Задача: Решённый вариант 14

Распознанный текст из изображения:

Задача 1

,'!'Ф(лП ' 2007

1

Данный лла~е)зиад подготовлен на принципы информационноконсультацпонного материала с целью закрепленпя у школьников и студентов навыков практической реализации знаний. приобрезенных в объеме курса по теме «Теория функций комплексного переменного». !)астоя~пий лзатериач предусматривает широкую варназпвность приемов и методов закрепления полного курса в объеме семестра по разделу «Теория функций комплексного переменномш в «Выснзей математике». Рекомендуется изучение данного материала в сопопгавлении всего объема предложенньш решений. Задачи. не представляющие осооого интереса, были исключены нз предложенных решений.

В серии представлены консулыацнонные пособия по

следующим темам:

» Интегральное исчисление

» Дпфференппальные уравнения

» (()зазнъге интегралы

» Ряды

Теория в«роя~настей

» 11ределы

* ТФК!!

» Аношин мекая геометр«и

Лпненная алгебра

Векторный анализ (злементы теории поля)

Г'

! — 1 — ~~'3

Найти все значения корня: ',--- 32

)(арень и-й степени пз комплекса«до числа к нлзеет и разных значений, которые находятся по формуле:

— гр + 2л(л . гр + 2кй )

бт =з(!х!! соз .»!з!п !

и и !

р» = агй(т); ): = О,!....,п — 1: з» 0

Подставляя в зтл формулл различные значения )т найдем

Г1 =((

все значения корня л~

32

г

„'-1 — (л)3 ч3 . 1 Г1 — !«3 .~3 1

32 4 4 ( 32 4 4

„-1-!Л 1 . »3,! — 1 — !Л 1 АЗ

32 4 4 ! 32 4 4

,! - 1 - ЫЗ ! ч'3 . 1 3 . 1 1 . ч'3 1 .; 3 1 32 (4 4 4 44 4 4 4~

Задача 2

Предсгавнть в шпеоранческой форме:соз(я(4 — 2!)

Используем формулу косин)са разности:

сол(л!4 — 2!) = соя(я)4)соз(2г) +з!п(к(4)з!п(2!)

Представим тригонометрические функции с мннмымн

арглменгами в виде показательных:

1 е' 'с'

соз(я!4)соз(2!) «зйз(а)4)лзл(2!) = =—

Я

1 е — е ~ 1 е»с 1 .,' 1 с — е

! е ъе ) ( ! е — е

Ответ: соз(п г4 — 2!) = ! — ——

»

Распознанный текст из изображения:

тякв,в в ~1в

)ялвчя 3

Прелстввнть в гшгебрвической форме:

' 8е!303 ',

А "Оз!

7

хввл-вввввм'в

Задача 4

Вычер.пгть область. заданную неравенствами:

- ' !! > 1. — ч(4 с ягй г с О

Цгункция Ашгй является многозначной и в обшел! виде

определяется следуюшнм образом:

г.' . ! ! 1 ее!

Агс!Ь х = — ! Агссгй! — ' ~ = — ! — Еп — ' — = — (ш

2 к . 2 г — 1

.!- 1

!

8егЗз)3

1!одстввнм вместо х значение — — —.:

7

8-ь !ЗчЗ

8+гЗОЗ ) 1 7 1 8ь!ЗЛ е7

Агс!Ь ~ =- — 1ш = — 1.п

7 ) "- 8ь!ЗД 2 8ь!ЗчЗ вЂ” ?

— — 1

7

1 !5ь!ЗЛ 1 ~ 5+!Л )

= — 1.в -;= =- — Вп 3

2 1ь!Зь'3 2 ( 1-;-!393~

Логврифмнческвя фу нкция 1.п(х), где ге0. определяется как

фу шгцги. обрвтпдя показятельиой, причем:

1 и т = (п!х, .-в ьйг8 к =!и х1+ !(а!8 х+ 2к)г ) Ь = Ок! +'....

