Задача: Определение несобственного интеграла от непрерывной функции на бесконечном промежутке. Доказать признаки
Описание
Характеристики решённой задачи
Список файлов
- 12-1
- Снимок1.JPG 152,42 Kb
- Снимок2.JPG 122,58 Kb
- Снимок3.JPG 93,96 Kb
- Снимок4.JPG 98,89 Kb
Распознанный текст из изображения:
(Определение несобственного интеграла от непрерывной функции на бесконечном промежутке Доказать признаки сравнения для таких интегралов.
Несобственные ннтегрозы от непрерывной бг)нкпнн по бееконечпоч проьгезптну (первого розе).
Пусто отрезок ( ь) числовой оси неограничен Это возможно в трех случаях: —,ь) ( ) (- е ( Определим несобственные интегралы как пределы
) у(т)Г. =1 . (Д.уд
(Г()г =1, (У( Ь,
)у(т)ц =1 . )у(*Н В последнем интеграле а и Ь независимо друг от друга
стремятся к + Если = ь, то предел в правой части последнего равенства называется главным значением несобственного интеграла.
Если эти пределы существуют и конечны, то несобственные интегралы называются сходящия1ися Если предел не существует или бесконечен, то такой несобственный интеграл называется росходаци,ноя
Если сходятся интегралы ог рунхций у(*) Н ), то сходятся интегралы ог фунхций 1Я ) у( )ее( ) Это следует из теорем о пределак
Пример ) —,о =в (па=в — (=1, интеграл сходится
1 '1 1.
Пример ) — ц =ь ш ( =е,интеграл расходится
1
Пример ( 'щ сходится при е1 и расходится при 1 Проверьте зто
Рассмотрим интеграл Дирихле ) — и
1
— 1
При =1 ) — й=в (бо -1)=е, интеграл расходится
1
Итак, несобственный интеграл Дирихле первого рода ( — ц сходится лри
° 1
х1 расходится лри «1
Распознанный текст из изображения:
Пряз Р б р . в (достаточные признаки
сходимости и расходимости несобственных интегралов)
1 првзвяв. теврсмя. Пусть при . выполнено неравенство с у( ) . ( )
Если интеграл ) з( )т сходится, то и интеграл )'у( Ц, сходится
Если интеграл )у(. Ы расходится, тон интеграл (зй)г расходится
Доказательство Проинтегрируем неравенство с у( ) в( ) на отрезке
( .в) ь
с )'1(» )'з(*» Так как обе функции на отрезке имеют только
положительные значения, то интегралы от этих функций представляют собой возрастающие дтункции от верхнего предела Ь
Если )з( )а сходится ()з(*)г = 1), то при любом Ь з а с )у( )а )з(» в
)з( )а = 1(1 в конечное число)
Поэтому )у( » - монотонно возрастающая, ограниченная <рункция верхнего
предела интегрирования Ь Следовательно, по теореме Вейерштрасса этот интеграл как функция Ь имеет предел
з (у()аРР т,те.интеграл )у( )г сходится
Пусть теперь)у(.)т расходится Если )з(. )г сходится, то по доказанному и
) у( )т сходится, противоречие. Теорема доказана
Распознанный текст из изображения:
Вообще то, все было ясно из геометрического смысла определенного
интеграла как площади криволинейной трапеции под графиком функции Если
значения одной функции больше, чем значения другой функции, то и
соответствующая криволинейная трапеция имеет большую площадь И если эта
площадь конечна, то и меньшая площадь конечна А если меньшая площадь
бесконечна, то и большая площадь бесконечна Но строгое доказательство не
подведет,а «очевидное» иногда подводит
э врятвзв грввксяяя. уеаретзв. Пусть при хза у) ) ю з)*)ьа Если существует
конечный предел ), дк а, то интегралы ~у) Ы, )з) й, сходятся или
у) )
расходятся одновременно )если один сходится, тон другой сходится, если один
расходится, тон другой расходится).
Доказательство Из определения предела следует
'т хаВЩ )за хбм" )-Кс юк- с' " се+
б)) ' ' З)с
)д- )з) ) 'Лц) )дг )в)*)
Распознанный текст из изображения:
Если интеграл (у(*за сходится, то по первому признаку сравнения сходится
интеграл ~(д — '1 (. за, а, следовательно, сходится интеграл ~г( (т Если
интегРал (г(*(к сходитсЯ, то сходитсЯ интегРал ((д+ (з( Еи а, следовательно,
по первому признаку сравнения сходится интеграл ~у( за Пусть интеграл
~у(*'за расходится. Если интеграл (е( тп сходится, то по первому признаку
сравнения сходится интеграл (у( й, противоречие Пусть интеграл ~г( Уь
расходится Если интеграл (у( тт* сходится, то по первому признаку сравнения
сходится интеграл (е( й, противоречие Теорема доказана
Эталонами служат обычно интегралы Дирихле или интегралы от показательной 1рункции
Пример ( †, — а сходится по второму признаку сравнения, интеграл сравнения ( — а
1
Пример ~ — = д сходится по первому признаку, интеграл сравнения
,ЬЕ1 '
Начать зарабатывать