Задача: Сформулировать свойства определённого интеграла. Доказать свойство аддитивности определённого
Описание
Характеристики решённой задачи
Список файлов
Распознанный текст из изображения:
1. Ссрормулировать свойства определенного интеграла. Доказать свойство
аддитивности определенного интеграла.
1. Свойства линейности
а) суперпозиции ((у( )+д(-)Ы'=)у('Ы +~к(.')т.,
б) однородности (л,г(т11х = я ( ~'(т йт
Вообще говоря, свойствами линейности обладают все линейные операции
(ди<(хреренцирование, интегрирование, проектирование и т.д.)
2. Свойство аддитивности (по множеству)
~ '(тйт = ),г(х)6 -'; (у(х)Ит
Доказательство. Пусть сс[.ь]. Выберем разбиение так, чтобы точка с была
границей элемента разбиения (с = „,) . Это возможно (следствие). Составим
интегральную сумму 2 у(.-,)ь, =2 у(;,)а., + 2 у(;,)ь,. Будем измельчать разбиение,
=1 = ° 1
сохраняя точку с границей элемента разбиения. Это возможно (следствие). Тогда
предел при шазв., — ~олевой части равенства интегральных сумм равен (Г(~)н,
первого слагаемого правой части )'у(-Ц:, второго слагаемого правой части
Распознанный текст из изображения:
3. ) лс1х)1х= — ) Г(х)ь1х (свойство «оРиентиРУемости» множества).
ь
Составляя интегральную сумму для интеграла в правой части равенства,
заметим, что элемент разбиения надо проходить в другом направлении„от конца
отрезка к началу. Поэтому для этого интеграла интегральная сумма будет
~ ~(~, )~ — ьх,) = - ~ 1(,-, ')ь,. Переходя к пределу при измельчении разбиения,
=! =1
получим ~Дх) л. = — ),ь(х)с1х.
ь
4. ) 1'1х)ь1х = о. Это постулируется, но, вообще говоря, это и очевидно.
5. )! с с1х = Ь вЂ” а .
ь
сдх = с1ив (ьлх, -ь Лх, -ь ... -ь Лх„) = с 1!!!! ~,(х, — л, -ь х, — х, ь х, — хь -ь .. х„) =
с(х„— х, ) = с(Ь вЂ” а) .
ь
6. Если на отРезке 1'Ь) > О, то ~ 1'(хМх> О.
Распознанный текст из изображения:
Так как т(А.)>в на отрезке, то ~~ )'(с,)>0,~~д~с,)лт, >О. Переходя к пределу,
=1
ь
получим ~Дзот>0.
7. Если на отрезке Дз)>~(т), то ) Дз)й>) (т)й.
Так как Дт) > ~(з) на отрезке, то ~~ г(:,) > Дс ). ~ ~ у (с, )лх, > ~ Д;, )~х, . Переходя к
=1 =1
ь ь
пределу, получим ) ~(т)й. > ~фз)~т.
Ь ь
8. ~Дх)~й < ~ )'(т)йх
— Дх) < Дх) < г(х1:-> — ) у(л)дх < ) Дл)ых < ) ) (х)нх ~ ~ ~<(х)дх < ) ~(х)Йл.
в ь
9. ) Да~~с = ) Дз) з (переменная интегрирования — «немая» переменная, ее
можно изменить, она не несет в себе самостоятельного смысла)
Определенный интеграл является <рункцией своих пределов, при сриксированных пределах интегрирования это — число. Он определен своими пределами. Поэтому он и называется определенным.
Начать зарабатывать