Вопросы/задания: Условие ДЗ

Распознанный текст из изображения:

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

ЗАДАЧА 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

и вычислить его, если он сходится.

1.

6х

х 1х+1)

г

4. 1е сооЗхйх

о

7. / х 1пхох

о

!/е

х1п х

о

о

ее

Ых

16.

(х — 1)

1

о

о

о

о (1+х')'

бх

2.

1

6. ~ е * еда х Ых

а

дх

8.

х Ч-2х+ 2

г

"1 м

а

14. ) хе ~ Ых

о

о

1

23. ачхое ~*ах

о

26. /1пх ах

о

1

1

6. /'хв1пхбх

о

9,

<1х

х~/1пх

1

1

)' (хЧ-1) Нх

/,/хг

-1

о

" У.".

21. ~хе ~ох

о

1

хбх

г

а

27.

хо+ х — 2

г

За. / -г*в1 Ь

о

Распознанный текст из изображения:

ЗАДАЧА 2. Изменить в двойном интеграле

ь Е»г)

с»х /(х, у) ау

а ф(»)

порядок интегрирования. Сделать чертеж области интегрирования

Ф а Ь

<р (х) »Ь (х)

Л а Ь р(х) «Ь(х)

-ч4 — хг 2 — х

2 0 2

х2/4 «/5 — х~

4 1 2

6 1 4

4»2 30 — 2х

В 0 5/2

4х 5 — х2

10 -1 1

-у4 — х" 4 — х

2

12 -2 О

14 -4 2 х +2х — 7 3 — х 16 — ~/2 «/2 х2/2 «/3 — х

18 0 2

20 — 3 /3 /3 3

4х — х 16 — х

2х2

х2/9

27 О 4 х+1 10 — х

29 0 4 Зх2

12х

ЗАДАЧА 3. Вычислить объем тела с помощью тройного интеграла

переходя к цилиндрическим или сферическим координатам,

1 0 3 1 — х2/9 «/9х~»

3 О 3 —.«/Зх - х~ О

5 0 4 «/4х — х «/4х

7 0 3 -ч25 — хг 3 — х

9 0 1 — 2х «/4+х

11 О 6 -х — 1 «/36 — х~

13 2 5 2+х х2 — 2х — 8

15 1 9 «/х «/9х

17 0 2

3 7 19—

2 2 21 О 2 23 0

3 7 25 О 3

22 1 6 24 -1 1 26 -2 2 28 — 2 2 30 1 2

1 «/х+ 3 Зх 3(х + 1)/2 2х2 9 О «/4 хг~ О «/4х — х~

-х2 + У2 + »2 ( 0

х2 + У2+ »2 ( 9

х2+у +г <1

х2+»2 < г

х2+ »2 < 5У2

х2+ У2+ »2 < 9

у > — 4

х2+ »2+ у » (5

У2+»2 (Вх

9 — у — г )~ах

2 2

х2+ У2 ( 25, г ~~ 0

х2 + У2 + »2 < 36

х2+ у2 + »2 < 49

х2+ у2 > 4»

х+ у+ г (. 4. "

г > 0 х2+ у2 < 2

Х2+у2 < 7»2

х2 + У2 + »2 ( 4

х2+У2 < Зх

х2 + У2 + »2 < 4

х — У2+х < 0

.2.» 2 „»„1

»2+ У2 < 4, г > 0

2 2

4<» <6

5 .

х +У2<4»

х2+У2+ »2 < 16

у2+»2 ( бх

9.

х2+»2 < у2

х2+»2 < 2 — у

2У> х +»2

у2 < 4(х2 + »2)

10

12

У2+ »2 < 9, х > О

х2+у2+ г2 » (16

х2+ 2>4у>О

2+ 2<9

х ) 39(у + г2)

Зх < 3 — у — х

2 2

) у <» г е, 4у, у > 0

' 1 х2+У2 <9

',>.

14

16

18

20

0<х<6-у — г

У2+ г2 < 16

3<у<4

у<8 †— г

2 2

х2 + »2 > 4, у ~ 0

х2+У2+»2 < 25

О < х < 5(х2+У2)

х+У~1, х>О, у>0

х.~ О, у > О, х > О

х<1 — х — у

2 2

22

21.

