Задача: Решённый вариант 26
Описание
Характеристики решённой задачи
Список файлов
- Вариант 26
- Thumbs.db 38 Kb
- Изображение 000.jpg 184,65 Kb
- Изображение 001.jpg 155,71 Kb
- Изображение 002.jpg 176,36 Kb
- Изображение 003.jpg 153,84 Kb
- Изображение 004.jpg 160,81 Kb
- Изображение 005.jpg 200,93 Kb
- Изображение 006.jpg 139,67 Kb
- Изображение 007.jpg 174,34 Kb
- Изображение 008.jpg 170,39 Kb
- Изображение 009.jpg 172,41 Kb
- Изображение 010.jpg 149,11 Kb
- Изображение 011.jpg 176,51 Kb
- Изображение 012.jpg 145,48 Kb
- Изображение 013.jpg 140,15 Kb
Распознанный текст из изображения:
!влача !
11ай)н все значения ызрня:зь27
7ТФКП( 2003
изгое!
1,. найлсз
— 3, 3ъ23
.*,,"з 7
'з
2 2
О)вез: з!27 =-'3; — (г-- 2
Данный материал подготовлен на принципах информационно-
консультационного материт»за с целью закрепления у школьников н
студентов навыков практической реализации знаний, приобретенных
в объеме курса по теме «Теория функций комплексного
переменного». Настоящий материал предусматривает широкую
вариативность приемов и метолов закрепления полного курса в
объеме семестра по разделу «Теория функций комплексного
переменного» в «Высшей математике». Рекомендуется изучение
данного материала в сопоставлении всего объбма предложенных -3
решений, Задачи, не п рсдс тавлякицне особого интереса, были
исключены из предложенных решений.
:-,(
.'1
В серии представлены консультационные пособия по
следующим темам:
° Интегральное исчисление
° Дифференциальные уравнения
° Кратные интегралы
° Ряды
° Теория вероятностей
° Пределы
° ТФКП
° Аналитическая геометрия
° Линейная алгебра
° Векторный анализ (элемент») теории поли)
Корьнг, и-н с)сисни нг козизлексигз~о пгслгг
рпшыз зшнгешпз. когорыс шжо.ы~ся и форм)л"
", г = *,l) сзгь . ": ~ь!)з
1) п
о.—. агр(г). ), = п,)...п — 1: к: о
11о ыив шя в из йю!змзл) рголпчные знп ыюш
все значения корин з 27;
'27=3
!азана 2
11рслс) пни г ь в аисбран чсс кой форм.: соз( и г 6 — 1)
11епольззси форз)м)з ьосннзса !)азноспи
соч(п 6 — !) =. соз(п 'бз)сон(!)+з)щп 6)ып())
Про,(с~авзгз) зрпгоиомегри ыскпс фзиьппн с з)нимыми
арг ) мсшамп в валс показа гольных:
сояп'бз)еоь(1) яп(п'6)ьпцг)=--- ! и — с' ) з(3 с ' ее' .' 1 е — с ' !
1
Огвез. соил )6 — 1) = ! — — .. -,-' !!
Распознанный текст из изображения:
4" 3!
й,'-
з 1
'(х — ))
г!» )), ! ——
1.( .») = 0
й =. 0 я),!-2....
0
3
За,шчя 3
!1ре впавпгь вал!ебранческой форме:
Фунагпя Лгсгй является многознв щой и в общем впл»*
сирс ы:!я» ~ся».!»л»!оггшхг образо«и
Лгс)!з к =- — ! . Лгссгр, — ! = -г -- 1.п — ' — = — 1ш—
!тх . ); ! з;1
2 к . 2 т — !
-). )
г
4чЗг
! 1олставпм вместо к значение — —:
5
4. 3!
! 4ьЗ! ', ! з ! 4иЗгз-5
° .'
.е1
Лгстй! ! =- — !ш . — -- = — 1.п-:—
5,' " ' 4еЗ! 2 4+31-5
.-1
5
! г) ь 3! ! 3)(1 — 3!) 1
= — !ш --. = --1.п = — !.и( — 3!)
— 1 - Зг 2 — ! -ь 3! 2
Логарифмическая фувкпия !.п(к). гпс гиО, определяется кав
ф» акция. обратная показательной. причем:
!.пн = !п)к! !Лгйк =!щд»-!(агйкч2и1с)1с = Оса)~"....
1!о,щшвим»то выражение в полученноевыше:
1,. 1
— !лз(-3!) = — (!гз,— 3!! !(агй( — 3!)< 2п)с)! =
2
1, „! .. 1 г) и
= — )п(3) ' — '(агй~ — 3!)ч 2я)т~= — 1099+ — ( — —" з-2к(г !
2 2 2 2* 2
!)ызег: Лгс(й~ ! = —.1099е —, .— "-ь2и)т ),)г = Оч!ьз
РачЗ! ) ! !
л
'Залачя 4
1!ьгчс!»тить область. зи.щин»го неранено ~ вами. «2< ос...<;2, Кст<1. )п.:я — !
