Задача: Решённый вариант 9

Распознанный текст из изображения:

Задача 1

Найти все значения корпя: й — 16

сТФК!3 ' 2002

Данный матсршш подготовлен на принципах информационнокоисультацвонносо ссашрнзла с целью закрепления у школьников н ст тентов навыков прзкснческой реализапип знаний, приобретенньг в обьеме курса по теме «Теория функций компдекснос.о переменногоэ. Нассояшпй материал предзсматривает широк)ю ва натнвность приемов н методов закрепления полного кзрса в объеме семестра по разделу «Теория функций комплексного пе сменного» в

ногос в «Высшей математикея. Рекомендуется пзученис данного материала в сопоставлении всего объйма предложенныл решений. Затшчн, не представляющие особого интереса. бьши исключ«ны из предложенных решений.

В серии представлены консультациоцныепособияпо

следующим темам:

« Испегральное исчисление

Дифференциальные уравнения

Кратные интегралы

Рялы

° Теория верояпсостей

Пределы

«;, :ФКП

* Лнзлитичсскзя с еометрия

«Линенная алгебра

Векторный анализ (элементы теории поля)

Корень и-й степени из комплексного числа я имеет и

разных значений, которые налодятся по формуле:

— ср -> Зк1с . ср+ 2яй 1

з к =" .а)) соз — +сз)п — —;

и

и

ш = агй(к); 1, =. 0,),....п — 1: х «О

Подставляя в зту формулу различные значения )с. найдем

все значения корня 0 — 16:

()' ! б =.,)2 ь 1,~2

сз) — 16 = )2 ь),сб

'ч' — 16 = — я)2 — )з:2

() — 16 = О-. — Ы2

Ответ: 0-16 = (,2 )л)К 2 «1 ~з.,з

Задача 2

Представить в алсебраической форме: ! ц 3 .;)

Логарифмическзя функция Вп(х), где х«0, определяется как

функция, обратвая показателыюй, причем:

1 па = (п)ха сдгйх = )п~х(г !(агйх — . 'Зк1 ).1, = О+! +2....

Подставим в му формзлу значения т:

1 и ( )3 «с) = )сз) ) 3 а 1~ а )Лгй( з 33 г 1) =1п 2 + 1(агя(я) 3 «П т 2к1с )

й = Охб).а2....

Вычислим значения логарпфма н аргумента:

Вп(ЧЗ «П =0693а К вЂ” Зкй),)с = О а!+з,,

к

б

Ответ: 1 и (-,с3 + с) = О 693+ с( — + 2хх ) ~ = О я).Ы....

6

Распознанный текст из изображения:

Лгсв!ив = -1(.п!17 + м! — к )

(т)

Задача 3

Представить в алгебзранческой форме:

. !17'!

Лгсв!п~ — !

3 '

Функция Лгсьйп является многозначной и в общем ниле

определяется следукндим образом.

17

11одстаним взп:сто в зла'гениев

17 . 117, ) 717)

Лгсв!и —.= — В.ш — ! ь !1 — ~ — ) 8 )8 ),3)

! 17. ! 225 !

= -!! п~ — 1 + !~ —: ! = — !).п(4 г)

й )( б4 )'

7!оз арифьгическая функция! п(к). где каО, определяется как

функция, обратная пшазательной, причем:

1.их = 1п!т! ' )Лгйг =- 1п)к!+!(агйг+2кг) 1: = Ох)+2„...

1!олставнм зто вырагкеине в полученное вылив:

— й п(4.!) = — !)1и!4. !!ь!(щ (4 г) ь2хй)) =

— )йз)4)- агй(4 1) 2ик = — ! ),Зв(г+ — т

2

Ыз, - Люяп! ~ = — .! 786-' .— ь 2ткЛ вЂ” Π— 1 — ' — ".

Задача 4

Вычсртгиь ооластгь ыданную неравенствами. )к — ' — !! < 2. Рзе к = 3, )пг а < 1

3 -! 0 г 3 3 вег !

Задача б Опрсдетить ви.! кривой х =- сгй с — !2 соь ее ! уравнение вида х =- т(!) = х(() —: !у(И определясг на комплексной плоскости кривую, параметрические уравнения которой ямеют вгьт х =- х(1). у =: у(!). В нашем случае: х(!) = с!О ц у(!) = — 2созес ! Выразим параметр ! через х н у: х =- сей! =э г = щссгй)х)

у = — 2соьесз=:- з)в!=-к~ != „;„)

миг

— — — )= — агсв!и л

!)олачпьз уравнение кривой в виде Р(хб ! = О:

агссгй (х)= - аюз!и ! — ( ю агс )в †, — мсс$й (х) = О

Ютв.т. а:смп ! — ! - ассе!к (х ) — П

Распознанный текст из изображения:

Задача 6

Проверить, что с является мнимой часзьиз аналитической

функции. Восстановить аиаяитическую в акрестносзи

точки хс функцию ![х) по известной мнимой части л[х.у) и

значению !(вфв

(х.1) еу

1(0) =1

Зная действительную часть апалитнческой функции.