у(»5 — х — х

.2.» 2.» 2 < 4х

23. 2, »

х > О, у2 + »2 < 2

Ж' х2 < У2+»2+1

,2.». 2+ 2 < 2

Л' у < х2+»2

29

у ( 2 — (х + »2)/2

24

28

ЗО

Р(х, у)Нх+ фх, у)ЫУ

с

двумя способами: непосредственно и по формуле Грина.

ЗАДАЧА 4. Вычислить циркуляцию плоского векторного поля

Распознанный текст из изображения:

Р(х, у)

Д(х,у)

х2 + у2

+ )2

ху+ 2х — 2у

ху — 2х+ Зу

2х2у

-2х+ 2у

ху

х2+ 4

х — у

(х — у)

хе+ 4х2

ху+ х+у

ху+ 3

-ху

2

2х+ 2у

я у

х2у2

ху

(х+ у)

Зху2

у2+ ху

2 ь .2

4ху

ху

2х+ Зу'

5у+ х

х+ 2у

х2+ ху

х +у

5х2

2х2+ Зу

Зх-2у'

-Зх

х — 2у

х2+ у2

4ху

2(х+ у)

х+у

х+у

х2+ 4ху

.2+ 2

-2 (х — у)

2/3

.2 2

4ху+у

+ )2

х2+ 5у

2у — х

2

у2

4х2у

у — 2х

+ )2

х — у2

х2 — 5у

у2+ 2

у

ху

х+ 2у

— х 2 2

х+у у+х

1

А(2,1) В(2,3) С(4,3)

2 х2/9 + у2/4 = 1

3 х +у2=4у

4 х2+у2 =16

5 х2 + у2/16

6 у=н1пх, у=0,0<х<

7 х2/9+у2

8 у=4х2, у=4

9 у=5х2, д=10х

10 ЬАВС

А(0,1) В(2,5) С(0,5)

11 х=4у2,х=16

12 х2+ у2 = 25

13 у=х2, у=8

14 х=9у2, х=Зу

15 х2+у2 16

16 х2/25 + у2/4 = 1

17 4у = х2 + 4, у = Зх — 4

ЬАВС

А(0,0) В(2,3) С(0,3)

19 [х[+ [у[ = 4

х2+ у

21 х2/16+ у2/9 = 1

22 у = х2, у = 4х — 3

2З АДА ВС

А(3,3) В(5,5) С(3,5)

24 у = А/х, 4у = х+ 3

25 АААВС

А(2,1) В(1,4) С(2,4)

26 у = 4»/х, у = 4х

27 х2+у2 = 4

28

А(3,4) В(5,6) С(3,6)

29 х2+у2 9

30 х2/4+ у2/25 = 1

ЗАДАНА У Н», г»уг»» ( ( =,/Ъ»уг»А - и»

вектор.

1. Найти гос(с/([г[)).

2. Найти гос[с, г/([г[)].

3. Доказать, что 61г[а, Ь] = Ь гоС а — агоС Ь.

4. Найти йА»(ийгас1и).

5. Найти угол ух между градиентами поля и = х/(х2 + у2 + 22) в

точках А(1, — 2,2) и В(3,1,0).

6. Доказать, что гоС(иа) = игоса — [а,рас1и].

7. Найти йи(Ь(г, а)).

8. Найти згас1и, где и = ][с,г]].

ДА У Ш Х

9. Найти госа, где а = ~ —— )

2хх2+у2 2ххв+д2

10. Найти й»Агоева.

11. Найти го1 рас1и.

12. Найти угол ур между градиентами поля и = у/(х + у2+ х~) в

точках А(1,2,2) и В(3,2, 0).

13. Доказать, что сйА»(иа) = (а, йтас1 и) + и сйиа.

14. Найти гос а, где а = [йгас1 и, Ь], и = у2 — 2хд + 22» Ь = 1+ 21 — 31с.

15. Найти производную поля и = х2+ у2 — Зх+ 2д в точке Мо(0, 1, 2)

по направлению от точки Мо к точке М(3, 1,6).

16. Найти гос(Яг[)г).

17. Найти й»А[Ь, г], где Ь = х21+ у23.

