Другое: типовик 2009 года выпуска

Распознанный текст из изображения:

и| докмсльио

- .,тоска н только тогда":

— .,!якой:по

Зк | СФЬ.- !|ги !"(к) =. Ь. 2 Ь.п И|' ..:! иг

4 Ьгп г'1з = гк

г -- и — к стремится к .

Определение 1.1 Число Ь яо|киввмнси'вреде!о!! |Ьукьпис у 1(г) яри г сгпрскяшаисл к и, если!Ив импоео ь > ь иг. ||'|- !я я!в!ос б .= б(г) > О, |ля гцгидт<"|1к - и1. < б еъпл „и к.|сьс сшео !1(к) — Ь( < ь

О(!я оьозякяеввя предела фуикщщ:;:иеиабьтукп

ьзуяп с|и ||ю к|",

си!си|инку

1!м Ди)'='::ф

используя введенные выше обсеиадииии" япмкя

)еДмдивекие 1 ! !||а ко ш репнсвть я виде

Ь вЂ” Ьш 1(к1 еь ге > !) Зб = б(к) >я) ь~ги',";:Ц) )

и" <'(2'-.и( < б

~ |Т(к) — Ь! <е' ",,=

искл|сиде||ос лря м|редоленин вреде)ьу(иььпупк(пт

||о|к|!| 6|,пь ве определено

Определение !.2

Ь|п у(' ', =. ' сь на > 0 . б=' б(к) >611|и;,634'.4* е '„ Определение 1.3

1|ш Х(я) =-Ь-. и =631-=-Ь(е)>о',::.Ь'-':, %."'~.;;

1.2. Основные т|ор| яы о .|р|л|.;.х

Иряводвмые неже теорем|с г кж:~;. |;! *„

|ясла и когда а —.- т х

Теорема 1.1 !ип С вЂ” —. С.яьгь С ис|я ..". ми-

Теорема 1.2 Ь|п||((г) и дрг1| =: |ип |' |

Теорема 1.3 Укп|(ьгг) фи!1.— 1пи '|!.,и! ТеоРемауА Ьш(С 1(к'|' =- С Ьш! г, М С с.„.:,|жх

Ь!и !"! г,

Теорема 1 >2 Ьш ~— ,' — - — '' — —, хл| 1ш| с-|. д(к) !|и| д!.|

Теорема 1 6 1|хи —, =- со, голи 1ип !';л' . С вЂ”; 'Ь Ьп у г = и

.Г(.)

- д(~)

Теорема 1.7 1|ш —,' = О со|и, у(г)! < С Ьп о |, .:

У(я)

-' д(и)

Теопема 1 2 )!ш ((т)е1*1 = ~Ья )'1к)) -'о

ГпоРем||дг1>9 ЬшХ(и) =- у'(Ьшг) геки ~,'г| |!к|< | |,*Гоп

, жк К|ты

я|1гкМ)йли и йрРнйлелсип| одиигг(и и!ген||!с!с:пм ьыяьт|иь (

Т'о~и"'иа 1|2() Хбдсшь 11ш д(к) - Ь, 1я „г; 1,':, ь!

тег1(п 1нп (~(д(и)) ьь,Г|(ь)

Распознанный текст из изображения:

нь1О е(нтоды иь(чнсленнн пр(;!еле

ЯчИНННЕР 1.1. ВНЧННИЕ(тва 11РЕДЕЛВ'фУ((ьпнп '!и.,! ьооХЙлчотнуфлиан вожтиновна не приводит к и с (п1 (, 1 „„„„

Ох+3 ч 2+1 11 и Й~-ч.2 3 ЬОТ'дл б

О' ..Уеснрмплир ннппррдеиеммнс(пей вида

О

хи- 1м. л Првмер 14. Вычнпчн(ъ.прел(еи.фуниннн( 11Н! — —, '—

2-.2 2. - '2,(

рещение; Неаоср~щоьнвви((й вадетаневка в числит: 1, и мл(2. ННТЕ21Ь ННЕНЬЬЛЬНО(плЭНаЧЕВ(Н2 а(рууМН(Йщ Н'=. Х Обрао(а('»И ! (, ириводвт н' неещадеисннему внрни(ЙИ12И2 инда

О

раьч(винй ннсвиащь',в(1ьнв(еиватвиа ~" пион(2(те(! и;,и 1м п 2 ВМИЕХО(ст(.'й МНО2(11едаиь11В '- н11'

—:Йд"Ф41::.(. 1х -', ЙНу(': . 3, ' О1

2.2 х -х(и ' -"е 2'. 1И,:; фх л "е+2 х

О р(пул!Ьтате неиссредственной:ищеиацврнн а 'получспиас о(: раи(ОНИ(" НИСДНЕЫ(О('!(тн(ал(сфь1л4Р2Я$ДЦЕВ,11О22У((вем

2- 2 жа -''2Н1 ', - ел(ЕХЬР~:л рл"„Й.-" Примор Цнх Вычиснннь11в( (( '(ЧУХ,','Ч

ЬЯ+мй(' "!ф~!;;:!~'(: -'!!(

Рси1ени(. Имеел( неонреисте2нлееиь виь ато21 нми(12сделсниостн умнпжим чисвитве1' Йщ~я й! '=о!- Рави'Нал сбс12ни(свисс чипчнлеви2', . . ** ' '' '-".О(с,~~!: "",*(,

~З:О-О' ~ ~Р+Ъ1нн —.— -' =- 1ни- 2-4 и* 4 2-4 ~Х 41

Х

-1(п(- 21 (2 .. (1

-,,л (х

В данном поим(р(» «, и,

рсн!евис

'!ИСЛИТЕ.И И И Ям ( (1" п(есть на [21 1 '1

и( ел Н2Н1 л 1 1

,—.Š2"

!пс --,= — -:==-=; —- .а [,,'(1

сдслсииогп(сй андо ~ -- 1

Рпсирьпп(лс нсопрс(слс

г — «-1

П . 1 О2 Вычис:п!и ир( и ..: и!

С.!ЕЛ ! И'ИКИИИ и 1

Прим('р

от и(т( '

РЕ(ИС(НИЕ ДСЛИМ !И; 1, (Л,

сли(сль и . Иаот,

Х 52

1- 0 — О

Х2 Хд

! " Омм об 22и(фм(.(ич(ч . о . ".';.

