Книга: Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. - Цифровая обработка сигналов

Распознанный текст из изображения:

ф ~ф

° эЛ. в ° Я ' ®

ф °

Э Э,ф ®

Эв а

Распознанный текст из изображения:

Гольденберг д. М и др.

Г63 Цифровая обработка сигналов:

Л. М. Гольденберг, Б. Д. Матюшкин, М.

М.: Радио и связь, 1985. — 312 с., ил.

Справочник/ Н. Поляк.—

В перл 1 р. 40 к. 30000 экз.

Приведены основные положения и оасчетные формулы теории тодов проектирования систем и устройств цифровой обработки сигналов. Основное внимание уделено алгоритмическим методам синтеза и устройствам цифровой обработки в системах связи: избирательной цифровой фильтрации, спектральному анализу, изменению частоты дискретизации сигналов и др. Приведены программы и примеры по расчету цифровых фильтров на ЭВМ, а также таблицы коэффициентов передаточных функций рекурсивных и нерекурсивчых цифровых фильтров.

Для инженерно-технических работников, занимающихся проектированием и разработкой устройств цифровой обработки сигналов в технике связи и управления.

ББК 32.88

6Ф1

2402040000 †0

Г, 94 — 85 046(01) — 85

ф

Р е ц е н з е н т ы; А. М. ТРАХТМЛН, Б. Л. КАЛЛБЕКОВ

Редакйия литературы по электрической связи

Лев Моисеевич Гольденберг, Борис Дмитриевич Матюшкин,

Михаил Николаевич Поляк

ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ. СПРАВОЧНИК

Редактор Е. В. Комарова

Художественный редактор Р. А. Клочков

Переплет художника Н. А. Пашуро

Технический редактор А. Н. Золотарева

Корректор н. л.,1Кнкова

ИБ Я 1001

Подписано в печать 10.12.84

Издательство «Радио

Московская типография № 5 ВГО «Союзучетиздат»

101000 Москва, ул. Кирова, д. 40

Сдано в набор 30.08.84

Т-24016 Формат 60Х90'и

Печать высокая Усл. печ, л. 19,5

Изд. № 19495

Бумага тип. № 2 Гарнитура литературная Уел. кр.-отт. 19,о Уч.-изд. л. 21,59 Тираж 30000 экз. Зак. № 89 Цена 1 р. 40 к.

и связь». 101000 Москва, Почтамт, а~я 693

© Издательство «Радио и связь», 1985

ПРЕДИСЛОВИЕ

еред разработчиками цифровой аппаратуры передачи и обработки си .

ют зада

щаться к многсчисленным монографиям, журнальным статьям, трудам раэ. личных конференций и т. д. Трудности решения многих из этих задач обу. словлены и тем, что опубликованные работы написаны на разном уровне, е привлечением различного рода допущений и, что особенно существенно в ряе сл аев не

, в ря „е случаев не доведены до наглядных и вместе с тем строгих процедур и программ.

В настоящеи книге сделана попытка изложить с единых позиций наиболее важные законченные результаты в области анализа и синтеза цифровых фильт. ров и ряда устройств цифровой обработки сигналов. При этом авторы ограничиваются трактовкой и методикой использования этих результатов и, как правило, не приводят их доказательств; приводимые ссылки на литературу помогут читателям при желании восполнить этот пробел. Методы ра

ды расчета иллюстриру. ются подробными примерами, приведены программы решения основных задач синтеза цифровых фильтров.

Необходимо отметить, что цифровая обработка сигналов как область нау. ки весьма далека от завершения, поэтому не все ситуации и проблемы, пред. ставляющие теоретический и практический интерес, нашли достаточное отра. жение в предлагаемой книге. При отборе и систематизации материала представлялось необходимым: во-первых, рассмотреть алгоритмы цифровой обработки сигналов, во-вторых, дать законченную методику расчета цифровых фильтров и, в-третьих, изложить ряд основных задач обработки сигналов в технике связи.

В аз.1 2

р д. и книги даны основные определения и понятия, относящиеся к дискретным сигналам и дискретным системам а в разд. 3

р . рассматривают ся эффекты квантования в цифровых фильтрах и методы их учета при синте. зе цифровых систем обработки сигналов. Методика синтеза нерекурсивных и рекурсивных цифровых фильтров и соответствующие примеры и алгоритмы приведены в разд. 4 и 5. Методы расчета некоторых типов адаптивных филь. тров приведены в разд.6. В разд.7 — 9 изложены цифровые методы решения за. дач переноса спектров сигналов, формирования сигналов с одной боковой поло. сой, увеличения и уменьшения частоты дискретизации сигналов, спектрального анализа, сопряжения систем связи с различными принципами каналообра. зования. В приложениях приведены программы расчета цгфровых фить-ров

К сожалению, объем книги не чозволчл авторам де-ально рассмотр

р . реть ряд других алгоритмов и при':енений цифровой обработки сигналов, а также во просы реализации соответствующих устройств на современной элементной базе. В связи с этим хотелось бы обратить внимание читателей на публикации последних лет 11.3, 1.16, 2.2, 2.1 Ц.

Авторы признательны А. Т. Байковой, участвовавшей в написачии разд. 1, канд. техн. наук В. В. Домрачеву, составившему машинные программы расче. та фильтров, а так'ке своим коллегам на кафедре ИВТ ЛЭИС, принимавшим участие в обсуждении рукописи. Авторы благодарят рецензентоз В. А. Кача оекова и А. М. Трахтмана за ценные замечания.

Отзывы о книге просим направлять в издательство «Радио и связь» по ад. ресу: 101000, Москва, Почтамт, а/я 693.