могкно узнать производную аналитической функции по

следующей формуле:

с)з . сз

П(2) =—

су ох

Найдем производную аналитической функции:

— (х «- 2х + 1 — у' — 2«ху — 2(у)

«

! (х) = Г [х ь !у) =—

(х ь2х —:!«-у )'

— [(л - Ц' — у' — 2!у(х «-Ц] (л+! — !у)'

((х Ц у ) [х+ !+ !у)'(х+! — г')

1 1

(х-1+!у) (г ' Ц

1.к. производная существует, то т является мнимой частью

аиа ш пшеской функции. Теперь, зная производную

вняли пс «вской функции йх), можно найти саму функшпо с

то шос гьк«до константы:

! 1

Г(х! = — ~ — —,«)к = — +С'

( а «- 1) к «1

(уоредесшм констант« С:

Г(0) = ! С =1 о С вЂ” -0

Итак, ана,!ин«ческая функция йх) выглядит сведующим

ооразол«:

1

1!х)—

1

1

Отшс Г(,)=—

г+1

Залача 7

В ычислить интегргш сл функции комплексного

переменного по данной кривой:

йе-«(х; ЛВ:,',х', =-1. Оп; > О), ВС' — отрезок,хг = 1[2, = з

в

в

Аж:

Покажем криву!о. по которой дол кно проходить

интегрирование:

Проверим исходную функцию на

аналитичность, Для зтого

перейдем от функпви Дх) к

функции Г(х.у). где 2 = х + !у:

Пх) = йс- = йе ' — =

х х+(у

с — 2!хл: — л х' -у'

г

х !-л" х -;зл

Проверим. выло сняются ли условия Коши-Римана:

Оо зх(2уз) сч со ск

дх (х «-у ) ду с'х су

Условия Кошгс-Рплзана не выполиянзтся. значит. функция

нс является аналитической. Тогда представим части кривой

в парах«ел ри веслом виде:

АВ: к(Ц = х(Ц ' !у[Их(Ц = (у(Ц = л! — 1 (ях = я( — 1)свв си(1)

ВС:х(!) = х(Ц-,ьу(Ц х(О = 1;у(И=О к„= х(1) хс =х(2)

То~да и~От~ исходный интас(зал «сесложно:

~Г(х)с(к = ~Г(к(ц)х ([уй + ~((к(ц)я ([уй =

,«вс

«в

Ответ: )1(к)с(я = — ——

«'х

3 3

Распознанный текст из изображения:

Задача 8

Найти все лораиовскис разложения лаииой функции по

степеняы у..

97-!Гз2

Г(г) =—

2г' + 97! — 81 '

Преобразуем функцию:

9г — 162 9 г — 18

97 — 16

27' + йгз — 81г г(г а9)(зг-9) 27. (7+ 9)(г-45)

Представим один нз множителей„как сумму двух простых

ела!тзеыых:

Аг — 4,5А -~ Вг+ 9В

(7 ' 9)(г — 4.5) г+ 9 г — 4,5 (г+ 9)(г — 4.5)

7-18 2 1

,'А=2)В= — В=в

(г" 9)(г-4.5) ге9 г — 4,5

Рассмотрим оолаеть!71 < 4,5 .

9 Г 2 Г(г) = —.)

27 'г+9 г — 4.5,! г )- 8 ! -7! = ....)), ' ' '-' ),! 27 47 8г'

8! 729 , ! ) и! 72 ) — 2 )г 87-'

729 ! ( г 9 8! ' 729 ' Рассмотрим оо ысть4 5 <)г < 9

9 ( " ' 1 Г 1 Г(г) — —.! — — -—

27 ',7-9 г — 45) г

! )! г 7' у' ' Г9 — — — !)1 — — + — — —, ...),! — -+ 7 (( 9 8! 729 7 )27 )1)гу))'98 , у. 9 81 729,, 27' 47 Рассмотрим область!г! > 9:

Отсюда Г(г) и)зимет следуюьиий ВИЛ:

')

Г(г) = 27 ! ге9 г — 45~

Осооыс точки: 7 = 0: у = 4.5; г = — 9

9

27 (у-9 7.— 4.5,! г ! У()- ГГ 9 8 ! 729 656!

