель»сале перемшцения бх л«« — есть адно нз вазма:кных, та д» л- зн(1' = О илн сй«! л- н»Д«з .=. О. Значит из 3-х ваРиаций кааРЛинат дл«,. А«з, Д«з независимывн бУдУт сплшко две. Сллславвлсльсло, и = 2, . = 3. В агом случае и л с, В общем случж и =.» — нл. где ж — числа негшланоьнп.лх святей.

4. Действптельные и виртуальные (вгыиожные!

иеремсщеннв голаномпых систем.

««Чу; .««~1

л(л

.. -4-" '

г' радиус-векюр тачки М.

«)»т»»с «)=О (4.!!

Зга урпвненсле паверхнос»и (связи!, па которой движется та лка бб

!1ри ! фиксированном:

Распознанный текст из изображения:

11

(4 6)

! х'= т д)з

О

г = го ! бу.,

='= =,! тбх,

(4 2)

~Р~'~ . [ д,') . ~ гттг1

Вврилции и дифференциал

(4.6)

.т--у(т)

у

Ы

О г(р- г)д~фрх Вдкп

! (!) — х! ь)! -ьхб.

Зададим ж так, чтобы не нарушить связь (41). то есть

Р '(! ) = !б (г) -ь В,

илн

г„!е

гУ =-гб! то!у+бт) (4. 6)

Подставим (4.2) в (4 1) и разло кич в ряд Тейлора по степеням дх. грп д'

1( дя .; Пан,-Г Х)=У(ь г, -„!) ! — ") Х 1'! ( д ~"~ ) . ~'.',) (~"-~ =о

сот асио (4 1), /(х. „дохе !)=О. тогда из(4А) имеем:

У(х)! гоп!пи д;со й!)= . ) бх+~ . — ~ 4" ) и ) т(т...=о.

б)'.с дх о

1(рснебрегая далее воличинами второго и более высокого порядков малости, получаем.

Условие (4.6) наклалывает ограничения !ш вариапии координат точки, движт им(шя по поверхности сажи (4.1).

ае!вен!и !шл ф~сирсмаллггхг врю~егг!г !, доиускоемгм гвяхыо с то л смыл до п ывоо ае!!виго шградко и л гел~гг

Следоватедьипь проскпии Ш.. ог. дс вектора возможного перечепшнпя ф (4.3) до,пкны удовлетвори ь уравнена!о (45).

Вдртуш!ьг!ое перемещение ду обращает в ноль, со! ласоо (4.6). перв)по варил!гию урланения свахи (4.1) при ус.!овин, чпо яреьщ не варьируется,

"(., ',", ), =( ~! ( Т> бк ~б ~ '- "(!

Еь пи учесть. по („.ш!!)и.=(' );,.~' ) 2.) "-) ( =О

дп! Ь гб! тда)

то уравнение (4.6) можно предо!явить в видо:

()и-од )! д) = б .

Так как вектор (фгапу)с направлен ио порчьдя к поверхности,

то вектора М леягат в пггоскости, касателш!ой к поверхности.

'(дгпф)„,

ггу

"' хЪ4

.((к)! б ~!

О

Распознанный текст из изображения:

13

Виртуальное (возможное) перемещение системы — зто возможлыс перемещения Б), тз, .... с) «отдеаьных ее точен нрн фиксированном времени с „прн »ашрам справедщсвы равенства;

,сфх )„' ~с»)„'

сдс ь — число сашей. 7;(з).У),х),, с«, г«,х«,г) = О.

т)ст«ит сыта Лг ютс есте пс' точка лр лети)нся вт делос««ани сю с с,четсщ связан. )йс«кок с)г' = Гс)с. то ар нстраа- Х«сс вое,тга ст касатсс««ой к пгри»тараи де«хе«имя

а) Стационарная связь.

Р(х, г, с) = О.

) огда

бр(х.усх)н„— -~ — 7) 2т ~ ' — ( !ус-~ ~ ах=О. )4.7)

с .Р)' с дх,сс

Уравнение )4.7) совпадает с уравнением (4.5) прн усзссвссн т'=аст, юг=с(г, ду,.-с)х. то ессь бу .—.с)у. Знашт, при сташюнарных связях депссмпельнае пвремещешсс совпадает с овннм пз вссртуальных)возможных).

б) Нестапппнарнаи связь

) (х, гтх,с) = О.

Уравнение (4.К) ые совладает с уравнением (4.5) при ох = сщ

. 5О)1

о) =с(гч 2с= !х. гак кок ~ „- 1 я О. Зссасат, при нсосалнапарныл

,ос )а

связях действительное перемещонне с)г пе сакоадает с воз»юж-

ным перемещением су .

с

«и ай .:= с)с

Прс»иер.

Уравнение поверхности связи: з с-у =х,

Найти нлртуа.тные перемещения бз, бу, х дня с. М«)2., ',

)=т +г" — -=О,

с)г' В с,'

Вс ду бз

Длв ст Мч с координатами хс — 2, у„— 2. хе=2 лмеем:

— — 4. ~'-7-~ =- Из уравнения )4.5)

4йс«4«й — дй =О нлп Ох = 4(т.чб) ).

Значит, если точка М движется по повар»ностсс/ О, то неза-

висимыми будут толька бх. 25с вариация бс бтдет заннсимой и

опрсделясз си пп формуле гй = 4(йс. 4 сл).

Если точка М лвижезоя олив- у.'-о

временно па саум поверхностям г~

связи 7 — О и 7,— П. то аип мозкет пс

с

~йс»( йо

ремсщаться полька по линии их пересечення. а значит имеет только

сй

о шу независимую вариащтю, например, )ст У

Свобаднаа тачка М пмеес 3 независимые аариапин координат; дх, бйз 42.

5 Внрзуальилн (назмщкнда) Работа

йнртуат«пя работ с — работа тес па

«нрту,тьньс с перенес)вялят гнет«пи. *Н

л

,уд= ) ГМ52. )5.) )

4=)

Учитывая. что

рс = уыс -г Рс)з йнй. сйс =Ой)с ч Отсу+ оусй.

Распознанный текст из изображения:

п "4 = ~ (р.~ 6.6 . В й фу «В я йй ~ )г — -1 (ой) 2 «л Ра змерносль вщтгувльнай работы — (4~ = У(лс = Н . и = Д чя пост« па тел ьнщо движения р

с с)4 = РЬ = РВ сочи — — Ргй . Для врашатс п ного движения д4 = Рс~стгй. так как 61 = бсс)р. чо

64 = Р;г)йдф = исб ®ЬР и,)16Р

14асщсыстяс связи — связи, дл» которы«сумма ллеменгарньж работ реакций на вир)увлып*ге перемещениях сисщмы равна пуща„г.е. ~~с(4 = О иди

л п ~ Я„сфй = О. 1=1 Рурссссер. Ф а)Поверхность с трением. дс Я = дс ь ~'„и, ~В)сл! =Вд)-=~иКи„,)а =ВВ т Г, —. = )Ч сМ)0-с)1 - Р„„,саь!80'В-и О- Р;и,др О, Значсп связь (иовераюссь с трением) неидеальная. 6) Пщдкая )юверхноа гь бст трения.

Рии = О. В = У. ~ ВЯВ! = йдй Я РО В =О. Гнать (гладкая поверхность) — идеальнав. в) Поверхность с трением можно представспь пдев.а най свялью. если паравестп сил) трения р в активные силы

6. Обобщенны» силн

7щ сочли слщьи систюс чвсссс~ обобыяииых яоарисиюя ос~си сиада оп с чп 'л сн юююсис*я сщщиды

11)ссь ~аланы обобщенные каордннасы спстамы матерьлщьных точек: О,с)„... 1 . где *., = Зп -й .

' 'Г 2"'-'.

Декартовы «оордиюпы )очек системы пожни выраипь через обоащенньы координаты.

тд †.тйь!1 с12 ""с1с'1)'

31-Уй(!! !., -1, )) (1=12- )

й = сй( 42'- сть ~

(6.1)

Припер.

4

дычо: .сс. си..ссж 1св — коордиссчты 0 1

то'ык .4 И В ОПРСДСЛЯЮИЭ«КапфПГУР». Ы

шпо системы.

срсбуетс» выразить х„тсо лв, ув чере р,

Механссческав система имеет одну сщпспь свободы и является голономнпй: за обабчиснную коардипатс прини«чаем угол га.

с.с. 4 =и,

Декартовы координвжы точек й и В бул) т выражаться червя

обобщенную каор,цпмтч соопюснениячн.

т, =1,совр. д с — — 1)Мир. ьл ——

:,=О.

2

х с. т)!2 1

лв — 'с

хл .— -1, сащрил)1, — !1 сй1 Р.

2

Уравнения (6.! ) н вс«тарной форме имени вид

гс =Дс(с!с.д)....,с),.с)=х)с'ту)1'-гс)1, (бй)

Ддя станионарпык и неся ацианарныь святей вариации каор-

!инат вычнслясотся па формулам:

с' Вх, ', Дг! 1 Рл),

дй, = д — а уа(, сфй = 2' .-' Б10 д'=й =. д —.— '-Ори

с=) РС!с ' си) счс!! ' с=) сс!с

а вариация ра.лпус-вектора

дг, сч ай Щ!

др = Š— — 1«1 = асуп ' ' 618+ - ДО (631

1 ",ч,,

1=.1 Ос' с'1

К пстнюию обсчбщенньь«сил приводнг преобрюаввние эле-

маитариаи работы актиниых снл

Распознанный текст из изображения:

щ

(Х гудя /1

О= —,

1

!6.4)

сй = У' / г)уз

/с=!

к вырлжепзгю через Обобщенные координаты.

1)О)с |яновна 16 3) а 164) дшг

и з Вр»

и= ~Рйх — и/;

/)=! /=! г'Чг

нли, меняя порядок оуммпровання.

гуй = Е %// Е ря — „

/=! /;"=! г с/г'

Припер. Дано: /1. /з, рз, /1, Р,. Определить оооошеиную силу Д. За обобщенную координату выбираем й = гл. л / — — /1 соягр, 1 1 —— /1ыпр,

Гз х хд — — л)шй/, — Уч, Рх — -й. йартпзцил работы всех сиш й4 = Р)Фв Рз/Рл = Р)ейл — Мл сох гр

Обозначим

и с)г/

й=ХРй —.

/)й/ '

!6.5)

где 0 — обобщенная сиза. Тогда

з

ггг! = 7 О.г))/. (/= !..., ) /=!

16. 61

нлн

стг

/),=КР

И ~ й» От Си

—;йчр

/г-ц лй глг/ г/г гзг/. гй Р//, ~

Пуси, й// е О, а дй =/е/„=.. =Еи й, тогда

(УЛА)!) =1/, ч/1

[6. 7)

откуда

И = Ь) туг/ Ь !.) /я/„Ь .. 4 Ь) Ог/

Каждой обобщенной координате г/, соотвегстяуег своя обобщенная сида Я.