Задача 5
Опретелш гь виз! кривой:
2+!
2 — г ! — !
Урпвнспис вила к -',.(!) — «(!):. !»0) опрелеляст на
к»з»~плох<пой плоское!и крив)~»», парамегрнчсскис
»равнения которой имени вил х — «О). у - )(г). В ивово!
с.гт ' шс.
2- ! )- !
х()!:. - ----: »(!)
! !
Вырвем параметр ! черш х и у:
!
х = — ч 2» — »! .-. 2 — г ы 2»
— -х» — )г — )- ! .х» — ! — ~(» — !) — !
!1о:!;"!им уравнение кривой в в!н)е
2(х- !) ) ! 2(» .1)» !
.-! ) — ! -! у-!
2(х !)
(Нвег ' - — О
:;.!» -1
Распознанный текст из изображения:
!(1) '— '-
гх
я>огся слс ювюе.>ьно Го>ла роз)люа> о> пу>г>
!
Огас>: !!'(;)дх = > ——
10
!
Оп>с>': Г[/) = г. '
5
1алача 6
1(ровс!загь. *>то и является лейон>из>.лапой чистяк>
анщппнчсской функции. Восстановить анюзггтическ'ю в
>крсюностн >очки д, фзнкпию Дя) по извес>вой
.ю1ствителг,ной части щх.у) и значении> 1(ж,):
н =
)ная лсйснщгслыйю часть аналиыщсской ф)акции.
г>г> кно узнюь производную анащгпической функции по
слал> ющсй формуле:
рп .сп
Г'(г)= — — > —.
дх Ъ
1!яйлом произволнуго аналитической функшпн
— хз-.уз+х>+2х>):-'-:уз ч2>хз
С(к) .= 1 'г х + !Г)—
(х еу)
-(х-гу)> Ь[. -'.)з)г
— — — — —, з-1 =! — —;
(к — 'г ) > (х ь 1) ) > (х ч (у) з
Г.к. производная существует. то ц является лейсгвительной
час п,ю аналитической функции. Тенер>в зная произво,гную
апалигнчсскогз ф)нкпнн йв), можно пай>и саму ф)нкцшо с
>очностьнз ло константы:
1 1
Г(а) =. )(! — г)вн = г, — + С
х
Определим константу С:
1(1) = 1 к 1 - С = " о С = 0
Итак. ана:ппнчесьая функция Йк) выглядит следующим
ооразом;
1
!(:) = '-'—
Зв>гачя 7
1)ы щслн>ь ннгщрал о> фгиющн кохи».«ка>щ >
нсрсмснно>о г>о ганной кривой.
!(г 1К(г. Л(!('. г>о>ганах: г, = Н,;,, =-1- !.:
1(окском ломаную. по кон>р Щ .>пал>но прото гпн
ин>щрпроваппе;
1!роверим нс,олн>по фгнкцщо па аналиыгчнос>ь. )1.>я >го>о
А перейдем >и ф>пкппп 0..) к
>
функции йх.у). >ле. л -: »:
1(х.>) = (х») ) 1 = х — Збх у !26>х') ' — 04х'г' +9х>з —,1-г
>.(9хху — 84х'*у' +! "бх'у' — Збх )
!!ровсрнм. выпогшяюзся ли ус>к>вия ![ пни-!'имена:
—.— 9хг — 25 'яд '-60>пх')л — 252х >" 9>" .—.—
ох ' ' ' гй
>7зг
--.-= — 72х г 504х'у ' — 504х'>' .>
г
Условия ).онш-рпмаиа яыполп
ф>пкпня являе>ся ана.ппичсской.
щпщ рпрования пе завпсп>:
к ' . !
Й(4"=)(-'ь!)"х= ---' -'--,
!О, 10
Распознанный текст из изображения:
)эассаггмрнтг оо.щси, /! 5
5 ' ! 2: !
Г(/!
— и! /
110<обрсо м г)~)пкцпю
5/-. 100 5(х. 20)
! -' ' 1, ,5 !
-5 / -1О, /,' /(! ° ') !
5 г 1
Г(х)- -.,~ — -'4
/г (хь5 к — 1О !
0
7
За/гана 8
!1вйтп все горановскпс разлогнспия;инной функпип по
степеням /.
5/ '100
1(/) .=
50х -5.. ' —:
50/ < 57 — х — / (т, . 5)(/ — ! О) / (х ь 5)(? — 10)
1!реле!авнм один нз мнохгтггеггеГ!. как сумму двух простых
слагаемых:
.. -20 Л В Д.— !Олеях-.-5))
(/ ' 5)(х — !0) в+5 в — 1О (гт5)(х — 10)
в+20 — !
.Ф , 'Л = — 1: В =. 2,' =т—
(хн5)(х — !0] ее 5 / — !О
Отсюгга 1(х) примет следующий ннд:
Г)собыс гочки: / = От = — 5: х = 10
! 2. !25: !О !Оп 1000
! ! ! /:,,/1 ! !