7 ! у у у у

69 8! 729 66!

Ответ:

)У)<4.5:Г(г) =.! — — — ь — ' — .+

'1 ! г гз

( г 9 81 729

!'! 1;. Уз

4.5 < )г! < ); Г(у) =.! — — — -!.—

',г 9 8! 729

81 7з9 656!

!У)~9:Г(г) = —,

(.7. 7 г у

Распознанный текст из изображения:

Зялвчв 9

Найти все .юрвновсьнс рпзложения,чвниой функции по

С ГСПЕНЯМ 7.-77,.

ПЕ) =; —. е, = 2 4- ! 7 — 1

Преобразуем данн! ю функцпю:

743 2 1

Г(7) =- —,

7 — 1 2 — 1 241

Используем рсоложеиия в рял Тейлора в окрестности точки

еж

1 1 2 7 7. ч (-1) 2

Л

7»п В П П' а а'

" ( — 1)"(2 — ез)

— з

е — ! е — 1 (7 — ес)41+1, с, (1 . !)

( — 1)" (Š— 2»)"

Ф

(2 — 2»! Ззг,, „(Зьг)си

Таким оорвзом:

( — 1)" (2-2,)' " ( — 1) (е-кс)

1(е) = — - -- =" ~ — ' — — „,"'

— О+1)"' ' „с (3-»П

= ( — 1)'~,' — — — — — —., ~(Š— 2»)'

., з! (! с Йз ' (3 е()"

!

Отве!. Г(гы = ( — (Г'~ ( — -- — — — —. ((2 — -;, )"

Звлвча !б

Данную функцию рпзсюзкить в рял Лорана в окрестности

точки 7».

Г(71 —. Е.ып —.Е,, =!

." — !

11ерейдсм ь новой и~ременной 75=2-дз.

е, ггс1

7 =7 — 1:е чп — =(7 1)яп — — =(е з!)(Мп1соз — з соз(а»в

е 7. 7-

1, ! . 1, !

= е з(п (соз — е соя 1ып — - з(п! соз — с соя(з(п — —. Г(7' !

72 7. 7 7.'

Теперь нвм ос!ветел найти разлоясение получившейся

функции от 2' в окрестносп! точки 75»=0. Для зтого слелуег

использовю ь гволн гиые разложения и ряд Тейлора:

1, . ! . ! !

Г(е! = еяп 1спз — есп»1ип — .'в ! ссз — * ссз ! Пп — ——

7

! 1,. 1! ! !

=.'1- — —, — — —. )е Ип ! — — —, с .— —; — .)е'со»1

2'спз ! — Пп ! 2!спз1+3!зы ! 4!Сп ! Из!»!

=е яп ! сспз! згп!

И7 ~ ~7" 3!4! Сп

4!5'(: — 1!

ям;;;

4'соз 1; 5!зпп!

4 51(7 11'

Ответ:

2!со ! — Сш ! ".(сси! ." имп1 4!сю ! Згип!

((71= 7»!П ! СПЗ

Р(7 — !) 2!И(7 — !! 3!4!(е- !!'

'!спз ! ~ 5'чп!

Распознанный текст из изображения:

Ь(л)г) = 0

и

)О

?влача 11

Определить тип особой .гочки г = 0 для данной функции:

в!пг — г

Йг) =

созг — )ег

Разложим числитель и знаменатель в ряды Лорана в

окрестности гочки 7 =- 0:

г г г

к е

— +г- — †. — +

Иг)—

щи 7 3! 5' 7'

сов г — 1 + г гз з, г г г

— 1-кг !2ь! — --+ ——

2! 4! 6!

и

7. г г г г ге

3! 5! 7! 3.' 51 ?!

к к

4! 6! 81 4! 6! 8!

предсгавим зту функцию. как отношение функций 8(7) п

Ь(г):

Ю

7 7. 7. г г',ги

8(г) = — — + — -' — -'; ...;

3! 5! 7! 8(г) . 3! 51

1(г) = — '

1 7. 7, Ь(г) 1 7 г

Ь(г) = — ——

4! 6! 8! 4! 6! 8!

Для кажлой из функпий найдем порядок производной. не

обращающейся в ноль при г = О. Поскольк)

рассмгприваемыс функции представляют собой обычиыс

отененные много гленьг. згг несложно увидеть. что 8"(0)иО

и Ь(0)еО.