Из соогионюннй !62), !6.5) и Р/ = Р;./г чрс/ч /.1Р слеч— ст. чзс

Тяк как гйл =/1йлп а гтг1 —— велеса/)

(, / ! . йй

шш гз. =-Л., соя//. //=ате1ан — .откуда /Чл — — — '- — др,

!т ОО5/т соз/У

гу4 = Р 1 сутр — Рз! соя гргугр = Р) — Р,/1 сову/ с/г/з

ссзя /'

го 1, 21

С другой стороны дй = Одр, тогда

О = Р1 — Рх/1 создт

сок ф

Т Принцип вОзчошиых перемещении

При равновесии чатернальиой системьг с идешинымзз свяшмп виртуальная раоота всех акзнвных снл равна иущо

ай= К РййТй =й

/г=!

Припер.

Бз

Дано; Р. Р,„О. Определип, обобщеннуго силу )л — в равновссни.

Сумлга всех злечентарных работ акгнвньгл

я снл, действу/ощих ла систему, равна нушо в поюжении равновесия. Онстема зтмее~ одну сте- г, пень снободы и*=1.

Распознанный текст из изображения:

[3

ш

Уд4л =О

»-=[

и»[и

и

аткудз

О=(2Р[ ЕР)з)п[т.

)4= ХОД/ =О,

[

нли

йу

/.) = Е' — Е; — Рз)па [- ' = О.

Г

Статика аесвободиой сметаны

нли

сис[емы.

2 [04[0 =0/Ч вЂ” 2/[з/пасуй — Рмпгл»['=О,

Условии равновесна н обобшеаиьш силах

Из(7.1) с [ югом (6.6) следует, что

О[А/[ ч-...еО[б[/з =О

Если обо/йценные коордпнапл выбраны и~зависимыми. все ураинения галонамных связей )довлетворжот. го перемещения Ь/, будут произвольны Тогда козффнш[енты Я при прон[вольнык величинах бб да[иены быть па отдельности равны нулю.

(/ =О. ([=1...,.[), (7.2)

Тури[[ар.

1) Дано: ()А.—./. Р, Р. Р, Р, с х

дав . (УпРе/»слить Раанавееие пРи Р = О

1Ен

Сиьшма имеет две огепепн свободы

Зя обобшенпыс координаты выберем: е

У[ =х г/з =Р.

Сила упр)тости пружины равна Е»,н =- сй = с)/р т а[ге,),

1

» д4»' = Гоге Ггбй -[ /[ — РЧŠ— Е[гбй — Ра,[,/[10 = О

С учетом [аго, *гго в полижет[и равноваспя 4 =- О. после [-

нее вырвл[ение приме[ впд Е'Оз- ь ( /"х -; — Р— — Е;1 — сйвгн/)ор = О.

[,[ Так каь (7, .: ~Д[ = Е . се — = Дз = Е» ° — /', — — Е[/ — [.: [,„1

/ 2 [04„". =()а/!з О [»/» =0.то Р=О и Р[ЧР,— — Е/ — сю 1=0.

2) Дана: [т ».Р. Ед Р,, Иб Юпредсл[пь условия равновесия. б .=1 - ндпа абобшенная координата Х й4[' = Рбб — /,  — Р ч) и [»/(У ь Лугйд = О,

Ж гак как /м' = Дрг. откуда [7[л = — то

г

М

— ЕЩ - Е /[У вЂ” Рейн иЖ [ — й

б/' -.

( Р / . / я[ам~ )д) О

»'

г

Тоглл

Д[ш несваоадоой мшернальной снсюмы уран[пины движения имеют аид

ш[а[ =Е;, йл /[=1.2.....л. [70)

В положен[ш равновесия любая точка м:периальной сне[с-

ны нмевг скорость рав[йю [0»зю. либо имеет постоянное значе-

ние, не изьмняюшееся за все время движения: Г[ — — О нлп

[Л,

= [шш. следавазельно. и/ —— — — О. Гогла нз(7 !) [юлу шм,

["[ [-Яе - — -О. у =1,2....,и. 17.4)

Условие 17 4) - зтн условие равновесна точек ме»анлческой

Распознанный текст из изображения:

21

9. Обизее уравнемме дииамнии

8. Принцип Далимбера

.г

Если к даижущейся механаческОй системе приложить асс действующие аа нес внспшис и ану1реннне силы и добавить к ьлждой ~очес силы инерции. зо сззстема снл булат уравновешенной, и к ней нажпо применять уравнения статики.

~(Р~, -ь Лй 9 Р;" ) = О

1й 1)

2=1

ГДЕ Р~ = — ЗЗЗЗаг — СИЛЫ ИНЕРЦИИ.

г

При посгупашльном движении твердого тела

Г" — — ша.

к

Г!ри вращательном движении тяерлого тела

тьу." = — уел. Лз'"

Прмиер.

.з .з;

Дано: Рн Р. 1, О Определить уса

кгзрение системы и и силу натяжения Р. Г з.

пити у.

Р: г,

р1 =тзо= и, рз)=заза=- о,

д к

1Р1ил) Л 2 ар ( 2

ХР =Π— Ра — ~, — Гн — Г, +О=О

и' аз

1

6 — (1тз1 З- Р ) ( Сг .~ Рюновссис тела 2

—.1'у:.

щ1 "н2 Р1' 2

Прюшнп возможных перемещений позволяет решать задачи стлпгки 11рннцип Даламбора позволяет использовать методы статики для решения задач динамики. Обнзее уравнение дннамиюз соединяет зги два принципа.

Рассмотрии подвижную механическую систему с идеальнымн саязямн. Согласно принципу Даламбера, добааим к системе силы инерции Ге. ч~озбы урааноассить се; тогла принцип возможнык персмегцензпз будет иметь анд

У аж ч-'у,ее1зь = О 19. И или а обобщенных коорлинатах;

Г"

з зу УД Од2р+ ~ Ул~. = О. 1=1 з=1

аз

П нз нл натой ~а-,гуа.' танаеаз 11рн дапяселннззеепннзепгои сметены с ндгаль- ду / ны.ни гая.зяшн а кижгдый .напели времени Пнтоза злез~е тнсшыз риною нсез акншеньж сю и снл нлгринн ни .надои глзсназкнам зырез~ешенизз снсю азы раааа щою. Уравнение 19,1) а проекциях на оси коорлинат имеет аид Х[~рь",.Рн)бтз -)Р,',.- Гз,.)йй4И,-"йМ,)=О. 19ОП В обобщенных силах общее уравнение динамики 19.11 щппсыаается следующим образом

зг„

~'~а, + О" )йй = О. Так как др, ей. то

Я Суь =О. 11=1,2.....~г). 19О1

Пример.

Дано: 1й О, г„.И,, Определить тткоаое \скорени» аралзснн» барабана г и силу натяжения нити Т Одна обобщенная координата, Я;-1.

Распознанный текст из изображения:

Изкннемюяки (з =хбгр, а =т. У«>А!и «-~г«Д," ,=0 ю.

г

(Уоч — Рчоз — Мт,бс —,гучг)чг= О. Сг др- Ргггтр — г((„тг!р — ((' Бр = О. Р! — Р" — Ин — Ии =.О

г

С ч ° «етом того. что (Рч = — а и 1,!!" ( = !се = (н —, тле

1Р I,! — — — г — мотееит инерции. получим:

(,а

(О' — — ог — И„„— = О, откуда

()и-0! н О -дун и=, г иь= —; 'О !е =Оз

— чр г

с Дня аг'Реэеления Т рассмо«1«ам равиовьсае груз; 7+ Рн -О =О, т =П-Р' =(; — = О(1- — ').

д)

«П йть еП Ьь ВП схд

!

илп

О = —, (г'=1,2, ж),

д!7 00г '

ПОеП

где П=(!(«!.д —. г(,).

Ус!говне равгговесия 17.2) голоноьгной системы а случае лоте н пианиных сил ( ! 02) запишется так

— =О (г'=-!.2...., ).

07!

(10.1)

Р«1,

Отсюда сползет. чю в положении равновесия потенцюшьная энергия гол гном ной системы имеет экстремальное «начинив.

)(гга обобщенныл координат г!г 0,....,«! г

х! =«(, (01, д« ...,0,),

.г,,=р(,(г!! 0«--.«1,)

е(- сА (!!'!2 ' д!«)'

когда обобщенная сила Ц (б 7) с учетом (10.1) оудсг иметь вид

10. Потепннадьныс силы

Потеют«ыьные сгыы нт Ьогшереотгиные саны инне!мы, робо«ил е торам не заносит г т ггувш кер .нси!ения гнг чхи Dригогюенгт сюгм и онреаеяяетгя ягояыга начитаны.и и сонечгъгн лозоясениязш ню «ли

г еобходимым и достаточным условие ч .лого является с«вЂ” П

шествоваянс однозначной фупкиии каордютз (П). частныс прои«водимо которо6 равны:

сП Л1 сП

— . !гз, = — . !г, =-, (1О.!)

««хг ' ор! ' дсг

где 11= п(хг, «1,«пяту«.сз..., «грн.зн).

)ургьиер.

даик ОЛ = 00=и, Ф(г=«7«О=дгуэ =!!яр ° юг =гг'з= тг, г, !гг — начальная длина прчжины Огбыделить обношенную силу Д в положении равновесия. Сисншма имеет одну степень свобольг. Пуль д = (а.

1 гггб«7 тк" (з т«дхь ч

2 Дчя справки: '-)= )!г 77=-Рггг

и.

Распознанный текст из изображения:

или

=О

2(еэаэ,)й+!Ог ю э

0

с !!

Оэз

В общем слу ее 22 = -(Рдбг) = — — Гй" .

а 2

Уэз геомеэээии мелаииэма: кд = — саяр, я 1, =-аспэр

та — йасоьр;,э. =- Д1Дэ — !а щэи 2= каср — !с,

1 О1 Ла

а 3 1

П = — ей-сокр — эке-аоаьр — игзй2асоагр э- — ю(гэсоззэ-! )

ОЛИ

2(л1+еэ)йчгеоарэ с(аеояа-! )

ИТ

2(лг э еэ)011ьйэР.~-ас( эсгыгд — ! )аю!

ср

с

В равновесии Тэ = О. а зиачэы!

— 2(1и ';эщ)йчгз!Ор эаг(асозр — !с)ыпгэ = 0

( — 2(ее ез)дээ э асйсазр-!а))з!п р = О

Йз этого уравнения следует, что а положении равновесия:

1) мир=0

Ю 1И

2) — 2(О1 -1 еэ)йэ э-ас(асов Р-!а ) = О.

Первое э*еловие дает: ээ = О.

Второе условие лает: а сокр — 01 = ., Откуда

2(е + агз)йз1

аг

СОЗР =

(е э" гкэ )д э

Так квк соя гд <1. эа палажеииа раииавесия может сущ«ствовать, только если

2(ггг э еэ )Д к (Π— гс ): .

В этом случае равновесие лаотигается„еелп

2(гл э еэйй э ! с

гд = а1ссоэ

а

-'$::

Твкии образом. ще дааиой схемы механизма существует

лва,иаложеиия равновесия.

! П Устойчивость соетояииа равиоиееия

Ъ

П = — ейт.— - — элй — (1-саяр!.

1О!!

В разновес!из ~ — ! = ея- ып р =- О. Отсюда Оп зэ = 0 Олл

~йэм 2'

Дап стержень. Определигь положеиие равною:- 0

сия и устойчиво -гь этого равиоаееия. Пусть 1! =гр,

эогда

О=О.к.