5/ 25 !25 ,' ' / !ГЫ !ОО 1000 Рассмотрим обдаюь5 <,х! <1О;
1 ,,' 5 25 !25 625
— — — -- ., °:!
10 !00 !000
! 5 25 125 625 ; ,' ! !
; г / ' :. /" , / !О/ !00 !000
Рассмогрпч обдаю ь!/( > 10:
5 ) ! 2 ', ! ! 5 10
х' '(/ 5 / — 10 / х' ! г(! '! /(! — '") ~
, '1' 5 25 125 625,'10 100 )000 П)ОПО ) )
(х/ / / . ),/: .:' !2
5 25 !25 625 ! ( !О 100 !000 !0000
/ / ' ) (/. /. / /
()твсп
111 / ',(111 /
,;! <5'Г(/) =-; —; — -" +
/ 5/ 25 125 '; 10/ 100 1000
1 5 25 !25 625 '* ! ! ! !
5
/' / ) ~/ !О/ !00 1000
25 !25 6'5 ', !'!О !00 !000 10000
!/. >10:Г(г!.—..:- — — -- е — — — — —. -;-... ,'—:
/' /' ) ( /' /'
Распознанный текст из изображения:
)влача гз
1!айги все лоргггпзвскис разложения ланиой ф)нкппи по
сгспеиям, -,.;,.
27
Г! .,) .= †, — . сь — — - 3 -.
к 4
! )реобраз) ем лани) из фу акинин
".'7 ! !
Г!7) = -;
7 т4 7 — 2! 7ь2!
! (сиз»лизу си разложения в ряд Гейлора в окрестности точки
1 ! 7. 7. '. к ( — 1) 7
яьа а а а' а' а
1 1 ' ( — 1) (в — 7 ) ~ (7 — 7 )
1 ( !) (к 7-) т (к 7»)
7» 2! (7.— 7,,) — Зьл!»ж ( — 3 41)' „»(3 — 4!)
Таким образом:
1 ! (я — 7)' ' ('.— 7 )"
((7) =- — -. — =-У- .„,ч--~ —. — '-,—
7 — 2! 7 21,. в 3» ' „„(3 — 41)" '
! !
(3 — 4!)"' !
1
Озгвс: Г(7) =.— ~(». ь . г ((" — 7 )
„,,~ 3" » (3 — 41)'" !
Заляча !О
2(ггпиукз фуикниго рагложнть в рял !!иргиз» в жрссииж~и
~очкгз ж,
Г(7) =: мп —, .7,, = !
(: — !)
!!ерсйлем к новой переменной. ' 7 и,
Ь»»ж —. 7-П»ы ..—.( ° !Иж М
7'
!еперь нач остается найти ра~льпксиие пал) нвгпейся
фзиьнии ог 7' в гзкресп~осиз точки 7'»-4. 2(ла »пи о слсттье~
испоьп зовать табличные разложения в ря,г ! ейлора.
1, . 1 . ! . !
Г(7(=-7ь(п)соз +ксозз)яп —;ч йп!сок -- ьсоь)япз;-- 111),.(1!!
! — — »- —, "-;-, »... йяйз! ! .— — - - ' ..—,. —.. 1,'сов!
2Ч' 4!7и 6!;"' ) г 7' 3!7'* 5!7"
соя1 соз! яп) мп1 сов1 соь!
=-7'з(п(» яп! —,
7' 7' Лкл 2! " 3!77 3!7"'
!1ронзвсдем обрагнукз замен) переменной и, гаким
образом. получим разложение псколной фтикпнп в рял
.'!орина в окрестности и»яки дс 1;
соь ! соз ! ь!и ! ып1
('(7) —: ма! — '
7 .! (7 - !) 2!(7- !)' 2!(7 -1!'
соь! соь!
3!(7- !) 1!(7 - !)'
()гвьч
соя! сов! йиз ! йп !
Г(:) - кь~п !—
[7 !) 2!(7 !)' з>(, !)'
соч! соь!
3!(7 !)' Зйк ()»
Распознанный текст из изображения:
За,[а«а 1!
[)г?)телслп гь г пи особой ючки: = 0 тщя лвнной функции:
с)?Зг — !
1(г) =—
я[пг-г-г' 6
11рслсщвит! гы функ?шю. как озношщшс фупкиий (г) и
й[г)
сйЗ: — 1 я(г) й(я) = сйЗг — 1:
Ггг)=
я! г — г г '6 !з(г) 1?[ ) =ш?!!г.— г'16:
Дггя кажлой нз функппй найдем иорялок производной. не
обращаитщеГ!ся в поль при г . О:
й (г?= Зь)з?г. (0) = ЗайО = 0
й" [ ) = 9сЬЗ.',д'(О) = 9сйО = 9
й'(г) = саь(г) — 1 ь г ' '.Ь'[0) = соя Π— 1 = 0
й" (г) =. — ып(г)-; г:Ь" (0) = — в)пО + 0 = 0:
11 (г) = — соя(г) ! 1:(з \0) = — сосО-> ! = О!
