Вопросы/задания: Теоретические и практические вопросы к экзамену

Файл скачан с сайта StudIzba.com

При копировании или цитировании материалов на других сайтах обязательно используйте ссылку на источник

Распознанный текст из изображения:

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 'УНИВЕРСИТЕТ

физический факультет

Квантовая теория. 2 поток. июнь 2002 г.

М~р://Ьер.~~рш.швц.зц

Теоретические вопросы

1, Гильбертово пространство состояний. Операторы. Базис в гильбертовом пространстве. Унитарные преобразования в квантовой механике.

2. Наблюдаемые, как линейные операторы. Спектральное разложение эрмитова оператора (случаи. дискретного и

непрерывного спектра). Функции от операторов.

3. Состояние квантовомеханической системы. Матрица плотности, ее свойства. Физический смысл матричных

элементов матрицы плотности.

4. Чистое состояние квантовомеханической системы. Матрица плотности для чистого состояния, волновая функция.

5. Волновая функция, принцип суперпозиции, Волновая функция и вероятности. Составные системы.

б. Измерение физических величин в чистых и смешанных состояниях. Одновременно измеримые величины. Полный

набор наблюдаемых. Соотношение неопределенностей.

7. Эволюция квантовой системы во времени, Представления Гейзенберга и Шредингера.

3. Интегралы движения и симметрии квантовомеханической системы. Вырождение уровней энергии при наличии

некоммутируюших интегралов движения.

9. Оператор эволюции, его свойства. Оператор эволюции для случая гамильтониана, зависящего от времени,

10, Одномерное движение квантовомеханической частицы. Координатное и импульсное представления. Физический

смысл волновой функции и матрицы плотности в координатном и импульсном представлении.

11. Основные свойства спектра при одномерном движении квантовомеханической частицы.

12. Рассеяние волновых пакетов при одномерном движении.

13. Периодический потенциал. Квазиимпульс. Структура и характерные особенности спектра при движении в пери-

одическом потенциале.

14. Линейный гармонический осциллятор. Операторы рождения и уничтожения. Свойства волновых функций высо-

колежащих уровней.

15. Квазиклассическое (ВКБ) приближение при одномерном движении. Условие применимости.

16. Сшивание квазиклассических волновых функций в окрестности точек поворота.

'7, Правила квантования Бора-Зоммерфельда. Коэффициент прохождения сквозь барьер в квазиклассическом при-

ближении.

13, Движение в центральном-симметрично потенциале. Характерные особенности спектра для случая потенциалов

со степенной асимптотикой при г -+ 0 и т -+ со. Падение частицы на центр.

19. Квазиклассическое (ВКБ) приближение при трехмерном движении, Квантовомеханическое описание почти классического трехмерного движения (чистое и смешанное состояния).

20. Спектр и волновые функции заряженной частицы в кулоновом поле.

21. Операторы момента в квантовой механике. Матричные' элементы операторов момента

22. Сложение моментов, коэффициенты Клебша-Гордона.

23. Основные методы нахождения коэффициентов Клебша-Гордона, Старшие вектора, Шаровые спиноры.

24. Движение заряженной частицы со спином 1/2 в однородном магнитном поле. Состояния с определенным значением

проекции момента на направление поля.

25. Уравнение Дирака при наличии электромагнитного поля в релятивистски-инвариантной форме. Гамильтониан

Дирака. Уравнение непрерывности.

23. Спин частицы Дирака. Решения уравнения Дирака для свободной частицы с определенной энергией и спираль-

ностью. Невозможность локализации частицы Дирака

27. Варианты интепретации решений уравнения Дирака с отрицательной энергией. Море Дирака. Проекторы на

электронные и позитронные состояния. Нерелятивистский предел уравнения Дирака.

23, Квазирелятивистское разложение уравнения Дирака.

Задачи

1. Вычислить Д3а), где г — матрицы Паули, а — произвольный действительный вектор, а ~ — произвольная

функция.