Распознанный текст из изображения:

4 СВОИ А И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛО

1.1. ТИПЫ СИГНАЛОВ. СВЯЗЬ МЕЖДУ СИГНАЛАМИ

РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ

1.1.1. Классификация сигналов'

н(нт)

/

дтбт

Аналоговый сигнал описывается непрерывной (нли кусачно-непрерывной) функцией ха(1), причем и аргумент, и сама функция могут принимать лю-

Р н / гг бые значения из некоторых интервалов: 1 <1(1, х,(хв(х

На рис. 1.1,а изображен график аналогового сигнала х ® =У з(па1; ~а=2)т/; 1/~=1 В; ~=1/(2л) Гц.

Я, аиялоговым сигналам относятся, например, речевые сигналы в «обычной» телефонии и ради в

иовещании н «обычные» телевизионные сигналы.

Дискретныи сигнал описывается решетчатой функцией (последовательностьюю, временным рядом) х(,п ) ( Т) которая может принимать любые значения и

некотором интервале х' -х -х", в то время кан х и!

независимая переменная и принимает лишь дис/

кретйые значения, причем п=О, 1, ...; Т вЂ” интер! вал дискретизации; )н=1/Т вЂ” частота дискретиза-

ии. На рис. 1.1 б изображен график дискретного

, сигнала х(пТ) =1/„з1ппаТ; а=2гх!'; 1/,=1! В; ! ! ! !

~=1/(2гх) Гц; Т=и(4 с. . ! ' ' Используются и иные способы обозначения решетчатой функции: х(п), х„, когда интервал ди-

кр ован т ыгт «т ет и скр

кретизации тем или иным способом нормнр ! !

и остается постоянным, или (х(пТ)), когда неоохчат) Г ! ! ! ! ! ! б) ходимо подчеркнуть, что речь идет о решетчатой

!

! ! ф ции в целом а не об отдельном значении дтб—

(отсчете) этой функции при $=пТ. В дальнейшем, ! ! как правило, отдельный отсчет решетчатой функции при 1=пТ и решетчатая функция в целом буции при =и и дут обозначаться одинаково — х(пТ). Конечна

я Р . 1.1. Рис. последовательность, т. е. дискретный сигнал, у

которого число отсчетов конечно, представляет

о и часто обозначается через х. Например, конечная последовательность х, состоящая из трех отсчетов х(0) = 1, х( ) = — ,

: х= ,'1 — 2 5~т, где Т вЂ” символ транспонирования задана в следующей форме: х= (, —, вектора.

ы. В пеиск етный сигнал мож

жет быть вещественным или комплексн м. рД р

значения во втором — комиом случае а отсчеты принимают лишь вещественные

У

плексные. К дискретным неквантованным по амплитуде сигналам относятся сигналы, используемые в системах связи с амплитудно-импульсной модуляцией.

Цифровой сигнал описывается квантованной решетчатой функцией (квантованной последовательностью, квантованным временнйм рядом) хн(пТ), т. е. решетчатой функцией, принимающей лишь ряд дискретных значений — уровней квантования Ьг, Ьг, ..., Ьн, в то время как независимая переменная и принимает значения О, 1, ... На рнс. 1.1,в изображен график цифрового сигнала

х„(пТ) О (У з1п и а Т);

а=2гг/; 1/нг= 1 В;

/= 1/(2)х) Гц; Т = гх/4с;

— О йч(1 !)

1=1, 2, .", К; К=9 и нелинейная функция Ок(р) определяется следующим об-

разом:

Ьг при р ( (Ьг+ Ьг)/2;

ОК(Р) = Ь! при (Ь(+Ь) )/2(р((Ь + +Ь))/2; Ьн прн (Ь +Ь )/2(р,

1= 2, 3,..., К

х, (пт)

и матвматический аппарат теории аналоговых сигналов и линейных аналоговых систем. Цифровые сигналы при ограниченном числе разрядов, используемых для представления отсчетов, не образуют линейного пространства относительно обычных операций сложения и умножения. Поэтому при решении задач обработки цифровых сигналов используются линейные дискретные модели, позволяющие применять методы теории дискретных сигналов и линейных дискретных систем (см. разд. 2).

Десятнчный код

Двонч-

ный код

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0,000 0,750 1,000 0,750 0,000 — 0,750 — 1,000 — 0,750

0,.000

00000 00110 01000 00110 00000 10110 11000 10110 00000

* Значение функции 1п1(В) — наименьшее целое число, не меньшее числа В.

Каждый из уровней квантования кодируется кодом, состоящим из двоичных цифр, так что передача пли обработка отсчета цифрового кодированного сигнала сводится к операциям над безразмерным двоичным кодом. Число К уровней квантования и число з разрядов соответствующих кодов связаны зависимостью «в)1п1(1одгК). Значения цифрового сигнала могут быть заданы таблицей. В табл. 1.1 приведены значения рассмотренного выше цифрового сигнала х„(пТ) =Он(1/ з1п паТ), причем отсчеты представлены десятичными чыслами или пятиразрядными двоич ыми кодамя в=5, в которых первый слева разряд — знаковый.

К цифровым сигналам относятся сигналы, используемые в системах связи с импульсно-кодовой модуляцией.

дискретные сигналы, так же как и аналоговые, образуют линейное пространство [1.1]. Поэтому математический аппарнт теории дискретных сигналов и линейных

дискретных систем развит так же хорошо, как

Распознанный текст из изображения:

1.1.2. Связь между аналоговыми и дискретными сигналами

Операция дискретизации [1.2, 1.4] состоит в том,

т в том что по заданному ана-

логовому сигналу х,( ) стр

(1) оится дискретный сигнал х(пТ), причем х(пТ)=

=х, (пТ1.

что по заданному дискретному

Опера ия восстановления состоит в том, что

х(пТ) строится аналоговый сигнал х,(1), х(пТ)-а-ха( ) [ . ].

[1.4].