Таким образом. стержень имеет даа пслажендя равноаесия1 щтжисе (р=0) и вериное (р = т). Какое из иик отлет ус. тойчпвьшй Об этом судят по эпаху второй прпиэводной От потенпиальиай энергии сгэш емы,

!! !

— = аж — СОЗ111.

сэрлДая нилгиего пгэложегээы стержия. р = О и

0"!!

— =ее — ОО.

др

Значит, это полажение равновесия устойчивое. Для ВертнсгО! юложепия шсржия р = и и

0 2х

— = -ед-(О.

г Ээ

Згпэ оэт, это Оолажсние рааповесая иеустойчивое. Положение рашювесия моащт быть безразличным.

Распознанный текст из изображения:

и!ш. с т четам [12. 2)

21=) "~1=)дг!1

Й

ибд,,)

!'=-1 112Д)

СР2

с!! >О >О

',Сй! С„,

11 1 1)

системы пом«в!ствол ливис 'е ло.г!!к тш; кода ири дпститпзио

нити и тсаыши откттеиии гт

лс и егг пючьи сислю и! бг )ггп дои г'

итоги я!!!э я!по е.е они пь гид!я! О

— л, т

ат свое,ю рогтов«сги «и погггкгггеггия У2

Щыее иигирт! идгтио«о расставлял. кокам сии г! гга ли оыго

Тсо гена Лат анжа- и ихве. Ест д.гя гггггыргг*ггьиоп гпст"- им, и п,гдллгеисл и ~отелдииллнои сиювгщ !юге и поди!те!топ идегтьиыз! «олпиомпыг! слил!иппориым татки. пот ли!им!и.ог эисрсия в памолгеиии ривиоеесия си«!леты !и!ест ттппти. вю лпо ног! эе ения раег! м«ыт устяоичиео.

Если иа систему с идеальнымн связями действуют только силы тяжести, го из теоремы Лагранжа-Днриюю следует принцип Торричелли: если цегпр тяжесги системы занимает иаинизягее положение !которое Лвтмтсл изолированным), то это полпжсние булет устойчивым по впжснием равновесия.

югьлой !игр«ии П к исгт!«)гтггггг! полом«лип рооп!паля обпоруамивиеиюя улс ' по тепаи тпороса порядка Риги вгюбщс по э г!- Я щ иоговпыиег пгРггггка) вРгылаггспии фгуиьгпп! л(д,г!г,...,г!и)

3""

вряд дейги)гж и! ! рисков« 'игл«тсвгойчиеп

С !гласно критерию Сильвестра. лля консерваитной снстемьг с лвумя стапеняьщ свободы устойчивость равнов«сня доспи жтся. отш

пгу ар уп! с коэффиниснты 1пбоб щепные ко гффгпиюнгы жесткости).

При выполнении условий (11.! ) потенциальная энергия ситечы в положении равяовссия имеет минимум, те, равновесие устойчивое.

УРАВНЕНИЯ ДВ)БКЕЛ!ИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

12. Квпетнчаекав энергии мвханвческой сгщщмы

п обобщенных координатах

Рассмотрви систему с голоиомиыми. нсютациаиащгыми связями. 1'адиус-векпгр точки 1г:

гй = 1)т),.и ...,дую!) !)с = 1.2...„).

б ооэвегс!веияо скор!юг ь ),-ой то жи

— 1=.-.1, га. [1=йд,...л). 1122)

дг г ар дггб г=1 дд, с!

Кинетическая энергия сисщмы

2

Т= 2, т!г),

-' 1 — -1

с! и д'1дхА. о'1 дгф г)-1 с1

д'= 1' дд. сд 1=1 гг) дд. дд. дд. дд. дд- дд . !г=! ~' 1 !' = ); ! ! !

)и, = о ) — обобгцсиныс коэффициенты инерции.

! л

Я")~~гдд. сэл 1! 1 дд г)! д, д! едд д! '

!

Птпк. кииопгэескаа энергия нсстацнонврноц голпиомнон

Распознанный текст из изображения:

материальной системы

?' = 7' г- 7'г э 72,,

(12.7)

где

э

Тэ = д ~ гг//г)!ф/.

— !=1 /=1

(12 8)

Т! — — У Ь!ф;.

г=!

(12.9)

(! ДО)

Т=7',. (12.11]

Для от щщкэнарно й системы с одной степенью свободы

1

Т = — ад (12 12)

2

Длв сщциоиарпог) системы с двумя степенями свободы

1 . 2 ! .. 1 . 1

Т2 = — иггг/! э — огхтгг/2 э экгэгр2г/г 'г л22Ч2

2 2

1 2

= — апд, +лик!гйэ + — аззз/, . тК а!. — — а,!. (12.13)

2

Пример. ()пределигь кинетическунг энергию сферичесггопг маятники

С'.истома имеет две степени свободы. За обобщенные координаты выберем й! =й и ез = р. Декартовы коордшмгы маятника через обобгцеиные гщординаты буду! иметь вил:

х = Дглдсояр. з' =!х)приор- "= /соз(Г. Найдем из выражения (12И) коэффициенты а„:

Здесь Тэ, Т, и /с — квадратичная, линейная и пулевая формы сообщенных скоростегг.

Дщ сщционаРных свазей г/, =Уй(г!!.г/э....,гу,.). гх следщмдгг

тельно, — = О.

дг

В этом случае

/ дх Рт дг оу дх

.( —, „' '= '-1

сэгд др б(х ди дсг дуг/

— г 1 -!ох 0

э !ыпдсозр /ь!гг/Гооз(г=гх/''(ь!п О!ь!гз (гьсоз (э))=ггг! х(п*0.

Итак, и!, -- т1 . игэ = т/ ь(п д, а„= а„г — — О.

Т= — гл1 // и — т/ щп Оф = — т/ () -~-(л зщ 0)

1 2 !

2 2

1!утсм преобразований мохни получить ддя нест аииоиарной

голоиомиой системы

= ) Ьйг/.З- — 17' Э 27' ) — =.

г1г... дТ

ьй /, гг гй(1-'О П

Дгы стационарной голономной систехгы

— = ЕЦг/1.

дТ

гд

Рассмотрим частные случаи обобщенных щгл. являющихса

одиоролпьгмп линейными фунзкцням и об обпы нных скорое !с й, т.с.

Я = д Ь!/л/.

г'=1

! ! Если Ь,:- у,, где у, = -у „) =- О (г)/'= 1 2,...,х). ю

обоощенные сплы

х

гг= к

г=!

нпываются кснссрвативными (пцюскогпгчесюгкги). Консерватпапыс силы ис вызывают изменения кинетической энергии. г.е. для них — = О. Это значю. что работа коиссрвативпык сил па дейсгг/г

вщсльном цсремсщщши спсгсиы равна н)лю (7 — /о = Д ),

2) Если Ь = — 7/г где /3 — Дг // =О (г г=!э к1 'го

Распознанный текст из изображения:

зс

3!

сообщенные силы

цативные силы можно заппсщь в виде

дФ Вд,

13. Уравнения Ла<3гвмжа нторого рода

Дл< нсстапионарпь<к связей

Гз = «,,(

где

и.»и

ьг дг;,

— д» <

<.Ч» <)<

113.1)

'/ =,~

Д,ж станионарнык связей

»=!

о»/

— д»

< Ч»'

Из !13.1) следует, что

В)'», О» <

<.»1, <)Ч,

Кинетическая энергия сисгеиы

- щ„1/,2 = — ~. т 121:~,

2/<=! 2 й=!

113.2)

<). = — '

-„= — ла ///,Ч/.

»=1

"эти об

бобщентп*»е силы назывюотся дисснпвп<виыми. Лзя

такиз сцл — х О ..

— . кинетическая энергия убывает со временем.

од

Введя фуньцпго диссипании Рз.щя Ф=- уз т Л..дц/., дпсси=1/=1 " ' '

3дссь Т=-![д -д <Гл д! Чт„Ч»~ Нщщсь< час<ныс пРонзводныс кпненщеской энерп<и цо обобщенным каордпнащм и скоростям:

Р7' 1 " —, <«1/, " —,. 61/ ВТ ", гдГΠ— — ~~ с»».2/й — = З»»»~,1*- — = ~ »г» <Р». Ъ/; 2/<=! " Од/ /,=1 /г <з

С учено«< 113.2) получаем

гГ

— 2, т;1/ 11)3)

ВЧ» / =1 Вд/

Нолнса про<гзводная по времени выражения (13.3) равна

Н Вт\ "

—... и~й)-.й -~ —.

ой бд/ ~ й=) /г сэ

и Р»й и В 1 /г,,')

=- 2 щ/<ай — 4 2ь»г»»,7~ — '~ — — ~

Учитывая, что т<а< = /г —,'- Р<.. находим

М йдД = !==-)

Вд/ й 1 сд/

=Я О;

Вд;

Д,'<я идеальных свизсм Д» .= О. тогда из !134) след«ег.

— — — — = Я, (1 = 1,'2„,3) 113.5)

Уран<ения ()3.5) сеть «равнения Лагранлж 2-го родя. Для гоюноцньж ме..аничоскнь систем число «равнений Лщ раджа 2- го ро»ж совпадает с чнслоы степеней свободы системы. В е»»эчае иогс<»циальныз сил /для конссрввтпвнык меьаническиь систем)

А ст ) ст <3//

— 1» -1 ° Н 113 6)

/» ~, <)д,,~ Г/, гб ' '

Если ивести функцию '!агранжа /. = à — /2 /илп иначе кине»ический»щзснциал Е), <о уравнение !13 61 принимает в»щ

Распознанный текст из изображения:

д! ОЛ) сд

— — — =О, (1=!.'.....г). !!3.7)

сд~дд, ) д1,

При полччсиио травления ! !3.7) учтено. что

дп дт

— =-О и „вЂ”.О. (г=1,2......с),

дг), о),

так как потенциальная !перл ля П не лавистп от олбобпглчщыл ско-

ростей и является ллппьфулкцией координат П=П(йпйх .о,).

Промер 1,

Дано: г, 1, Лу(лгасса диска). стержень невосомый. Записать уравнения движения маятиика (уравнения Лагранжа 2-го рода).

Сисщма имеег л1лну степень свободы д = !. ", ! За обобщеоцую координату выбираем уилл лоно- с рота ст.ержия О = р .

и'

Выразил| координаты точки д череэ обобщенную координат) (р;

хя =(1+с)соэд. Тгг =(1 лг)ып)с. Кинетическая .игергия системы

7' =— где 1 — момент гпгерции маятника относительно гочки О, по що реме Шттсйиср:

1о =1г " 'лу(1 ~л") .

1, — момент шырцли диска относительно оси. проходящей чсрет его центр масс

!

1д = - Лй.-'.

Оггреггслим обобгцеооуго силу !тремя с погодами). !. Гя,; — ))д. !) = Лаг; = Л!д дхг дхе ар огг~ = —,ый(1 ь «) я)п сг.

ж! Л)С(1, г)айяда = Оль)йп

огсклда

!7= — 3)й(1+л)л!п р.