Ь' (г) —.-я)п[г)сй ' (О) =-шпО = О:
)з' (г) = соиг):й' (О) =- совО =1;
Гак как порядок ороизволной, не обраптающейся в ноль угри ' ' 0 вьпнс д.1я фтикши!. Нвхоляптсйся в згиысивгг.'зс. зо го птл — 0 являсгся полк!сом функпии, 1)орядоь я!ого полюса нато.ппся. каь разнииа мещду порядками произволных. не об?раша?о!?(т?вся в ноль ори г = 0 для ф)нкинй й(г) и )з(г). Г? данном случае, зто 5 2 = 3.
[Угвег: ?очка и -: О является полюсом 3-?о порядка зля
за?анной функпии.
?ялячя !2
ЗГя гвши и г)пнитгш ивйги игг нг[тешзные о обыс шщн н
опрслс.ппь нз ~ ип.
1 1, соя(1! г) — ып(1 и)
1!7) = Стив
г, г .ш(!
1!Срейлсм к штвой осречсннон.
1 . см! — ! ь)п(
! = ; Г(1)
ьгп !
Ив ф)июшя нс явгщегся аналити юсь и прн мп ! П 1!вилем !.
оогв 1ствукипис щом) слтчаю
йп[=0;:>[=к)и1 г
'?апнщсм лагнп)го фуикишо в виде шношсния функипй я(!! и
!1[!):
соя[ — ! шп ! я(!) = сов( — 1 в)п и
1(1) —.. ——
в(п ! )т(!) =- я(п !!
гбзя ка клей из функинй найлом порядок производной. не
обращаюн[ейся в ноль прв ! = яь:
й(п)т) ы О
)з(кь ) = 0
(з'(!) = соя[; й'(лй)и О
! ал кек 1юрялок ирои гволно(з. нс атбршгагющейся в ноль при 1
;ть выше .тзя ф) нкпшь иачоттящейся в зпямснагеле. ю ~очки !—
являююя нолвюатш фуыюгг~и )Ьря.ток зпп, по.носов
нвюглшся. как ревзина менчу порялквяш проижолныь. и
обрашаюшнкся в ноль при ! = лй зля ф)икций Ь!) и ОИ), В
,щппюг слукш. и г) Π— 1
1 1
! =- яй ~ г = - = —: )г е .
пй
Рассмоцтнм ~очьз г: О (залкюогоб Осущащв)егзаксс шэченпсй
по,) я[Об 1аким обраюм г О не ягыяезси июлирован|юй осщч и
шчкой. звк квк про~ ивор чит опрелслегяво. ~ ласягнему. по фз нюша
толяагв огя~г, аивлшнчщкой я некоюром колы!с вокруг втой инки. в.
какай оы мы ие взяли ралитс кслыи, в нет~ нвйле~ся особая то вв
вила ! як. в коттзроуг функпия не являешься анвлиишсской
[дгвсг 1очкиг = 1,'пк:й е г еля .гвгзнтзй фушошн яеяяктгся
по посвьзи 1-го поря.гка.
10
Распознанный текст из изображения:
Задача !4
Вычисли? ь пи геграл:
Задача 13
Вычис.~ига нни стрел:
е' -1
— -,(а
?'
ып?
— — — с(? ,.(. — и)(. -'и 3)
? 0
В !анноз~ случае:
с" — 1 „.,' 1'
г(? — - 2к(. ( ~— — ~ = —.и
?
(з
1(вилем осооые гочки функции й?):
В рассматриваемую область ггопюзмоз только ючки ? = 0 и
? = и.
1'очка ?л = 0 является устрангяой особой точкой,
следовательно. вычш в точке ?~ равен нулю.
1очка ?. = л является устраинмой особой точкой,
следовательно. вьшет в точке ? такяге равен нулю:
Отснзла следующий результат:
? -!- 51~з 2.
Оя = 2к)~гав, !'(,г) = ОпВО = О , (? — ьй враз(? ( 2)
?' —, я(п2
Г)гвсг: ) — . -- — ---Г -й? = О
...(? — п)в(п(. '2)
У г~ой гй)нюши олна особая ючка. ? О. 1(сшсьг)см
рю:кпксннс и ряд Лорана в окрас~ноши з.ой ючки (ье ~ггз
с~епсяяьз ?и побы опрслсзить ее пгп
1I '
— ! ((т(?—
2~ !
? ?
! 1 ?
? 2!? 3' 4!
1(равильная час ~ ь пгзл)мившш ося ряда солергки ~
бесконе шос число чзв".нов, из чшо слс.!уст. что зго
полнзс. Г(орялок полюса равен порялкз старпюго члена
главной час~и. '(аким образом.. = 0 зго полаю 2чп
порядка и вычез нано !пася сдедуюгпич образом:
О .. О(с" — 1(
геь Г(:! = !пп- - (Г(?)?л ) = !нп — - (
" г(?
, (е' (с' — 11 ~ ., ?(е" — е" — (з( !