1ак как порядок производной. не обращающейся в ноль

цри г =- 0 выл?с для функции, находящейся в знаменателе,

то точка г = 0 является пояюсом функции. Порядок этого

па.паса находи гся. как разница межлу порялками

производных. не обрапщницихся в ноль при г = О лля

ф) нкпий 8(г) н Ь(7). В данном случае. зто 2 — 0 = ".

Ответ: !очка г .= 0 яв:щется пащасом 2-го порялка для

заданной ф) ггк~гигг.

?влача !2

Для заннаи фзнкции наизи нзо.пзровзнные осаоые тачки и с предслить ил з ни.

1'(г) = сгйПсрейдем к новой переменной:

! = —:Р(!) =сгйгг

7.

'Зга функция не является аналитической прн бп г — — О. Пайвен г, соответствующие этому случакз

згп ! = 0 =л ! = кй: 1, и г

Запишем ленную функцию в виде шнашсния функций 8(г) и Ь(г).

сов! к(г) = сов()

Г(() = — -'

щи г Ь()) = в)п ц

л(зя каждой из функций найлем порядок производной. не

обращающейся в ноль при г = кй:

8(лк) и О

Ь'(г) = соа(:Ь'(к).) и 0

Так как порядок произволной, не обращаюцгейся в ноль при г =

к!г вынге лля функции, находящейся в знаменателе, та точки Г =

!г являготся полгасами функщгн. Порядок зтих полюсов

нэл здггтся как Разница ме кзз парядк гни прап лигзголл не

ооращакицнхся в ноль при г = вй для фзнкций )з(г) и (О 0

паннам случае, это 1 — 0 = 1

! 1

— л -= = — ?1.нг

и'к

! 'к-'лагргм гочк) г = 0 '1ля любою азО елщссгвтет гзкое значение )г

чзх ,'),глй,.б. П

аким образам г = 0 не ящиется июлироеенной особой

гачкой, так как прп иворечнт опр:делению. гласящему. па фунюия

должна бьггь аназггпгческог) в иекгларом казьце изк)зут

це вакрлт этой точки, а,

какой бы мы нс взяли Разило кщв,пак в нем найдпся особая точка

вила )ьй в которой фунщзия не является анагигической.

Ответ: )очкиг=.1зк)г:)гих лля данной фзнкцин являкпся

палюсамн ) -га па!зал«э.

Дййййг??0 Вийна

Распознанный текст из изображения:

Задача 13

Вычислить интеграл:

Задача 14

Вычислить интеграл:

е" †!

— ч(г

гзгь1)з

51Р 2кг

г = 1 /2. й и 7.

Озвег ) — ' 5!к=41

г(га!)

5!и 'Яг.

— 1

Ответ: 4, з(г = 4 из

!3

Найдем особые точки функции Г(г):

В рассматриваемую область попадают только точки г = 0 и

г = 1.

То пга г~ =- 0 является устранимой особой точкой.

следовательно. вычет в точке г~ равен нулю.

Точка г. =- 1 является простым полюсом. Найдем вычет в

этой точке:

г(г — !)(г+1)э [1='г — 1[

гез, Йг) = 1пзз[((г)(г — 1)) = йш

— 5!п2яг [к=1+1[

И(., !)(1 -1+1) . 1(1- 1)(гь!+!)

=. (пи — —. = Ьп 5!п(2ша2я) ' ' 5!п2ш

И1т))(1 -1+1)з, (1е1)(1 ! 1)з 4 = (зш — — -' = 1пп

'к1 Зл 2и Отсюда следзючпии роз!лэтит:

г(г; П

' — — — — г(г =-2гй~гез, Вг) =-"я! дг = 4з

этой функции одна особая точка: г = О. Нсгнэльзуем

разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки (з.е. по

озеленим г). чтобы определить ее тип:

4г' Яг" 1бг'

— 15[1. 2г +- -; .. -„!

— 1 з 2! 3! 4! )

г г

4г Згз !бг'

г 'зз 3з ф

Правильная часть получившегося ряда содержит бесконечное число чггенов, нз чего следэет, что это полюс. Порядок полюса равен порядку старшего члена главной части. Таким образом, г = 0 — это полюс 1-го порядка и вычет находится следующим образом:

геэйг) = 1пв[1(г)г[ = !зш,, —, = йззз[' г-„— =1зглй =2

По основной теореме Коши о вычетах:

з) з(г)г(г = 2я)У гез!1:)

В данном случае:

е" — !

—.,— Йг .= Злз 2 = 4зп

Распознанный текст из изображения:

Залача 15

Вы шслить инте!раж

вЬЗэ — з)п Зк

: з)з2к

Задача (б

Вычисли гь ин ге! рал.