дхя,

3.!ось оба == — 'ггц:. -(1 ь г )ьчп !ядр

дй

~РП

3 ))=-л1дх„=л.р)й(1лг)сочр. 0= — =-Луд(

Рр

Уравнение Лагранжа 2-го рода рассматриваомой систслгы

Находим

г)3о ' с(1 (др) 1 а!! счге

Поастаиовка найденных проитводпых и обобщенной силы в уравнение Лагранжа дакг 1р = -Л)д(1 + г)я)о р щлх

Луь(1 ьг) .

г)! 1- я!пр= О.

1е

В случае малых отщ!ппелпич маятпика от положщпщ равиовеспя ып р = р, тогда

гр+ — гр=О

д

где 1! — ! ~ровсдениа» длина ллаятиика

П)гммлгл 2

Дано: лс Р, и. Степень свободы д = ! .

Записать урав1 ы и и с движения,

гяй

г

Уравнение Ваграм;ка второго рода л.~я аь—

шалых и потсицлальпьж си.с

г! (~)Т) ОТ . дП

гд(,г)х ) дх ' дх

Распознанный текст из изображения:

Кинетическая энергия г = -тб .

1

2

Поттщнвльная энерпы П = гг!кэйла.

1 = тх; — = О.

оП . Г советск

— = лгйятьщ Д, = — — =Гсоьгг

дх и'

!

,4ифФсрсгпьи/ьгьное ь равнение.

пай= Р'соьсг — гг/Кыагх.

Кинетическая элер/ ия сис гены.

/'= — /Ки — эр=э = — ~ — ~/2 ~112 — т (К-, „+ !',"ее)„

„,,„= ргг„Т= гн!/ гр Ч вЂ” т (л ьэ щ

б

1!игенциальная мюргия сис ~емьп

1

П = -лг!К вЂ” Оэ — иьйхгр -!. — с(/щ)

Подстановка 1 и Х/ в уравнения (1З.б/ дает

с У- утэ-йр=о,

— тэх" Сгрь-ги/хэтэ — тайх —. т д/те/ гр = О.

Ш А )Г .:'' — 2 *

Припер 3,

ДаНО: т!. тт, Г. 1222 =/ух/ = Защг

/

2

гать уравнения мап,т колебаний.

Система имеет две степени свободы

3

а оооощенпьы координаты выберем:

т

О

~

/ур, рй /ртэ Д движется бсэ трения по на-

г клонной поверхности, К иену приКрсллен мащматический мтпник. М Координата т огсчитывае~с» от точки О. соответствующей равновесию. Звггггсать уравнения Лагранжа Ьйго 9 / г/' /-/г рода яс '

а

Система имеег две сттюии свободы. За обобщенны коор анюты

в выберем: г/, .- х. О, --- о. Кинспгчеекая энергия сне тмы:

1 2 1

2/'=- ьтх а — гл(т ь/ ОГ +22/1эсоя(гр-;а)1. Потснцнти,иая энергия системы;

1 1 П =-А(яхь!по — тйхыпа ' глй/(1 — совр)т . с(хе/,„,) — — г",,

2

и = — (и +юг)йхь/иа -;ггг/г/(! — сокр)+- стэ — хй,„.

бетти геокос удлинение ггружипы 2,.„в поло>кеши равновесгт найдем иэ услови» 11ОД1 при х(О) = О: ОП вЂ” = — (Ы Ь гл)К ып а ь сх т с !э

ох или С, ° )эгь ' ОП1

= -(2/ ь т)К ып и ь с 2 си = О,

.;;%/ е огкуда

1

л,э, =-(э/.!-лг)йыпп. 1!предсчим обобпэенныс силы:

'ь/ = ([1/;- е)дь1п и - (л. -г Л,„„))гут — лгй//ь/п улйи /огда Ц, =(/б гл)дьэпо — (гьл, )= — ст,

/1! = — глк/ ь/1э р

Распознанный текст из изображения:

г!1;; '

и»и

(14.5)

14. Интеграл движении

Уравнение

(14Л)

(14.))

(14. 4)

то !л:1

То« Ла

Попс шновка 1: Дь Оз в уравнения (13.5) даез

~(ф! з-ж)х-; турсоь(и+а) — юуф з(о(гя та) = — сп ) ибт)соя(р з-и) з- ту р — шхурз!и(гд +и) = — ме1ыоге

1аким образом. для механической слстемы с двумя степенями свободы ыожно записать два уравнения Лю ралли« 2-го рода, каждое из которглх является ооыкновенным дифференциальным уравнением второ« о поря»ка с правой частью

1(гу(л)2,--оу«гу).гуэ,....б«у) — П.

нюывается интегралом системы Лифферепшжльных «равнений

— — — = О . (1 = !.2, ,я).

ЛУ дУ. ! дб

(14.2)

ду((г..„,) дрд

изн просто интегралом движеюю (нервны интегралом). если при подстановке вместо ф н е, рспюпий системы (!4.2) фуияшю равна пос«оянной. Констапты С', определяви ся из начальных условий. и«чисяо но преяызпает ун поэтому система лифферсгпшальных уравпеюп! (14.2) имеет нс белое ? «первых юггегралов

Первые интегралы уравнений Лаграюва 2-го роля быва«от двтх видок обобиюнный интеграл знергми и шиошчсскис интегралы.

в) Пбгюлусоиыд ялиюри« н«гумив

Пясть

б =.1(с„ф,у), (1=1,2...«).

Оююла

Л. « ! сб . дб , !, дд

= 4 ~ — 'ф — 2-ф )а '.

,11, (~ Йу, 1 дк 1) дг '

Согласно (!4.2)

сб дб 111 гэу. ! 11 . «1( сд дгу, сэу, ' гд гэгу, ) ' д«у, 111~ г)гу

Теткрь выражение (14А) будет инеи, вид

' ВУ,. сб

,Уу = «У! ~ ду 11" дг

1=1 " 1

Н случае, кюда функпия Лаграгзжв ое завиюгг явно оз вреду

мани Е = 1(«у,.«), ). «о — = О, слсловательно,

дг

,1(' з дб.

«Уу~ . дгу. 1

(1=1 1

После интегрироиания

. 1,.-2=11.

дд

(14.6)

у (д«уу'1

1 ы б — консгюпа ин«егрирования.

Выражение (14.6) незыиается об«бгнсипым инты ридом

энергии (инге«рядом Якоби).

Мозьно показать. что

ф.-д=р.-б з-П

дд .

у=

!ое 1 - О

Р— Уа -ь П = д. (14.В)

Изаь, обобщенный интеграл знсргии сушесгвует, есзш силы погсипиальны, а фзнкшж Лагрзюка Е не зависит явно оз време- ни

Полная зисргия «истомы

Е = У'+12= Ге - Т, +7,', — П.

Лля сю«ероиомиых консервативны., актем, ко«да ! яяио пс

зависит о« врсмеш«,

Распознанный текст из изображения:

)) = Та э- П = Т ь П = Е. П4 91 г.е обобщенный интеграл энергии совпадает с полной энергией сис) омы и называетсв обычным и)о«градом.

Консервативная система — сношка материальны . точат обладающая обычным тпегрвлом энергои.

Притер, Тело п~ремешается но стержшо без трения. Дано: т. ю = согн), . Ншпи обобщенный игпэ.грал энергии. Гтвпень свсбоды у=1. Обобщенная кнор тна ш †.с, Кннш аческая энергия сит смы'

1. г г1

Т= — )й)х ьх и По генпиальнаа энергия пружины;

1

П = — с(г — хо) „ где хс — начальнаа длина пружины. Функция Лагранжа с истомы

).=Т-П= (.,'-+х„, ) -(х;о). Найдем чжтную проюводну)о фуню)нн Лагранжа по скоро. л) — = )лх )7х Восоольтсни:в 114.б) Рй. — 'эн-Е =)), дх 1 нг 1 г г, — иге — — тх гг) 4 — (х — хс) =й

2 2 2~ О) о и есть обобщенный )штеграл знерггш.

1)айдем )еперь обобщенный интеграл энергии А пу юм интегрирования уравнений твиження, Учитывая. что

оакодим

с72

= в-'х-с( -хо).

Дт

с))'И1 с7П

= )г)г — н)о)"з то(х — э) )= й

г)1, )их Дх

гэ' 1гг2г ) гг, ггх )Ух, г)х

гй) )у)7 гу) гй г)г ггг'

1'о гда

ггг

тх — ты х + с(х — х ) = б,

у ' ' о

Интегрирование по х дает.

.2

тх та) х с 2

— э — (х-хо) =й

2 2 2

Получили тот жс обобщоиный интеграл энергии.

б) )(и)э ге«есин )1 то не. ргш

Цттнееглш нтгэрдиннглы — это гноит* гюоглйсэ)ньге кш~ дннийгы, «огне)эюс )!е «хо)ян) ямн) й г)1)«няню Лн тэна нн гхог)ят

сояэгнсй)ьэнн)нчгщн нн гюодтетгы«гкнрогтн. Потей гнтт лйор)нн «йы это йгок«с обогйг) тОгн~г тэнн)гэн н~)ы, ьтэгйгэрыс йе«о атгн дят з ф)икигэ«э сутр тип

Пусть 4, - циклическая координата

Тогла А = А~ с)э г)2,:-г)и.Ч1 г)2--и)х.))

Уравнение Лагранжа, соответствушщее коордииш с ш После интегрирования

гй

— =си П 4.101 бг))

Тхы)~ й = г, а дэ =г)з = ., =гнпп, зо систмв сшэершиг поступательноес двнжсиис. как абио ошно гв«рдос тело. вдоль осн т. Тогда

Распознанный текст из изображения:

40

и / з и ! 7 77г/, гз»

— зп»«т» -7 у», -';с/ /= 2 т» .1» — — 7»

7)ф( 2 го( /; — ! ' »=1 ~ гв( А/1

с7/1 /г =! г 'п1 гз/1 ОС

так как в рзссматрнваомом случае

Г.Т, Дх» -1, !З'7 О. '=з О

ВИ ' Рс, сз,

Величина зй т»т» — есть проекция втсгора импульса (ко

»=1

шчсстаадвз1ианяя) системы па ось г.

Таким образом. инттрал (!4.101 отабражаег закон сокранс ния импульса свободной системз! мьцсрпальных !очек в проек ции па ась г.

Тепарь пусть 41 = р, то сегь тело, ьак абсолютно жесткое. наворачивается вокруг неподвижной осн Р на угол р. совершает вращательное движение. о.. зз = 7!, соя 7/7. у» .—. г» зш т.

/КЗ без йэ:» Н'З / Е

— =-ЦЫП(7= — Згг-' — — ' =7»Саян= Г». — =О!ОС сзл ' Ро, ср А?1

1(айдем

сз!. 77 !, '.7.» ВЗ» )

- 777»~)»»=, З«»; )= ' "7»)-З»у»+к»!?)=

/ОС»-=1 ) й/1 7/1 !»=1

7г=1

где?чтено по з, = '- — = и( — уз) и т» = г»ф.

777 р«

г!

З и '(7-.7 7 —.) ! -ЧОМШГГ ИНСРЦИН таЕРДОГа Гсла ОтиаентЕЛЬНО О И Г

»1 ' *

С Ьл) чаем

— = /эт.

7З/.

(14 11)

В,С

ю1е т = 7ф, !эи — момент импульаа (момент копнчеспт днижеияя).