сигналу х(п ) ст т

б ны в том случае,

Операции дискретизации и восстановления взаимно обрати

когда дискретизируемый аналоговыи сигна уд

л овлетво яет условиям теоремы

Р

Котельникова [ . ]. если

[1.5]. аналоговый сигнал х,(1) имеет ограниченный (фи-

нитный) спектр, принимающий отличные от нуля значения лишь при ваш~а

~~ела~~е)а шах (где чва= и а

=2п1 — круговая частота аналогового сигнала), и ди-

скретизация этого сигнала выполняется с частотой ~к такой, что

2ша тахlЧ ~~ 2п1д ~ 2 ~за тп!и/'(Ч ')

еуа уууах

где

=1, 2,..., Ец1

— — гнал может быть точно восстановлен по отсчетам соот-

ветствующего дискретного сигнала.

Связь между спектром Х, (1в) аналогового сигнала х,(1) и спектром

Х (е'шт) (см. 1.2.4) дискретного сигнала х (пТ) =х, (пТ) определяется форму-

лой [1.6].

Х ( е'аУг) = ')' Ха 1 е~+ — т

Это выражение описывает так наз ываемое «размножение» спектра аналогового сигнала р д р

и и иск етизации.

л ог аниченным спект-

С огласно т л ог

еореме Котельникова аналоговыи сигнал с огр

быть точно (без потери информации) преобразован в д р

иск етный ром может ыть точно

этого искретного сигнала.

затем точно восстановлен по отсчетам этого дискр сигнал и зате

ал " пект и поэтом П актически лю ои анал

б " алоговый сигнал имеет ограниченныи с р у

Р

ыбранной частоте дискретизации соответможет быть заменен при правильно вы

ствующим дискретным сигналом.

113 Связь между дискретными и цифровыми сигналами

1.1.4. Дискретная дельта-функция

Дискретная дельта-функция Ь((п — т)Т) пределяется следующим образом

(рис. 1.2, т=3):

(1 при п=т;

Ь ((и — т) Т) = ~

~0 при пч~т.

Используя дискретную дельта-функцию, любую последовательность (решетчатую функцию) (х(пТ)) можно представить как

(х (пТ)) = '>~ х (т Т) Ь ((и — т) Т). (1.2)

уу~о

Пример 1.1. Пусть х(0) =1, х(Т) = — 2, х(2Т) =2,5,

х(пТ)=0 при п)3. Тогда из (1.2)

(х (пТ)) =Ь (пТ) — 2Ь ((и — 1) Т+2,5Ь ((и — 2) Т).

твтл «7. с

1.2. 2-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

1.2.1. Пвямое г.-преобразование

Р .1г

Прямое г,-преобразование Х(г) последовательности х(пТ) определяется фор- мулой

аналого-цифровые преобразователи (ЛЦП) выполняют операции дискретнза. ции, квантования и кодирования, а цифро-аналоговые преобразователи (ЦАП) — операции цифро-аналогового преобразования и восстановления [1.7].

Переход от дискретного сигнала к цифровому, т. е. операция квантования, осуществляется в общем случае неточно. Если для представления каждого отсчета используется достаточно большое число двоичных разрядов, то погрешность квантования оказывается малой и дискретный сигнал (и, следовательно, соответствующий аналоговый сигнал) мцжет быть заменен определенным цифровым сигналом. Практически число разрядов, которое могут обеспечить современные АЦП при необходимой частоте дискретизации, достаточно для получения цифровых телевизионных сигналов, цифровых речевых сигналов в те. лефонии и радиовещании.

О рация квантования и кодирования (аналог -ц фр

о- иф ового п еобразования)

перац я Р

ому и осостоит в том, что по заданному

ому дискретному сигналу х(пТ) строится ц фрвой кодированный сигнал хч(пТ), х(пТ)- хц(пТ) так, что х„(пТ) тх(пТ),

Опе а ия афро-аналогового преобразования состоит в том, что по задант иск етный сигнал ному цифровому

ф кодированному сигналу хч (пТ) строят дис р

х пТ), х„(пТ)-~х(пТ) так, что х(пТ) =ха(пТ).

х(п, хч и

и ования и цифро-аналогового преобразоваОперации квантования и кодирова

об атными поскольку квантование в общем ния не являются точно взаимно о ра

имой погрешностью. Как правило, считают, что случае аияеаняется с неустуаииие

В Е [А] означает «целая часть числа А» ( р р, „[,

А» (нап име Е,18, 6]

Запись я[

8).

Х (г) = 2 (х (и Т)) = ~~ х (и Т) г — и (1.3)

уу=о

Функцию Х(г) называют 2-образом последовательности х(пТ).

Преобразование (1.3) имеет смысл для тех значений комплексной переменной г, при которых ряд (1.3) сходится.

~2 П'" х(0)=2 (Т)- — 1,.(2Т)=3,.(ЗТ)=15 х(пт) 0

п~4. Тогда нз (1.3)

Х(г) =2 — е 1+3г 2+1 5г з

В табл. 1.2 приведены ряд последовательностей и соответствующие им Я-образы [1.8].

С помощью Я-преобразования весьма удобно записывать различные формы выражений для передаточных функций и тем самым получать различные

Распознанный текст из изображения:

Таблица 1.2

г(х(пт))

х (пТ'

1/(1 — г-1)

1/(1+г ')

г-1/ (1 г-1) 2

(г-1+г-2)/(1 г-1) 2

1 — аг-'

1/(1 дг-1) 2

Иал-1

аг-' з1п т

а" з(п пт

1 — 2аг-' соз т+адг — 2

1 —,аг-1соз с

а" соз ит

1 Опг 1 СОЗ т ~ л2т'-2

Х(е!1» т) 'Р «(пТ) е — !лат.

л=з

я/Т

х (и Т) — Г Х (е! и т) е! л 0' т

тъ 1

~2" — я/т

(1.10)

формы реализации цифровых фильтров (см. 2.2). Кроме того Е-преобразование является основным способом расчета выходных сигналов дискретных и цифровых фильтров при сложных входных воздействиях.

1.2.2. Основные свойства прямого Л-преобразования

Пусть х1(иТ), х2(иТ), х2(пТ) — последовательности; Х1(г), Х2(г), Х2(г)—

Л-образы этих последовательностей; с1, с2 — константы.

