Другое: Какая-то вырезка по алгебре и геометрии

Распознанный текст из изображения:

г. коли каждый элемент Й-го столбца (ипи страхи). йпр)сдаззитаии'. йрсдбтаилви,'а имде суммы двух слагаемых,

то оцрсдслитшзь ~омно прсдстааить и иидс суммы-диух ппрсдайитйэгий,

из! а! + а)з азз аз! агз азз .;, аз)!'„,'," цзз': )Фзй

Н)пзримср. )им иы + а, азз~ = ам азз '.азз эс Йз)' и~за'..'"Йзз

)аз) азз + азз азз! )аз! ' азз "азз ))азз) Аауз~'' азз

)

с.и*дои) ила. Опрсдсдитспь ис изменится, соли юэ всем алиментам'куйсвйблузйа его. стра)ки или какогоы изб)о )зголбэца прибавить соотастствукзпзие элсмснты параллельного ряда„умиожвмиые ма адно,и то жс число.

бх Ноняппм линг.бноб эивисимосгии стран )столб))ов) опрсдслателуил Лритври)! равенства оирсдшштсля ну)- ля) !')эсз вывода).

На лскции.

4. Миноры и илсабраинссиас гуог)олнсния. Разложение ио сьяроис )гглолбцр).

!«а)! им а)зЗЗ

Пусть дана матрица А = ам аз азз . Минором ЬХ,„эламснта л, матрицы А назыиается опрсдслнтель

аз! аг азз

мат)эицы. получснной из А пы )сркиаанисм строки и столбца. а которых лежит этот злемснт )то есть ь-й строки

и у-го столбца). Напомним, зто мы рассматриваем только кпядратныс матрицы.

Алсвбраи )вским диполнснисм А,. злемснта а, матрлцы А на)ыоагтся чи)ло, вы )ислясмос ио формуле

А„= )--1)") Ми.

Таким обрззом, алгсбраи )соков дополненис с точно)тью до знака солпядм г с минором, а знак )зсрсд минором

выбирается в "шахматном' порядке.

Выасдсм длк определителя трстього порядка формулу рсалож ния по ! трок! )столбцу)) аналогичная формула

будет справедлива для определит«лай л)обого порядка. Лля этого прон)о)лом грзпцирооку.

)а)! и)з а)з

Лс)А хх 1аэ! а з а з = я),аз и)) з и, и )а)! -)- и,зл))и)! - я,) !) ), — а, и,о) — л,)и!)и) = ил)иыа)!в

,аы азз ам

иззазз) — и) )иэ)азз — а!за)!) т а,))и )а)! — и . из), .=- л)М)! — )). ))

М -Я М) 'и)))У*.—. ! А) -,и) А! ла!)Ан).

Итак,

)с!.А:: —. и))А)! ' а! А!) т )!)А)

)разложения по первой строке',. н

,. й влаги*)иьи р ылож ння спрм»ллиоы лля лью) я,арса оп троян нли !")плаца.

Попробуйте. например, самостоятсльно аьпп)га р,- ь ать,ыл)ж ли! ио сторону ).т) лицу

и. )6 ои е!)слюнил л«! )»л яэрл ).).

,л. л

о, Поня)иис ) ' р)

° )з)лл и-)О порядка 'штат)ль иль)т и)йгн о л)я»)й. нг л!

Стратас опрсдслснис опргд)лиз! лл

Г . !)тм)тны только, *)то а)ь )аоиг)л)! (я!»д)лит)ля. и !»-)и))инны яы)г! о!)яь ))л

янины* по лин!'инок ! згс )!»!

т,д),, », ),ь,) Длл зьг)юлгнил г кого опред*лиг ля ы)ьно ло оз)-

и ля опр Л! °

щ д)лиг«ля произаольлого порядь )

)го п! кякои-ллс строкг илл гзо ) . и

ать или сразу рязлоя)ат) ! - ю

опрсдслитгля. )Эот, напрнм.! . !

! )-), тзлоигнш по псрооь "я

)и,! и) * я)„,

и

))! ! А =-,'

О„

л„

)и и ) гл мной дилгопяли гт иг! сдинлШ)

)и и) « °,, зи! нули С)пЗ) д)лилль

мял рип,). у лоторои и,) .

: Г) днт)*сь ь этом «ми

)ь йыя

т . яг ш)ь) рлясп лш)ицг,

с з)ьы.л)ы )тояшяе аю глиаиой Лия

»гиии)и, р,юны иуля

')! )рн! ни! .) г)я

я!и)л р и»н пзюи'я'уз*пах' ')и

!)и! лялнг л, д.;. ° л ' ! я)цы

г °,; им он. льп )и ь)ятр)л)ы

! лаялол ли и)я)яэм

.ья,)В, )ла зсг )с л.ы "нты. р»)ял)л«нлы!. лики ы*'

сля,г! ..; -,; ..)«риал, Опр)дели)гль !»рхлгтр у! '

,,)и, .! л яил»))яр;)!;,»ияи«и)

й,аил ги )ю»прил ля ". !