Таким образам. если циклическое координата г/7 является ) гловой «л. за изпеграл (14 1О)пр дстаьляег собой закон сохранения момента импульса сне гомы относи олыю асн врашення Цзииер. 17(атез77177зчсский маятник лрикртшеп в точке А и вра7наезса вокруг верзикальпои оси. Дано: т. /. точка Л вЂ” пллиндричмский шарнир, Нар*делил, циклический ингегра 7.

Система имее~ дав степени свободы, абобшанныс коаршптгы И = и. г/ = 4'.

В 'з Кпнешчсскю7 энергия снсземы:

)) ? =")~)72 7 !2)

? И гле 1', =/сг. С'з = !рып1/7. Или Пз

!2 .г ?'= — (17 ьгф юп 7/7), П=777д/(С вЂ” союр).

ПаСслциииьная энергия зависит лишь от коордннаСы у, т.е. П:- У/(7р). панаму Г =Т вЂ” !/ = /(ф.у/,7/7).

Координата Сз — цнкличоская координата, так квк взныв абра юм нс входит в функцию Лаз ракия. Циюшческий инге! рал

2 — = т/ фяш 74 =. с1. г /з 1ле с, — постоянная, зависящая аг начальных условий.

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ОКОЗСО ПОЛО?КЕНИЯ УСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ

1б. Устойчмвость равновесия системы

б. 77 е и Сз.п7,77ыб н7п знг пр7зчсне пи анвпн, ттсрт7ппп и /сп гпшнт7на! и 7пн сзлп7з77п псп7гты нпт77пттгзз и 7'гп7пнч777ти7 рпе7тп слил пп 7 7.пыг 7»77/77 ст77 знпчек пп ат п777тппп*г т7ппе

Распознанный текст из изображения:

д !сщпщочно .ип!ы, щг! ни г!Ргггг!влаги!гп окало ьзпэкг!лы бп)гщ,ип. яы ио пбсоэкяллов ге шчпне г !лю!оягния щп тыопгмпм у!понг!юсиа Гго позноляст прн рсн!снял дифференциальных уравнений. описывюощит колебания лгсхани мскнх систел! сохрагппь только линейные члены относительно отклонений и скоростей.

В разделе 12 была выведена формула определения юшщическпй энергии штясклерономной механической системы [ . 1:

1з. 81!

Т = — 'гу, щ д д

1 '

Выше было показано. что в поло!кении равновесия все обобщенныс си.!ы равны путно (см. 7ппг

а,=азаз=О.....У.=О

Дчя консервативной системы эпг равенства приобретаю!

— 1 — ~ — ~ =О,...,( ) =О. П511

Рассмотрим олно нз положений равповссги системь!. Будем

считать. что в этом положении по генпиальная энерг на равна нулю:

П(О,..,О).= О. (15.21

Ращожим потеншальиую энергию в рял Макяорена по с ге-

п мд!.д,""ц.!

!'дп) ( дП1

П(днгУ ...д )= П(ОО,,О) ! — д! эдд! о дггз lо

од, — гггд з с

Здесь ючками после «в:щрап!ой скобки обозначены !лены

вне!лего поРЯлкв щпоснтелыю д, дт„л1д

П(ОО...,О)=О, ~ ( 1, =О..... ( ) щ =О.

Обо щачпм

д 1!

— = г, — обобщегпгые коэффициенты жес!хости.

дд,дд

а

постоянные ч!юла„прнчеяч; =, — симмстрнчнь!. Тогда:

ВГ =ел

1

П(дпдз ...,дэ)=-„~ ~.бадду

=! г'=!

Квадратнчпя» фораа потеншюльной энергии для аытемы с

одной степенью свободы:

1

П= — сд,

2

а для системы с двумя степенями свободы и обод!ионныьг!г

копрдинагами до ц;

1г э э1

П= —.(Гг!д! ЬС!яд!Од ЭС !дгд Эещгут) 115,4)

16. Малые колебании консервативной системы

с одпои етепеныа свободы опало положения

устойчиво! о равновесна

Д.!я произвольной консервативной системы с голономньщи гг стационарными связями с г дной степенью свободы нелинейные дифференциальные уравнения двюкенмя Пгрощщогся и замсияютс» па приближенные линеиные уравнения.

1 э 1

т= — фэ П = — сд;

2 2

гт пб г72 1 з !

— — = О 1. = — пгу — — сгу

дг 7д~

И гу ( а. '! „с72.

=ад~ ~ 1=ггд =-гд

дд гГ! дг) дд

1'осла у1завнение Ла! ранжа примет енд:

пг1 + гд = О,

Распознанный текст из изображения:

??т — д = О. 11 6.1 )

"Это дээфференцпальное уравнение машгл кол даний около

с

~эолч э«енээээ»с»ойчнвщо равновесия: 1 = . гдс 1 — частща сооа

огненных колебаний системы.

Решение дифференциального уравнения — г! = !'э с«чяэп э Пэ ып)э нлн д — т1шп(?пэ а). С', и 1". — постоянные ээронзвольные. опреасяяомые н э начальныл услоыэй..-1 =;)С 1 с (', .

Прни«р.

Диск массой ю ралнтса г может соверпшгь талые движения.

Дано: с, ст — жесткости пружины, г . и, д»„, ш), — — фо.

Пгэредщпэть закон движения диска. н =1,

га — обобщен»ма координата.

н

1 1 2 2 н

7'= — — щг. Ср;

')

гя

1 з 1 1

П= — )Р"э'т «!н г = Р г !сэт«):

2

).э ! 2,)г,

Е = — шг д» вЂ” — г?э г )сэ э ст).

д э

д)дЕ) СЕ

Уравнение Лагранжа; — ) ~ — = О.

д? ° «чф дй

= — эягтгг): — ~ — ) = — мг р; — =.— 1»гт!«'э -«с ):

дэд 2 д?,дй 2 др

1

-элг й» ог )«этэгт)=О.

2

гд э д — * — О «о о» ф т л. й —. Π— днфферспцнапьное

м

)равнение мшпяя колебаний.

л. = — — — — час»сна мэлебаний,

')П вЂ”;с )

р = Г) соя к) -) С' з)п и г

д) = -С )л я!ил! эг эл соя лг.

где ! 'э. С'т — постоянные интегрирования.

Нэ эа эьны т«тония

— Р«»

при ? = О: нп = С'), д,э =с . лц С'

Ответ: р=росоьлте 'ыпы.

ро

17. Малые тсолебавив ковсервативввй механическом свсымы с двуми степеиими свободы околп полнженээв устойчивого равновесна,

)Саа)трагичная ферма кинетической энергии для системы с пбобщсннымп коардипатамн дэ и дт, согласно формуле ?12.3),

1!

Т = — )аыд, -«О,тд)д) та„д,дт Э-а тд, ~.

Потенциальная энергия, согласно фо!»муле П 5 д)

П= — )Тцд! э сшд»дя т«дэдэд +сээд,~:

д?' 1, «7? 1

=- ээээ«)э т — нэ»дтг — —— гэ,эдэ ° ггмы)з:

д??) 2 дд, 2

д гчТ), 1,. «?)«7Т) ., 1

~ Гз

— ) —.аэ)??э Э и)тг?»1 — - =а)эдэ «- ат д»

,?г,дд,,) - -' ??Сдд, ~ ' '

«7П 1 дП 1

= с),д) э- «этдт; - — = с!)д, э- — сэтг?э.

2 дг?, 2

Принимая ео внимаэше. 'это оэт —— пээ и «н — — с»). пол»чнлэ лнфференциапьные урааиенпа малых колебаний.

1О) нй + «»1)дг Э «) ~«?!+С)т«?з — О.

!17.1)

) э э?!) та„дэ т«т)дэ .«сыдг =О.

Малые колобанпя консервативной сне»ямы с двумя степ"- нями свободы около положсээия устойчивого равновесна аписы-

Распознанный текст из изображения:

44

вшагся двуьш линейнымн одпародныии дифференциальными

уравнениями второго порядка с постоянными козффзпзиеншми.

1зешшиш будем искать в виде:

ф =.1язз(ю з-я),

47 =Выл(ляса),

(17.25

74 = —.Ак вшлг,

412 =- -Влр шп га.

Подставим в выразкспие (17.15:

! — а11Алз — лсзВк +с14А+ссзВ=О.

— аз,дк — аззйл. +стил+сйзВ=О,

44Л44

~(—

~ с,с — ассе )А ь(сы — асзл. )В=О,

ис„— азсл )А с(22 — ашл. )0 =0.

1'17.37

Для определения из этих уравнений А и В, отличных от пуля, неоахаднмо, чзобьс сшрслелспель эюй сисзамы бьш равен пулю:

(1 7.55

ос с — онл М вЂ” сзз л'

„.= О.

с21 — азск сзз — атзлРаскрыв определи сель. получим:

4-(с„,, — с;,) = с

Уравсзение (17.55 называется уравнением частот нзв вековым уравнением. Репгение зтоз о уравнения дает корни кслз,лзмз. Как миниьпм. два корня кс и «з полояапедьные, и называюгся главными частотами колебаний. Каждому карниз л 4 и л-, будот соошетсгвовать ащш частное решение (17.55, причем каждой частоте 45 и ля отвечают сваи значения Л и В. Общее решение бздет равно их линейной комбинапии.

4 = д ' 1 ° 4. 414,4»4(кс «,1

(17.б1

Между числами Л~ н Вь Ас и В. имеется связь согласно

уравнению (17 55.

и -а41л;

', =74,,4=124

ссз-асзл,

742 Аз

Пример.

ЗЛЕКТРОЛ4Отай аЕСОМ 17 =(кН а,г О7 усзанавзы4 из ф5пламенте (115 с помощью амортизаторов, ауммвр 1 ная жещлость косарых с =эо

Н 4 м.н

( Вес фзидвмента От =104Н, в его

и упруги1о свойства имеют жес."гкасть

Н «2 = 250 †. Схема представлена на

.нм рисунке. Система имеет две степени свободы. Обобщенные каорлинаты зс и сз отсчитываются от положения равновесия О, и О, — лозпженис равновесия тел 1 и В; О~ и Оз активные вилье к, и я — обобщенные коарзнназь| Кинетическая энергия: 7' = 1О 1Оз

4

2л 21; Патессциальная зперпш.

( 17--О,П с Оз=, Ь вЂ” О(, -2 — В)2 Ь вЂ” Ез(7, Ч С,)т

2 2

1 с 1 — — с;,71 — гз7 где 71.72 - статические дефармапии пружин. В ссаложспии равновесия = =. =-, =О.

зз ~'~~ =О,~-'~~ =-О,

= (=:1,.

: =с,-е . 2-4

Распознанный текст из изображения:

Сг!

с! — к

М

-с!

ьгт

г:! + от — — - л.

Е

— с!

Ч вл отнес уравнение

С~'!С7 4 ! (, .

Я

2

.~-ь'2)-~-6 г!)к +[!с =О

Сг!

— '"", +с,=, -сйяя =0

Я

'-"' „-", + с,гя — сгя! + слит = О

Я

'(т!