Полстдвнм это выраягенне в полученное выше:

1 („5, ЫЗ ! 1,, 5ь!Л! . ', 5ь!Л

з

= — 1п(3) з — ! вг8~ 3---- — — !+ 2сй ! е — 1 099 ь — ( — — ь 2кй ~

Е = 0.81,'

: 8 !3 '3 ' ! , ! ! х ,

С!' в" Асс!)1 .- — '.— - - . = - 1099 - — — — '+ Зт): '.Ь =-Осб(Ы,...

в

!вгг)

в

Нв(х)

Звдвчя 5

Определить вид кривой:

х = -4зЬ5! — !5сЬ5!

Уравнение вида х = х(!) = х(Ц + гу(!) определяет нп

комплексной плоскости кривую. параметрические

урввнеиня которой имеют вид х = х(!), у = у(!). В нашем

х(П=-4зЬ51; у(1)= — 5сЬ5!

Вырвзнм пврвметр ! через х и у:

х 1 (х)

х = — 4ьЬ 5! =в зЬ 5! = —.'— =в ! = — — шх)з~ — !

4 5 ~47

) = -5сЬ51.=в сЬ5! = — — '=в ! = — вгс)з~ — — ) = — гггсЬ вЂ” '

Получим уравнение кривой в виде Г(х,у) = 0:

'х) ()1

()твет: агзй~ — 1+вгсЬ) — ' 1= О

Распознанный текст из изображения:

Задача 6

11ровернть. что о явяяется действительной частью

ааадитнческой функции. Восстановить аналитическую в

шгРестноств точки зч фУнкЦню Т(7) по известной

дейсгвитсльной части п(х.у) и значенин1 1(хв):

в = х — т — 2х+!

Т(О) = !

Зная действительную часть аналитической функции, можно узнать производную аналитической функции по следующей формуле:

гц .еи

1'(71= — — 1-—

дх д»

Найдем производную аналитической функции:

Г(х) = 1'(х + !у) =. 2х -; 2!у — 2 = 27 — 2

Задача 7

Вычисянгь ннгеграл от функции комплексного

переменного по данной кривой:

(сйз ь хк(7: С:!7! = 1:(пзх < О!

Поьжкем кривую, по которой должно проходить

интегрирование:

Проверим исходную функцию на анатвтгзчность. 2(ля зтогоз перейдем от функции й(7) к функции 1(х.у)=н(х.»де(я(х.»). где 7 =х'! (ч;

1г .„г

1[7) = сй(х з(у! + х + !у = — 1с ч + е )+ х ' гу =

2'

с" +е' .е' — е'

сову ь х ь !( — ып у+ у)

2

Т.к. производная существует, то н является действительной

частью анюзнтззческоз» функции. Теперь. зная производную

анавнтической ф» ньции 1(л), можно найти саму функцию с

точносгью:го константы:

Т(7) = !(27-2)г(7 = 7' — 27ьС

Определим констшп» С:

ПО)=Π— 0 ' С=!. С=(

Ищк. анадиышеская функция 1(7) выглядит следующим

образом:

Г(;) = 7 — 2771

(м нег 1'(7) = 7 — 27 . 1

(сйе, 7Н7 = ~~ —. ". — -';7 ~г(7 = — ——

2

1

Отгет: )(ей 7. ' 7)77 = с

е

2! е

Проверим, выполняются ли усяовия Коши-римана.

А~ 1 ,зов 1

— = — е '(е 'сову — сову-~-2е' ! ' = — е "(ег* сову — со,у+2е') дх 2 ГЗ7

си 1,, гзт !

— = — — е 'з!и (е' е!); = — е "оп у(е'" ~-1);~

дъ 2 ох

дн дт

сх Гу е» ок

Условия Коши-Римана выполняются, следовательно, функция явдяегся анадитнчесьой. Тогда рез»льтат от пути ннтегрвроваиия не завысит:

Распознанный текст из изображения:

т~яьа В м.

3алача 8

Найти все лорановсьие рвало«кения данной функпии по

с«епе!«ям д

77 — 196

Г(а) = —,-- ——

72 + 77 * — 987«

!)Реобр«ыуеы ф) пкпню:

77 -196

?(в — 28) 7 7 — 28

7 ч 77' — 987 7 ба+14)(7 — 7) л' (7ь14)(в — 7)

!!Рсдставим один из множителей как сумму двух простыл

слагаемых:

А В Лх — ?Л.!- В7-!-14В

7 — 28

(7414)(л — 7) ть14 7 — 7 (хь!4)(и — 7)

и — 28 2 1

(7-«14)(я — 7) я 414 7 — 7

Осек«ла Г(. ) примет следующиМ вид:

л ' ~ !