ы ' ' ' '-: с)и)ь) Ли о шь)злых зл! и нтои

н) й' ы) з)ии)ы

ы р т! и прон)с )л'

)л!'!'н' )1').)!' л)

о и« ' ° и )я)ля

р) ) о ноп), р))зиы аул» . и ир)я)'

) ы * -' ' '' ' 'хи лль! !'и.збиш )ир л лнз)ля, крюя олн,, р) °, и )я)

) ь )лй-либ! зг)'я» ° ) « . ) ) о и

ш») иул яяг ) ия'и) ))гя я ! '! и

т!.л), ! )я .и и)шили«я лиь тот я!.и ' я)

Распознанный текст из изображения:

ЛА. Определители

ам аъ 5!

Первый индекс у элементов матрицы указывает номер 'отроки, второй''-' номер столбца. Опредегъителем матрицы А называется число, обозначаемое Щ или деб А, вычисляемое,(для матръщы второго

порядка) так:

)ап а55

де!А = ~ = а!!вся — аыам ~аз, а

Иными словами, определитель матрицы 2-го порядка равен произведсни5о чисел, стожцих на еловкой диагонала (то есть диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний) миыус произведение щсел. стоящих на побочной дааеонали (то есть диагонали, идущей из правого верхнего угла в левый нижнъп!),

Замечание. На цротяжснии этой лекции вс«матрицы прсдполагакътся квадратными.

Пусть теперь нам дана квадратная матрица 3-го порядка (иными словами. таблица !игал, в которой три строки и три с:толбца)!

а5! а! о55

А== аъ! аз о о ! а, о

Оп-ъсделителем матрицы А наэыв55«тся ЧИ! Ло. обо.5н щасмог !'Л, 'или дс( Л. вы 5нсляемое (для матрицы третьего

прсделител !

цорядка! так:

а55!

= а а за5! -(- а! л,ац -!-а! 5о !ац — а! !о»а;! . а! а !о!! —. а5!аз! 5м

5

а55! =- !5--'' 5!

а!3(

'а! !

51! с Л = (а. !

(аъ!

а!

а»

а55

жно тако!" сложное опр5 дел«ыв5ц нс будем и об! уждать. как «го эапомин5ъть.

Н«будем пока обгужд55ть. за км нуж

б .. аниъсаться на лекции и семинар«(правило Сарркыа!.

'.Этим мы будем заниъсат

2. б«оя! п5оа о55р«5!: 5555555-.55.5Д

5и замен! каждой !траки но столб!!!5! !' т«м жг номером! определитель ве

а При трап!.полировании !'то «сть при э,5м!.н! а

мгнм*тся.

бьяснить так: элементы а,5 и а5, меняя5тся м««тамы. ( !Можно трацапонъ5(55!в!!ни обьяснить так: э

я гт 5ок опр5дглигсля, «я т:5нстся в«рным, «глы его пер.формулировать

! 5555555! ы5, Кюкд555 го!5!!5 гво, верно«для гтро'

для 5толбцов (и н а!бора г(,

о ы то ж в!ело. то

в«5,, " 5о ! т юкы (или столбцы опрев!!лат«ля ' множить ыа одно ы го ж .выло. т!

б. Е! лы в«эл! менты какой-либо щ(юкы

опр! д! лыт! л!. ум вожи гг, . ° о.

«я ы ! это и« 'по'ло.

'т! лбца можно выл!явсь 5ь 5ы5ц! оцр«ле

5-лыт!'ля

птсль в«5х зл«ъ *

. х зл«ъ!«нтов ст(юкы ылы !"

Иными ! !в!в,5мы. общий мн! ж

«вой ! т юкой (ылн ! т55л65555ъ5( р,цы в ы«55ь!

!К!5

! траки 5ылы дв,! «толбца! 5о ! пр5дсли * .. * !

* т5*ль и5м *вы« вой

! нять месс! мы дв! !.трок

В 1' Глн о ! п(5«д! 5пгг!'л' поъп ъ! ' ! . ! т(555$

ц5,,5б5«о55ъ тноы в«лы п5п«ыс ызм! нит! я.

, мы (плы съосац«мл! ( 5о5«5! ыуок .

я ыо '«, п«сгр к«ь

ы( аоы ы ыулк!.

ц55 ., ! !в!из цропорцооо 5ль 5ым

„ямы !я(юк,5мы,ылы ! с лбцьм

Гя ".,! ц55;о! я. (Эп(яд«лы 5«ль ! 55в!