— !Р! —;с! ! — с!л — — О К

(17.71

от

Б--г'

Ус=ругнул

—.=",+Ст(ь, Ьея)-ег-, =О

Пт

Ф

1

В силу ттог о 11 = — с!(=т — г!) ч- — сот,'.

Восполшуемея уравнениями Лагранжа:

Н 'гбт') ОП

71 г;,.! ВП'

~~т ~! г(т П,и

=! '*

иф! а ' Лг г7с! я

ОТ (72 Н ОР С~

ой Е г ь-т

ОП ОП

— = †с ! (и — с! ); †' = сг(гт

г7л!

Получгтм дифференциальные уравнения движения.'

6,62

Подставляя шслениые значения и деля иа ,-, получллг

л А~ — 784к +12ОООО= О, откуда ке = 209 1",. л. = 575 ! ',. тогда частоты главных колебаний А! =14.5, ',. Ат = 24 1'„отноше— 1г

с —:с' иия аи~штггуч! колебаний:

тг! Ст!

А,*' С! — — А 2 ,и! = = =0.57 угт = — г= " =-0,17

и!

Л! г! г(2 с!

Решения (17.7) ишсм в ниле:

е! — — Лыплт, =; =2ГМпы.

После .вгфференоироваиия и полстановки в(17.7! получаем;

с, — — А Л вЂ” с!0=0

Н

р

(г

— с!Л ! ~с! ! ст — =-А' )0=0

К

Опрсаел~ггель

04

гт=с, +г

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

1К Канона монне переменные. сйункцин Гаиаяь гоня

Б уравненияь Лагранжа второ! о рада (13. 71

Распознанный текст из изображения:

зе

г('у

— тау =г.

( т

ВведеМ замену

получим

()й! )

()тсгззда

(.=Т вЂ” и. !у=й(з(, г),:!).

дгд,,! — цорсменнме Лвгранмш.

Уравнение (!3.7) справедливо для голономных систем в сл) ча. действия патеищзальнозо силового поля.

Система (13.7) содержит з обыкновенных дифференциал; пых уравнении второго порядка.

Всян ввеози новые асрсменныс как функции обобщенных координщ н ооабщенньг скаросщй

- =с! г,д,д, ..,.дз,д.д,,д )). ((=12,.... (

и предпалолапь, чта этн зависилюстн могут быть разрешены шносительно обоощенных скоростей а!.д„...,дя щ система уравнений (13.7) приводится к системе 2я дифференциальных уравне. ний первого порядка.

Прд нар,

г(г

— еау = с.

з(г

Таким образом„походное дззфферснцишзьнос уравнение езорого порядка 'заменено дауна Зиффсренцишаньщи уравнениями первого порядка.

Каианггчесшзе переменные Гамильтона

дарит. (з= 1,2,....з).

Здесь

дб

(з' ' дг (~ 1' "'"" *" 1' "-"" "('

з

р, — обобщенный импульс.

Из (1й1) с.мдуст, что

ф =7:(д,д --д-,р.р --,р ),

г.е. переменные 3)шранжа магу! быть выражены через перемен-

ные Гамильтона н наоборот.

1 амиззлан ввел фузпсцню!

Н= Ух р,.д,.-б. (18.2)

з=!

Так как 2 =Т вЂ” П. Т =Т, +7; + 1;,. та

.2 Р(д! = 2- т '.д! д д цд! х д '. д( .- дз'.(Р

;=!дг(( ',=)дд( ';=(бд( ';=!дд; '

По теореме Эйлера об однородных функциях

,от,

У .-д.= Т,

!'=1 ддд з "2'

х ьТ

.1 '.=Т

г'=1 з'

. — дд д( 1

Тогда

Н=2Т +Т вЂ” 7=27' т)) — (7' чр ту' — 11)=7: — 7; +11. ((й3)

Для стационарной системы Т = Тт н Н =- (з т П = Т т П . т «. функлия Гамзшьтона равна полной механической энергии системы.

При.чер. Вагры функпито Гамильтона дяя маятника. Пусть д = ге, тогда х„=(саади уя =(б)пгр 1 .2 . 1

О, 7 = ш(т ! ! !' !)= — гл( ф 2 ' 2

е П = !7)Д1() — пой гР)

гй сТ р= = =щ(зй

и

бр Рй

Распознанный текст из изображения:

г!з =

т!

1)одставич /т и 1. в (18.2), псдучнм

.з

/1 =. рт — Е=вп р — — т! р +л(Е/(1 — соьр)=

1

2

л!! 4Р + трД1 — север)

н-!и

11 = т/, тй/(1 — совр)= — —,з то Д) — совр).

т р р

(гн/ /7 2т1Я

19. Квывыыческые уравнеыын. Первые нптегрзлзлз двнженны

дзу щагня Гамильтона:

//(д/.р../)= д р.д.— ~~.л/.,!'). (19.1)

!=1

Днфферешгнал функпнн Гамшн тона с учетом (19.11 и (16.1)

с/// = з' д.др.— Е ' -т/г/.— о 'е/г, (19,2)

;-'1 1 г, )дд, ! с*!

Н = Н(д!,/з!,1),

то

г//1= з — -.г/д -з У з — ч/р + — г(/.

/с'1 д!/, ! „1 пр. ' !' д! Срввыезще выраженнн (19/2)н (19.3) даст

д// сзд сз//

— — =ддд, д/, др,

(19.3)

а !вязке

гз// ой

(19.5)

д! д!

/6

Из (13.7) и (13.1) вы~екает, что р, = — '; тогда из (19..1) слсдг!, дую~ канонические уравнсння Гамильтона.

д1/ "-О

р, = — —, ф =. с . / = 1....,.з . (19.6)

о/; ' др/

Система 2г днфферонпнальнык уравненнй первого порядка

(19.6] жвпввленпа сззстез~е з уравнений (13.7) второго порядка.

рвсн на щзс ! ечу действуют непотснцна:тнь!с силы. то Эравне-

ння 11агранжа нмекп' внд

//дт) сй

(19.7)

с/! дг), ~ дд,

1)усть среди обобщенных снл есзь потепцнвльньи н непо-

тенцпальныс снлы Тогда уравнение движения (19,7) а канониче-

ской форме запишутся так

дН . гз77

р, = — ь(), д, = —, (!= 1,2,....з). (19.8)

дд, гЭр,

где К/, — !гепотенпзгшгьНыс силы.

/урн!сер 1. (:остап!па каноннчвскнс уравненги Гамильтона

для математического ьия пасса.

Ргшее найдено /1 = ., г тй/(( — воз 9).

рс

2ги12

д/! . гзу/ р

= гг!д/~азу! — = —,.

о/ т/

1'огда !гз [19.6)

~ р = — тд/ып(а.

~р= р,.

/Хрмз!ер 2.

Дано:

l )о к 6(спасо и рн. вас яьт /!т/

Р .И! н т. 6!с с!шама. про!юрцнопальны- 6 З/. мн расстояниям (/!(Э=!76/з = а. Запнг

Х сать ьаноннческые уравнення Гвннль-

тона

Распознанный текст из изображения:

Система имеет три степени свободы. Обобщенные коорли-

на»ы; УГУ =.г. 11 =1 ° '11 =-'.

1 щ 1 12

т ту 2 ул~~хзь»12ьй г

2 2

1

П=-сг 1 — схр .

1

где си» вЂ” кочффицненты пРопаРцнанальности»

у =х ь(гьеу) ь .Х» =.х 1(г а) 12

Функпия Лщранжа системы:

А = Г' — Гу= — О»УХ О 1 ОУ Г вЂ” — ОУУ» — — с,р

Импу тьсы сит емы. согласна (15.11:

И ЯЯ УГ.

р1 = — — — тт, Гй = — =-тзц р, = — = »Ох.

сх '' су ' ' сб

Фущщня 1'амильтона системы, согласно !!Я,211

РУ Р» Рз' Р1 Р2 РЗ

Н р»11»ьр21 РЭ Е

т т Оу 2т 2т 2»О

1 1

СУУ -У вЂ” 1'22» .

Гг =-„— \РУ -'- р2 ь Рз 1+ — с1(х з-(1 за) Охх)ь

2т

Π— с цл+(2 1-а) ьс !

Тогда иа (19.6) наловим

аН Р!

РУ вЂ” — — = — СУХ вЂ” С»Х. '; =

гц. УО

Рз

!72 = — = — ' (г.у ц) — (г — а). г ==

У21У УО

21ГГ

Рз = — =- -С»с—

.!то и есть искомые «аноническпе уравнения Гамильтона зля

ванной завачсч.

ХХРО иОР 3.

Цилнплр 1 связан через

упрею пртжину с» с телом

И и может совершать малые

колебания.

Дани, т1, Ой. с!, Оа.

Написать уравнание Гамзпьтона;Ощ ванной мехщпгческой снстеьгы. щенньм ьаарлинзпы: 91 — — р. 9, = х.

Система имеет цве обоб-

В.

Ят.

Н=ГзП= ' гз- * — -'; — ср Я + — ез(УР211+.х),

р;

ууу Я- та

у 1»' 2О2'2

Кинетическая Укьргия.

2 2 ! 2

7*= —.— т Я',» *-тзх

2

Потеппиальнав знергил

1 ° 1 2

П= — с» 1+ с222,

2

гце 11 — — ГРЯ, .42 — — УГУ-2Я+х.

Тесла: и= — г»а г' -У сз(р Яьх)2.

2 2

Функция Лагранжа:

1» " 1 ! 2 2 1 7

2 =à — 11= — т Я-урз + тхх — — у 1РХЯ" — — гз(р2Я вЂ” х) .

й

Обобщенные импульсы

пб 1

Рп = = -УО,Я !О, Р, =

др 2

слецовзтельно

2 г»О р

т,йя т.

Тогда кннеунческач энергию. выра»кезпзая черст обобщенные

и мпульсЫ

Яг ! Р р„рх

тяЯ' 2 и, т,Я 2ОН

Фу нкция Гамильтона лля наиной системы имеет вид

Распознанный текст из изображения:

Уравнения Гамильтона:

д(! ф= др~ ш! й д1! (~, ср,

й Р = — =-гйл р зс (р2йьт) 2Л=-аз(Е (с! зцга) — гд2(Ел

ОН Р = — =-' а2Я-

д ирназар д Плоский механизм. т — масса. сосредоточенная в шарнире 4. Дано; ЕРД( = АВ = и . Написать уравнения Гамильтона. Озстема имеет одну обобщенную кос1рдинатз г( = р, Фтнкцгш Гамильтона:

И=рай-(..

1 т 2 Е = 1'-П = тацр — лрйа биге — Гасоыр,

2 где тва .шд — пошнпиальная знергия силы тд . Оба совы .- работа силы Р на переыеи1ешш Суй.

д!. з .. Ро Обобщенный импуггьс: (з, -" ' =глазф: й —.

од та Функция Гамильтона:

я ип. 'тг::я

Уравнение !'амилюона

дН Рз

й= д(з льз

РН

Ре = = — (гзща.штчы — 2(чо гт(л

Циклические копрдннатЫ

Цик;ошескис копрдинаты. по опрсде.'юннн1 не вхо 1ящие и

функцию Лагранжа Е. не входлт и в функцию (атпшюона Н. 'Эн

сяадует ш условий (!б.4Н

г1Н дЕ

д(, дй(,

дЕ дЕХ

ЕЕгя циклических коордннш — = О, а тначш и — = О. г.с,

рщ

циклпчсскмс координаты лс входат в фу гпсцпзо Гамильтона.