Г(я) =

7';7 14 7 — 7

Г)собые топки. 7 = 0: 7 = 7! я = — 14

такн. мь

Рассмотрим оГ«пас! ь(7! < 7:

7 ! 2 1 ', ! ! 1

Г(7) =

~7 — !4 г — 7,' 7- !1

= —.. ! ! '1 - — — + ... ~; 1

!', !4 !96 2744

',л' 14'" 196 2744 1

Рассмотрим область 7

1

7. 7. 7

7 49 343

1 !

77 49 343 !

Г(.) = , ~

7 1 ". ! ь ! ' ! 7

7 7'14 а — 7, 7;!+ ' 7(! — ))

т1 т 7' 7 ) 77 49 34 40!

7 !( 14 196 2744 ! та 7«7' 7' 1)

! ! 7 ~ 7 т 49 343 740!

!, 7 147 !96 2744 ? ( 7' г' т 7"

Рассмотрим облав«ь!7!' 14:

2 ! ' 1 ! !4 7

Г(я) =- — ',,;

7 . а« !4 7. — 77 ж 7(1-«-",) 7(! — —,)~

! !«14 !96 2744 384 !6 ) Г 7 49 343 240! 31!

7 ((7 7 7' 7 ! (7 а

1 14 !96 2744 38416 «, !7 7 49 343 240!

,7. Х 7 7, (7 7 7 7*

Ответ:

Г( 1 1 7 «!'1 1 1 7

!7 < 7: Г( я) =-~ — — — е — — — — '- -«.. ( ' — + — +-- -« — +

147 (96 2744, ~7 7к 49 343

1 ! 1 1 7 ) 1 7 49 343 2401

7

ба ! 4 196 2744 ! 7' 7"' 7' 7"

114 196 2744 38416 ' Г 7 49 343 2401

~47 !4:Г(7)=! — —; «

,7. 7 7 7 ! 7. 7 Л а 7

Распознанный текст из изображения:

зькп. в я

якая ья я

10

)влача 11

Определи ~ ь шп осооон' точки л.= 0 для данной функции;

сокЗл.— !

Пл) =

япл — лглз)6

Представим ю ф) нкцию, каь отношение функций й(л) и

Ь.(л):

со 'Зл — ! й(л) й(7) = сокол. — 1;

Пл! = — ——

япл — к+л' '6 Ь(л) Ь(л) =япл — лгл','6!

Для каждой пз функций найдем порядок произнодной, не

обрашаюпшйся в ноль при л = 0:

й [л) = — ЗяпЗл: '(0) = — ЗяпО = 0

а" (л) = -9сокЗл!а'(О) = — 9соз0 = -г)

Ь(л) = соя л ! — 1 + лз ) 2; Ь (О) = сок Π— 1 = 0

Ь" (л) =. — яп(л) + л:Ь" И)) = — кшО з-0 = О;

Ь"'(л) = — сок(л), ЬЬ"'(О) = — сокО +1 = О:

Ь (л) =ай!(л):Ь (и) =япО=-0:

Ь'(л) == сомл):Ь' (О) =. сокО = 1:,

) ак как порядок пронзводнои. не обращяошейся в ноль прп л = О вьшю лля функции. назодлшейся в знаменателе. го точка .. = О валяется пошосом фзнкппн. Порядок зто! о пол!оса нахо:дыся. как разница межах порядками производных. нс обряпаняцнхся в ноль прв л = 0 для функций й(':) и Ь(, ! )) данном слу ше. зто 5 —. 2 = 3.

Озвсг; )о !ка .' - О является по:поспи Зно порядка,ыя

!ала!шой функции.

Задача 12

Для данной функции найти нзо,ярованные особые точки и

определить их !ип.