2. Показать, что условие (1п р)р — — 0 есть необходимое и достаточное условие того, что состояние является чистым.

3. Установить, при каких условиях на параметры а, ф, 7 матрица

1/2+ а,8 — г~

р=

,О+ г'у 1/2 — а

Распознанный текст из изображения:

будет спиновой матрицей плотности, Найти средние значения всех трех компонент спина в этом состоянии. 4. Определить отношение интенсивности пятен на экране в опыте Штерна-Герлаха, если магнитное поле ориентировано по оси й, имеющей сферические углы О и у, а электроны, описываются матрицей плотности:

/1/2+ °,8-~7 ~ р = ~ . 2 ~. Установить, при каких О и у отношение интенсивностей будет максимально,

ф+ гу 1/2 — а,) ' 5. Система двух частиц со спином 1/2 находится в чистом состоянии

!Ф) = (! тт) + ! 1Ц вЂ” ! ~~)) /Л

Найти матрицы плотности для первой и второй частицы. 6. Пусть гамильтониан зависит от числового параметра Л и Н(Л) !ф(Л)) = Е(Л) !ф(Л)). Показать, что

ае(л)/ал = (~(л) !ан(л)/ал!~(л)) 7. Гармонический осциллятор находится в состоянии теплового равновесия с температурой Т, матрица плотности р имеет вид р„, = б„ехр(-,вп)11 — ехр(-,8)~

г

где О = Ьы/йТ. Найти средние значения и дисперсии координаты и импульса в этом состоянии 8. Найти число дискретных уровней энергии в потенциале ~(х) = — ~~ 1б(х — а) +б(х+ а)]+ 1+~О(а — !х !) в зависимости

от параметров потенциала. (О(х > 0) = 1; О(х < 0) = 0). 9. Найти вероятность отражения частицы при прохождении над одномерным потенциальным барьером У(х) = $'о

при !х! < а; У(х) = О при !х! > а (энергия частицы больше высоты барьера). 10. Найти вероятность отражения частицы от полубесконечного барьера высоты Уо, если энергия частицы .Е > 10. 11. Найти коэффициент прохождения через потенциальный барьер У(х) = ~~ б(х). 12. Найти расположение зон Бриллюэна для одномерной решетки Дирака У(х) = [~о ~'„б(х — па) 13. Найти дисперсию координаты и импульса для гармонического осциллятора, находящегося на п-ом энергетическом

уровне. 14. Найти уровни энергии и вектора состояния одномерного гармонического осциллятора в постоянном внешнем поле

Н = р" /2т+ йх~/2 — г х 15. Б координатном и импульсном представлениях найти явный вид волновых функций для когерентного состояния 16. Найти средние значения и дисперсии координаты и импульса осциллятора и корреляторы (хр) — (х)(р), (рх) — (р)(х)

в когерентном состоянии. 17. Найти явный вид эволюции по времени когерентного состояния гармонического осциллятора. Вычислить средние

значения координаты и импульса в произвольный момент времени. 18. Гамильтониан системы, состоящей из осциллятора, взаимодействующего с двухуровневой системой, имеет вид:

Н = Ьыа+а+ Ьыаз/2+ Ь у(аа+ + а+а ) где а~ = а1 ~ Ыз, а а; — матрицы Паули. Найти стационарные состояния и уровни энергии в такой системе, среднее значение и дисперсию энергии осциллятора в этих состояниях, 19, В квазиклассическом приближении найти вероятность туннелирования частицы сквозь одномерный потенциаль- ный барьер 1~(х) = Уа при !х! < а; У(х) = О при !х~ > а. Сравнить с точным ответом. Указать границы применимости квазиклассического приближения, 20. В квазиклассическом приближении найти уровни энергии частицы массы т в потенциальном поле вида 1'(х) = со

при х<0; У(х) =тдх при х>0. 21. В квазиклассическом приближении найти уровни энергии частицы массы т в потенциальном поле вида 1'(х) = оо