При нср.

1(усть ы — циклическая координша. Функция 1амильгона

имеет ни 1 (по анюзогнз~ со случаем маитника)

Н=

Ф.(с

дН дН Р

Отсгода — = О.

гйр га ж(

Канонические уравнения 1'ашшьтона:

Р

— =-О. й

де сР гв(з

1!осле ин|егрнрования

Р = с1, ) Ез = с,.

с'! ц !зг !

1гр — ! -' р — —,1~ сй

— ш'а

Таким обраюм. прн ншигчнп ощюй !опсш гееной коорлнна-

~ы, порядок канонических уравнений снижается па двщ лля "л"'

Распознанный текст из изображения:

циклических координат — на "2«" едиюкь

20. Теорема Якоби-Пуассон»

Кзианичсс«гие уравнЕния:

р,= — ', у,=,(У=Е2..... ).

дП да(

(20.

дуг,

Интеграл канонических уравнений — з«а ббнкния 1. которая сОг раня«г пас~озимое значение, тс.

у (1. гу!. тут .... гу, . р!. рз ... р, ) = « где гу, н Р, — р«шения канани шских уравноний (20.1>.

«УП

Иркиер. Если 11 ие зависит явно аг времени у, то — = О и

кй уу сохраняет нос шяноое знвчание при движении сметены. Следовагельна

Н(0,,„, «..„ЯюР,,Рз...,Р,) = У!

есть инте«рал канонических уравнений.

Пример, 1(усть Оз — шпглическая коорлнназ а, '(огда из (20. ! >:

дУУ

р= =о.

дамб

Огсюдар =саню. Это шпограл кююнических уравнений

(20.1).

1(редположвм„что известньг 2« гпгтегралоз урависшш (20.! >,

т.е.

У;(у,г(ыг>т,...,гУ,.Р,,Рт...Р,)=сую (Уг —. (2,...,2 ). (202!

где сг — пастояннью велнчиньг.

Разрешая систем«(20.2) «пносительно д, и р, получим

1), = уу,(у.су,с„...,с,, ),

12031

т.а. иая> чаем решение «равнений (20.11.

Ес ш число инзс« рзлов меньше ди то с нх помо«пью можа ~

су1шть только О некоторых свойствах лвилгсния.

Скобки Пуассона

П«сть

УР=гР(1.0 бз -'Оз Р Рз"'Р,(2

Ш=ур(у.гу! тут- -гу, р, рз-'уз,).

Скобка Пуассона:

д(з дк дс, суд д(з д!р ' рту, «Р,

~) д! дуг гор ар') н(ад, др, ар, да, !

(20,4)

Свой«твз скобок Пуассгна

1> (р,ш)=-)уо,р)!

2> (гр ш)=.с(зг ш). с =соки;

. а Угдр '1 У г>ус!

з! — ((гпуу)=~ — '' луг)е! (Х вЂ” 'у

ду ' гду ду

4>если 2>- б(г.йюР),то (гд '-!162)=((' Х) (Шюб):

5 > толшесгза Пуассона.

((«У «Уг)2)ь(()с,г) К) ((2 Р) Ш)-=О

(20 51

Прадположнм. что У (у,гу,.й„..„д„р,, р„, р, ) = с является интегралом канонических уравнений (20. 1>. (>гсюда получасы

г)1 (' дУ дУ ')

— чч,' ' О и р: — О

ду « ~),дй, др,

Е учетом (20.1>

ОУ ~ дУ' д>У дУ РУУ~

Й, йггй др, др, д«у, у

"У -(У,УУ)зб. (20.6!

дг

ракии обрзюм. л «я перво«о иьг«е~рюга канонических уравнений (20.1> выполняется тождества (20.61. Верна и обратное 5 гзсрждение: если выполняется тождества (20 6>, то((1. у.р)=« явяяегся первым интегралом каггоничесьих уравнений

Распознанный текст из изображения:

Гсиреши якоби-)()аесинк! (усть ) (собр) =с, и сД),з, ! ) =с:т являются первьши интегралачн канонических уран!сепий (20 1) ! шсж скобка 11уассаиа. сослан!синая из этит фзикций и приравненная нащокиной. т с. (),сс) = с,. сотке буди! сырным интегралом срам!енин (20.1)

Дилиюшесс..лмо, !аксшк ! =с!. И=с первые пнг'тралы, то с сг.шепа (20.0).

с!с

— (! )!)=О, — ! (ссс,р!)= — 0

Й р!

Г лрш пй с!арапы, па свойствам скооок Пуассона,

, (Ь )=~ У И ~ ~У.—,' 1.

Значит. выражено

— (2:у'Н(бщ ) ц)

д!

с учстач (20.7 ). исрсшссывается а виде

— ((!.И)О ) — (у((сс,П))ч ((5 ср))!)

н.та

()(лрр)!) ((ус. )З) б)+((Н. У). ус)

а сюслелнсс ел!рак!си!се, а силу (205). соидаспсонно равно нуш,

Гакпм образок„доказано. что

д

— 2(У'.И) с-((У. И), )т) — = О.

д!

(.м)=

Значит. с!.обьа 11)ассона. прирввненнзя каис!анте, касается ив!с!радам канонических уравнсгшй

Прсысер. Лла свободной изолированной материальной тачки супсессвую! интесралы очпульса:

!' =сст. '!. Г и!с= .Рс =и!с=аз

и моменсы пмпхльса

И, = ср — кр, — сс„Ис =ср, — зрс — ' . Л)с срг — сп, — с

11акажеч. чга(Л),.Л(„,) = М =се.

ы

Гогласпо равенству [204) инеем

дс)т асИ !ЗЛУ с Л! дМ дМ с !ЗЛУ 014,

дх др, ор, ох дг др, др, оу

,зя, сщг г,,(), дздт

— =( — рх,( — х) — ур, = Хр,, — зрэ =с!,

се др др д

Зд~с~ )члена. чю

О! = -з. Ч =.' с)) = - Р) = Р. - Р. = Р, . Р! = Рс

МЕТОД ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ

21. Действие кнк функция координат

сЗЛ с„'с2 дд с! сзд )

сИ =- Ис!)'" + )~ — — ~дс(!

,)Ь„

г! '

1,"1 1)

Б основе принципа наименьшего действие лежит действие

н

,';= (Лс)! )йпегРал беРеп:Я мевьУ лвУьш ы- а, дп

(!

данныьш положениями О н О, ко!орые сисшма мнимае! при с, и ьь При варьировании

действия сравнияа,шсс, значоння Мого июегрвза лш близких сраскп срий с одними и шми же сиачениячи ср й ) и О(! ). Лишь одна сраскюрия отвсчасг казанному лннжснию — йьзокюрни, л.ы коюрой лейссвис чинимьшьно,

раасн!!срам шпсрь дейссаио как вслнчинт, харакирнзуюшую ды!жение по ншпниым траскюриям, и сравним значения, казарме оно имас! сося траслторнй, и сесоши.л общее начало сийс)б й! . но

(с проходящих в момен! !с через различные положения.

сйхнкцою Б = б(с,с)с.ссс. )С ! ссазываксг лзсссслссси !русск!)не(с Рисы)

иип,яюии.

Изченешсе действия при перехссдс ат одной траектории к близкон к в:й другой граскторзп! .шя слсшмы с одной ссснсньк! снадодьс иолсет быль записана сак.

Распознанный текст из изображения:

пл д, =. ф(Ц, получим

г(о д5 " дд'.

г(г дг; !ду;

(22 2)

пз =(здз.

Г друпзй стороны

следует;

(21.2)

(22.4)

— — и~г,)„' )=П.

('зз ()

Дейстантслызаа траскшрпя удовлетворяет уравнениям Лагранжа второго рода, цозголзз второе слагаеиве (21,1) обращается в ноль. В первом слагаомом полагаеч Д!(г!) =б. а зна мине

дд

Ж!(зз ) = сц У омывая. чнз — = р, полз чин

оц!

В случае щобого чцсла степеней свободы последнее яыражени» ьнжгет быль псрсппсщш как дьз = .У Рздч! . Из выражения

з=1

22. Дифференциальные уравнении Гамллялона-У!коба

Уравнения Гамгшьтона-11коби нгрщот важнжо рщщ в ошике и кван!оной механике. Ощг вежщ н основе оптико-механичесжгй аналогии. кощряя привела Рйредингера к фгзрьзулнрованзгю волновой механики.

Методы интегрирования уравнения двшкения завиеяг от вида исходи щ с!итоны уравнений. Последние„а зависимости от выбора характеристической функции. с помощькз которой они получены, могут принимать различи).кз форму.

Мы рассмотрели лва метода. метод Лагранжа и метод Гамизьтона Те!гарь рассмотрим третий тжтод — мягок ГамзщьгонаЯкобзз. Для зтого восцозжтусмся гаваной функцией Гамилыоиа

З =О(!.Г)! ° ((2- .ГД (б ° гуз' .ггу - гД ), Г22.11

зЩ Газ (О))

где,з — число степеней свободы

Возьмем от б подиум производнукз по времени !. Учитывая

что ! входит «ак явно. зак и неявно через огзобщенные коор,шна

з=б'

Зла!сияя = Ри выражение (22.2) можно нсрспнсвгь тюп !с),

дд д;з'

('з'з 2 1

д! ф

ес.ш действие й рассматривать как функ-

циьэ б = )с(!.г!нг),)(г с переменным верхним цражлом. то, оче

видно.

дй

сй

Подставляя зто выражени«в (22Д), цюгучим

дй

—; У р,г),,

о!

и, учи гыная, что У рД, — б = О . будем имщь

!чу

+ О(поо!з,)=.О.

д!

дй

Производя далее замену с учетом р, =, гзолучим уравнсд,),

иие Гизи гьазогш-Яя згдн

Б в жом з равнении — нсизвес гцая фушгцпя. зависящая от (! !. 1)

переменньж — г, Ч

Распознанный текст из изображения:

.с ь

геривльпой точки массы и. движущейся по инерции. а дсьврто вы. координата: ильес» нид

à — — (л'-ь ь»

Напгппем фл нкцню действия Л

б= )з'»уг= )(1 ~ ь ь="11г

11ля сапболпгьй точки. лвьолущейся по инерции. имоом

»=»в 'Ю У= ьсьро' с=»а+»сь.

и,ллеповательна.

.т = з'а. 2гт =-.ь'оТаким аоразом. находим

ш/

.)'= — (»о2+ ььо ~-202)(1-10)

2

Пазатаа ДЛЯ ПРОСтатЫ ГьГЛ1, бУДСМ ИЛЬЩЬ

Анльоь ичныс ныражсния можно иолу чьи ь и дся координат г

н х.