япЗл — 3яп л

р(л)—

л(йп л — л)

Изолированной особой точкой является л -- О. За!пинам

данную функцию в ниде отношения я(л) и )йл):

япзл — Зяпл й(л) = к!пЗл — Зяпл

р(7! =—

л(япл — л) Ь(л) = л(к!ил — л).

Для каждой нз функдкй найдем порядок производной, пе

обрашаюшейся в ноль при л = 0:

й(0) = О:

й'(л) = ЗсокЗл — Зсокл!й'(О) = 0:

и" (л) = -9яп Зл в 3ьш л:й" (О) = 0:

й"'(л) = — 27сокзлгЗсоклй"'(0) е 0;

Ь(0) = 0:

Ь (л) = ялл — а+л!Соьл — 1):Ь (0) = 0;

Ь"(л) = 2сокл — 2 — ляпл;Ь"!'О) = 0;

Ь"'(л) = — Зяпл — лсокл!!з"'(О) = 0

Ь'"(л) = — 4сокл !-ляпл:Ь" !0) в О

Так как порядок произволной. не обрашаюшейся в ноль при л = 0 вы!пе для функции. находяп[ейся в знаменателе. то точка л = О является полюсом функции. Порядок чтото полюса нахошпся, как разница между порядками производных, нс оорашаюшихся в ноль. В данном случае, зго4 †3.

Ответ: Точка л = О лля данной ф) нкции является полюсом

1-го порядка.

Распознанный текст из изображения:

тека в я ~с

Задача 13

Вычисли~ь цнз страд:

Задача 14

Вычислить ннтегрс к

~ —; — 1?

Л

соя? 1

, — о?.

сгм ? — 1 ' 1

= йгзг — — — =. ?+ 2,

'~7(?)г(? = 2л(~ гез Г(?)

В таином слзчае

-е' †?

г)? =Вю 1=-Вю'

соь ?ь1

Ответ: ],—.— '-;- с1? = 2г

?, —:г

г е — ?

Ответ: г] с-сг)? = 2Я(

?з

Навдем осооые точки функции !(?):

)очка и = -л нс входит в область, ограниченную данным

контуром, поэгому не рассматривается.

'1очка ?~ . з является простым полюсом. Наидем вычет в

этой точке:

(? — л)(соа ?+1)

гез, Г(?) = йт(!(?Вл — л)] =!пп—

Отсюда следу югций результат:

соз ? 1 .ть . . 1 — г:. — са = 2к(~~ гез, Р(?) = 2л( . — = 2г

У тюй функции одна особая точка: л = О. Используем

разложение в ряд Лоргша в окрестносгн этой точки (т.е. по

степевям ?). чтобы определи и, ее тип:

4? 3?' 16?'

— л ']1. 2?з ->

е х 3! 41

? 7.

! 1 4 3? 16?

? ? 2! 3! 4!

Правильная час п получившегося ряда содержит

бесконечное число членов, из чего следует, что зто—

полюс. Порядок полюса равен порядку старшего члена

главной части. Таким образом, ? = 0 — это полюс 2-го

порядка и льнет находится следувнцнм обрюом:

г)

геаг(?) =1гпз (Г(?)?з]= Йш — (с" — ?)=

о г(? ' г)?

= йгп(2ез' — 1~= ' — 1 —.1

' з

По основной теореме Копггг о вычетах:

Распознанный текст из изображения:

)ад'эчя 15

Вычислить интеграл:

- сЬ4г - Зг -1

г)г

г з)э(6г г 3 )

Особые точки этой функции г =- 3)йэ8. Однако в контэр

попадает только г = О. Определим тип этой особой точки:

сЬ4г — Зг — 1 8(г) З(г) = сЬ4г — Зг -1

Пг) =

г'зЫЗ: '3) Ь(г) Ь(г)=г'з!э(Зг!3)

Определим порядки производных, ненулевых при г = О.

Ь!ы уже неоднократно использовали это! прием, поэтому

на сей раэ мы опустим детальное и громоздкое вычисление

производных и скажем только. что а результате этих

дерютвий мы определнян. что г = 0 предсщвляет собой

простой полюс. Тогда можно рассчгпать вычет а этой

!очке с!!ел) эощиьэ образом:

1 с!э4г — Зг — ! 1 !используем пра - !