! 1о основной ~еорсмс Каши о вьшсгах:
с!!'(я)б? = 2к( ? гечГ(?)
г е' — 1
Огас?: Π—, -г(? = — ю'
?
13
Распознанный текст из изображения:
)алана 15
!) ыни ел из ь ил гсграл.
' — ! — зпз 41
— - с)1
гзз)1811
3яляча !6
В!л зислить иизегрьчг
1
:~ )18 --. '-,-'---)б!1
. — 4 !1 — 3) )я — 1)7
Особыс точки ноэй ф)нкцин х = л)78. 0 !пако в коьпзр
попалас! только 1 — О Опрелелим гнп мой особой точки:
с' -! — з!!з41 811) 811) =со -.1 — ып4х
Г)1)
1 яй811 )з)я) !К1) =- я з)!818
Опрслслим порялки производных ненулевых прп: = О. !г)ы эже нсолнокразно использовали этот прием, г!потому на сей раз мы опустим Летальное и громоздкое вычисление производных н скажем только. что в рсзулюате э!их лсйствпй мы определили, по 1 = О прелсзавляст собой простой полюс. Го!да моэкно рассчитать вычет в этой точке следующим ооразом:
: ео — ! — мп41'! !используем нра-! газ Г(1) — )пт~)ГГг)1! =- !пп
— 1 ай 8)я 1 , 'вино 3!ониталя
4со -4соь4. ),'истюльзуемпра! пп' —. -- — — — — — — - 1.= !
" ':", )яп81-' 811со 81) ! вилоЛопиталя
!Ьс" 16МП41 ' !6
.—. Ьп!
"; !Гясоз8: . Гэл)тяп 81 ' 16!
По основной !соремс Коши о вычетах:
с' — ! — з)п41
с!1 = 2 п)~~~ гсв1зя) = Ъп.1 — !) = 2я
1 аййгя
с" — ! — мп 41
Ответ: .5'; -' — - — -дх = 2гг
"я88гя
Рюооьбм мо~ шггшрю! на сумм) лют пн!аралом
! г ймп„"
1з)! — — з) х — ' ~ — — —; —" . Н1
, ~,Г, 3)11, 1,
Рьююмозрим первый инте! Рал:
1яй -. -г)1
1 — 4
!!срсйдсм к новой переменной:
))=1 — 4' 1 !
азй — - = !! э4)ай.
1=)э4) я — 4
11 гг!не~венной особой точкой з!ой ф) нкшзи является )=Г)
г!тобы определить ее пш. Рахюжим функцию в рял
! )О!тана;
1,'1 ! ! 1 !
1! + 4)зй =1! -' 4), '— '—
',1 3!!' 5!! 7!! 9!!'
1 ! ! ) ~4 4 4 4
3!! 5!!' 7!!' , ),. 3!!' 5!!' 7!!
4 ! 4 ! 4 1 4
! т!! .4 ! 5!! 5!! 7!! 7!!
О!чс!лино вилис. что !лавная час!ь ря ш Лорана солсрж!и
бесконечное коэи !ее~во шопов из чего с.!сдусг. чзг~ г::))
яв !яс!ся сэшествепной особой из пггяй '! о!ла вычет в ней
пахо зп юя следую!пнм образом:
1!
ген 1! э 4)з)з - ! = С, = 4
Распознанный текст из изображения:
1аюга образом
1 г ! . !
к«й .- «1г = 3 (( +4)а|э- па = 2гбгез|(! з4)зй—
— 4, ( '", 'г
= 2л! 4 =йкэ
Использ«см вычеэы лля взятия второ«о инэеграла: 2 «| «э (г — 3) (" — 1)
У подынзегральной функции есть две особые тоюги:; =1 и х::-3.!!ри эз«э«э пэчка х-1 не охвачена конт«ром. по которому про «олнт интегрирование. н ие расс«ипрнвае гся.
Точка г=3 является полюсом второго порядка. Найдем
вычет в этой точке:
«( ! (а — 3) -2з(п' ) . й ~2ып, ~
тех|э(:) =!пп —.! - — —, " , '= йт
'«)х! (х — 3) (х — 1) 3 -'«)х~ к — 1
° о)3(а И ~ Ь,' (. — 1)э 'уй )!
! аким образом:
2з!гэ,' ( 13
— да= 2я( геьГэ(х) = 2тб ) — — | = — к(
,,(к-3) (а — 1) =' ' х 2/
!(ай«де«э исходный интеграл как сумм«интегралов,
состав.эякипп; еэ о:
( 1 2з!«эм! э г 1
, :аз|э -, —.—.—,--' — )ох = з я«й оа .
к — 4 (х — 3)э( — 1)), э — 4
— зэп
— йк = йю! — к! =- 7«п
.(У.—.э) (г.— 1«
э 2з(п
Огвеэз «( ( кзй ь, " !«(т= 7гй
: — 4 (х — 3) (х — 1)у
Задача 17
Вычпо.ш гь э эн э сг ра.э.
