Задача: Сформулировать задачу Коши и теорему Коши о существовании и единственности решения этой задачи для

Распознанный текст из изображения:

2 Сфорььулировать задачу Коши и теорему Коши о существовании и

единственности решения этой задачи для дифсреренциального уравнения первого

порядка Особые точки и особые решения дифсреренциальное уравнения первого

порядка

Теареаса стшестаьвьнвя решения зазачи Кшив.

Пусть функция у(, ) непрерывна в области ( .;)=- о, тогда существует котя бы

одно решение, удовлетворяющее любым заданным начальным условиям (., т,) о

или существует хотя бы одна интегральная кривая, проходящая через точку

о

Теорет тш з зазачи Каши.

Пусть функция у(а )непрерывна в области ( а) пи удовлетворяет в агой

области одному из трех условий;

дс функция я ) удовлетворяет условию Липшица по т с

(:(..н)-у( з )я4ч — (

Вс существует и ограничена частная производная

В

Ьс существует и непрерывна частная производная .Г *.т

д'

Заметим, что из условия Ь следует условие В, а из условия В следует

условие А Поэтому класс функций, удовлетворяющих условию А, шире, чем

класс функций, удовлетворяющих условию В, а класс функций,

удовлетворяющих условию В, шире, чем класс функций, удовлетворяющих

условию С Условие А проверить трудно, а условие В или условие Ь проверить

гораздо легче

Если в какой-либо точке (. )во решение дифференциального уравнения не

существует (через точку не проходит интегральная кривая), то в ней разрывна

функция у(

Распознанный текст из изображения:

Если через какую-либо точку проходят две или более интегральных кривых,

то функция дт.т) непрерывна в этой точке, но ни одно из условий А, В, Ь не

выполнено в ней

Пример Найти общее и частное решение уравнения »'= Очевидно, что общее решение будет > = с '. Так как правая часть непрерывна

и удовлетворяет условию Ь, то через любую точку конечной плоскости ОХУ

проходит единственная интегральная кривая Для заданных начальных условий (, >,) о существует константа с, =т,

такая что >, =с, *' =(>Ь ") '.

Понятие об оеобыт точьы и оеобыт решеннят лифференнизльного трявиения первого норилкя.

Точка (х, у)»шзывается не особой точкой диерференциального уравнения первого порядка»=угь ), если существует ее окрестность, что через каждую точку этой окрестности проходит единственная интегральная кривая

Все прочие точки называются особыии точками дифереренциального уравнения первого порядка '= у( .>)

Особын решением называется решение, все точки (х, у) которого — особые.

Пример »'=О

Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получим общее

решение 1 =(. -с)' и решение, не принадлежащее этому семейству тривиальное

решение >яо

Каждая точка оси ОХ вЂ” особая, так как через нее проходят как тривиальное

решение, так и частное решение из семейства т=( -с)'

> =о - особое решение

Пример

Заметим, что»'= г о Общее решение»= — ( -ср -. с (иначе >'со) Кроме

1

того, > =о - тоже решение > но - особое решение

Заметим, что на особом решении не выполняются условия теоремы Коши,

гарантирующие единственность В самом деле, в тот> и другом примерах

д»

терпят разрыв при» = о