Если хз(п Т) =сдхд (и Т)+с2х2 (п Т), то Х2 (г) = сд Хд (г)+с2Х2(г)

/ ттттнтзнлл'т'т. т (1.4)

~Лттттстттттл. т ну

Если х2 (и Т) = хд ((и — т) Т), то

Х2(г) =хд( — тТ)+хд(( — т+1) Т)г + +

+хд( — Т) г (т ~1+г тХ,(г).

При хд ( -тТ) = хд (( — т+1) Т) =... =хд ( — Т) = 0

Х2 (г) =г тХд (г) (теорема сдвига)

Если х2 (пТ) = хд (пТ) х2 (пТ),' то

1

Х2(г) = —.$Хд(о) Х,'(г/о) о дот

2п1 С

где С вЂ” замкнутый контур в комплексной о-плоскости, охватывающей все осо-

бенности функции Х1(о)Х2(г/о)о — ', лежащие в окружности с центром в точке

0 и с радиусом, равным !г! (теорема о комплексной свертке).

1.2.3. Обратное Л-преобразование

Обратное Е-преобразование определяется формулой

«(пТ) =Е ~ (Х(г)) = — ~ Х(г)г" ~с(г, (1.7)

С1

где С вЂ” замкнутый контур в г-плоскости, охватывающей все особенности функ-

ции Х(г) г"-',

Обратное г-преобразование может быть определено путем вычисления ин-

теграла (1.7), если последний не является расходящимся 11.9, 1.10]:

1 . с! ь Цг — г-" ) а Р(г)1

х(п Т) = 1ип (1.8)

(1а — 1)! !д ! дь — !

В

»

где Р(г) =Х(г)г" — ', г1<' >, гда~>, ..., гг10 — все не равные друг другу полюсы

функции Р(г); 1» — кратность полюса г»(да!,причем О!=1 и 112<р(г)/дг2=1р(г).

Существует второй способ вычисления (1.7) 11.91:

1 ~ Длх(г — 1) 1

(1.9)

и!

Формула (1.8) позволяет получить аналитическую зависимость х(пТ) от

и и рассчитать х(пТ) для любого значения и; формула (1.9) позволяет рассчи-

тать х(пТ), не вычисляя полюсов функции Х(г)г" — '.

Пример 1.3. Пусть Х(г) г-2/((1 — 0,5г-') (1 — 0,25г-2) ). Используя (1.8) и

учитывая, что при п=О полюсы Р(г) имеют значения г1 -— О, г2 0,5, г2— - 0,25,

а при п)1 — г1 — -0,5, г2 -— 0,25, получаем

0

при п=О;

х(п Т)=

4.0,25" ~ (2л ~ — 1) при п~1.

Пример .1.4. Пусть Х(г) =1/(1+0,3г-1 — 0,2г-'+0,1г-з 0 1г-1). Используя

(1.9), получаем: х(О) =1; х(Т) = — 0,3; х(2Т) = — 0,11.

1.2.4. Преобразование Фурье

Спектром последовательности х(пТ) называют комплексную функцию Х(е1ь1т):

Формулы (1.10) представляют собой пару преобразований Фурье. Из

сравнения (1.3) и (1.10) видно, что спектр может быть получен путем подста-

НОВКИ г=Е101т В Я-Обраэ ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтИ. ПОЭтОМу ИЗ (1.4) И (1.5) Пря«

9

Распознанный текст из изображения:

мо следуют соответствующие свойства спектров последовательностей. При х~(пТ) =х~(пТ)хг(пТ) из (1.6) следует соотношение

Т Я(т 10Т

Х ( 1аТ) ~ Х (10Т)Х ( 1(в — 8) Т) ~З (111)

2я я/т

Пусть у(пТ) =х(пТ)е'«а т, тогда из (1.10)

У(е~" ) =Х(е ~ а') ), (1.12т т. е. умножение последовательности х(пТ) на последовательность е'«в т соответствует сдвигу спектра последовательности х(пТ) вправо по оси частот.

Из (1.10) следует соотношение

Х (е1 в т) Х (е1 (а+)и 2я(т) т)

(1.13)

т. е. спектр последовательности периодичен по частоте с периодом

ад — — '2 п(Т.

Для вещественных последовательностей из (1.10)

~1Х (е " )~ = 1 Х (е " )~;

агд [Х (е1 " )] = — агд [Х (е " )],

(1.15)

т. е. модуль спектра вещественной последовательности является четной, а аргумент — нечетной функцией частоты. На рис. 1.3 показано условное изображение модуля спектра вещественной последовательности. Спектр у(е'ат) называют инверсным по отношению к спектру Х(е'ат) в том случае, если

У(е)ат)=Х(е11а ~ад(')т), й=~-1, -~3, ~-5,... (,].16)

Пример 1.5. Пусть у(пТ) =е-'п«х(пТ) ( — 1) "х(пТ), а~=п(Т, тогда из (1.12) ( Е1 а т) Х ( Е1 1в — Я(т) т)

т. е. умножение отсчетов сигнала х(пТ) на ( — 1)«позволяет получить сигнал

у(пТ), спектр которого инверсен по отношению к спектру сигнала х(пТ).

~Х(е™( ~

~~/т х" п77

Рис. 1.З

10

Основным прямым спектром (прямой часть)о спектра) Х+(е'ат) называют часть спектра Х(е'ат) сигнала х(пТ), полученного в итоге дискретизации аналогового сигнала х, (1), расположенную в области нижних частот от 0 до ая(2=п(Т (см. рис. 1.3).

Основным инверсным спектром (инверсной частью спектра) Х-(е'ат) на. зывают часть спектра Х(е'ат) сигнала х(пТ), полученного в итоге дискретизации аналогового сигнала х,(1) и расположенную в области частот от 0 де вя(2= — п(Т (см. рис. 1.3).