'и'! ' Иич саовстмл(

оде~а !!споиьзу(птс(1 тсорсмм

!(р(ааааа н та(рема м ич ко(21 и "; и!

1ии —,; -О

1пп — ';. О. ии(

2 (ЮН ( 'М21

Распознанный текст из изображения:

иеи- ееуиеелеиеее,

1

1ие 11

еекееиееле „( )

нольеуется цереме И л1ми .- 111е~ 11е'м-1 2к1'и -" 1не (',1 - 1!т1 ' "")

ено малые функции

Рееиуеинеие иервуеделеннеееиее иман 1х, — 'х,;

рени.в и 1'РЕИ" '-Е

ЦЩЩЩ,. ИМЕЕМ ЕмаРЕЛЕЛЕИЕЕЕте ЕЕЛЕ (ж — ЕЕ1 У ми,

Педелем Ве сФе1енелкеее емРекеиФж

111 (~Й~+й~+1-е) =

(к~+И+1-х~ ъ'~7+Ь-~-! ° у1

е* к+1ех1

Зж+ Х

йп уйелнм

е +За+ 1+к

Д1ЕЕ '1ЕЕЕК1ИЕЕИИ НЕОН „'Ланке е; Е

1ИИЕ 1ИМИН 1 е к~каин н

еее е елее. еум

ееиоеекне в киле 1 - е'~ е еее ~...не

х-1

1пи

Распознанный текст из изображения:

66

3 Рн~.Ю. »ч ь о

-" з 6. 1

в,' . ' Прнмер И4 а(х) = — — бткконечяо чалая прн х-- йх

Оттределенме 1.6 дтрнкиил У(х) мьтмваепгсл огрииичст.»ов „

немтмароб «цюкааатаоа окрестнностни таочки а. егли 5И ь 6 „,,

Кое, оно при негопвром б > 0 длл всех х 6 (а — б.а) ьг (а.а «в

еье. рдовлептвовлклаих нсравенставй О < (х — а( < б, вмгаттыг, „,

нервветкнтво ()(х)( < ЛУ.

Осноена»е свойстнеа бесконечно малых фрнкцитб

1. Сумме (ялн разность) бесконечно мвлык фувкикя г г« ..

печно мелея функкяя.

2 Прокзвеленне бесконечно мальв функиий есть бм итнч

мелея функнкя.

'Хеоремн 1.11 Если Инт Д(х)»» С ф 0 и а(х) — бесконечиа чо.ы млунктСил н1кт х ч а; а(х) р' О в некоктороб тгрокалоптои оьрагвт мсптн ям жн а, тпо йнт — = со.

)'(х)

*-»а(х)

.Теорема 1.13 огглн (Дх)( < 66, нто естль у(х) — ограни« «т а~

' д х)а(х), - бесквтичйа',нгьмтя ббрнязрьк нрн х -т а.

,ягмтвтаач, чтпо 3(х(» О в чг«отпоров „

тьилиоо т«грстчч.

6м . "™')'

:((Вя ' ' ' ' якыт,

абозначенття з«виввлснтны«осг «г.ттсчттг

' " ' 'т« фтв«к«в

.-, я»с слгкучои«ч«т симгтсгттг«т гт',г~ дг тя

1 15 втнх х трн т' ' 6 ''нлтеыг ввис <«вт )

бей

...фхвтбр126. 5хт, 2:г 2х ири « - бт;+и, т „, „

5хт -г 2х

йгп — — -.=(оа(- та ~)

»-в 2х -6 г,2

1 1 фяззмф И7. =-==== — — — Р« .г — -: .с 'Чт«»рвгь

— з~25хт -Ь 3» 1 1 бт тнкщсегичельно) .

, 6(р«теймчнсденнн гтределов гтолезны с.тстгч«тигиг ггт Рсчт„о .хь ммм,лебканечко малой ф1 икции на в«ви«сси ят«ую в произв»являя 6 верхним. '.56))тййв(11«1$ Дрстпь а(х) - д(х) при.г — а и (,т) стадии.т. вабвкйя' фрнкс(нтт„опредглентгал в тв ьгтпторг ьт промни тра о«рггитнсФщвйрчка'а. Тогда (нн (д(цгт(х)) —. )пп (((тйд(л)) '6)(6(66((ейск.14 в»редка оптноитснил двух бес«онечно»тагил фун«- Мкб юрв(зленнгяоя, гглн их,ньменипть на лк»ивалмпп»нг сбутгк

ятрл бх 5х 5 ',1,16; ()йт — = 6

в»в яи Зх - в Зх 6

,йбтв(хк сяедутощее определение ~~)66(йн ягт Фрнктсил ((х) назмваетпсл бгс«онечно боль.'~~~~фМ~'::;,:.2ят,баян )тш 1'(х) = ж. вувб' 66(йвкйня У(х) — бесконечно балмиал при х, — а «»

лто лая огт(кюцил при л — > а.

Распознанный текст из изображения:

,е „( рпх. о5 х

х

'Ыдрдуггсрввпыхзфцпвреиеипогей удобпо персписнн г и гн,, сбп5ем, видех '' Йую ьЪ(Фф -''-баев!(г)гечро 'меввп'4уикции при х — и имвегх. евегг5фщфяп(е"щяфйфеифиеоУи гери х о гг(х)

о(,г! а(х)

Ы(х),!

о!г с-:.2ф-'Прммепеггие хпг!лиггы вквивй~геггхггосхе51 „

яычислеиисо пределггв :„.',';ем примеры испг льзонннин и ~рснг ~ мн гн Гн,

,','гсдии ив зквиввленгн!н н нр не и нни,

,пища пределов -(г "щуГОГдвк Прнмернн ггнсгмлг" нр: ил» г!ннкнннг нгнннн,

Егеедииу осиовилгх экнивалгнгннг гн ' зуг! Вгсф — —., е ' — 1 -- ун ~~рн г П

ух Ух ек;,'вийе 4

н!гг Зх ганг! В П'нмео 1.22, 1пи! г — — -- -- 1!гп

Ф.хххг ' ' н-н 1п (! и 2хгг .-' !2г!" ~ф~,,-'фф3ухх, 2х, 1п(1-! 2г! -2.г нри н ' гр