~ ез Г(г) = бпдГ(г)г) = )пп,'

— гэз!э(8г(3) э !вилоЛопнталя

4зЬ4г — 16г ' ~ используем пра -1

"' Згэз!э(яг '3! е '., г с!э(кг э 3),~ ! вияо Лопиталя

16с64г — 16 ,'используем пра -!

-""1(бг -';,'г )з)нхг 3) .)бг с!ИЗг ° 3),! !внлодопипьзя

64зЬ4г ! ,'используем пра -!

-""' (6" 64э' М!э(8г '3э ' (48гэ '„',-г'эс!э(8гээ)) ',вяло Лопитсля

256сб4г

Ьпэ

'", (64- -",' г' Мьэкг!3Э- (256г э ",',"" г ЬЬ(хг(31,. 64

По ощэоьной теореме Еощн о вычетах:

сЬ4г — Зг — 1

01 г = 2я),Г ге й ВП = 2гй 4 = Зтб

г, зЬ(8г э 31

г сЬ4г З..э — 1

Озвэпз З -'-. -- сг = Зю

г 'зЬ(8г ' 3)

гааяк,яам

Задача 16

Вычислить интеграл;

3 2 сок ",'

) ~гс!э — . ——

-э-.' г э (г 3) (г 5))

Разобьем этот интеграл на сумму двух интегралов:

3 2 соз '.,'

э) гсЬ вЂ” бг ь ~ —, ' э(г

Рассмотрим первый ннтегращ

3

гсЬ вЂ” — — дг

г — 2

Перейдем к новой переменной:

) ! =-г-2) ' э

э =э гсЬ вЂ” =(г-, 2)сЬ:

!к=!+2, 7 — 2

!эдэиэственээой особов точкой этой функции является г — 0.

Чтобы определить ее тиц. Разложим функшцо в ряд

Лорана:

П ' 2)сЬ--=(! . 28 1 —;+ — р+

2!! 41! 61! 8!!

3' У ~) ( эз' 23' 23'

— г + — ";: — г -г —; е .., , '+ ! 2 + — -,— е — — . — — — + ... ~ =

2!! 4!гэ 6!! )! !„ 2!! 4!!' 6!!"

тг 2.3г 3' 2.3' 3"' 2.3э"

2!л 2)гэ 41!' 4!! 6!!' 6'т' 8'!'

Отче глино аидно, что !данная часть ряда Лорана содержит

бесконечное ко:шчество членов, нз чего следует, что 1=0

является существенной особой точкой. Тогда вычет в ней

находится следующим образом:

гез (! 2)сЬ вЂ” )=С, =

г~ 2!

14

Распознанный текст из изображения:

тек п,ввв

твкп. в т.

Таким образом

той — — — з)7 — — !) (! э 2)сй:з)7 .— - 2ю гез! (1 + 2)с11 — ~ =

!' 9 '

= 21п'.! —. ( =')Ий

Используем вычеты для вития ьпорого интеграла:

2 сок,'

117.

.. Ви — 3)т(7-5)

1очка 7.=3 яяляется полюсом второго порядка. Найдем

вычет а !той точке:

й ~ (и — 3) 2соз'-, 1! . 1( ~ 2созз'-!'~

гез1 Ра) =)лп ~ —.— 1=1нп

'!)7~ (7 — 3)т(7-5) ' 'Ж~ (и-5) )

-.- Ч 3(7 — 51 ~ 3,1 (и-5) 1, 3,!)

Таким образом:

2соз ".,'- в — — й/ =. 2л!. тезП (7) =

, рк — 31! Вг — 5)

1(ай;зем искоднып интеграл как сотстаидяюпн!ь сто.

3 .сов=,

1 тс11 - — — ! — — —.-' (!)7.=

д - 7 (7 — 3) '(7. — 5),1

(13

2тп ! — ,'=ч!