при х < О; $'(х) = йх~/2 при х > О. Сравнить с точным ответом. 22. Найти зависимость времени жизни а-активного ядра от энергии вылетающей а-частицы. 23. Найти зависимость тока холодной эмиссии от приложенного электрического поля. 24. Доказать, что в состоянии с определенной энергией в центральносимметричном поле Ч(т) = д г' средние значения

кинетической и потенциальной энергий связаны соотношением: 2(Т) = 7(У) (теорема вириала). 25. Найти уровни энергии в трехмерном сферически - симметричном потенциале

оо г<а ( ) А/Г а(г(с

О с<г(Ь

оо т>о ~6. Найти уровни энергии в трехмерном сферически - симметричном потенциале

оо т(а Уоб(г — с) а < г < 6

оо г>о

Рассмотреть случаи 1 = 0 и 1 ф: О.

Распознанный текст из изображения:

27. Найти уровни энергии в сферически-симметричной яме: У(г) = — д'0 при г < а; д'(г) = О при г ) а. Рассмотреть

случаи д = 0 и 1 ф: О.

28. Найти уровни энергии в сферической оболочке д"(г) = — Ч~Ь(г — а). Рассмотреть случаи Е = О и 1 ~ О.

29, Определить энергетический спектр заряженной бесспиновой частицы, движущейся в однородном электрическом

и однородном магнитном полях, направления напряженностей которых взаимно перпендикулярны.

30. Найти уровни энергии заряженного сферически симметричного осциллятора, помещенного в постоянное магнитное поле Й.

31. Найти вероятность пребывания электрона в классически запрещенной области для водородоподобного атома в

основном состоянии.

32. Вычислить среднее значение (г д), (г ~>, (г з) в состоянии с определенной энергией Е„и орбитальным моментом

1 в кулоновом поле притяжения.

33, Найти среднее значение и дисперсию расстояния между электроном и ядром для водородоподобного атома в п-ом

возбужденном состоянии.

34. Найти уровни энергии связанных состояний в потенциале д'(г) = — А/г — В/г~ и кратность их вырождения.

г

35. Частица со спином 1/2 находится в потенциальной яме. Гамильтониан системы имеет вид

Н „г/2 + 1,.(„) +

~(0 0<г<а

~оо г) а

Найти уровни энергии и соответствующие волновые функции.

36. Найти дисперсии величин д~, Хд в состоянии ~Ут> и проверить выполнение соотношения неопределенностей для

этих операторов в состоянии ~1т>.

37, Вычислить

щ„1, !ф) где ~ф) = еп""'~1т>

38. Найти волновые функции системы двух спинов 1/2, которые являются собственными функциями операторов У

и э„, где э' — полный спин системы, Вычислить

<5 =1,5, = О~зд"-~~5. =1,5, =1)

(Я = О, Я, = 0~8~'~~Я = 1, Я, = О)

39. Матрица плотности системы двух спинов имеет вид

= 3~тт) <~~~+ — 3~~~>(т~~+ 3 ~И~) <И~

1 1 1

Найти вероятность того, что полный спин равен нулю.

40. Две частицы со спином 1/2 находятся в состоянии

~ф) = ехр(г<рдзд~) ехр(ирзззу) / 1"~)

Найти вероятности обнаружить частицы в синглетном и триплетном состояниях по полному спину.

41. Протон и нейтрон находятся в синглетном состоянии по полному спину. Найти вероятности обнаружить у них

одинаковые или различные значения проекции спина на ось й при одновременном измерении.

42. Гамильтониан системы двух взаимодействующих частиц со спином 1/2, помещенных в постоянное однородное

магнитное поле, имеет вид

Н = — (рдзд + рз8з)Й+ а Вд 8з

Найти уровни энергии системы.

43. Частица со спином 1/2 находится в поле центральных сил. Найти волновые функции этой частицы, являющиеся

одновременно собственными функциями трех коммутирующих операторов: »~, Р, 8з, »,. (» = 1+ 8).