ггв — 1 !К(5 ! Ь2 Я()ру1 у(в; 4;23. 1!пг — — — —:= 1нш

†' .- н вгсвггг х н г =~,. -и -=-ЗЬЬ '..22:,:::Ьь

1 — гон 2х 2( ." .124. 1!гп — — --'--- — (~гн --".;, нн ' н в !п(1 —:5х'! 2 . Зги

Сн ' 3'!25 ..!!га —,— —— в *. о вгп ох — на дх

ЕИН (Е(Н ГГ!г — 1) ! ГО .5Г Г ' ~~'-Ф)х, ( ° !'5$ 2

!и! ! - ! 1 -. его.г,",

.х

'+'.~:ф; ! н-,в Зх

Распознанный текст из изображения:

т»

«е в»св и «-л» аготу т х

-2 зх ° х

м)ка — = -б

к-а х'

у у ух2 т М

утри»нер 1 22. )(»а ' 2»в = так кт»к х .тРи" Р *-о) (1+ьх) .- Ьх б'

$ жл, )в(» + йх) Ьх прв х -~ (),

2»л- уха+в)вух . б

«) ", ПрвмеР 1 22. 1»тп 2 е = 2»п» — = —, Здесь .,

)()х -2е" ..— 1()х 2

пользуем н», что июиот место вквивтлевтйостн 2ха- ухк к ь»„,-,,

бх, 16х — 2ха . 1(»х Прв Х -т'6 (про»»ерйзь самостоятт льн»,,'

к»вт~в лр2»ткции ~в "впрврьев»гроув ф

непрерывное г ~~хо еоаиу(х) ощжМено„:.„-, „ )2»»' У(х) =,' Л~~)

::,, уу-, ватно''т иепрерывнои „„

Ептвитуета л сваи Оиа ИЕВРЕРЫЕВО» <Жака»М Р»РУВЕ Зтаага МНОМ !«~к~',,!„''!3$Ф~Ф~~В~-",Ф.'$22увл«(мкнвттнвйрфувф)))уттщтьиут(ук)те)ицщы е обло ть

В:;ИФ "В)тф~й(2МаФ В»в~ о м хо ФУ»тк

',у(куь ';.вувувк)бетувутвфмв)тые е тпа ~к»

ф, ЩАМ 1.,: „:-„;:,-

„,'а2,2Ес«иФу и яиму(х) е т и е

т(и) ненрсрыена е тлакке тк =- у!х,,

'уи' '. *.' .— у(у(Х)) непркрыана е сынк« тл

2,2. Односторонние пределы

' '' ~вине 2,3 уитло Ь»»а»ьттттт с« т»уьтт ым рркки м

у( ) арии стлркмлыгмсл к а сорняк и або»на а«чтя

)пп ~(х) = Ь(~м»»т )пп»т~т; Ьу

«. О

а»убого е > () т»авт)ст л тла л* л .= л(, > (),

а~я:< о+ б,выпи«тите»пел нераетнсттнк',)(х) — ы с т

ь»уваббтично определяется предел )(» ) прн х -- а тлел«

'т2ру,"Дх)«ы Ь(сзаменой неране»»с»яка < х < а».6нкяерыкгкстео

:В "у«ьй < а)

'4»2фщвт)у,2,4.Лредел )'(х) прах а сутиеспюукт пот;)а т толь-

: 2(»тфув()(тк: уое»уо сутцсстпоук»п» оба адкылкауо»»нах прыула а анн

, уаФМЫ«утт»»оду собой. При эттшм

2рл»у(х) = 1»тп ((х).= 1»тл )(х)

к « -О т- а

:ору())е22»22122 Основные теоремы. к»т»орые нспсльзуются ьл еы)Фм))М2в»(2(седвлов, спРаведливы н;ыЯ ыыктоуоннлк пРеле. ое

2.3. Точки раирыва 2 „;, (т»к)222)ь,- 2,4 Если сутдесп»аустл 1»тт» ((х), не пра «»лом

ле е тпаккг а, с»л маяка а

. ДХ) ие ааляеп»сл непрсрыенло е а а ,"-„-'У,. «..в)())((»т);Фри»вот» устраннмот» разрыла

Распознанный текст из изображения:

причем х(1) и р(4) - дифференцируемые функции аргумента г,

хг(4) В» О. Тогда

р!

р

Ф

»х = вш 3!.

Пример 3.11. Найти щвнзводиую функции

р — — »!'

рещйинее! Найдем отдельно проивнодиые фу~ниии х(П и р !

х(4) = (йп31)! = $сов 34, р(5) =' (тн»г); = ев' + 2теэ!

р! ! е +2(6

По формуле р', = — ' имеем у' = —,

х! - ' --, Знсв34

.3,2. Производные высших порядков

)ой»йи)45!я)ение 3.2 Произео0иос и ого порядка ли»з!у!»хн»зи р—

3(ц)зйВМвоннп про»»з еоднр»о ою е! (и — Г) -ив !»Ри!»зсо»5»си

р! », (р! -! )'

Е$Я 3.13 Найти втс»зун! п»зонзисднтю фгиксии р »5 !

' „ф((((((((йф"находим первую пронзвилну!о

!

2 мох

-з

е 4)'