«(г
«7 ми(
1!нэсэргпэ гакого вила могксэ оыэь прсоораюван в
ко«э э«рный. исээогээ э«я с.эел)!О«пи ' выражен««я:
дх
г — е'.««э«'.= — г — з«ы э =,: . «4«
(к«э.«эа «)а« = 4('(х)д/
|Зо«яюльт,смея этими данными и перейтем к контурному ни гетра.г:
„ч7ь|ээг +4, э ',, (х — ')+4, э Д«(к — 1) 4!к
2йк 2дх
,,;«7(г — !)-э )((х, э «(7(та|;(7)(г +э) з(7)
1!одыпэегральная функция имеет двсособыс точки:
г.= — (мэ): т.= — э'ч7:
!очка — !ч7 не попадает в обласэь, ограшгчспную
кон Ором иэпегрировавия.
Гочка — |«47 является простым полюсом. )3ычэгсээи«г в
этой точке вычет:
гсь Г(х) = йю (!(г)(гэ эгч7)! =
э
— |пээ
Г' х)7(кь|с7) «7( — |э.,'7 «-!««7) 3
1!о основной теореме )«ошээ о выче сох:
2«(к
— -----,=- = 2л|~гсз! (я) .= 2кэ | — — ~
«,ч«7(х~-!х)7)(. ч! ч7),;: «3,«
гй 2
Ответ:
7з|п(«-4 3
Распознанный текст из изображения:
Зала ш !Я
Вы ~испить июс~ рвл.
ш
- (2.- с~зь г)
1!н~с~рал ~якого внлв может оьпь преобразован в коптурныгь
используя еле и юшнс выражения;
1~1'!
2( т) 20 7! )г
)К(сш г.пп г)д! = Е(г1дг
Восполюуеьшя в~ ими ланнымн и перейлеч к контурном) интегралу:
Х
д! 1 д,'!в
, (2 + сов1)з 3, (2-ь 1(к ь ' ))з
.Г кдв,г ,",!(224!(2 з-1)), 1(в за '3)" (242 Д)
1!одын гегральиая функпия плюет две особые точки:
Д . — 2зДл
Го ~ка к = — 2 — з не попадав~ в область. ограниченную
кон ~3 ром ингсг рп рован ия.
Гочка г = — з з 3 является полюсгзм втгзро~о порядка.
Вычислим в втой точке вычет
д . )-г . д 4к
шз Г(г) Йп (йт)(к-ь2- з3) ).— !пп
'д~' ° -' .:де,( ь лД~'
4 4 . — т." д3
)пп .- . -, --.— — —.: = — )пзз
(». Взд)! ' ' ' ''(г-2 зз~
,3 '-з3 4 4
— 2-зл) ! (2.г'3)' 3 '3)
1)о основной георсчс Воши о вьшета.с
!
Озвсо
гй 4
, (2 з соь !) Зс'3
Залача 19
Вы пзсгпп ь ш!тсгрзаз;
,(л 1)'
11звссзно. Во есгш фтнкш!я ращ!ональпа. в се шс,пыегш н
~нггт!снгз!с:н про югавляюг собой мншочлены. причем
сюпеш шаеенагеля по крайней морс нв:гвс елннпны
Оо.н шс с!сч!СБп '!Ислнгсля. !о знзжно !цзнзгьпизь
слелуггз~ггую формул;
-- '>
сумма иычеюв бере!ся по вьем
'к(к))» = 2л! 3 гез В(2)
по!носам полу!злосюк~н )ш: > 0
1)реобразуем исто зныи инге! ра.г
Г
дк "Г д,
„1к г т 1) ', (в -ь 1)'
Особые точки:
2=-1 ()шв>0): я= — ! ((шв<(И
Гочка: =1 является полюсом !рез ьсго порядка и вьшет в
ней вы ~ислясзся слс)гуюгцич образом:
1 . д' . . з 1 . д' 1 !
гся Г(к) = — )пп — ) 1(к)(в - !)' ) = — !пп — -, , '- — -, ) =
6 - г!. 6'" дг*)(241);
1. д'; — 4 1 1. д~ 20 ) 1. -ГО 5
6' дг ~(г !1 ! 6'"Й)(7 !! ! 6'"(ет)) Зз!
Ис!юль и ем нринеленп) ю в нича !с задачи формтл ы
дт .5 5т
--. -'--- = 2л!
,(х +1)' 32! 16
дк 5т
Ответ:
, 1)' 16
!9
Распознанный текст из изображения:
!
— — 0<1<а а
!'(1)~ — 1. а <1 < 2а
!ба — 1
— Оа <1
й
1 — 9 ь16з)(3! г 31) 42!
20
21
Зачача 20
Вычислит ь ззн ~ е! ра и
,9'+ н» 5 з: а.'.ч'
Для вычисления интегралов гоко!и вн;1а применяется
спешза:зьн тя форму ~а:
)К(х)совйхйх.= Кс:,2я)~гетК(я)е"' (.). > 0
Исхолная функция полностью )ловлетворяет условиям
применения лвпной формулы.