сумму интсгралои,

3

той --'- — Ь

7—

2 сок ",

йт = 9я! ч лт = (йгб

, (7. -3) (к — 5)

йсоз"

()!Иет: 3 ! 7с1! —:-- — —.,— — !Й7..=.10 и

к —" р7-3)т(7-5),1

У подыитегральной функции есть дяе особые точки: 7=3 и

7=5. Прн этом гочка 7=5 не оплачена контуром, по которому

протопит пнтегрироаание. и не рассматривается.

3адача 17

Вы !нслить инте!)тад:

о!

,, 5- к 21з!п1

Интеграл такого вида может быть лреобразоаан л

контурный„используя следуклппе выражения:

1; Дт.

)К(спк !.Ип 1) 1! = 77(т)дт.

Восполтоусмся !гимн данными л переидем к контурному

ин'и".г)залу:

Гй ~ З)7Д !7 т !)7

в 5 — Лами! „,,5 — ",'(7 — ) п,517 — ' (7. — 1)

207. "д7

,,! 01И вЂ” з(21 (7 — 1),, — з 21(7 - )з 21 ! 7К7 — )Л1,'3)

Полыитегральная ф 'нкция имеет дае особые точки:

7=1 '1 7; 7=1721(3;

'!очка ! 2 21 73 не попадает а область. о! раниченную

контэром ннтегрироаания.

Точка '!7(21,17 яадяется простым по:носом. Вычислим а

мой то !ке льнет:

геь Т(и)= 1!пз [Пт)ра — )С2! 7)) =

7 2

— 11т

' — ч7)(7 — 1к21,*3) — „'71(! 21(7 — !Ч '113)

По о!полной теореме Копки о иычеткс:

'!!7

— = 'зги 1еяу(7) = йл!

,;2!(7,„,,'.'1 7)(7 1з!21 31

гй

!йтас: ) ...=-- -- = л

. 5 - 921 мп1

Распознанный текст из изображения:

тек я,ваь„,, ь с

Задача 19

Вычислпзь инзшрвл.

—;-: †. точ

(ьз +5)

) к (ссь !. па !)ж — 5е(тик

~К(х)!)х = 2л(~гев)((х)

Опю*.. ~ —.—;ч)х = — —:.

;(т ч-5(

18

1й

Задача 18

Вы !испить интеграл:

'6 соь. !)-'

Интеграл тако!о вида может бьшь преопрвзован в контурный„

используя следуюпые выраженяя

(( !! ! !) Ь

= с', сот ! .— — ! т + —: кш ! = —, т - — р ж =—

ать тз 'ы

Вькпользусмся этими данньши и перейдем к конг.рномь иьпегркзу:

, (;(6 . сов!) и . (66 4! (г ь '))э

— г(к И ' !1((л+ьбтч5)(геьб Л)~

Полынтегральная функция имеет лве особые точки:

х =-~б 4~5; х = — с(6 — ь(5!

Г гс

'(очка г = — ~б — ~5 не попадаег в обяасть, ограниченную

конта ром интегрирования.

Точка х = — бб 4 ь(5 является полюсом второго порядка.

Вычислим в этой !очке вычет:

а

гс. ((т!.— (пп — 1((я)(я-Лть(6)'1=

'ш

Е 4т 4 . д т

" "г(т;~~ттчз (6)1ь ! о"' йс (к. ~Гз ело(ь

4 Гьч '5 — т 4 46 (з,ьб 5 4 2,6 (6

— )пп

' ' ' "''* ! '6 -тз т) ' (сбь з5 — бчс5)' ' (2>5) зьбь

По основной теореме Коши о вычетах:

4ейх

»- ()(г ' ь(ь тььч)(г-';сб — >Г5)1 " 5>5ь,: 5ь(5

Ответ' )' '- = -2 — я

,, (сб с05 !)' 5;5

Известно. гго сслп ф) нкння рациональна. а ее числитель н знаменатель представляют собой многочлены. причем степень знаменателя по крштней мере на две единицы больше степени числе!ела, го можно применить след! юшую формул!.

сумма вычетов оерезся по всем

полюсам полуплоскости 1ш х > 0

Преобргыуем исходный интеграл

Особые точки:

я = ! с 5 ()шх > О); я = )ч5 Ой!!в О)

ГТочка в =)ь(5 является полюсом вьоршсь порядка и вьшет в ней вычпсяяезся слелуюппзм образом:

С( . ьсс . ь)~ х

'.-Р(к)=1 --[!(в)(-- С5) )= 11 .--1 — — -'-- —.1=

-.'ОЯ .'с1Я, (х )чг5)ь !