МФ,,Найти р (х), алн р(х) — (х

и и! »р! = 5!х -' 4), затем

4;!!~!~~';" ' ' ' " "-':йй»рядим первую пронзи»!»г У

: '-':!~Ф' г'-ф":.йг!я+4)э 20(х.! 4)з н наконец »Реги!о

3.3. Вычисление производной Функции, задави

ип1м»мвт рически

Пусть функция р(х) задана слелующим образом

Фу»Н~Мг:ицциииой неявно

,"цап»~)я'э»!(иЖяв»цнция Р(х, р):: 0

* ~~~~~~~~>~~ в»й( '. ' Р» ) в»~еййцй!вв)йцх В этом слуха!

(У'.;,.",'.»'.;::.:,:.;:!'-'я:„:~~ ". ,'.' ', ':, ':.; ', р -...,. 'х,"",)и(ФЦ1йисмвтрнвая У

и»рй 133)ццйии

"'::-:„"::'.,': й 15цанном слУ" Р(х Р) = хзв~ь5хс ир .з Ц

йц(3»е)й(» ! ..ую,

"" ~~,"".''',+3 ~4.яр+ 5) = Зх»р' » х».4дзд', 5р

!евином найденную ПРО!гмилиую к нуг!х! н иорюим нз

Двй»и!

йтс о»отношения р'

3хтр».!. хз 4рзр'.! 5р+ 5гр'+ 4р' = 0

3хзр» + р' (4хз рз + 5х ° 4) . 5р — 0

Зх р" е5р

4хзрз з .

Распознанный текст из изображения:

ДДЕЕВ 1$РГНЧНГКЧВНМЬЧМ, ЧМГ ~1!!ЕЕ) $$ $$ оно!н У $ЧГЕ) '- Й и $ „,

У

КЕННИ ЙИРМЕАН ЙМЕЕЕ ИНД: Й "к ЕЕ

))рнмор 4 $Г Ъ1$$$гвть урее$$ен$$Й кеей$$$11ь$!$1Й 1$ ионин!И

фй$$$* ФУНН$$НИ Д и ЙГ '- Дн ! 6 Е ЧОЧКЕ ВЙ " 2

федщще: Ура!ив!!Не НКЙГнчвчьниГЙ к графику фннкиин ь

Йммн' енд' Й к )Й$ $. ) !Йе)(Й *" но), НЙДЧЙНГ !*Чивчгни!' ф! Чк., „,

мьчм $ч ' Ч.',1(ГН) и 2$ - Д 2 ! ЬД3..1$ГЧН ОЕМН$!Гнпп!,, „„„,

не ееиффиниенее и!$$$вчм$1$ЙОЙ Йннодкы и!1онкике$ннк1 !1 ! !. ! !п,к

фкйкнкн1,!'$1) $$! д Ченченее $1рг!ВФЙЙ$НГГН и н !о

ДГНГГ НбКОММН $ГНОЕОД КГГМ)$ф$$НННЙН,~ $ФЕ) "" ' ' ' 1 * ! ! и ин

ЕНЕВ!1$1М, Ниии!*МНВГМ $$$ЕННПННЕ ННОЙЧОДЬГИГД' Е и $! 1 !

!ген у - ч ! ! У$$$НГне1$ие Й$!$1м$ьчй Й екн$ф~~у фу$$кннн и

имен! н!М$ у ГНГ " у~~-~!к - Йе), 9 Не!Нем едуче!к: д " н

НГ!ИЙ ьн 16

~!ДЕ!Гп $!!ИЕИГГНЙЕ КЖЧ$$$$$$МЙГД ф ж Д Ф )', Дрньи$$$$$$$ И $п Лк

У ' --1+ $$,

$ !)$Н$1$$1 4 кг Нвв $Й Нреиининг ЙЕЕДЙОДМГОД Н Йормв$1$! 1 К!» . Е.

Ь- егф),

:!е$$НГН$$$Й ие$1ВН$$$$нчкек$$. Й)ГЙ $ ' ' 0

$ „Ген

) Е!ДЕЙЩ ИНЕДЧ$$ ОМВЧЙЕЕ И)НГННЕЕДЖ46 Е ЕД Н У ИО Иоьгмгп!' Д

1. ЙГ' .-' Г', ЙГ' к Е 2 "и 2ЕЕГ

'Дичин введем и', ГНГ ф$$Рмуе ~ Д "~

ФФ

Г) ДННЙОМ ГМЬ'ГНЕ )Гк О . к' ВКФЕ,

ее

Й)Й1 1 ГЧ 0 $$)ГОЙЕГЙОЧЙДЕ )кь МГ Й. ~М$6$$$$:ЕЕЙ$ЧЕНКЙГ ИЙ)$ЙМ~ 1РН

. ДЧЙГ)ЧГЕЧОЧЙ)Ч1Е ЧЧГЧЙЕ Ф! М2, )Д ЧЕ)Д!

, -;, 'Мане!!де Йееечед$нье))пе щчде(ддд~'.,:,ум)р, "'д),

,'. "й~$$!$)$$$ЕДЙЕ Н$1РМЕДЕ ЕНЕ$!ЕН$$$,$Ч)!)$$$!Ееь)~,ЙГд !'фд ','д),

)) ДЧМИ$$ниигииГ! к!юм$п$мг Е и пн Г„к Ч

!ИНМГЧ к мгмм,

Ч !$$$ и! Д11 (и ч*'.$), н! МГ!Дн а ."Дрм$$мы уркм! им' ! ! н и ! к, и и 1

НРненн$$$$,$иГРФ~'! И!АР и пп!:! ! !,!пн „„,,„Нне $!.1П !Ко $$, $1'$ !!,! ДГ,НОЙ $! гпчм $$, н

'1 ДГГ-"п$$":.;п~идНРОДИО$$ И 1 Г1 ° ! $!$,'1'! '!.'

нф и т !'Ий' 1.

очкг $!! Ч

!

ь!$О$$$$ $ини пи ! ! !' !1!и! и ! п1ч! НЧГК'Пй!$! !.1,МПП'! !'! 1ПП и ~ Й -"'* Н !'пк $, ~$$ - ". !н! !еей'ГН!Г! !и!Г1 !ПИ П,И ГП !,»!

км! и! 1 ЕЕ ГНГВЧ ПН! ПНР,!! Г1Р,1,

! $!. н!к !Гм

ОРМВП$1 ГПГП'!"! !И1!'Л! Н! ДФ$1$4н$$1$$$$$НГМ$.! и 1ГрибГИ1н,гин$нк

ВЧНГГНГ$$г$$$$нк

ДмффчРГИЦИР!! Ма н $И1М !и

4)$ .- $)Н 1 $$$ Л!!.й,г

4Ф '- 0 '$ДГГГ, Лу

Распознанный текст из изображения:

ФУ"®'~~ ЖФ.Ф ~,х„р,д~~~

'~щюцниМмвюмюсзаей ф~ууз~,

';, ф-~и~ Ф: ~": ж'. ~ — ~~

евдо О;с Пт.":ъ ф~'~~.~щ

3$РОФЯО ЗОУ'ЛВ -'М МК":ъ~ . а ~ °

~',::.фщ~ Дж1 = й. 1~а~ р= ' = л:

'Я~-"::.

~:уф~аа(6 ~.= !ЪЖ

~~цщюдааеавх тв —. ръхж т'м' жй . и~: Хя