Особыс точки этой фуньпии к = йгл)2. Однако в контур

попа ше! колько к = О. Определим гнп этой особой точки:

яЬЗк-з)пЗя й(я) й(я) = зЬЗх — зьпЗя

р(я) = ---,

я'зЬ2к Ь(ь0 Ь(я) = я яй2я

Опредсгшм порядки производных, ненулевых при в = О.

Мы уже неоднократно испольэовали этот праем, поэтому

на сей раз мы опустим детальное и громоздкое вычисление

проншодпых н скажем только. что в резулыате этих

денствнй мы определилн. что я = 0 представляет собой

просгой полюс. Тогда можно рассчитать вычет в этой

то шс следующим образом:

( ьЬЗк — гйп Зт 1 !'используем пра Л!

' 'Я(, к'яЬ2к,~ (впло Лопиталя

ЗсЬЗх — ЗсоьЗк ) ~используемпра-)

'-"~ элзЬ2к + Зк сЬЗту 1вилоЛоппталя

9зЬЗе+9айзЗк 3 )исполюускзпра-~

=йпт .—

2зЬ2х ! сясй2г -> 4я зЬ2г ) 'внло Лепи!яда

!' 27с)т)хе 27созЗк '! 9

= й!!)

",12сЬЗе, 24яаййк -, Ьг сЬ2я; 2

По оспошюп теореме Ко!пгт о вычетах:

ьЬЗг — ьй!Зх „', 9

бе = 'я! ) гея((т) = 2л!.— =9я)

х' Ь'

° яд 3.!. — мп Зх

Ответ!:1 ':."' — -': — 0х = 9я!

г'зй2г

Разооьем жот ннзегргн! на сумму лвух интегрююн:

Используем вычеты для взятия первого интеграла:

2 з)п;,",;,

! ! Вя — 1 -71)г(х — 3 — 7П

У подьштегральной функппн ссгь две осооые то*лен: г=)+71 н с=-3-'-7ь Прн этом гочка х=-Зе71 не охвачена контуром. по которому проходит интегрирование. и не рассмазривается.

1очка я=)-,71 является полюсом второго порядка. Найдем

вычет в этой точке:

-- ' " 'нт~ (я — 1 — 7!]'(к — 3 — 71)~ ' ььдг (х — 3 — 71) ~

(7-й)л (7-1)яа 2 '7+!),.

« -„50(. -3 — Л) НЮ (т-3 — 70' 100

7.!л!!

зсЬ ' зЬ ' 0 552 1 229!

100 2 2 2

1 аким образом:

— — — — —,» )

2 зги, ".',,

— — — йв = Зш гез 1!(в) = 2к.(1229 — 0552!)

Распознанный текст из изображения:

Рассмотрим второй интеграл:

Оа

я(х — 71) (используем правило!

гезрз(х) =!!Пз - - — „---=

— '.' е" + 1 ! Лопиталя !

к т 2 2

Таким образом:

и

— — „— гг)х = 2ю. гиа Тз(х) = Зю 21 = — 4я

, „,е"' +1

Найдем исходный интеграл как сумму интегрююа,

составляющих его:

2з)п,'.,ь х

...,((х — 1 — 71)'(х — 3 — 71) е"" +1!

=о х = 41 — 1, 8 — к

Из этих цщск только одна охвачена контуром 1х — 71)=2 и

приниматься ао нииьгаи~гс. 'Зто точка я=78 являкнлаяся простым полюсом. Найлем вычет в этой точке:

2ь)п, -';,

а

,,(к — 1 — 71)'(х — 3 — 71),, с" е(

= 2я. (1.2 9 — 0„5521) — 4х — — — 2х (0.77! +0,5521)

Огвсг:

Л,

2з(п.,",,

— — — )г)к = — Зл (0.771 + 0.55211

;(г — 1 — 7В (г — 3 — 71) с'"' ь))

Задача 17

Вы*щепать интеграл;

,9 — 4 '5з)п!

Иитеграя гакого аида мотает быль преобразован в

контурный. используя следукзщие аырагкения:

!( !' 1( !) лх

Я г,' 2(), г )З

)н(соя ьзв Вгн .= )Р(

данными и перейдем к контурному

Воспользуемся этими

интеграл:

г)т

,, 9 — -780 з) и ~,ы 9—

,"'(я — -') „, 9(х — пз (хг — !)

20х

,,18(х — с 80(к — 1),, —; 80(х — иэ ~ 2)(х — 2~;Ь 5)

()одынхегральнач функция имеет дае особые точки:

х=)~'5)2: я=2)~эс'5:

Точка 105)2 ис попадает н область. ограниченную

контуром интегрирования.