2 .ь'17 1

— )пьь

!..ч !>5)' ь4сб

Исполшу и прпвсдснн) ю в на кше задачи форму.!ь

я

, -ф-,-йх =. 2ш

(х —:5) ь4з5 2зь5

Распознанный текст из изображения:

гялв. .я г

Задача 20

Вычислить инге~ рал:

Нг) = — ).т!(( — а)+ . !(( — 2а!

Вр! =- — с "" — е

р р

1,„2

()твюз )(р! =- — — с '" + — е '

р р

20

Для вычисления интегралов гакого вида применяется

спепиазьная формула:

)Р<(х)з(гзХхз(х = !пз(2л(~гекР 0

Исходная функпия полностью удовлетворяет условиям

применения даинои формулы.

Найдем к:

х + 'х + 2 =- 0 о к,, = — 1 и !

С) мма вычетов берется по верхней полу плоскости 1гп л > О.

Из зтого сдедуег:

к„= ( — 1ег)

Эта осооая точка является простым полюсом. Найдем в ней

вычет:

(ка1)(к+! — г) „.. к+!

гек !!(к)е"' = 1!пз, е" = йгп - е" =

к е2к+2 ' -"кь1з-!

— — — е" "=- — е 'оо = — е )соз(-")еггйп( — 2))

†!'!+!ь( 2г 2

Используем записанную ранее форму.ту и найдем интегргьз:

'(х а1)зад 2х

~ — .хв>'"~=

з а2ха2

'г(х ' ! ) з)п 2х

Озвез: 1- —,— ' — 3х =хе 'соз2

)адача 21

!'!о псиному граг)~гзку ориг инала найти изобрагкенис:

,(((г)

о~

а 2а За

Исходя нз стого графика, запинки оригинсы функпнн:

(О. О

1'(!) = ) — 1. а . ! < 2в ',1. 2а <з

Используя таблипу преобразований Лапласа, найдем изобраткенис функпин. как сумм) изобрюкений слагаемых орззггггзиза фз нкпии:

Распознанный текст из изображения:

твкя,вдяиг и.

'Задача 22

Найти оригинал по заданному изображению:

'!3 ч

[р+1)[р +4р 5)

Врсдставггьг жо выражение, как сумму простых слагаемых:

3!з.~. 2 А Вр е С

(рт1)(р е4ре5) р 1 р- ч4рч5

Ар +4АР+5Ач Вр'+ Вр+Ср+С

[р ' 1)(р ьдр-ь5)

(А ' В)рз, (4А з В ч С)р+ (5А+ С)

(р+1)[р -ь 4рч-5)

Решив линейную систему уравнении. найдем А. В и С:

'АеВ=О ~А= — 172

4А . ВчС=З- 'В=172

5А —. С =- 2 ',С = 972

Такггхг образом:

з 1 1 1

г

По такому изображению найти оригинал несложно:

1 1 1 р 9 1

2 р+1 2 р '4р 5 2 р+4р+5

1 1 1 р 9 1

2 рч1 " (ре2! е( 2 (р+2) е1

! 1 1 р-2 7 1

р-ь1 2 (ре ) ч( 2 (0.2)з '1

1, 1 и 7

— — е ' + — е и соз г+ — е а я(п !

(!тает: о(игыгнал фг нкпйн выгдядйт сггедуюшйм об)тазом:

1 ., 7

— — е '; — е' ' соь ! т — е ' з(п

2

Зала ш 24

(Зпз рапиониым методом решить задачу )зонги;

) (О|; О. у [О) = !.

Из ~корпи нам извеспю. что если х(!) сожветсгв)ет июбражеиие .'.(р). то х'О) сопвегств)ет р.Х(р) — х(0), а шВ соозвегспзуег р .Х(р) - р.х[0) — х [О!. Руководствуясь ними соображениями. перейдем от оригиналов функи~й к их изображенияч:

3

2р' У(р) — ру(0) — Ох'(О)+ЗРУ(р! — Зу(0) У(р) =—

р-!