Х

~„фФ.$ ж (6

щуц~~д р„,,~ф,х~. ЛЪ. М. -3 ~' "'4

„~~ ~'а

«~~ ~ ~ ~р~~~ щ)рц~д~,,~рйЮХ'7й Л~" "

д,~~ фумежкв .~",~

~ ~„,~„„.,ф~;~~ ~'., ~,

~-, ЯЮ~ =Ф

%В ~ ~~~~ Ф~'

Распознанный текст из изображения:

ити реи~т

:.":"!""--„) ' ' 'с:""цП,'и)сттр)В)йглщ~фа ~афффвп и иредылуипаи

' ""'к "

фщ))йв~~ф)))г)р)р)пала)йфМеаитотв ила О о'. З,

рр))пав~)пр)а)<р,ппвсаМ4фуфммВФ'витсвв аппп — В~ктнитает

4)а~щрцфМфц1иррфффффщ4щгуфф$фпиврев. чем ивадратич.

~';:::,=.,'.,;:,'..:-,:.мй'-::.',~-:.

Пауараачпиии и убыиаиии г)ввии пвееериали

'" ':Итвп) определена иа неиоторои иитерваги! а г„

ие рбтиааеги гив аотрасивиит, че 'а ", и

а (а,в) и и, < хт следует, -:то,! в,

гг'!*, '~ ) яаубыаавугиие тг иеВ'утра мО' 'ит " видав

Еслп из того гг. т г. =..: и

и,и,' ув )<) ~ г,„,. - г

,рпвриитииети ~рбтиастет;... *Ьпра-.и~и. гн- ..

ффаащити дрффереииигаеиой срт исси * витаю

4ераеи чиввоввт Аффсртмивтвотмы ввт ис ..в,т =

)фира пар6аитатотиет'. т исвгстритг юж;, мар

,)т)П) ~ 6 Г)т~х' < 0' йм.итийигт а ы,а у

Распознанный текст из изображения:

О и

Й.-~~и~ ~ фей, ф,. яйййииййййгйгй фййщйй агни. Й Ииигг гййигг оигиг ги и,м..

Й,Ф. 9ЙЙЙуейуйгйг фйййгйгм

63нмж фуййцйй ~(Й~4ВЙЙЙнгггйгй ЙЙ Йкнггйгйом ми» „„. ~г тгфййййй гтнгйй тй Й Йг Йгййййй ~ЙЙЙЙЙгйгдинг,Фщнг'ггмггмо ! гикими Д4, ЙЙЙЙ Й ййййгм5ет тййййФОЙ)мгйтййвъ тонин,г г,, ч г иг и Й „ ' Ж Ф Йи ЙЙ ЙЙгй Йгйфгйиийгйгнй'Йнгййййййтий Йийннг'нг-г.гиг

Л4 Йгг ~(ЙЙ~ ' Й нйгттйймФЙЙгйгй гйюйжйй ~ЙЙнигЙЙЙЙйй,г Йгггйгкмгймо, г»и

ЛЙЙ Р,ЛМ ;гййййЙЙ ЙЙЙЙЙгйгййгФЙЙйггййййййЙЙЙгйгМЙмйг ЙЙЙЙ точкой мини мййгй ЙЙЙмйггйгигй Йнггйййг ЙЙЙгфгййй~М~~:ЙЙЙЙгйггигйиггг, г.'фгггггиугги ~~жМ„ЙЕЖЕгййМЙИ уййййййййййййййгй ЙгйиййййгуМЙ фтггмгггггг йг ~

'ФЙЙЬЮМЙЙгй ЙЙЙЙЙйййиййййнгЬййййгйййййгййМригй .,; ,.фййф94М ЙгМиййМЙ ЙЙНЙЙг ЙЙ ': ЙЙЙгигййМф:кйййММдигко Йиггггйгг ;,-Йййййййгйййййй, ЙЙф Й,фй~йгйййййгй ЙфгйййййгЬ~Ф Й Йни)Й нгигит ;„;;".~фг~~,йййг~г~Йф мгка ~~й~::::=",~ййй~й~.";.Ф~":~'®ЙЙ МИФ ЛЙ~"ЙЙЙЙЙ4ЙЙй~гйгййгй Мтрйгйу и Ф".-'фД~~МгйФМ)Й ~ фф)"гй4г Йггбйфффигй Ймйийнйй ~г(ЙЙ) ни

~ФМ~ММЬФЙЙуййй, Й ЙЙЙ.

,Ё

«»ггг. ~~ !гуин,

ф ч я~ЧЙЙ ЙН ни г миик г и и и г и г гг'" '

' "":ф), Йеагг гает) ггггГ'гг' '" '"' ' '"'"' '""""'

Йий» еи ггг, дггбгг гт г г н г

» гигг. 'иг ги'ггигМ*''

'чи Ф.тйигйй Жн наигн,инги

'111 .

ЙЙЙ Йггу*гвй ~ ~ггй м ггиггн Ни'г и' '- '.$йй9 Йтй ~ ~хи~ н г гггг гнг г г ю г

У"ФФ,удгггггггг ггигйгоггг г, г~ «г ° Р г гг

Й ЙЙ1тгннгмгг.ггг и к,го,» м и - г'

'ТйуФЙ 1х .гм и гг

Распознанный текст из изображения:

МФффВМ6$М4'ДЖ) Ф 4ЩФфЩЗЮфЮВ 3$~ЮВВВОдйоЯ ~1х~ ~

Щ~еМвмйавуесенаеввфе~-4,жеМ~е, хе+В) Есд~ ц~

43В'МЯВОМ ФЦЙФВПРЮ~ЗЯФ6~3ВЮЧФф Я ХВВ ЖРфВВО~ ИЯОЪЗВод~~рд

ФЙЮЮВ 4ВВ ЯМЩИК - ВЮММВ А6$ЖВЬВРЮ МЖЮФМУЗЖ Д

В "ЮЧае..ЗЪ '~ 6 аужюбаще ~Я:мв а~щестаует,"фут. - ди дц„

4~~ ~Н~~~ФЖ~~ МФРФРЙФВФ Э ЭЗФЙ ~ФМ). ПРИ йеРежле еж-, т,д

Я"' ~В Ф ЗЧЮВЭаайпаа МФ~ ЗЩк„'Й9 в мМ точке ж;-р~мдд

,~~"~~~~~®ЬВ®~~ ~:~~~ЧВ4а!П~М~ФЖФ~ЯйчвЮМ фумации на

ф~'~йсфаа ° ~~~~~~„.,

Ддф3 ЯЗЖЙ%ЯЫййЯ Миур~ ~~р~

$ ф~ййй. 1.й '3~кк в ~а~,~~~

фйВ ФФ ~У~~ ~. * ~ ЛВЬ ~ ~~ ~у~ ~

Х ТО 26% ВМ $МСЛИ~~ дуду~,

~Я.Д вЂ” 4 = 2~У' — Х—

дщфф Ж~ = 1 И Х~ =- — ' -~ д;-.-

,"?."" ~~Х)

~ф, ф

Ф" ф ~ .С".~ХЪ МИНЯ~' 4Ь

',( Я-„Ц фувхаоя '*~ ырра~=

р~

~

~-ф ~:~,; ~~;~й~-*~~.

