Ответы: Алгебра 2.2

Распознанный текст из изображения:

«сгс -ю,еьеж зреызомш! «с«н,-.н«ге о ье. ес нычя.юбон «ос еде- 2)с«мча«о«еьэгс-нс аб5 «нсепее ь бе испо

Э) предел сумм.! раве сумме првделов )гш(у(х) д(х)) = Ьшу(х)-)гшд(х),

4) предел произведения равен произведению пределов

)гшУ(.) Ипгнх)=(гпз(У(. ) ж.))

эа эщчосгн доз!с пч а знз егщн аргуне: а «! . ) сходяше юр к х

н е шп « =; паследоватепгщосы соответствующих значений Фущцнн1( .)

пх сидится кщслу ! ге !пп((х)=А Геометрическннсмыслпределаэгаи

функции чго для всех тачек достаточно близких к точке х„ соответствующие

б) константы можно выносить за знак предела Ьш С у(х) †- С !«лзЛх),(С - число)

значения функции как угодно мыс отличаются от числа А

Одностороввие пределы

Считается что « стремится к , любым способом оставаясь меньшим, чем , (слева

от ;), бол~шим, чем гь(справа от х„), или колеблясь около тачки г«

Число,4 называется пределам функции г =.1(г) слева в!очке ю, воли для любого

г О существует число «г-.о(г). 0 такое чга при г Ю(х,. — о, ),выполняется нера-

ВЕНСГВО П ) .А Нг, Ьп У(х)=А,

у(„) !«шу( )

6) 1пл = ' '" если 1впжх) 0 * ялф )нижх)

Т) если Иш — =1 то ЬшЛх) = Ьпд( ) (Ги В называются предел~но эквива

Лх)

, В(х)

лентными при стремлении « к х„),

В) замена переменнан пусть даны взаимлабратные функции ыщ и у ьн Тогда

)лп и*)-(гпз,щж(г)) В час!насти 1ппЛх) = (гш/~-, (пиЛ«) = ЬшТЦ

'1550 2 и=.о(г). Х'*е( „-огщ) ю ((х)-А,,«5 сь Ьш Л ) —.А,

Пределом функции справа называется

Ызьо. Зо=л(5), у е(«„х« "о)~'у(х) — А, «е ср!пп /(х);А,

Свойства пределов.

Прн условии,что пределы Ьш 1( ) и Ьлг жф существуют н конечны

Теорема Лг) жх) во (х) и3 Ьпз г( )=ь и 3 Илзж )=с Тогда!ь

теорема)(х) лг) ж )ы сг)(х)и3 (ггпу(х)=ьи3 !гпзжх)=ь

Ъ

.'' ' ь — сколь у~одно малое число..)(Ы вЂ” )-«х, Лх)- а

сфе ' "" '-' 'ЗжааеаТЕНЬНЫЕ арндаИЫ ' '' '

-'4

Тогда Ьп1(х)=Ь

1)если предел 1ппжы=а ~ Лх)= +а функция равна этому числуплюс бм

!ннЛ )=0 «5«'е О. 3 50 (х«ю «о -ь 'Г(х)-а «5

Вепрерв)иные фрикции н нк Ваайеуаа. Тачка реерЫНВ. фрннний; Вааааафяаацжв

Пусть функция 5 =Л«) определена в точке, и в не

ко!оров окрестности этой тачки Функция г:ЛН называется нелрврывнои атабеке. „ если существует предел функции в этой ганке и он равен значению функции в эгон гоч- )В ке )ппЛх)=Лх„)

Точки разрыва функции — это тачки е ыгорых нару шавгся непрерывность функции

ТцжаздэдЫИ х н ыв г я г чк 1

функции »=Лг).если вагон точке существуют конечные пределы функции слева и справа(односто ронине пределы) иш Л. ) =А, и ьп /( ) =А,

Это означаег

. функция определена в!очке«„и в вв окресгнасги,

функция имеет предел прн

предел функции в тачке., равен значению функции в эгон точке.ге вмпопняется ра- венства

Приз!ам,если

° А,=.«,гогочках,,называется то«кои устраннмага

разрыва

А А,таточка с,называется то«кол коне~ного раз

рыла

!А,-А...называегся скачком функции

Это означает,что при нахождении предела непрврывнои функцииу(г) можно переигн к пределу под знаком функции, га есть в функ

цииу( ) вместо аргумента.г падста-

Т к !«псле. †(,го по признаку сущесгвавания пределов

следует Иш ., ' = !