Сдвинутым прямым спектром (или просто прямым спектром) Х'а(е'вт) НаЗЫВаЮт ЧаСтЬ СПЕКтра Х(Е'ат); удОВЛЕтВОряЮ)цуЮ УСЛОВИЮ

Х+ (е1 в т) Хп ( е1 (а+а ад) т) (1.17) Ом;а «'.п(Т.; Й вЂ” целое число.

Сдвинутым инверсным спектром (или просто инверсным спектром) Х'~(е'ат) называют часть спектра Х(е'ат), удовлетворяющую условию

Х вЂ” (е1 а Т) Хи ( е1 (а+«вд)Т)

О~а~:п(Т; к — целое число.

Рисунок 1.3 иллюстрирует (1.17) и (1.18). На этом рисунке показаны мо. дули основных прямого и инверсного спектров, а также модули некоторых сдвинутых прямых и инверсных спектров.

Соотношения (1.10) — (1.18) играют весьма важную роль, поскольку основой решения почти всех задач цифровой обработки является спектральная теория. Так, формула (1.12) соответствует алгоритму сдвига (переноса) спектра дискретного сигнала х(пТ) из одной области частот в другую, который сводится к умножению отсчетов х(пТ) на отсчеты е1«ат (в1 — частота, на которую сдвигается спектр). Из формул (1.13) — (1.15) следует, что изменение спектра сигнала при,и=а0 возможно лишь в том случае, если 0)0(а„(2.

Формула (1.16) определяет понятие «инверсный спектр», а в примере 1.5 рассмотрен алгоритм получения инверсного спектра последовательности х(пТ).

(1.18)

1.3. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. АЛГОРИТМЫ

БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

1.3.1. Общие сведения

Пара взаимно-однозначных преобразований:

)11ю1

Х(й) = ~ х(п Т) ))Т~~~~, й=О,..., Ф вЂ” 11'

п=О

(1.19)

где Х и х — )Ч-мерные векторы: Х= [Х(0), Х(1), ..., Х(Ф вЂ” 1)]т; х= [х(0), х(Т)... х((М вЂ” 1)Т)]т; %н — матрица размера ЯКУ с элементами й(п, й) =* =1)т,«~=)У„«ь1"'а и), п,й=О, ..., (1( — 1;)Обратное ДПФ записывается в виде

к=%~ Х,

— 1

11

Ф вЂ” 1

х(п Т) = — 'Я, Х(Ц11т),1~", п=О,..., Ф вЂ” 1, (1.20)

(1( я=о

'4.

где х(пТ), (п=О,..., й( — 1) — последовательность из У временнйх отсчетов с периодом Т; Х(й) (А=О, ..., У вЂ” 1) — последовательность из (1( частотных отсче- тОВ; Ятн=Е-1'П~н, 1= [/ — 1, НаЗЫВаЕтСя дИСКрЕтНЫМ ПрЕОбраЗОВаНИЕМ ФурЬЕ (ДПФ).

Преобразование (1.19) называется прямым, а преобразование (1.20) — обратны ДПФ (ОДПФ).

В матричной форме ДПФ имеет вид

Х=%~ х, (1.21)

Распознанный текст из изображения:

где %-'и — матрица, обратная к матрице %»г. Элементы % — 'и равны

г1-1(п 7~) Я7 — в ь ф' — (и ь(пьой к))

1

У У

Дискретное преобразование Фурье вводится для представления как периодических последовательностей с периодом У отсчетов, так и последовательностей конечной длины У. Коэффициенты ДПФ конечной последовательности равны значениям ее 2-преобразования в У точках, равномерно распределенных

2лй

по единичной окружности, т. е. Х()г) =Х(х) ]х=ег ~, )г=О, ..., У вЂ” 1.

Сопоставляя Фурье-преобразование и ДПФ, можно отметить следующее.

Фурье-преобразование и понятие «спектр» относятся к бесконечной последовательности х(пТ) в целом [см. (1.10)]. В тех случаях, когда речь идет о преобразованиях спектра бесконечной последовательности в целом [см., например, (1.11), (1.12)], ДПФ применяется относительно редко. Так, сдвиг спектра [см. (1.12)] и инверсия спектра (см. пример 1.5) выполняются умножением отсчетов х(пТ) на множители, зависящие от и. Цифровая фильтрация (см.

разд. 2), реализующая изменение спектра входного сигнала по заданному закону, также выполняется, как правило, без применения ДПФ. Исключением, но весьма важным является применение ДПФ для вычисления линейной свертки (см. 1.4.3), что в сочетании с методами секционирования свертки (см. 1.4.4) позволяет эффективно реализовать нерекурсивную цифровую фильтрацию бесконечной последовательности (см. разд. 2).

Дискретное преобразование Фурье [см. (1.19) и (1.20)] выполняется над конечной последовательностью У отсчетов или над периодической последовательностью, у которой период состоит нз У отсчетов. Поскольку характеристики спектра последовательности, такие как спектральная плотность мощности, амплитуды и фазы отдельных частот (см. разд. 8), определяются всегда с использованием конечного числа отсчетов этой последовательности, ДПФ является

1

одним из важнейших средств их определения.

1.3.2. Свойства дискретного преобразования Фурье

Линейность. Если Х(7г) и У(й) есть ДПФ последовательностей х(пТ) и у(пТ) соответственно, то ДПФ последовательности ах(пТ)+Ьу(пТ), где гг и Ь вЂ” произвольные константы, равно аХ(й)+ЬУ(А).

Сдвиг. Пусть Х (й) — ДПФ последовательности, х (пТ), а последовательность у(пТ) получается из последовательности х(пТ) путем сдвига (в случае конечной последовательности — кругового сдвига) на по отсчетов (рис. 1.4). Тогда ДПФ последовательности у(пТ) равно У()г) =Х()г) ЯЯ'

Аналогичный результат справедлив для сдвига коэффициентов ДПФ. Если Х(7г) и У(п) есть ДПФ последовательностей х(пТ) и у(пТ) соответственно и У(А) =Х(й — Ао), то у(пТ) =х(пТ) 1Р~~" '.