2р У(р) — 2чЗРУ(р)ч У(р) =

р — !

3 3+2р-2 Зр+!

(зр +Зр-ИУ(р)=(рь))(2рт!~У(р)= —.+2=:

р-1 р-! р-!

2ре( 1 1

УЗР) =

(р — 10р 1)(2р+1) Гр — 1)(ре!) рг — 1

Наблсч оригинал у(г):

1

У(р) = —;-- . = у[!) —. ьЬ !

р — 1

[)гвег. у(г! = я1з !

игхчк

Распознанный текст из изображения:

ткал вяя ]н«.

Зядячя 25

Материал,пы точка массы гп движется прямолинейно. отталкиваясь от начала координат с сидой Рь=йх. пропорнноньыьнон расстоянию. На ]очку действует сила сопрогнв.юн]гя ср~ды К=гт, пропорциональная скорости а Прп ]=О расстояние точки ог начала коордннвт хл. я скорость ]л Найти закон движения х=хО) материальной точки.

й = 4]п, г = 3 ив хл = ! м. ял = ! м)с.

Исходя пз втор]]го ]вконв Ныотонл:

ап = Ьх — г]

.'зп — гх + Ьх = 0

Нвчяльные условия:

х(0) =,„=1

х(0) = яя = 1

Подстявнч значения й н г:

хп] — Зп]х ' 4п]х = О

С окрвтпм все выражение нв пк

х — Зх 44х =0

Перейдем к изобрвжениям функции:

Р Х(Р) — Рх! 0) — х(0) — ЗРХ(Р) 4 Зх(0) «-4Х(р) = 0

(р -Зр+4)Х(р) — р ' 2 =0

Х(р) =

р — 2 р — 2 р †', 1

Р— бр+4 (р —,') 4] (Р—,'-) +-; 07 (Р— 4) 4,

По такому нзоорнженвю несложно найти оригинан

,,77 1 ]о] Л

хП) =е" соз. ! — =с" жп- — ]

ч7

Ответ: х(!) = с соз ! — — =е ' ' яп — !

т 2

3ядячя б

Ре]юпь систем) дифференциальных уравнений:

!".=Зх 5],2

]=3' .'«1

х(О) =- О„) (0) = 2.

1!треплем к пзобрвже]пням функций х н у: ; РХ(р] — х(0) = ЗХ(р)-г 5У(р) е !р

',р«г(Р) — у(0) = ЗХ(Р) , 'г(Р) е1'Р

! !олстввим начальные условия:

]'РХ(р) = Зъ;(р) + 5']'(р) «- 2 р

(РЗПР)- .-ЗХ(р) у(р)е! р

Выразим Х(р) через ]'(р), используя второе уравнение.

р]'(р)-2-Урр)-1'р

РУ(р) — 2 = ЗХ(р) + У(р) «-1! р =] Х(р)

Подстелим полученное вырвжевие в первое урнвнепие и нейдем ]'(р)]

ГУ(Р)-2 — ']]Р]-]'Р „Р" ]Л)- 2 — У(Р]-]:Р

3

2Р -' 3'р

у]р):: —-- р — 4р — !2

Зная изображение функции. несложно нютки сс оригинал:

2р — 5 .3'р р — 5 3]]р ! ],р — 6 у! Р)]

р — 4р - ]2 ]р — 2) — !6 4р 4р (р 2) !б 4р

9 р —" 3 4]

.! ]р - 2] — !б 8] ]Р— 2] — 16 4р

-] г!) -",е ' со]ля ° '„'---' ил 4н — ';= — 'е сйз]- (е'ЦЬ4] — — ', Зпяя у(гь нейдем хВ).

; = Зх — ! = х(П =-! (у — ) — !) = ] (Зе'сй4! - -',]4]зЬ4!— — ';с 'сй4(е —;.'зй4! ч! -1) = — ',е 'сЬ4! — '„'е 'яЬ4! — -'. О]вст:

м!) = -е 'сЬ4! 42]е'зй4! — —,'

](П вЂ”,е сЬ4! з Ь4!