1. Опредехиипеив 2-го и д-ео гъорядна,

Пусть нам дана квадратнак матрица 2-го порядка, (иныа(си.сповный',':тквбпвща'чисел; 'з5котвРай две строки и дв

столбца) !

Распознанный текст из изображения:

' слоищзи,,'т(з)(бин' стбпбцой):!нт«э!)с!й' мазари()ьь Толькб,'п)зи а«тбм".)фб)2!263(ззЫф3~~с)2(2йб«)«зфб2(бфуй';::,б(бт4зй$: бпрудсл«ехю1 "

гсзультатзом«',атото,умйоже«ннн,'явйяетсй) мбат«рэзцуаэ С,раэзмс'ебром."т 'х )е (то:вСФЙ::.,ж~':'и~~ "ж(т)уцйЯ': з«".,оейзп(ау(ает. с

.чгисцлом"ст)зок мнтрйцьт А„.а чйспо,стопбт(од 'мастрзпцк'С: ' сб'чссззомч схоузачоснузянт2ззбзун

ищется по Формуйс

сб.= кизЬЦ.+оибзэ + "'оплбйз

Коротко зто можно записать в диде.

о;,Ь„,

«-!

Внимание! Произведение,матриц зависит от порядка сомножителей! Более подробно; бывают случаи, когда АВ

существует, а ВА нет (например. если матрица А порядка 1 х 2. а  — порядка 2 х 2); быишот случаи; 'когда'АВ и ВА существуют, но имеют разные размеры (например, если матрица А порядка 1 х 2, а' — порядка 2 эх 1); наконец, бывают случаи (скорее, зто даже закономерность), когда АВ и ВА существуют, одинакового'размера, однако АВ ф ВА.

Пример.

Свойства.

1) (АВ)С = А(ВС);

2) А(В+ С) = АВ+ АС;

2) (А+ В)С = АС+ ВС,

4) (АВ) = ВтАг

4. Опрес!елиэлсзль лроиэоеденкд кеодротн~жт мазлроц (без вьпюда).

Теорема. Определитель произнедсния квадратных матриц равен произведению определителей сомножнтслсп:

бсз1АВ) = бес А ' ~1с! В

б. Единичная моизрцци и ее сшлзсшео.

Квадратная матрица Е называется единочнон, сслн на сс ~паолой лнагоналн ~ тоят единицы, а езш пзлп Плзызается опа так. поскольку ведет себя по отношениьэ к другим хитрицам так же, как пн ло ! ио отнолэснин. к другим числам: при умножении не меняет последних: АЕ:= А; ЕА .=- А !кою шо. каждын !шз нужно б! ать едина знуьэ :матрицу подходящего размера). Проверьте это самостоятельно.

!

Кстати, нетрудно заметить. что определитель едзшичнои матрицы ля~бога р.мисра р,ш н 1,

6. Обршлнзш жолб«ояо о кригосрид ес суо!сгзцеоосзнся,

Матрица А ' называется обратной к матрице А, «<ли АА ' =- А ' А — — Е «!сно, гто для и ээ . эзобы обратная

матрица супа:гтновала. нужно. чтобы она как минимум был э хлад! этной. хотя зт э ~ шс эн д'о т г ц антил.

Т,с *„,, Пу "ть А квадратная матрица. А суще~ тсуст тогда н только тога ь когд з опр д~ лнгсль и ~грииы

'~'е режи. усть

А «тли*ми от нуля.

П . " д к:затсльство нсмеллснно следует злз тсо!л лэы об определит;л проншсдгнпя ~ ! = ~1-!, Е

одну сторону док:м ггс

1з, Ал ') .= 1 ! А 1Ч 4 ''. то есть 1езА ' .=. — — . б!. 13 обР ~снего ( го!л нз гсоР мУ но зьзоззсш дэхазьшагь

нс обязательно.

А ' супгсствусг дна способа; эдс~ ь я и!зло~ну один ззз ннх Окоэысо н я для нахождения

ля нахождения

обрапюй матрицы сущ~ ствуст формула

Таким об!юзом, сначоза нужно н гйзтн ощяд лнт ль матрицы. Е ло лз р шсн нюше еб!лесная чагрпцл н'

щитоусз, н поэтому да«~ьнсзпная дсяззльносзь н~ нмсст зиы л,с Гхли оо ~ тэзлчч~ от шля. г!янм~

заменяя в исходной мзгзрззце асс элементы на их алгсбр,ш о ~ клс дол элисоне ~к але с~~ и лх

! '. с; > х «'нн *~ и ~цлщу

т! ' ю попируем !назюьоп ~ это озн щи г. что А, н А„меняя зз я м~ тами!

Распознанный текст из изображения:

2,9'

рдцНЫ

М~ФЙ*М

3

1

~) — 1 И с — ~~~~

5

2