На рис. 1.4 приняты следующие обозначения: х (пТ) — периодическая последовательность, причем х,(пТ) =х(пТ) при п=О, 1,..., У вЂ”.1; х ((и — по)Т)— периодическая последовательность, сдвинутая относительно х (пТ) на по отсчетов; х((п — п,)Т) — конечная последовательность, полученная круговым сдвигом х(пТ) на л, отсчетов; хип — п,)Т) =х„((п — по)Т) при л=О, 1,..., У вЂ” 1.

Свойства симметрии. Если последовательность х(пТ) является действительной, то ее ДПФ удовлетворяет следующим условиям симметрии:

Ке (Х (А)) = Ке (Х (У вЂ” )г)); 1т (Х (й)) = — 1т (Х (У вЂ” )г));

~ Х (й) ~ = ~ Х (У вЂ” )г) ~; агя Х ()г) = — агя Х (У вЂ” й).

Дискретное преобразование Фурье симметричной последовательности х(пТ) =х((У вЂ” л) Т) является действительным. х„1(п-при, п~=. 2 ф

пт

х (1л-пз) Т) гггг ' и-~

,п7

г)'

Рис. 1.4

Свойства симметрии позволяют с помощью 'одного ДПФ преобразовывать одновременно две действительные последовательности. Пусть действительные последовательности х(пТ) и у(пТ) имеют ДПФ Х(й) и У()г) соответственно, а последовательность и(пТ) =х(лТ)+1у(лТ) имеет ДПФ 1)(7г) =Х()г)+1УЯ Тогда: Ке (Х ()г)) = [Ке (У (й)) + Ке (1) (У вЂ” 7г) Ц/2 1т (У ()г)) =, [Ке (У (У вЂ” )г)) — Ке (О (й) Ц/2; Ке (У (7~)) = [1гп (У (й))+1т (У (У вЂ” 1г)Ц/2;

1пг (Х ()г)) = [1гп (1) (Й)) — 1пг (У (У вЂ” 7г)) ]/2.

Круговая свертка (см. 1.4.1). Пусть х(лТ) и у(пТ) имеют ДПФ Х(й) к У(л) соответственно. Если последовательность и(лТ) равна круговой сверткв последовательностей х(лТ) и у(пТ):

7Ч-1 и (пТ) = ~~ х (1Т) у ((а — 1) Т),

г=о

а=О,..., У вЂ” 1, то ее ДПФ равно 1)(л) =Х(1г) У()г).

Если х(пТ) и у(пТ) имеют ДПФ Х(й) и У(й) соответственно, то ДПФ последовательности и(лТ) =х(пТ) у(пТ) равно (с точностью до постоянного множителя) круговой свертке Х(7г) и У(7г):

Ф вЂ” 1 и(7)=- — ~ Х(1)У(й — 1), а=О,..., У вЂ” 1.

1=0

Распознанный текст из изображения:

Сопряженная формула обращения. Обратное ДПФ

лять с помощью формулы для прямого ДПФ

(1.20) можно вы с-

Ф вЂ” 1

х(п Т) =Р(пТ), где Р(п Т) = — У, Х(н) 1~~~~, дд=О, °

ЙО

(черта сверху означает комплексное сопряжение).

1.3.3. Многомерное дисиретное преобразование Фурье

Многомерным (1-мерным) ДПФ 1-мерных последовательностей называется

пара следующих преобразований:

Н, — 1 И, — 1

~ (/1д$1~2э ° ° ° /д1) = Д, 5 ° ~ х (нд 7, ло Т ° ° ° н1 7) И7Я . ° ° Яту

н,=о н~=о нд"- О

А,=О,..., А/,— 1,..., Ц1=0,..., М1 — 1,. (1.22)

1~1а 1 111з — 1

Ф вЂ” 1

«(пдТ, поТ,..., п17)= ~~ г' ... ~ Х(йд, й ...,, й1)><

У У...У1 Ь,=о ~,= — О «1 — -О

Хцт «1 н1 УУ Ьа ПХ У~ «1 и!

й, й,

нд — — О,..., Фд — 1,..., пд =О,..., А/1 — 1. (1.23) Преобразование (1.22) называется прямым, а преобразование (1.23) — обратным многомерным ДПФ.

1.3.4. Алгоритмы БПФ с основанием 2

Вычисление ДПФ непосредственно по формуле (1.19) требует весьма большого числа операций: примерно Л~о операций умножения и уо операций сложения комплексных чисел. Быстрым преобразованием Фурье (БПФ) называют набор алгоритмов, позволяющих резко уменьшить число операций, необходимое для вычисления ДПФ.

Алгоритмы с основанием 2 используются при У=2~, ~)0, ~ — целое. Основная идея, лежащая в их основе, заключается в сведении вычисления исходного У-точечного ДПФ к вычислению нескольких У~-точечных ДПФ, причем А/д=2~ и Уд<<№ Алгоритмы, при реализации которых требуется перестановка отсчетов х(пТ) входной последовательности (см. пример 1.6), называются алаоритмами с прореживанием по времени. Алгоритмы, при реализации которых требуется перестановка отсчетов Х(й) выходной последовательности( см. пример 1.7), называются алгоритмами с прореживанием по частоте. По эффективности эти две разновидности алгоритмов эквивалентны и позволяют уменьшить число требуемых арифметических .операций примерно в У/~ раз по сравнению с прямым методом вычисления ДПФ.