мп.

Тук ьв . и

функции -Лх),если по краннеп мере один из одно сторонних пределов(слава нлн справа) не существу ег, либо равен бесконечности

Важные нранены

вить предельное значение х,

Теарежы' е ерейнеж.

—,=0 (аВД.Ь !)

Ь'

гп —,' =0( О,л ! !од.. х'

5 О). Рассмотрим способ раскрытия неопределенносгеи О О и ,которын основан

на применении производных

Правило Попихала,при ОД!.

ПУСТЬ ФУНКцнн 1! ) н Ы х) НЕПРЕРЫВНЫ И

дифференцируемы в оиреетностн точки.г

и абращаегея в нуль в этой точке:

У(х«) = Р(,) =О

гвл—

1

)гю — — =.

л

!

л

1пльл =1

ПУСТЬ е'( ) 0 В ОКРЕСТНОСГИ ОЧКИ «,

Л(Щ

Если еущеетвуег предел Ьп , =1,

«. «р'(х)

Л-) Л( )

тв Иш — — -= (пп —,. =1

.ч «р(х) , Е (х)

Применим к функциям((«) и В(х) теорему Коши

для о!резка(5„ ),лежащего в окрест»асти тач-

1(.«) — Г( „) Л( )

о(х) — р(х,) Ч'( )

где лежит между х, и х

хе С х

При . — „ величина . также стремится к „

пвреидем в предыдущем равенстве к пределу

Лх) 1'(с)

)нп — — =!пп —,—

«, Е(х) *. р'(с)

1

Па признаку о существовании пределов 1лп'!г ! = «

1

Следствия второго эамечательноге предела

1оа,(1 х) !п(1 И

Ьш — ' = — — (а О.л !),вчастности!лв =1

гп и

Информационно-справочная

гвблнца

Так как !лп , = 1, го Ьш , = 1

.1'(х) 1'(с)

».р ( ) * «, р'(с)

Поэтому (ш — =1

) (х)

, Е(х)

Ьш -", = !ла (и О), в часгносги !лп , = 1

В' †! г' — 1

Не

4-';„':

Первый замечагельиыд предел: !гл

юп»

Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла,м( через х пусть о х ч«2 на рисунке !Ау-чл,дуга,ылчисленно равна центральному углу Х, ВС -гвх Тогда

"""' 2' 2' 2 Разделим все на юп«50 и получим 1« — — « — — —.

х !

2 МЛ. СО5* созх«5«ох «1

.г

Оторви замечательиыд предел: Ьш ))+ — „~ =

(Т Пусть г Каждое значение заключено между двумя попожнтельными целыми числами л «х «не 1,

1 1

«1

Ц',,1 )Т

1-,„1- '~5.)г

Если гс и -, тогда

Иш,! „, =Ьш 1«В! !лпць„=г 1 —.е

(предел огношення двух бесконечно малых ра вен пределу оглашения нх производных если

последнии сушесгвуег)

Правиле Повигаля,при 1 .

Пусгь функции((*) и у(«) непрерывны и днгрфереицнруемы в екресгнести тачки ,(креме гочки х,),в этол окрвстносги

!пп 1'(х) = !пп р( ) =, гр'(х) к 0

Л(щ

Еслм еущевтвует предел Ипз †, = 1,

грз(х)

то Ьш — — '=Им ™=1

., Р(х) ..5«р'(

Неопределенности вида О , — , 12 '. О сво

дятел к двум основным

Например, 0

Пусть у(г) О, у(«) при «,.

(пп(Лх) р(х))=(0 )=Ьш --' =(б)

Л(х) о

гр(х)