~~р,~~~~,~.р~ ~БЖ.~. 'ЯЯ '~ЗЖ"

"~фувкпив Х~х! = ~ '

Щрр~~ф!~ф~ЪХ~ ЗЬ "М~~~~ 1

'- ф~~~+~ ~ =-~'~';3-~

„~Ф,9 и ха — -4

Распознанный текст из изображения:

УО

убмеее! точке Мииимуме У(( 3~ ' --ру(-! ~

В(ОРВСТВЕТ

яе иквяетси тон нои

лякельиотО тк('т!Мму ма и ~0!+ОО

ЖХ(РВОТ

Яхини при х б !-Оо;-3) фуикцииубмиеет; прн х ц (- 3! (,, ~ функции е(пристает; точка ~-3! -27е"В) -точка минимума ц!,Вь ление функции моукли проиллквтрироиеть следующим графикон

Л!В(Л) ! (В(

убьем(!' точке минимУма ~,0( == (!

иозра( ТВЕТ Ф, $оццЬ

рокси! ! У(дуннцнм Ф'"' !

т уи ' . ' " У."..:,.(Е. Ли(е(((((Ц(ВВ!ЯЯ, УК(С(ВТЬ ВН.: .,;.: '.~т (((!,"Ч'ЛВ ',.Е(ЛССМВТРИВВЕМВВ 4)(УЯИЦЕЦ (Л(РЦЦЦЛВИВ И, Урзьтфч ф Щ::!::,':;,"::

Ц!Лц(!ВЦЦВ(Я(И ЛУВВТРЕЦУМОЦ(,.~1М((У(УЦУ" ~", „.-::~.:::,:...,:,.„:.'".: .:,',:,, - .

В!Вцеб(тльн(ее н иким(иьш('(* (нчч('ннн фу((к.

:фр.ф5 на Отрезке (О, 5,

фУВКЦИН ОПРЕДЕ((ЕНВ И (ОКУ(РЕРЕН-

, лФм(Видения экстремумов функцнк нел

Ф4Щ((ь В ДйннОМ слу'*(не ',! "(ь идет о ме

ФРйфЖ. Ьачнслкм производную

(((ЛФВВ 2(ля+ х — 2) =. 2~х — 1,'!х - 2!

~юф;-:Ф Фф ВВ -2. РВССМВТРКВВЕМОМУ

,3ЛЛЦЦ(В Ф! (е (, СЛЕДОВВТУ(ЛЬНО, ВВВО

, .„'Ф $У(кцк же " О, х! 1, хе — Ь

Распознанный текст из изображения:

ЬЬаеввзкку фф к ь' «Ьтз,-- е „ое~

-иь ~ЗЬЬ'к ЬЬЬЬ, ВВ, УЬВ7., У~Ь~,,, Ь„

Й кй», '~* '®вввФ вв вувкиугаммввв '. вито,внии„„з 'Ф вервквгрз~~ Ф квввт ввввивВФ)~Ф вхииаить. ~ ~„в „ фффЩЬ~ф ОЬЖФ1каВМ,КВМФМ тЬВУЕааьаква а К Ь и ~ми*: „. ~ав В ф в ЕЕ Ьга Ь Ь" ж'а '~'Ь'вЬв .в Ь~тььЬж ЬЬмвввьиь щжмитеввыаев . уеввьвввв

'~еЕФВЬЬВВВВВКВКат бити внии и к . 4"КУвь ф "' =' ИеФтквам в Ьетгчмчеввв

.В~ * ь ~' МВ~ИФГВКВааккедВВЬ мк вввуиввк Фувщивк ~вьвььщузеь ьв а зЬевв ива~аз~ Дв~ ~~~авзЬЬЬВЬва$„

ЬЬЬМ,тф;"ФьЬМфйев .' в ~ ' 'зЬьввьввввтавкв вквиеввк фувхиии фФвввещн$Й ревев йувю юф мФе~ф~-;";;:: 1:.:.::

вв -и. ~ФхЬ)"::~е;„~ .

.,~идьтевив, из —.- в ье заикав:!,, ';~ д Л ~~'2 .":;:л...: з <вьклмл .вьии, ат = Р= .Ь„,,и:.и Н ~~ в,к з ткни йгвки кит~ зи Ь в,2и

--М

внВ Кти аховоць

Львзих т~жу1~ иьникии ' тазьввик и

Ьтваввваь кмее~ рвиа~А~ и-х;он й,~.- ",- ив'Ь и- р Искомая влиии$,:ь гиии

.!фуМФ4ви: вьенуклость и вогнутость, ,,:;~!!';:,:.',,Мавгпсоты

...;Ф;::Мймутоеть граФика Функции

!. е"

~(в~ кавнааеиггя выпуклой вниз

еЬкевеЬккьае (а, Ь), екеи график фуикиии

Мйф~ч еаедвкающеб любке дае изеики зраке'ЩФ ха;кз й (а,Ьз

4ЙФвкккввев выпуклое вверх,* или во,:Фз'."МАМ вафик функции идеи ке кизкм

фЬВ, зйаккк |рафика

Распознанный текст из изображения:

(ЕВЕ

6.2. Точки и р 1ибсе

е

(МОЕ„, О

' ч уккакк

11.

«6 (рки,

~ом116КСЕО

еогнр1

Тсерочк 661 11'.", ''В.,акое. о

о ., Окоесроесс (О,6

сос ',:,.'1 ' ас

1, О; 111" Х с.рс

0' ОВ ' ЕРО ВСЕХ,.1

'",.с С 1'о 6;

фруЕЕЕиайио О.2 16 Екор аерс1оеа ре,:.» о* » ' ерфееФочксс хо е (а, 61~. а со11 о ро, В1кс61 'ес(рерс.'ео. Дрргомеа еооо 1мо,:11 Ееа иск.1 кок Ее с еераФторрсое оерЕссооосоо, ои1ккк -.В1иа, . р . есс сека+Я, коодчом, О.1 ытор1 к ро; екЕО» *О с1ОО1е с °; 1

11ВОЕООделсОВ 1ссеооос ОЕО'Осо о 'сесмсРО

.Вееерексе бсе прсесес с, е (11,6е т1 1,о трссосс сррккаосе .';=

е суыаск11орсЕО1 ук(11В> р11ЕОО,Е:"(ЕВ, е

'рокки Обркаокисслк .1В .. ( 1, 6,' О1ккк ырсс нч. 1; .юь

,' Ук(со6 '-' е косее „со(ао( Ек сЕОВ г1В11.

Распознанный текст из изображения:

~4:-:.'::-':.: ';:::-:.::: ':: ': ." ':-::: ..ЯВ

:"":.'; '.; "ущип~; Втврюг йраизводюи У (х) = 12 — 4 У"(~) Р

чтобы нанти нитерваню.выну«лавен, раины неравенство

» . '. ' . у-(ху > ь. Реннэнвьг ннвиетев ебьеннненне интервалов

»в ' х 6»ею!".,— . Гу —;+оо

'4 .Длв наковкиввнн шатрова ног«тенет« нунсио Решить неравен.

' 'у . ство 1»" сх) ( О. Рюннннввг навииюлв

в и.

у" (х) ~ 1',х!

выпукла 'вниз,

„.На:юонсно проиллюстрировав« слелуюш»и

,з

З 1

1»ис. ху

к графика фун«~сии

ко»о

фф,'ув1~, Ываегся прямая. Р

всюнкн»с ло л

,н к нулю ьр» всосрю

„В „,,к» по кривое

'с " —:-. .нана «оординат ю о .

, »*кеса лвв

аргуыента грн тсоы' Р

бог»в с4юР»'.

наклонные. Зля ул' "

:-'.*ь,:",",, '.;, . н наиюннов вс

н на

вмг:

вертикальной н

Распознанный текст из изображения:

1ного исстггк ваиии фуи*скии квввктск

нкв фуикмвк ммнк фрикивв . гозк и,вк ккркко гр

ностроемне

Обннм снема нсследоннннн фунннни состоит нэ трех ктвввк

Эти Мйн 4ест нем нрйнтнчесннй. способ построении графика ,. Фуннннн, отрвкненннего оснонньа чнртм еб новедения. ккеревик викин - яенненмюуннм нссейЬеенне функции Пустъ лава Фуннйнн анку, И элементарное исследовкние в кло. ~.Н. ®" б б 'ьер 'гни% Ф, Вмжзййь обнеим снещстмк фуннщщ, ноеорнке номогут в ощк--;,':::.'.:",:.::!'::~,'НННКМтеи НН ФРЙФЕНК ЧФЩФФ:ДЛЯ НнтвтУНКНх кк' " '""" " '"" " н' ннннннм Лн ФИнгннн Ф1нйккнж~еицФ.

ееВф 'ерйф$фнф уФбккббк~ н,4снмн

В ~ухи Ввиххивн фУНККВ.,Г Г

точки нерво"' и'-'-'*'

в'"""''"-'".унонрнстании и гбмкхвик ф'

)йкннлвнкие вксгркь к кч„

ГкЕЕЕЕдейЮейнс фрчк' в' и иоисгикк к н ".,и

Щзсн$3нолну'ю Звдйииое ~р~ як'. 1к

корее нто$иВя Оропкво ги ки рики ~ о: к 'к

;и гчв ри3 з ч'~'к~ ива

многи'гсв

и;кок~о'-т "".

футгкции

фуиккгикк р

ун

. кхкдвеквик ~"'и

ЬЪ

як~чик. Ляонемгиеривк " '

Распознанный текст из изображения:

И4

я функции» х р 2

2. Ф,нк

у цня не нвляегся нн четной, нн нечетной, не яс

периодической: не являетсн знаки»»остоянной.

3. Пересечение с осью Ох: х = -1; р = О, с

1 — ° о„,

у =

4

4. Т

. Точка разрыва функции х = 2.

й П

Поведение функции в окрестности гр

граничныя точек, вс«г»

чвя и несобственные точки -оо и +ос.

!!»и У(х) = йю — ', = »со

(.+ цз

с-.»ж с +а, (х — 2)в

!1~,«(~) = й»н ( „),--Ж 1ин «(х) = !пп — = +со с-ть (х — 2)Я

(х+ Ц« пп г"(х) = !пп †.=-+со

, т- (х — 2)Я б. Примак х = 2 — ве и

— рт ксльнак асимптота, горино»»тальньи аснмптотнесупгествуст,нескольку !цп 7(х) = тоо. Найден правую нвклоннук» аснмнтоту: ™

У6 с)

, = Нш — = 1, Ьс = 1!го (Дх) — х) = 7 :;Т

аким обрезом, правая наклоннай аснмщот»к р = х+ 7 Най '4(ем левую наклонную асимптоту; У(х) — = 1, в = )пп ф

у~у~~нис функции с номсисью ьсреоа ироонмсодную заданной функции Пт' -",,'-:::-;;.( +!)з(х 2) — (т-!7»г(т- г; ',:е!»сйх»»» » (~* * — — 8»)~

':~:.'. -(ю — 2)з

". "'»рс! непрерывна, а первая сроизводи я равна

.ф х»ио «'(х ) не сущее»вуич пер»мя ирои ию

йонрастания н убывания ф»нкднн и зк'тр:

Ия поведения функция сосганич с ю О .

возрастает

»»озрагтс»гс

раз!»ь»ва

убывает

точка локального л»»н»н»»ума,

81

4..

ыюрастм.

х

р)рикки»» с начаьйью ен»с»!кн» ирс-

Распознанный текст из изображения:

~

-"ф:ффф~фФЩфффФМФФ~ФфМФ~М~Ф4МЖВ Я йе;ц~~~

~~412 тж

' ~фЯф ЖЫЮ~:.ЯВЙК" ': ""."~%',

~Ж %''

М~Ж М 'йЮ.аж в а" .:с ..вы

