Задача: Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Построение общего
Описание
Характеристики решённой задачи
Список файлов
Распознанный текст из изображения:
2. Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (случай действительных различных корней).
Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами может быть записана в виде
з =, (векторная форма записи)
~."=хз, где х=
или
(покоординатная форма записи).
Будем искать решение системы в виде
Подставляя т в уравнение системы, получаем
=АЛ Р'гА — яд)=0. А
Получено уравнение для определения соответствующего собственному значению я собственного вектора Г к о) линейного оператора с матрицей к.
Система уравнений
Распознанный текст из изображения:
х =я или )я — зк)*=в
имеет ненулевое решение только, когда определитель системы равен нулю,
т.е.
Это — хзряктерветвческае уряввевве системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. В развернутом виде его можно
записать так:
Характеристическое уравнение представляет собой алгебраическое уравнение - го порядка относительно я. Из основной теоремы высшей алгебры известно, что оно имеет ровно корней. Часть корней может быть действнтепьнымн корнями, часть — комплексными, но комплексные корни встречаются только парами комплексно-солряженных корней. Это следует из действительности коэффициентов характеристического уравнения и теорем Виета.
1) Рассмотрим случай, когда все собственные значения:, з„линейного оператора с матрицей я (или все характеристические числа матрицы А, что одно и то же) действительны и различны.
Из линейной алгебры известно, что действительным различным собственным значениям д зч соответствуют линейно независимые собственные векторы ' . ', которые можно определить по собственным значениям из системы уравнений
я =з или )я — зк) =а.
В развернутом виде зги уравнения для зь ' можно записать в виде
Распознанный текст из изображения:
Теперь решения системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами будут
Проверим, что решения являются линейно независимыми. Составим определитель Вронского
«.рбд + о:.аз ко, так как векторы ' . '"линейно независимы и определитель из координат этих векторов отличен от нуля. Так как
з
определитель Вронского отличен от нуля, то полученные решения линейно независимы. Так как этих решений ровно п, то они составляют фундаментальную систему решений. Следовательно, общее решение системы линейных однородных уравнений может быть записано в виде
Пример., х =~
° =*ззз П з '
— гт' 'Оз — з,'
1 — я 4
х — ьд = =з-'зз-о=о
1 — 2 — я
д = — з.
д= — з. ( ~ ',1=о.
я.=э (' ')~",~=о
-="'(-') '--'Ф
=с, "зяс, -'
— ос. "
Распознанный текст из изображения:
2) Рассмотрим случай, когда среди корней характеристического уравнения
имеются з простых корней ~., д
Этот случай легко свести к предыдущему. Для каждого собственного
значения (характеристического числа)з, отыщем собственный вектор ' из
системы уравнений
!
— (о)
....'.,)~...' ,)0)
Затем наидем соответствующие им решения из фундаментальной системы
решений т'= '* '. '= " ' и запишем общее решение ввиде
у = ой+ зсу +
Вся разница с предыдущим случаем в том, что фундаментальная система
решений не исчерпывается найденными решениями, есть еще решения,
соответствующие другим корням характеристического уравнения.
Начать зарабатывать