18 Найти соса где а = (у1+х1+ х1с)/[г[

19. Найти угол уд между градиентами поля и = д/(х2+ у2+ 22) в

точках А(2,1,1) и В(-3,— 2,1).

20. Найти го2а, где а = [йгес(и, Ь], и = х2 — 2ух+ у2, Ь = 21 — 31+ 61с.

21. Найти йАу[Ь, г], где Ь = у21 — х21с.

22. Найти 61»А(Яг[)г),

23. Найти производную поля и = ху+уд-2у+42 в точке Ме( — 1, 2, — 3)

по направлению от точки Мо к точке М( — 4,2, 1).

24 Найти соса где а = (21+ х1+ у1с)/[г[

25. Найти производную поля и = у~х — 2худ+ д~ в точке Мо(3, 1, 1)

по направлению вектора а, если а образует с координатными осями

острые углы а, ф, 7, сс = х/3, ф = х/4.

26. Найти гос а, где а = [йга6 и, Ь], и = хух — 2у+ 22, Ь = 21 — 31 — 41с.

Распознанный текст из изображения:

27. Найти 4Ь-[Ь, г], где Ь = ху1 — д«1 + 28. Найти угол у между градиентами в точках А(-2, 1, 3) и В(3,4, — 2).

ЗАДАЧА б. Вычислить площадь час ную внутри цилиндрической поверхн

Ф

(г

ти поверхности о, заключен-

ости Ц.

у+« =4

хг+рг = 4

уг+ г

хг+ хг = 4х

.г+ рг

хг+уг 2х

уг + ,г 9

уг + хг

хг+уг = 4

г+рг

0<«<2, 0<«<2

хг + уг 5

уг+ хг = 4«

хг+уг = 8

уг+ г

(хг+« ) = 2хх

г+ г

4 (хг+ «г~ = хг — «г

(хг+ рг) = 9ху

(рг+ хг)г 2дх

(хг+ уг)г = хг — рг

хг+уг = 4у

(хг+ уг) = 8«у

у +хг=2у

хг+уг = 16

уг+ хг = 2«

рг Зхг

(хг+уг)'

х+у=О, х — р=О

.г+ уг

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

х = 2рх

д= '9—

х=З вЂ” у — х

уг=хг+ г

у +х =1,«>0

х -+ рг + хг = 16, х > 0

х =у +хг, х<0

2« =ху

2« = хг+ уг

рг = 2хх

«=9 — х — у

г г

х-~/р2~ «г

х = ~/Р— хг

2х = уг — хг

2у = хг+хг

( г + рг)г!г

г+,г

хг+ г г

рг+ г

хг 4( г+дг)

4« = хг+рг

г+ г+ г

хг+уг+хг = 36, х ~ О

.г г г

4« = хг+ уг, «< 1

« = б — 2х + Зр

у +х =З,х>0

2«,г,г

хг1с.

поля = (х — х)/(хг + уг -ь хг)

ЗАДАЧА 7. Найти поток векторного поля а через замкнутую поверхность а двумя способами: 1) непосредственно, вычисляя потоки через все гладкие куски поверхности а; 2) по теореме Остроградского-Гаусса.