Алгоритм с прореживанием по 'времени. Если последовательности х(пТ) длиной У=2~ разделить на две Ж/2-точечные последовательности, состоящие из х(пТ) с четными и нечетными номерами соответственно, то выражение для ДПФ (1.19) можно записать в виде

1Ч/2 — 1 Ф/2 — 1

Х(Й) = ~ х(2пТ) ят,"~ 2+ Г~ >,' х((2п+1) 7) Р'"~2, /д — О,... у

а=о п=о

(1.24)

14

Ка дая из сумм в (1.24) является У/2-точечным ДПФ, которое аналогичным обр зом можно представить через Л/4-точечные, а У/4-точечные через У/8- точечные и т. д., пока не останутся только 2-точечные. Таких ступеней преобразования всего ч=1опд№ На и-ступени (и=О,..., ч — 1) производится преобразование множества /1/ комплексных чисел Х (н) в множество У комплексных чисел уд+ ~ (и) В

Х (и) в соответствии с базовой операцией «бабочка», описываемой выражениями:

Х .1 1 (р) = Хвд (Р) + И' й фп дч)'

Х, (д) = Х„(р) — 1~'„Х (/),

где р, д и т зависят'от номера ступени лд и могут быть определены из выра. жений, аналогичных (1.24).

Входная последовательность нулевой ступени Хо (н) получается перестановкой последовательности х(пТ) в соответствии с двоичной инверсией номеров, т. е. число х(пТ) с номером (л„д ..., по) в двоичном представлении запоминается на месте Хо(по, ..., и 1).

Направленный граф, реализующий «бабочку», изображен на рис. 1.5. Здесь сигналы ветвей, входящих в узел, суммируются; сигнал ветви умножается на

(Р/

Х,„, 1'у/

Рис. 1.5

М/2 — 1

Х (2А) = ~~~ (хд (и Т)+хо (пТ)) Я7~~~2',

и=о

1Ч/2-1

Х (21+1) = ~ (хд(пТ) — хо (нТ)) Г,ч Ю~~2

и=о

15

(1.26)

коэффициент, записанный рядом с ветвью. Если коэффициент не указан, то он полагается равным 1.

Пример 1.6. Рассмотрим случай /1/=8=2. Так как ч=3, то =,, Д

з =3 то т=О 1 2. Для получения входного массива Хо(п) произведем двоично-инверсную перестановку элементов последовательности х(пТ) =х(п), п=О, ..., 7:

Х, (0) = Х, (000) = х (000) = х (0); Х, (4) = Х, (100) = х (001) = х (1);

Хо(1) = Хо(001) =х(100) =х(4); Хо(5) = Хо (101) =х (101) =х(5) Хо (2) =Хо(010) =х (010) =х(2); Хо(6) =Хо(110) =х(011) = х(3);

Хо (3) = Хо (011) = х (1 10) = х (6); Хо (7) = Хо (111) = х (111) = х (7) .

Направленный граф с использованием «бабочки» и выражения (1.24) изображен на рис. 1.6.

Алгоритм с прореживанием по частоте. Исходная последовательность х(пТ~ разбивается на две подпоследовательности хд (нТ) =х(пТ) и хо (пТ) = х ((и+ +И/2)Т) где п=О,, У/2 — 1, и отдельно вычисляются четные и нечетные от-

У °

счеты ДПФ:

Распознанный текст из изображения:

Полученные У/г-точечные ДПФ аналогичным образом можно представить через У)4-точечные и т. д., пока не останутся только двухточечные ( его ч=1оп,У ступеней преобразования). На т-й ступени (ид=О, ..., д) — 1) производится преобразование множества У комплексных чисел Х (и) в множество

Х(0) Х<1)

Х(г)

Х(Л

Х<4) ХЩ Х<6) Х(7)

Рис. 1.8

комплексных чисел Х +1(и) в соответствии с базовой операцией «бабочка»,

описываемой выражениями:

Хп+! (р) = Х)в (Р)+ Хд)д(!));

Х,„+, (д) = (Х~ (р) — Х„(д)) Ф"У,

(1.27)

~(т(р) Х,„<р

х , <р)

х „(у

Рис. 1.7

по времени, в двоично-инверсионном

модная последовательность Х(й).

Х<0) =Х))(0) х<Т) =Хе(8

х(гт) =Х,(г)

Х<7Т) =Хеб)

х(47) =Хе(4) мат) =Хе(0) .хат) =Хе<0)

Х<77) =Хе(7)

где р, д и г для каждой ступени определяются из выражений, аналогичных (1.26). Направленный граф операции «бабочка» изображен на рис. 1.7.

В рассматриваемом алгоритме, в

отличие от алгоритма с прореживанием порядке располагается не входная, а вы-

ПРимеР 1.7. РассмотРим слУчай У=8, ч=З. НапРавленный гРаф 8-точечного, ДПФ с использованием операции «бабочка» и,выражения (1.26) изображен на,рис. 1.8.

Алгоритмы с прореживанием по времени и по частоте являются дуальными: каждый из них может быть получен из другого путем взаимной замены входа и выхода и обращения направления всех стрелок в направленном графе (см. рис. 1.6 и 1.8).

.ФОРТРАН вЂ” программа, реализующая алгоритм БПФ с основанием 2 при прореживании по времени, приведена в 11.6). В пакете прикладных программ ЕС ЭВМ имеется подпрограмма РРТСО, которая также реализует алгоритм БПФ.

1.3.5. Алгорнтмьд БНФ для произвольного составного У

(1,28)

й = )!д+ й» У», и ид+ и» Уд, где ид, й,=.О, ..., У,— 1, и,, йд=О,..., У,— 1. Тогда (1.19) преобразуется к виду

))) а

Х (йд+й» У») = ~~ ~~ х((ид+и» Уд) Т)%1)~' "' Ю ' "' Итл*, "'

п,=О )),=О

(1.29)

Пример 1.8. Пусть У=6; У!=3; У»=2. Согласно (1.28) положим )«=)«1+

+А».2; и=и)+п».3; и), )4=0, 1, 2; ид, Й1=)О, 1. Тогда

2 1

Х)йп+Йп 2)= ~ т п()пп-)-Зп,)Т) )«й'"') Гй'"' ~ )«й'"'.

и,=о и,=о

Соответствующий направленный граф изображен на рис. 1.9.