~~)~же' =~ ' л

.Мффб 4' < ..1 У; .;Ж

„~;;,ф, ~Ю~ЖВ ъ Фл ФЫР~ ~ Яьъ'~ "'ФФ

ф~ ~фЪЖЖ~.УЖ Ф Х~' '~

,,ф$фМ ереюаьмам у~йеа Ж~':В-"

Распознанный текст из изображения:

нннчуяц

' ' ' ', ~""к~"':-"( б((щф~!)))(ыц(йввцив в ивкоторой окрестностц

:~'-.',.',.-'-,;,".;,:.,„,'.,'~~!::::;~ф~,.',В((й)!)юц)йййиицсиц .б В и имеет век>ду в э~ ц

))'! " ':-чеца-.

к(л.';:"~:.!':,е!"'-ф)((бей(к(я!(((~!!((!Еыцйвй)(!б()йв)()('ф~Кх) ири !к = ) . ч .. я много ыв

(,':(' ':"'.,г:.';$~Е')((фф~фц)(;:.двичи)йчщичциив'.и значение всея е!к! прон!в,!о

~ййф

ф . ° пффф*.~()~~уф(бе(в())б!ийгв(йбя!ц'(цццц(цц ооотгкГству!о!лнк! и!к'!елн! !

се мя

к!ьелжкс[зя

е21

;";~Ъ„"*;:;;!'',.'~(хч! = у(хо) Г(хе)(х — хе) -, ~ '~"~(

е "'(хе)

(х ге) и.,!х*

„се~-;:юя~~~е~Фся формулой Тейлора для функцян )!!', ц;с,

.,Ъ*„ '(ев!!атв функння (,х) нм!ет непрерывн! к! (л 1).к цронюод.

/,

"-".„"$~!'".Г~да

Й„(х) —" 1(Х) — е (г) = а!(х — хкл*

; . )ц(ййоцеииы, что черед о ((х — хе;"1 сбознвчьется фенклня. яме)(~~ввцс!бонне высокий порядок ма!сс-в чем ',х — х; р. ге ~ккч

-, газуй(с((йи, что

о ((х—

(Х вЂ” Г,'"

((втоы слУчае форму!!а тей.юрв нме! ! ен.!

г",„-:,

:У(х) —.- /(хп) - ('(хе'!(г — г,'! ' — — ';,— '-"

н я ( х ! )

г!

Ф ыва ия Ф!Л!! !ч!в !!л к! ч л ! ч"

И!И(йц(и в форжс Пеоне

,,;,-' фгц)вепри всех х 6 (хц- б,хе е' ""'"'-""

ц)й~фав)(х) Тогда ч,!л чк!бо!с ! ! е!!ы ч ыч е и

, '~ иц((г)(У' йц и х, такая, что

! 'о!не '!!!ен!, пете!Вем

Вто ПредС$нв 'нни!е ск !а! е н!

*,вИФМулу-Тайлора с остаточным член ч

!

' -'!-ХМ="~(иц)+ ~'(хв)(.г - г.! ч '-,- !- н,

!

Распознанный текст из изображения:

хмара „вв в,» ввввгвгиги иовах~и гйвЬггг» пвхиливии; и ввй Фйвгххггв,гиг~ дхв мв ивггггй в 6ггггвюгх в.г, дгигв Ввввггхги:"к ~л г 3г й ИггоМвиивгив и:ивв~ *« Тогда вг фирмх ив 1гйЮрв г гхт; гав вимм гвгвим и !и Хии ггвг' мхмв йгвву' вгм мивху вигргвгжхх и ' Фд! - ~'~гг~ ": =- —, —.~х' " хвв'

'Ъ а1~' 1.% 8,3. Ф6рмулга "йамгорга ггих ньхвггггггигх вги мин и ~ «ии

Фужгамгг

.ивм'мгирггм вввигюрьк хев;мггггггрювг вахах вввв и Гав х гвввгвг."гдгйгМ 1вйвггр~ аргв вь и 6

дв1 -.гв 1М цвгвзмиюгхг хгий фгдвхщгв игвгиилвви щ ~~вива '-. гв, гвгиггггвхвгмггагги кгхффхфтгвгггв1 1~йвигди в ~ О рьЫгв

гав ' '."-"--' ° ". -, "." ' хи'-,. 9, 1,'», Р' вв ' '"' А:." ' И" "' Ю: 11и'вгхввгг' 4ж1гмхггв ~айав фв двй 'аквхгвгввгав хгакг вв

хг вд

)' в вх а;,'; в '; +: +:- а,К,1вг хв гвг Й~хгмввгйгггмв вагфгвфамаф д Заахавм и'ивв "' ааМ '" - вггвд,.'ф~(~а~ мв';::'и~Е.',,'вгвв(хгг -'' " " '

ввв

~~а; в:вг г~ и, 1':и

1г'Ф~:- в 1фОгггмМгвви и го"'о,~ в~хм"

миг

Лввввхгивмю ~д в' ":""""':

йиМгв вихгв~1

ига игггвгО ~~ виввгююх рвхг,

~г.гв

;у

хв

!

«'

Ь('~ ' и! -. г"

а1 в го и" " ~ ! аг ~

)

г

Распознанный текст из изображения:

~24

д;.'~1 РМ'Ч

Пр.ьа р,

1~~~Ь

а~й.:

Ыв

3

Я' .р,;! ';"9,",!

Ь.4. Пркь~а~ецю форм~";~ы 1е"Флора

КРМС~1Р"Р АВ~Ы~';,~' ~ЙБМ.~Ь*Л, ~ЭКЖЙМ~'С'

энем

8А,1. Рю.ккамюм фу~~ки~ай 1ю форму:ь' .М~ ь ~

~~крег.~-ж сти' тачка х,~

,м.х;- К

Р~.",'.„;~,;-ры Ва."м~'ю рь~;;~ж ':я~',,* в Ж~'й~.*жв.; ы

~..'й

'й~

~ Ю« .д' Ю'Ф~Ф! ~~ ЩЖф*К; *~Х*!Й Фйф ффЪ~ЛЬ~ "~ ."

з *'~,КФ .";*.

~1м., „,

„МФА.М: ~,'„'""кК' ЮМ'8. ~

' 'Ж*: ~ ' '""" К' ЮМ:~..~ Х4 ~ЛЖйф~$фффффЬ9ф~Я ф

3,'1.". Вы'~м л~*ви ~ р~,.:.п л