44. Частица со спином 1/2 находится в состоянии ~», 1, 8, т»>. Покажите, что направление спина (т.е. направление оси,

вдоль которой проекция с достоверностью принимает значение 1/2) различно в различных точках пространства.

Установите связь полярных углов этой оси с направлением радиус-вектора.

45, Найти средние значения компонент полного магнитного момента частицы д7 = дддГ+ дд,з в состоянии ~», 1, 8, т ).

46. Частица со спином 1/2 находится в поле центральных сил. Вычислить

(» = 1 — 1/2,1,8,т» — — т+ 1/2~э ~» = 1 — 1/2,1,8,т» = т — 1/2)

(» = 1+1/2,1,8,т = т — 1/2~8д~»'=1 — 1/2,1,з,т = т+1/2)

(» = 1 — 1/2, 1, 8, т. = т — 1/2~1У ~» = 1 + 1/2, 1, 8, т = т + 1/2>

(» = 1 ~- 1/2, 1, з, т» — — т + 1/2~1, ~» = 1 — 1/2, 1, з, т, = т + 1/2)

47. Сложение моментов 1д — 2, 1з — 1. Вычислить ~Ь = 1, М = 1), ~Х, = 1, М = 0), ~Ь = 1, М = — 1).

Распознанный текст из изображения:

48. Показать, что если А — скалярный оператор, то

(Е'т')А~Ет) = Бн б „„а(Е)

т.е. его матричные элементы диагональны по Е и т и не зависят от т.

49. Показать, что если А — векторный оператор, то его матричный элементы по состояниям ~Ет) с фиксированным

полным моментом и его третьей проекцией есть

(Ет~А~Ет') = (Ет~ Е ~Ет')(Ет" ~ А Е /Ет")/~Е(Е+ 1)~

50, Спин 1/2 помещен в постоянное однородное магнитное поле, ориентированное по оси ~. В начальный момент

времени спин ориентирован вдоль оси й, определяемой сферическими углами д и у. Найти направление, вдоль

которого ориентирован спин в момент времени Е. Рассмотреть случай Н,(Е).

51. Спин 1/2 помещен в магнитное поле, Й = (Н~ соя ЙЕ, Н~ яп йЕ, На). В начальный момент времени Е = 0 спин был

ориентирован вверх. Определить вероятность переворота спина в момент времени Е.

52. Гамильтониан системы двух частиц со спином 1/2, помещенных в однородное магнитное поле, ориентированное

по оси я, имеет вид Н = — 2ре(8~ — 8з)Й. Найти вероятность обнаружить систему в синглетном состоянии по

полному спину в момент времени Е, если в начальной момент времени спин первой частицы был ориентирован по

оси ж, а второй — против этой оси.

53. Одномерный гармонический осциллятор в момент времени Е = 0 находится в основном энергетическом состоянии.

3атем он на интервале 0 С Е < Ее подвергается воздействию постоянной силы Я) = Ер. Найти вероятность

обнаружить его на и-ом уровне и средние значения координаты и импульса в момент времени Е.

54. Одномерный гармонический осциллятор в начальный момент времени находится в когерентном состоянии ~а).

3атем он подвергся действию силы ДЕ) = ~~6(ж). Найти вероятность обнаружить его на п-ом уровне и средние

значения координаты и импульса в момент времени Е.

55. Одномерный гармонический осциллятор в начальный момент времени находится в состоянии (~0)+ ~1))/~/2. Найти

зависимость средних значений координаты и импульса от времени. Решить задачу в представлениях Шредингера

и Гейзенберга.

56. В начальный момент времени плотность распределения координат свободной нерелятивистской частицы массы

т имела гауссову форму. Как будет изменяться со временем ширина пакета?

Распознанный текст из изображения:

ЗАДАЧИ ПО КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

(1-й семестр 2ОО2 г.)