Точка 2)ч5 ц является простым полюсом. Вычнсянм в

этой гочка вычет-.

гез 1(х) = йп (((яйа — 2)Я)5)) =

)и

' -'" ' - з80(х — )ъ5 '2) — ч80(2)С5 35 )з5)2)

По основной ~еореьге 1(оши о вычетах:

2ск

= 2х)~~ гек)'(г) = 2я) ( — г) = 2к

, — ч80(х — 1~5 '2)(г — 2гч 5: 5)

О!

(3твсзз ~- — --=. — -- = 2к

,, 9 — 4т5юпг

!6

17

Распознанный текст из изображения:

Задача 18

Вы !нслнгь ннтв! рюз!

б!

„!-;*7 -г 2 со: !'!

Ингмрая такого мша может быть преооразован в контурный,

используя следуюшнс выражения:

! (

т) м(, с! и

(В(соз !.з!в г!Ф = ЗГ(г)ет

Воснолюсемся !гимн данными и перейдем к контурному интегралу:

1' Гу

сй 1. бя(!у

,;( 77 гзсоьы,з,(„(7 ь(яь — '])!

! т!' ' ° !г .,!(!*- ':зг*.:, Г!Г

Подынтег раяьная ф) нкцня ил!ест две особые точки:

х =- (Л вЂ” з(7)! 2; х = ( — ч(3 — Ч 7) (2!

Гочка я = ( — " — з(7)ГЗ не попадает а область. ограниченную

контуром интегрирования.

)очка х = ( „'"- — з(7) *2 является полюсол! второго порядка.

Вычислим в зтай томке вычет:

геь Г(с)= (пл [Г(Я)(с-(з(3 — С7)гд) 1=

*! -'дт

г( г ! г1 т

лг((с ( !3 т .7г: 1 ''"" ' ' !ля(гь(сзг гз)гз)

зт >3 ! 4 3 7 — зз-зт 4 >7 >7

По основной теореме Коши о вычетах:

— —, =За)~ гем"(а)=-2к!., '— = — к

,, фт )(а ': )~ .=! ":,3>Г31 3;3

(Угас !' ьй 2„'7

;,(В!7 г "сш ) зчз

,,: .гс'

Задача 19

Вычислгпь интеграл:

~- —,-'- — ! х

.(х ' .3'1'

)К!х)г(х = 2к!ч! геяР(х)

сумма вычетов берегся по всеь! полюсам пол!плоскости!юг > 0

Преооразуем исходный иптегрнл;

! — —;с(х = ! —,- — тбя

(х е 3) (х! Г 3)

Особые точки:

я = !з(3 Пйп е > О)! я = — 1> 3 (!ш х < О)

Зечка я = !сб яв.шется полюсом !порото порядка н вычет

в ней вы и!сдастся следуюшим образом:

!) я

гез Пя! =- 1!п! — (1(и)(я — !ч(3) ).= !!гп -- — — = —, /=

-.: б ~(ве(03)-',

Зз(згт, чЗ

— рйп

" '(яч !сз)' 12!

Используем привслсниую в на иле !югами формул

.03 я

.(х' 43)г 12! Зд

Отвез; ~, Ах =

;(х! ..)!

Известно. что если функция рациональна. а ее числитель и знамена гель представляют собой многочлсны. прнчем сзепеиь знаменателя по крайней мере на две елиигщы бодыпе степени числителя. то можно применизь следуюшую формулу;

! с!

Распознанный текст из изображения:

)влача 20

Вычислить интеграл:

1(

Для вычисления шшегралов такого вида применяется

специальная формула:

)К(х)япйхг)х =!пз)2я(~~! гел)1(х)е" Хз > 0

Исходная функция полностью уловлетворяет условиям

применения данной формулы.

Найдем к„:

х' +9х '-20 =-0 =ь с, з =+2нвьз = чзз)5:

Сумма вычетов берется по верхней пол)плоск!хин 1ш х > О.