1 х1+ у г — 2«1с

2 х1 — р,1 + хг1с

3 хл — 2хуг+ )с

4 (1 — у)х1+ у«1 + «1с

5 хр1 + хуз' — х«1с

6 Зх1 + 2уг + «г1с

7 21 — Зугг + «1с

8 хг1 — хг1 + рг1с

9 дх(1 — 1) + 2х1с

10 1+ 31 + 2«г)с

11 л+ 2уг+3«1с

12 хл+Зр«1+ х«1с

13 «1 + уг1 + х«1с

14 2х1 — 31+ р«1с

15 хгг хг1с

16 1 — р1+ х(3+х)1с

17 у1 — «1 + ху«1с

18 хг1 2р1+ хг1с

19 ул+ хр1+ «1с

20 Зху1+ ху3+х«1с

21 «1+ рг1+хг1с

22 хрх1+ 2хрг — хг1с

23 -х1+ рг — 2«1с

24 х1 + Зуго + З«г1с

25 х«1+уг1+ ух1с

26 л — Зуг+ ху«1с

27 х1+д1+ Зх«1с

28 х1 — 2у1+ 8«1с

29 хгг+«1с

30 х 1+ р1 + «1с

2«=9 — х —, «=0

хг = х' + рг « = 4

хг+уг+хг = 1, х > 0

(2 — х) = х +уг, х = О

З«=9 — хг — рг, «=О

+рг+«г 4 у>0

4« = хг + уг, х ж 9

хг+ рг+ хг = 9, х > 0

у=1 г г, у=О

5-«=х +у, х= -4

г г

уг = 4(хг + хг), у = 6

хг+уг+хг = 16, х > О

хг =уг+хг, х = 7

9 =хг+рг «=1

3«= 4 — хг — уг, «= 1

(2 — х) =у +хг, х=5

хг+ рг+ г = 4, х < О

г+ г

уг хг+хг у 2

х = 9(хг + уг), х = 36

4« =16-х -у, х =3

г г

хг+рг+«г =9, у < 0

хг рг+хг х 4

Зд — 2=хг+хг, у=б

хг = 4(хг + рг), х = 4

у =1-х — х, д=-3

г г

«г + рг + хг = 16, «< 0

«=25 — х' — д, «=9

г г

2«=2 — х — у,«=0

г г

.г+ уг

Распознанный текст из изображения:

ЗАДАЧА 8, Найти циркуляцию векторного поля а по контуру Г

двумя способами; 1) непосредственно, вычисляя линейный инте-

грал векторного поля по контуру Г; 2) по теореме Стокса.

1 л — тц+у 1с

2 3х1 + у~3 — 2у1с

3 ул — х23

4 у1 + худ — х1с

5 ул+ х) + хх1с

б ху(1 — 3) — г(с

7 х1 — ху1 + х21с

8 х1+х ) — у1с

9 ув1+ г3 —. х1с

10 х21+х21 у1

11 ху1 + 2) + х1с

12 л — 2х3+х~1с

13 2 2+

14 л+ 2х1 — х~1с

15 2л Зу3 х21с

16 Зл+ х~3+2х1с

17 хх(1+3+ 1с)

18 у1 — х3 + х1с

19 ул+ 2х3 — у1с

20 хл — х3+ 2р1с

21 у1 — х3+х1с

22 2л+ уз) — х1с

23 4у1 — х~3+ х1с

24 Зх1+ 2хл — у1с

25 2ху1 — Зх3 — ув1с

26 — л + у3 + 2х1с

27 у3+21с

28 2л — хв3+ Зх1с

29 у1 — х~3 + х1с

30 ху(1+3+ 1с)

х + у = 9 — х, х = О„у = О, х = О (1 октант)

х2+у2 = 4, х+у+ х = 2

х2 = 2 — х — у, х = О, у = О, х = О (1октант)

х+у+х=2, х=О, у=О, в=О

х~+у =1, у=я

х2+ у~ = 1 — х, х = О, у = О, х = 0 (1октант)

х2+ хв = 1, х = у + 1

х+у+2х=4, х=О, у=О, в=О

.2+ 2 9

2х+ Зу+ х = 6, х = О, у = О, г = 0

х = 1 — у — х, х = О, у = О, х = 0 (1 октант)

х2+у2 =4, х+утх=З

х+2у+г=З, х=О, у=О, в=О

у~ = 2 — х — х, х = О, у = О, х = 0 (1 октант)

х2+у2 = 9, х+у+х= 12

х~+у2=1, х=у — 1

2х+у+Зх=б, х=О, у=О, х=О

х~ + гв = 4 — у, х = О, у = О, х = 0 (1 октант)

х2+у~=4 х=х+2

ув + х~ = 16, х + у+ х = 4

х~+у +г2=9, х=О, у=О, г=О(1октант)

х=у2+х2, х=9

хв+гв=1, х=у

х+2у+г=4, х=О, у=О, х=О

х~+ у~ = 4 — х, х = О, у = О, х = 0 (1 октант)

хв + у2 + хв = 1, х = О, у = О, г = О (1 октант)

2+„г+ в

х~ + у~ = 9 — х, х = О, у = О, х = 0 (1октант)

х2+у2 4 г у+2

х+2у+х= 4, х =О, у= О, г = 0