Задача: Определение несобственного интеграла от непрерывной функции на бесконечном промежутке. Доказать признаки

Распознанный текст из изображения:

1. Определение несобственного интеграла от непрерывной функции на бесконечном промежутке. Доказать признаки сравнения для таких интегралов.

Пусть отрезок [ .ь] числовой оси неограничен. Зто возможно в трех случаях: [ — . ь] [ +- ] [ — ..~ ]. Определим несобственные интегралы как пределы

[Л Ещ =1щь [у(*)ц

]у(. )в=1 .— [Д )1 . В последнем интеграле а и Ь независимо друг от друга

стремятся к + .. Если =ь, то предел в правой части последнего равенства называется главным значением несобственного интеграла.

Если эти пределы существуют и конечны, то несобственные интегралы называются сходящимися. Если предел не существует или бесконечен, то такой несобственный интеграл называется расходящимся.

Если скодятся интегралы от трункций у(.)-( ), та сходятся интегралы от сРУнкцийз 1'( ). Д ) — + в( ). Зто следует из теорем о пределах.

Пример. ], щ = ь» (, щ = ь», — ( =1, интеграл сходится,

Пример. ] — щ = Ь, 1 ! = ь ., интеграл расходится.

° 1

ПрИМЕр. [ тн СХОдИтея Прн <1 И раСХОдИтСя Прн ь1. ПрОВЕрЬтЕ Эта.

Рассмотрим интеграл Дирихле ] а

1

При =1 [ щ=1», (ь — 1)=+, интеграл расходится

1

Итак, несобственный интеграл Дирихле первого рода ],щ сходится при

1

ь 1. РаСХОДИтСЯ ПРИ .1

Распознанный текст из изображения:

Првзвакв грзввеввя весабствеввых ввтегркаав (достаточные признаки

сходимости и расходимости несобственных интегралов).

1 арвзввк. теорема. Пусть при . э выполнено неравенство осу(*)як( ).

Если интеграл (з( Уд сходится, то и интеграл )у(*)а сходится.

Если интеграл (у(,)а расходится, то и интеграл (з(.,)т, расходится

Доказательство. Проинтегрируем неравенство о у( ) я в( ) на отрезке

[ .ь)ь

оя (Л')ее)з( )т . Так как обе функции на отрезке имеют только

положительные значения, то интегралы от этих грункций представляют собой возрастающие грункции от верхнего предела Ь.

Если )е( )ь сходится ((з( )а= 1), то при любом Ь > а ав)'у( )ьв (в( )ая

(з( )ь = 1 (1 — конечное число).

Поэтому (у(*)а- монотонно возрастающая, ограниченная функция верхнего

предела интегрирования Ь. Следовательно, по теореме Вейерштрасса этот интеграл как функция Ь имеет предел

1, (у(,)Ь = гет, т.е. интеграл )у(,)Ь сходится.

Пусть теперь (у( )т расходится. Если (з( )г сходится, то по доказанному и

Распознанный текст из изображения:

ПуСтЬ тЕПЕрЬ )'у(н)бо раекаднтея. ЕСЛИ ) К( )б СХОдИтСя, та ПО дОКаЗаННОМу И

(у( )в сходится, противоречие. Теорема доказана

Вообще-то, все было ясно из геометрического смысла определенного

интеграла как площади криволинейной трапеции под графиком трункции. Если

значения одной функции больше, чем значения другой грункции, то и

соответствующая криволинейная трапеция имеет большую площадь. И если эта

площадь конечна, то и меньшая площадь конечна. А если меньшая площадь

бесконечна, то и большая площадь бесконечна. Но строгое доказательство не

подведет, а <очевидное» иногда подводит.

2 нрнзнзк грквненнн. Теорема. Пусть при хта у( ) 0. к( )ь 0. Если существует

конечный пРедел ьщ =кьо, то интегРалы )У(,)а, (к(,)б, сходвтсЯ или

у( )

К(')

расходятся одновременно (если один сходится, то и другой сходится, если один

расходится, то и другой расходится).

Доказательство. Из определения

Обб()ьо би () — К< иК вЂ” () К+

к( ) з( )

(»- )К(о)'т( )<(К- )З( ).

Распознанный текст из изображения:

Если интеграл (у(,зь сходится, то по первому признаку сравнения сходится

интеграл ((к- )з( )е, а, следовательно, сходится интеграл (з( зь. Если

интеграл (з( )В сходится, то сходится интеграл ((к+ (з( )Ь, а, следовательно,

по первому признаку сравнения сходится интеграл (у( (а. Пусть интеграл

(у(кзт расходится. Если интеграл (е(*за сходится, то по первому признаку

сравнения сходится интеграл (у(*за, противоречие. Пусть интеграл (з( за

расходится. Если интеграл ( П (к сходится, то по первому признаку сравнения

сходится интеграл (в(*ук, противоречие. Теорема доказана.

Эталонами служат обычно интегралы Дирихле или интегралы от

показательной функции.

Пример. ( †, — — — ~* сходится по второму признаку сравнения, интеграл

'(ть. )

сравнения (,д .

.1

Пример. ( — — ы сходится по первому признаку, интеграл сравнения

' т,Г:з

(' 'ы.