Из чтото следует:

т „= (2с(з)5)

Этн особые точки являются простыми полюсами. Найдем в

ш~х вычеты:

(х* — г)(л — 2!),, (л — х)е

1)гетр4л)ел = 1!пз- „', е' =1пп — — —,

'-ь(х н4)(лз -ь5) ' л(к+21)(х' ' 5)

(-4-2!)е (2 +!)е '

(21 ч-21)( — 4 ь 5) 21

° Г

(хз — л)(к — )ч5) „. (лз -л)е"

2) тех Й.(л)е" = 1пп ---,— " ', е" = 1гш — -- — — — — =

-»' (х' тих ь5) ":з(х ь4)(хе!05)

( — 5 — 10)5)е " (ч5 +1)е з

(-5-ь 4)(гя!5 ч !ч5)

Исполь!уем записанную ранее формулу и найдем интеграл:

"' (х — х)япх !„. „) 2ас ' 2ле '

— — — =' — '— дх =)п!) 2з!"! гелй(т)е" ) =—

,х' -9х ь 20 ) 2 2

Залаяв 21 По данному !рафику оригинала найти нзобрюкение: Исхоля нз чтото графика, запишем оригинал функции: (! — а

— 0

2а — ! Р(!)(, а <1<2а

г ,'О, 2а

г--а За — 2! ! — 2а Р(Н = гй!) ' — !1(! -а) з — — 1(г-2а)

а а а Используя таб:шцу преооразований Лапласа. найдем нзоораженне функшш. как с)мму нзобрагненпй сдгнаемых орн!инала функции:

ар р (р ар,! (ар р~

ар' Р ~!з ар ) 'ар Р)

Распознанный текст из изображения:

Задача 22

Найти оригинал »ю заданному изобрах»ению:

1

!э' э!э'

Решив систему линейных уравнений. найдем А. В и С;

(А= — !

~В=О

=э »С =1

! В' Е=о ',Л 0=0 !В=О

~О=-1

(Ез =-0

Таким образом:

1 р

— — — /- Рьрррр

По таком) изобрюкению нанти оригинал несложно:

р

— — — -э — ! э — +соя!

р р' р-91 2

Ответ: ории»нал функпип выглядит следгыоп»им образом: ! — 1+ — ' соз!

Предст»внм это выражение. как сумму простых слагаемых:

! 1 Ар +Вр+С Р)р+Е

Р Р' Р'(Р -1) Рз Рэ+!

Ар + Вр', ( о .+Ар + Врт Се Ор' »- ЕР

р (рз»-1)

(А<-0)р' »-(В-'(')рз ч(А»-С)р +Бр С

р (рз е!)

Задача 24

Операционным мезодом решить задач> Козни»:

2»" — С= з!и 3!

у(о) =:, у (о!.= !.

Из теории иам известно. по еаш х(0 соответствуез

и»образ епне Х(р), то х'(!) соотвстствуег Р.Х(р1 - х(0). а

х "В) соответствует р .Х(р) — р.х(О! — х'(0). Ртководствуясь

этими соображенняьш. перейдем от оригиналов функций к

их пюбраяюнням:

3

зр У(р! — 2ру»0! — 2Х(0) — РУ(р! —, ) »О! = —,—

р +9

зр'Уч Р! — »р — 2 — РУьФР)

р. 36р

(2р - р»У(р)=

р'ь9 ! ° 9

У!Р) =

4р' ' 36р . 3

(р' —;982р т Р!

р»»зло»кпь! эту функпию на врос»ью сла»-аемые и найдем

оригинал у(И:

4р*, 36Р-.3 Ар В Ср+О

У(р) — — —,--- —.—,

(р' чго( р»-р) р-, 9 эр' г р

'Ар' .Ар — Вр - Бр —,— ('р — '»Ср ° вЂ” (Эр ь 90

02 -9)(2Р -Р)

. 2А —.'- С =- 4 'А= — !1(1!

А-20 1)=0 'и= — !8!(1! ! ( — р — !8 4»ар+37,

!'В 96=36 'С=446:1!! 1!!( р '9 2р' » Р

!9(э = 3 13 — »7 '! 1!

» !» !86 37

!11', 9 '9 Рз'. Р!

- омв 3! — сов 31 186е ' 37

— у(0 =

1! !

6»в 3! - соз 3! !86с '

Ответ: з(!)

! ы

Распознанный текст из изображения:

Задача 25

Матерггшгьная точка массы ш движется прямолинейно, отталкиваясь от начала координат с силой Г=Ех. пропорпиональной расстоянию. На точку действует сида сопротивлешгя среды ((=гт. пропорпиональная скорости т. Прн 1=0 расстояние точки от начала координат хе, а скорость «ь Найти закон движения х=-х(ц материальной точки.

й = 2ш, г= т, х« = (м. та =-О.