11айзлеъз 7.„,:
(.. ' -'16)(х + 9] = О =-х х, з = 53ззк,, = й4з.
С ) мма вычсз ов берегся по верхней полуплоскости 1ш т > О.
1!з зтого слет ст:
:, =(Зг;4И
'3 ~ и особые точки являются простыми полюсами. Иайдем в
ннх вьшсты:
(я — 3!) „. с'
1)гсяК(х)е"' = йт,, е" =. Кш- —; — — -- — — — — =
' " (тз 16)(я', 9) "(: е16)йкч3!)
(х — 4И
2)гсхК(х)с" = йпз.- и., е" =- !пп
: -" (х, 16)рн + 9) " (я . 4!)(т + 9)
е
(4! ь 4!)( — !() е 9) 561
Исполни)си записанную ранее форм) лу и пай зсм интеграл:
1 - соз' ! ! . „,' яс ' яе '
ох = — Коз 2п! у геяК(х)сл' '; =.
2 "(х' ь16)(; з-9) 2 ', „, " ) 42 56
соь х яе гс
;, (х . 16)(х' +9) 42 56
3адачв 21
Ио,шипом) графику орш инала найгн гззобраягс~зпс;
Исходя нз ного ~ рафика. запишем орппшал функппи
1 1 — а 4а — 1
р(1) —.— --.з1(1)-, ~1(1 -а)",— з)(1-йа) а а а
Исполшуя гаошп() прсобраюваний Лапласа. пайлехг изображение функпин. ьак с)мзз) изобразкешш слагаемых орипшала фупкгтгпз:
1 (' 1 !', .„, (4 !
!.(р) = — +, '— —; —. (е 'я-) — —, )е
ар (ар' р):,р ар',!
Опзег: р(р) =- — --,.ь), — — (с '" +( .— — —; (е ""
ар- йарз р! 1,р ар х
Распознанный текст из изображения:
Залача 22
1)ай(и оршинал (ю заланном«игобра»гспшо
з
(р — 2)(р — 4р+ 5!
1(рс шшвим мо выра кение. как су«гагу пр«гс(ьш слагаемьш:
— р Л Ври С.
(р — 2)(р — !Р-)-.«) р -з рз — !р.(-5
Лрг-ллр)5Л Врг- Вр Ср- С
(р — Зйр' — 4р -5)
(Л В)рг +( — 4Л вЂ” 2В+С)Р+(5А — 2С)
(р — 2)(р — 4р + 5)
Решив линейную сне«ему уравнений, найле«г А. В и С: , 'А ь В =- 0 )А= — 4
(-4Л-ЗВеС--3= )В=4
(5Л-2С=2 ',С =-11
'!'аким образом;
2 — Зр 1 р 1
— — 4 "-- — е 4. —: — -- -- -- — 11 —; — — --— (р — 2)(р — 4рч«) р — 2 р — 4р-(-«р — 4р-(-5 11««гакому изобрагкепин«пайп« ори(инею исслогкно: — 4. — — -ч4 —, — — 11.
р
р — 2 р — лр+5 р — 4р'5
.— — 4 +4, — 11.-- р
— (р- )г з) (1«-2)г-.)
р — 2 „1
=-4.. — е4- --, — 3
р — -' (р — з)' е) (р — 2)г е) — ь — 4 с ь 4.сл сонг — 3 ез* з)пг
и
()твс(( орш иоал ф«икиин вьнл»лги следуюшнм образом;
— 4 е ' а4 е ' со»! — 3 е ' яп!
Залина 24
Оп раниоппым м.(олом решигь з.шачу 1;оши
С*.З«ь-)0« = 47со. 3) — яп )г
у(О) =3. у )0); -1.
Нз (е(грин пам извес«но. по «а(и зн) соогвегсгшс( июорако(ше Х(р). (и х(О соево(с(вуе( РХ)р) «(О), а ;"(г) соо(вс(с(в«с( !«Х(!г) !з (0); '(И). Р«(«ово,гс(в«»сь г(гг«и( ш(поражена»мп. псрейлс«( ог оргии(ш.юв функпнй к п«изобршье( н»м:
47р 3
р г'(р) — р«(О)- «'«0) г Зру(р) — у(0) — !ОУ(р) .-- р -9 р ь9
47)з л
р У(р) -Зр-1» Зр Ор)-9 — )ОУ(р)
р «9 р(+9
Зр' ар ь 74р б9
(р еЗр — 10)У(р) =(р 5)(р — 2)У(р) =
р +9
Зр , йр к 74р + 69
у(р) =- --,— ' — -- ' —- (р .(. 9](р+ 5)(р — 2)
Рюлогким л«ф«нкцию на простые слагаемые и найлом
оргп пиал «(Г):
Зр«-Зр (.74р б9 Ар В С В
у(р)= .—; -- "---'--- .=-.'-;. —.. — ——
„«го) рчз
(Аебзьв)р е(вьЗА — Зсь51))р +(3!3-)ОЛ -9( +9!))Р-)О — 1%:+45!)