1. Каноническое квантованйе. Простейшие квантовые системы.

Задачи из "Перечня": 2,5+3,4,7,8,В-9,11,12+13,16,17,19,21,24,26,27; а также

А. Найти средние значения и дисперсии координаты и импульса частицы в состоянии, описываемом волновой функцией Фрд,(х) = (2~г0) 1~4 ехр( — х~/40 + +зх0/6).

В. Пусть (~п >1 — полный ортонормированный базис, составленный из собственных

векторов эрмитова оператора Р с чисто дискретным спектром: Р~о >= ~„~п, >. Найти среднее значение и дисперсию Р в состоянии

р = (3/4) ~1 >< Ц + (г/8))1 >< 2) — (г/8) ~2 >< Ц + (1/4) ~2 >< 2~.

С. Матрица плотности в координатном представлении имеет вид:

р(х, х') = (8.тХ)) 1~~ х ~1+ хх'/.0~ х ехр~ — (х~+ х'~)/4Х~1 . Найти среднее значение и

дисперсию координаты. Какое это состояние — чистое или смешанное?

Р. Определить средние значения и дисперсии координат, импульса и энергии линейного гармонического осциллятора в момент времени ~, если при 1=0 осциллятор

находился в состоянии:

а) )и >, б) ~Ф0 >= ((О > +~1 >)/~/2, в) р = ((О >< 0~+ )1 >< 1~)/2

г)*!а >= е ~~'/~ ~ „(ск"//и!)~п >, д)*р = (~0 >< О/ + а~О >< 2/ — г~2 >< О/+

+3~2 >< 2~)/4.

Е. Ядро, находящееся в основном состоянии во внешнем осцилляторном потенциале,

испускает у-квант с импульсом ЙЙ (за счет изменения внутренней энергии на величину Ь0). Найти вероятность испускания "без отдачи" — т.е. с сохранением исходного

состояния ядра.

Е. Найти волновую функцию Ф(х, 1) частицы массы т в одномерном "ящике" с непроницаемыми стенками (О < х < Х), если Ф(х, 0) = (4/~ЛХ) тп (7тх/Х).

С.* Определить спектр разрешенных значений энергии частицы массы т в потенциале: Щх) = Ъ'0 Е+ м0'(х — пХ)

Н. Вычислить плотность вероятности и плотность потока вероятности в момент времени 1 для свободной частицйг,'~~'-Ф(х)~~=0 = Ф-р, (х) .- 1. Как действует оператор ехр(гй 1) на собственный вектор оператора координаты

1г >?

2. Спин. Приближенные методы. Теория переходов.

В-4,28*,29,31,32,34,35,36,37,38,39*,42,43,44,46,49,51,52,53,41, 45,50*,55,56,57;

А. Для системы двух частиц спина 1/2 построить собственные векторы оператора полного спина и операторы проектирования на синглетное и триплетное состояния.

В. Для электрона в атоме водорода в состоянии ~п,~', 1,т > найти вероятности реализации допустимых значений 1, и 8, и их средние значения.

С, Прибор Штерна-Герлаха разделяет частицы в зависимости от проекции спина на ось я. Найти отношение интенсивностей пятен на экране, если частицы пучка:

Р 4

а) поляризованы вдоль оси х, б', находятся в состоянии 0 = «Х+ ~ 0.)/2, ~~~ < 1.

О, Вариационным методом вычислить энергии основного (и низшего возбужденного)* состояний частицы массы т в потенциале У(х) = дх

4

Е. Линейный гармонический осциллятор при $=0 находился в основном состоянии.

При 1~0 на него действует сила Р = РОЯт)е ~/~. Найти вероятность возбуждения и-ого уровня к моменту времени $.

Р. Двухуровневая система «Е1 ~ — — ~Ьз/2) при $=0 находится в основном состоянии. Найти вероятность возбуждения к моменту времени $ при действии возмущения У' = У~соя~(~ + с)11, с << ол