Исходя из второго закона Ньютоны

ат = (»х — г»

хгп — гх» ч йх = О

Начальные»словня:

»«

х(0) = ».„= 0

Подставим значення й и г:

хпз — шх + 2шх = О

С'ократим все выражение на ш:

х — »е2х =0

Перейдем к изображениям функции:

р»Х(р) — рх(01 — х(0) — РХ(р) х(0] + 2Х(р) = 0

(р — р, 2)Х(р) — р" 1 =0

Х(р) =

р-1 р-1 р-,'

!3 — !3 2 (Р— ")з +,' (Р—,')з ч,-' 07 (Р— 1)з -1- ';

По таком, вюбражению неелов«но найти оригинал: х(И=с' соз- — 1 —, ег з(ив

;7 2

Задачи 26

Решить сне!ему днфференцнш!ьных уравнений: х = — 2» +б» +1

»= хе2

х(0) = О. у(0) =1

Перейдем к пзобрая епиям функпий х и у:

(РХ(р) — х(0) = — 2Х(р) + бу(р) ~-1,! р

) р»7(р) — у(0) = 2Х(р) е ",' р

Подставим начальиыс условна.

)РХ(Р) = — 2Х(Р) . 6У(Р) +1,гР

1р)'(р) -1= ОХ(р)-"ур

Выразим г'(р) через Х(р)., используя первое уравнение: РХ(р) = — 2Х(р) ч бУ(р!.ь1,гр ~ "г"(р)=

6 Подставим пол»ченное выражение во второе уравнение и надина Х(р):

РХ(р) ь 2Х(р) — (,гр „,, 12)р ' 7 р( — — — — — — )-.1 = Х(!»).!-Ог!» =» Х(1») =

6 р 2р — 12 Зная изображение функпни. несложно найти ее оригинал:

1 р †,7 р 9 ! р+9 - (р1

р 3р- 13 р'."др — 12 р (р 1) -13 р

р;! Я)

»10 = е ' «о. 1013 г(р.!» 13 ч13 !р-11 -13 Р

— "'. « ' ыч ~»13! - ! ' ««Ь;331- " е '.»Ь (31 — 1 Зная х(1). найдем у(О:

» = -2» г 6» - ! = »(г1- — '1» -, — 1) = -'(7е 'сй»Г(Э1 ' — '«е 'ь!»»!~31 ".

зе 'сЬ Л31 — — "с ' Ь Л! . 2 — !) =-,'19е'сЬ 1131- — "е '»Ь»131 . 3) =. .= —:«Ьййч))г — ' е 'з)»;13» — — '.

,г 97 1, »7

Ответ: х(П =е ' соз 1 — — е" зш

з 17 3

Ответ.

Ыг) =. е 'сЬ; бг г 3-е 'з!г,'131 — 1

у(1) .= —:* е 'сЬ»«!31 — тдге '»!»»! 31

Распознанный текст из изображения:

ПРИЛОЖЕНИЕ

Корень и-и степени

— р+2кк .. ф ' 2яй'!

"з)г = !!!)г! соз — — -е)Яп )!в =агйг)! =01.....п -йг е 0

и и

'Элементарные функции комплексного переменного

г=-х '1у

е' =е" (соху, !япу)

е" +е"

сонг =

2

е'* — е '

ЯП Е =

21

г

Л1<ЯП г = — 11 п(17 ! в! — г

1

) Лгссозг = — 1!.п(ге з г — !)

г — !

Лгссгя г = — 1 и

2 г,1

1, гг

Агс!Кг = — — 1.п

2 1 — 1г.

Аналитические функции

Фзикцня !1=Г(г) ца!ывастся аналитическая в данной то !ке г. если она дифференцируема как в самой точке е. таь н в некоторой ее окрестности. Фъикция зь-=Г(*) называется аналитической в области б. гслп она аналитична в каждой точке геб.

Производили аналитической функции

и = Г(; ) = П х з !у) = ц(х, у) з !т(х ! )

си . !Д г)з.. Ея с'ц, !)ц Ж сз

! (Е)=- 1 — 1 — 1 — 11

Рх Ъ с' сх Ъ сз си

2б

Задача 27

Выяснить, во что преобразуется геометрическая фигура

прн отображении с помощью функции ж = Г(г) .

ж = !п(г); угол О<агй(г)<аы~л.

Представим г в виде К.е'иго).

Произведем отображение г с помощью функции ж = (п(г):

ж = !п(г) =- !п(ре"""!" ) = !и К вЂ . !пе' -'" = !и Р е ! агй(г)1пе =

= 1п Р. ' (агй(е)

Поскольку К>0, а 0<агй(г)<а. то заданный угол

отображается иа комплексной плоскости как полоса

.а<Ко(ж)<:с, 0

е' — е '

айг, = — 1яп17. =

1.п г = !и!!Е) + !Лгй г

е' з-е *

с!! г = соз !г. = ——

2

Л гй г = агя г + 2л11е К = 0 й! Я2...