(р -,'9)(р 5йр — 2!
(Л-С В-3
113-ЗЛ-ЗС ' 51) =й 'В=.З р 3
)ЗВ-)ОЛ»9Се91)=74 !С.=з р;.9 р(зо р+5 р-2
1 — )О — 18С г 451) = б9 . 'В = 3
«у(г)=--Зсо»3( яшЗг ' Зе ' зЗе '
О(нег: у(г) = — 2со»3)+юпЗ) г зс ' Зе'
Распознанный текст из изображения:
»=.».2
х(0) =- [. »(О~ = 0
хпз+ Кх =-0
На пюьныс условна:
х(О) = » „= 5
х(0) = 0
! [одставнм значения 1»;
ш.
хш» - х=О
1
р(р ь — )Х[р) — 5 =- О
1
р[р ь — )Х[р) = 5
5 15 15
Х[г)
р(рь[ 3) р рь1,'3
Ответ:
х(И = Зе' —"
у(И.= Зе — 3
Ответ: х[[) =-15 — 15е
Задача 25
Иа маюрпалыг ю ючк) массы ш действу»г сила
с»»г»1»»»тннзеш»я !»=ь»х пропорпиона.п,ная скорости». Какое
рассзояппе пройлез точка за неограниченное время. если
ей сообшена на аыьная скорость»а
!» =- гп[3. »„5 мгс.
Исходя из в»»»р»»~ о закона Иьютона;
аш = — 1ж
Сокрапгм все выражение на гп:
:" »- — ' = О
3
11срсйдсм к изобра кеннан фуньчгигЗ:
1,. 1
Р Х(Р) — Гх(ГЗ) — х[О) ь — РХ(р) - х(0) — -0
! [о яком» н.юбразкению несложно найти оригинал
х([) =15 — 15с ' '
Задача 26
Р»шить сне ~ ему 'ифферсшшальньс» уравнений:
(х = »
11сре[глсм к изобрая енням»[зупкпг»й '. п ):
[РХ[!з) - х(0) -... У(р) ь 3:р
[Рг'(Р) — у(0) = Х(Г) ь2 Г
1[одставпм начальные»еловая:
г РХ(Г! 1= г(р) ' " Г
!Р'[Р)=Х(Р>' з'Р
[За»рахн»» Х! Р) через»»(р). исполыуя в го!кж ) равнение:
р г [Р) — Х(р) з г Р
Х(р) .=- РУ(р) — 2! р
11одсгавим волу юнпое выражение в первое»равненас а
нагшем У(р):
Г(р~[Г) - 2[01-1='г[р) 3'Г
3+3[р
у[р) =:
р -1
Зная н»ображение ф) нкпнп. несложно майш се огныиид:
'»'(р)—
р — 1 р — 1 р р р — 1 р р-1 р
-ч у[[) = Зе' — 3
Зная у[[), найдем х(рк
»'=х ь2~х(!)=) — 2=3е' — 2
Распознанный текст из изображения:
ПРИ 1ОЖЕН)!Е
)зоран! и-й степени
5: ! !
твк — ',1!
с' = с'(соьз ь(ып1)
З1ПХ=
21
соз, =--
З)1 Я .= — 1 Ю П Ге
Еп г = !п(х, " 1Агй х
)е!я
Лгс1й т =- — — !.п
2 ! — )к
1 У вЂ” !
Агссгй = - (ю
2 т. !
Аналитические функции
Зала ча 27
Выя ннп,. во 1го прсобргызе!ся 1еометрнчсская фигура при
юбражении с почопп ю функции и =. Г( )
!й(т), по!юса Осхся*а
Еаилая 1и вергнкюи,ных линий в полосе преобразуется в дугу,
опнраюп111ося на гочки (О;!) н (О. !), ((а рнсзнке показаны
!ренины получающейся области и примеры лу1:
1р —, п(, ют кй
:,,' = зов,", .соз-' —.--" -)5(п †.- )л!з — -аглай =Ой ...„и (:, -О и п
Племен гари!ае функции комп.1ексиозо перемени!но
! 1-Е
с)1 т = соз гк = -- ——
Лгй я = агй т + 2п)ч )5 = Оуа 1,'-2..
Агсмпх= — !!о((х-з)1 — я ) Лгссову= — 1!.п(тч тх — !)
Функция и=!)(к) пазывасгся анагн гнчсск!зй в инной !очке А есяп о1ю гнфферсицирусма как в самой точке к. так и в некоторой сс окрестности. Фзпкция п=Г(т) нгпьюаезся вняли пзческой в об:юсгп О. сслп она аналитична в ка кпой точке ти(!.
Произволиаи аналитической фтикиии
и =- Г(х) =-1(1 +)) ) =- п(т.у)ей(х.з)
ги . От ст Рп сзп . ги 171 . гз.
1'(х) = --.-ь ! г!х сх гз г'1 Ох Гз с! Ох
27
5
Начать зарабатывать