Задача: Нахождение общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка методом
Описание
Характеристики решённой задачи
Список файлов
Распознанный текст из изображения:
2.Нахождение общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка методом Лагранжа вариации произвольных постоянных (.. Н Е П )
вдетая вврквпвв прввтваэьвай паствяянад для линейного неоднородного дифференциального уравнения лого порядка умед( )у' '+ ь „,( )тг+ „( )у=дз). (ть =-стэД ))
Здесь обозначено д=д( )эмчь; —,( )у',( )у, заметим, если т- решение однородного уравнения, то Эн'ц-дг.
Заметим, всегда, применяя метод вариации, надо делить на коэффициент при старшей производной, те приводить уравнение
з
Пусть найдено решение однородного уравнения
Э ( НС,Н(з)э ьС„Э.(.).
Варьируем произвольные постоянные, ищем решение неоднородного
уравнения в виде
тц( )=с(з)тт( )+ ьс„бйу„( )
Дифференцируем это соотношение
( )=с, ( )л( )+ с. (*)ть( )+с,( )з,( )т +с.( )э.(*)
Потребуем, чтобы
с,()э,( Н с„() „(*)=а.,
тогда ( )=с,(*)т,(*)ь с,( ) ь( ).
Дифференцируем еще раз
., ( )=с, ( )т,( )+ ьс„( ) „( )+оп,( ) г.з,.
Потребуем, чтобы
с,'(*)т,'(*). то.'(.)т„'(*) = а,
тогда тз. ( )=с(*)у,'( )+ эс„( )т„'( ).
Вновь дифференцируем и тд, в результате, после л-2 дифференцирования
получим
..' х( ) = щ( ) )" к( ) + С ( )э." я(*).
Распознанный текст из изображения:
Дифференцируем и подставляем
в неоднородное уравнение (т")= -ст ьд*)
стмь ьгз„"'+с ( )з,.' я( )ч ьс„() „" '( )= — с(сзтт сз„) Л )
Так как ть, т„- решения однородного уравнения, то т';"'=ыт,=аз-=т
Получим гцукь ст) ь=Д )
Это — последнее уравнение системы для определения варьированных
констант Соберем все уравнения в снсгемудля определения констант
с,(.),( )+ с„(.) „()=с.,
с, (.), ( )+ С„(.),„(*)=с,
Так как определитель системы — определитель Вронского, не равный нулю в
силу линейной независимости решений, то функции с,( ) с„( )определяются из
этой системы однозначно
Теперь общее решение неоднородного уравнения определяется по формуле
т.,( )=П(.)т,( )+ +с„( )у„( )
Начать зарабатывать