Турглгьер. Саставнп, уравнения Гамильгоьга-Якобьь лля мате Л, риаььной точки льассой ю, движущейся в олнородпом пале силы

тяжести, по плавкой траектории. Оььсзсльа имею две обобщшпшье

кооРдипаты: гуь — — г. Уз = У. тогда

ВГ(. 2

Т= (т еу 1„П=тгйл

ей л гб

".2ь ' Тшь как р~ =- †.— елец р = — = лэ. где 2 = Т вЂ” П. ьо

ах дл

Прн движении в цотенциаю нам силовом поле сумма кип 'тической и потенциальной энерпш сохраняет постолнную величину

и = Т+ 22 = — ь —"-,— вора

Рр Рз

2гв 2 ге

Учьпывая, что

й) бб

Рй = ° Рз' —"

йл оу

получаем уравнение 1 амильтапа-Якоби

хо ..ь' ь'а . - »о уо

и

щ1 2 ° 21

)'=--(( — ) ( —.:,) +(л-Ъ) ).

2г

Отп и сеть ныражеппе для тленной функции Гамильтона в

стучас свободной точки, движущейся по ннершзи.

Дифференцирл я, наладим

Рй ш

2(т - »с ) .— ш» = р,

п

(л' — хо 1= — што — ' — ь

Р 2ь

Уравнение Гамильтона-йкоби — нслипейнос дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка (йьункьььгя 1'амильтона — «аалратичная функция от обобщенных

б)

нмптльсов Р, =—

г)гь,

Как известна из теории дифференциальных уравнений, общий

г'я ингсцжл ывишп ат произвольной функции . 1 1апример, — = 1 . где

д» » = 1», ьй. Общее решение зтого уравнения имеет вид

»1»-.г)= ь +Р1г1

11рп пнтегрироввнпн уравнений в частных пропзвалпьл) в механических приложениях асьювнуго раль пграсг полный пнтсграз. так квк с его помощью монна получить палнлю систельл пе-

Распознанный текст из изображения:

И), дН «ф(, сН И! ОР, <(! дй<

(22 1О)

зависимых интегра.юв рассматриеаемого уравнения. Пол незлым

интегралом доням нот решешы диффсрснщ<альлого ураанени» е

часзнъ<х производных, содержащее столы<о независимых произ-

вольны:< настоянным сколько имеется независимых переменных.

В уравнении 1'амилыона-Якоби незаеисимымн церемонны-

ми являются время и координата. Помону лля системы с з стеле-

нями свободы полный интыран должен содержпь, 1 нроиз-

вольныл настоянных. Поскольку неизвестньш У аходиг в равне-

ние тольке через свои лроизяодные. го одна пронзнольнля оосто-

янняа входит н цоллый интеграл как адюплнная постоянная

(свойстао аддитивности — значение рассматриваемого ларамшра

<л<я сисземы, состоящего Нэ частей, вшимодейс<виеч которых

можно пренебречь, равна сумме значений для каждой нь <астей я

отдельносзл) Следовательно, полный иншграл уравце<шя Га-

мильтона-Якоои будет иметь вид:

д= Г()н)) Ог'-.8< и<-ыг-".<к„)ь~ < (22.б)

Теорема Якобе о нахшкдснии полной системы независимых

интецэалоа уравнений движения гласин если фу нкцля

д= «1!.)ь<)г,....<),.а!.п!...,<к,)э<к, ! — есть и<юный ьшзшРал

уравнения 1 амильгоиа-Якоби

сб 1 ду дд дд 1

— чП <,И«,),,...,

д! ~ ' ' дд! дйг <7<(, ~

то системе уравнений, полученная ну !ем дифференцирования и

по <г, и црираянснная кьиьаым цосгоянныл< 7(,

(22 8)

до! ' Лог да,

в соединении с ш<с<'смой уравнений

дд дд дд

Р< =Рз -- =Р (22.91

д„д„,

соешяляют полную систему' <2

нения движения в форме канонической системы уравнений (а-

мильтона

ь!

Текин образом. ые !дюка Якоби устанашцшаег связь эмжду

интегрированием сис<емы обыкновенных дифференциальных уравнений и ни гсгрнроваш<см уравнений в частных «роизводных.

23. Случай консериазианой системы

Пусть функция Гамильтона не зависит явно от времени. В

этом случае функция Гамильтона имеет аил Н = Н(<),Нь,) ня"; (1.=1 2...., <), к уравнения! амнльтона примет вид

— +Н~д,, ' )=О

Так как а это уравнение арал<я нс входят. то чисто независимых <мременнь<х и ановшся на единицу меньше. Полагая

Я= )ичй(д ° <)г:,<)<.7

где й — постоянная. будем имозь

дд <Б дй'

д«3<(, < ),

Подставляя производи< ю ог д ло ! ир, в уравнения Гамиль

шна-Якоби. получим

дй

Н дн — ~ = )ь, (! — 1,2....<)

(23д)

<3<(

Полный интеграл будет зааисе<ь ог («1) поотоянлых

а!ляг,....<к,.<ь, из котоРых одна бэдсь Яходзпь как аддитивнаа постоянная. Яейстеигельпо. а уравнение Гамьшыона-Якоон И входит через свои производные и. следовательно, функция И'олрсделяс<ся с точностью до аддигианой ностояиной.

Закич образок, полный ншсграэ уравнении (23.3) имеет вид

И' = И'(<),.<к!.а„...и, < Ь) ь пэ. (! — 1.2.....<).

Зная этот ннтшрал. можно записать нолный иншгра.< неладного ураансния

д= — й<-И (

О<скща на основании теоремы Якоби ло.<учаем полную сис.

тему независимых ннтегралоа,<еижения

Распознанный текст из изображения:

од РВ'

— = — =Л,:

дсй д»2,

»28 ЛГ

=Р

01, дг1,

Рй дй' дй'

— = — Ь цш — =-' — 'с

дд сй дй

гле гя — произвольная шю совиная, которая может быть принята за начало отсчета времени.

Пргамер. Составил, уравнение !'амильтпна-Якоои д»ш свободной материсшьной точки массой ш. движушсйся в консервативном поле.

Так как гочка движется в консервативном поле. то полный интеграл Б уравнения Гамильтона-Якоби оужж иметь вид

Б = — ГВ»- йг)гу,,р„), (! — 1,",3),

где Š— полная механичсскаа энсрпш гочки. в функ»»ия й'лолжна уд»»влетворять дифференциальному уравнению

Спставиы фупкпи»о Гамильтона.

напишем функцию Гам»шьтона Рй

1

Н = — 1Р тря ч!»":)л!>1»,»дл).

2»л

Здесь !I[»» г.л) — патснцнгшьиая энериы. а

Рй РБ д!5 РБ»»»»15

дх Й ' ел ду ' дл дл

Следовательно. » Равнение 1 амильтоиа51каби булы иметь вил

д»,' о» Рг

42 = =. няшшым функпию 1 амилыана ГЛ

1™

1 ) 2 ! 2

-Л1„,*;:

;:РГ Н = — ) Р~ ь, Р- »-Р.-') !»(.,!».2)

Так как

РБ дй РБ счй' дб дйа

дг дг ' дгд др дс Рс

т уравнение!'амилыона-Якоби принимаю слелу»ошнй вид

— — л 2л»1 й,г, р, я) = 2»г»Е.

Ф ге Л*"

02 —— .9. напишем функцию 1'ам»шьтоиа П

Н=„)1рг»+ — тра+ „2 ре)- !21р.р.д).

гв р р Вид

1 як как

дд дй' дд дгр дй дй'

Рл= = РЭ= = Ро=

др др»ЧЯ »уд ар о р л,*; то уравнение!ш»ипатова-5!кади принимает»шедтюо»нй нна

й -~ — ',—.'~ -'."- — — — -г ЗшС)р,гр.д) = 2л»Е.

Ру» ~ рэ), г»42 ! Ра»дияр дл,

БИБЛИОГРХ»БИ»ТБСКИЙ СПИСОК

. й

го

Бутении Н.В., Лунц Я.Л.. Меркин Д,Р. Курс теоретической

механики. Тол» 1, !!. — СПб: издательство»»Лань»». 2002 — 736 с

Курс теоретической мекапики: Учебник для ВУЗов. Пад

общей редакцией К.С. Колесникова, — М.: М ! '1'У им. Н чк Баума

., 2000 — 230»

3 Сборник тадапий лля курсовых раоот па теоретической

механике: Учебник лля технических ВУЗов. Пол айшей редакци

) ей А.д. Ябланского. -. М.. Интеграл-преос. 2002 — 384 с

4. Мошерский И,В. Зюгачи по теоретической мокши»ке Учеб

нос пособие, — С пб. иэдательс» ва яЛань», 200 ! — 448 с

»фуу-:,'.дт 5. Бу»елин Н В., 0»уфвсв Н д. Введение в аналитическую

Распознанный текст из изображения:

зс

СОДЕРЬКАИИЕ

ВВЕДЕНИЕ

9 13 14 17

70

21

механику. — М. Наука. 1991 — 256 с.

6. Беленький Н.М. Введение в аналнтич;слуга межзнгзку.- Мг Вьюшка школа, 1964 — 323 с

7. Гангмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механикс.— М Физматмет, 2001 264 с

8. Ландау ЛД., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие. — том 1 Механика. — Мс Паука 1988 — 216 с.

9. В~оров В.Н., Ургалова Г.Б, Трямкно А.В. Курс лекций на аналитической механике. Учебное ~юсобие. — Мс МИРЗА, 2002—

80 .

' ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АНА1ГЬГГИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ ...4

1. Механические системы.................................................4 2. Связи и нх классификация...........................,.........................4 3. Обобщенные координаты............................................й 4. Дейатвит с:гьные н виртуальные (возможные)

перемещения голонамных систем...................................

5. Внртуачьная работа . ,ел'3(3!;: 6. ОбоГиценныс силы 7. Принцип возможных псрамешений 8. Принпиц Дшммбера (3;,:" ' 9. Общее уравнегпгс лннамиюг 10. Потенциальные сипы 11. Устойчивое'гъ состояния равновесия,,..................,.......,.....'5 . УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ......'7 ,':эгжн.,':'У 12. Кштетическая энергия механической системы ез(ф~з'; - ' в обобщенных кооРЛннагах ;.$$'.;!'1' 13 Ураапегошлшранжавторогорола : ';эсс':, 14. ИнтегРал лщпкенна . МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХА1И(ЧЕСКИХ СИСТЕМ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ УСГОЬт(ЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ.........,.........41

15. Опрслеленне положения равновесна........................,......41

16. Малые колебания консервативной системы с аллой степенью свободы около положения устойчивого равновесия.................,......,......, „, „„...............,... 13

17. Малые калебанп» копсарвагивной механической системы с лвумя стшынямн свободы около положения устойчивого равновесна.............................45

Распознанный текст из изображения:

1лАНО1111л1РГ11НЯ л'1'АВНЕННЯ..

18. Канонические переменные. Фанышя 1 аиияьтонч .

19 Канонически' трошкина Нераые инте~рак~ля

1ШЫ,ШПГЯ

ф1 1еорсма Яами 111ял нэ

МГТОЛ1 АМ1ЯЯ 1ОНА — ЯКОБО

"1. Деян ~кис кэл фл ньиия ы орал~на~ ......... 61 '2. Диффер шлиэньныс грани'ноя 1алштьт,тиа-Як би... 1О ". О.и ый к нк 1гглагилги й и т ллы ........ 66

. 69

61цлЯН111 1'АфНЧР1 К1П1 ОПил ОК