~ -а

Х <0) =Х(0)

х (г) =х(4) х(4)=Х(г)

х<0) =х(0) хИ7) =х(Т)

Алгоритм с множителями поворота. Пусть У=У)Уг, где Уд и Уд — любые

д!оложительные целые. В этом случае вычисление У-точечного ДПФ можно

свести к определению У) Уд-точечных и Уд У)-точечных ДПФ и У умножениям

«7 на множители поворота Я7')«. Для этого в (1.19) необходимо сделать следую-1)!/

и

щую подстановку:

х(гт) =х(г!1 хД73 =хцт)

Х(О =Х(Л ХЮ=Х(!) Х(Я =Х(Э

Х(4т) =х(4т) х(т) =х(ат)

Рис. 1.9

ХЩ ХЮ Х<7)

Рис. 1.8

16

Хе(0) ХО<1) .х,(г) Х0(З) Х (4) Х0(Я Ха(0) х (7)

Ъе

х(а) Х(1) х(г) Х(Я Х(4)

Алгоритмы БПФ с произвольным основанием. Используя алгоритм с множителями поворота, можно получить алгоритмы БПФ с основаниями, отличными от 2. На практике наибольшее применение нашли алгоритмы с основаниями 4, 8 и 16, позволяющие значительно сократить число требуемых операций по сравнению с алгоритмами с основанием 2. В табл. 1.3 приведены выражения для

Распознанный текст из изображения:

Таблица

1 Алгори™ взаимно простых делителей Пусть У=У,У, где У и У м но-поостые т. е. (У У )"=1

- о, ( 2 2) =1, а однозначное отображение между числами и= =О,..., У вЂ” 1; и =О,..., У вЂ” 1 и парами (п„пг), (и(, (ег); и), и, =О,..., У, = 1, пг, /зг=О,..., Уг — 1 определяется соотношениями:

Число дейетвитель

ных сложений

Число действитель-

ных умножений

Действие

Алгоритм

и = пд У2 + пг4 )4 = )зд Ув + )зг

Вычисление (У/2) 'ч

2-точечных ДПФ

Поворот

Полное преобразова-

ние

С основанием 2

(1.34)

(() — 2) У+ 2 (3~) — 2) У+2

(2т) — 4) У+4 (2ъ — 4) У+4

У=2т

р- 1, целое

х(а

Х(а)

Х (Т)

Х(г)

!О

Вычисление (У/4) ~)/2

4-точечных ДПФ

Поворот

Полное преобразова-

ние

С основанием 4

х(г

Х('1/

(3'ч/4 — 2) У+ 2 (275~) — 2) У+ 2

(Зт)/2 — 4) У+ 4 (3~/2 — 4) У+ 4

У= (22) т/г

д)/2~1, целое

Х(5ТР

Х(а)

Рис. 1.10

13ЛЪ/6

(7т)/12 — 2) У+ 2

(2,75~ — 2) У+2

Вычисление (У/8) ()/3

8-точечных ДПФ

Поворот

Полное преобразова-

ние

У~)/6

С основанием 8

Пусть последовательность х(пТ) получается из последовательности х(пТ) пер .

становкойве

(7т /6 — 4) У+4 (4'р/3 — 4) У+ 4

у (22) ыз

~/3) 1, целое

х((пд Уз+ пг) Т) = х((пг Уд+ пд Уг) (шо(1 У) Т), (1.35) а последовательность Х()з) получается из последовательности ДПФ Х()е) пе- рестановкой

37ЛЪ/16

Вычисление (У/16) ~)/4

16-точечных ДПФ

Поворот

С основанием 16

(154)/16 — 4) У+4 (15'()/32 — 2) У+2 (25т)/16 — 4) У+4 (89д)/32 — 2) У+2

У= (2') т)'

~)/4ъ1, целое

(1.36)

.121 из

Полное преобразова

ние

зд Уд: 1 (шо(1 Уг), зд (У; е У 2 1(пдо(1У ), е (У .

(1.37) (1.38)

(1.30)

(1.31)

П=О

Положим

(1.32)

Подставляя (1.32) в (1.31), получаем

Рис. 1.11

(1.33)

' ЗаПИСЬ (УЬ Уг) ОЗНаЧаЕт «ивибольший ОбщИй дЕЛИтЕЛЬ ЧИСЕЛ У,

Уг».

" Запись п(шо(1т) означает «остаток от деления числа и на число т»,

например 21(пдо(1 5) =1.

19

расчета числа требуемых арифметических операций для алгоритмов с основа-

ниями 2, 4, 8 и 16. Предполагается, что для выполнения базовой операции (2,

4, 8 или 16-точечного ДПФ) используется алгоритм, требующий минимального

числа умножений и сложений.

Пример 1.9. Построить алгоритм 16-точечного ДПФ с основанием 4. По. ложим У=16=УвУ2, где У2=4; Уз=4. Согласно (1.28) и (1.29) И='П(+Кг 4; П=П)+Пг'4; П24 Пгх )здх 12=0> ..., 3;

3 3

Х(йх.(-)д 4)=~', ~ х((хх+хх.4)Т)В4'"') Г>4"'] Вх'"' л,=о л,=о

Построим алгоритм вычисления базового 4-точечного ДПФ

3

Х (й) — ~~~~ х (пТ) Я74 )4 = О, ° ° 3

)з=/зд+!22 2; п=пд+и, 2; )зд, )зг, пд, п2=0,1.

1 1

Х(4 +й ° 2)= ~~ Д' х ((хх+х ° 2) Т) Я74'"')~вх' "'] 2хх'"', л,=О л,=О

Направленный граф, соответствующий (1.33), изображен на рис. 1.10. Направ

ленный граф 16-точечного ДПФ изображен на рис. 1.11.

18

Х (Йд Уг+ йг) = Х ((зд )42 Уд + ег )гд У,) (пю(1 У)) .

Числа е) и зг определяются согласно китайской теореме об остатках

уравнений:

х(а) х(Т)

х(гт)

Х(о Т) х(4Т) Х(5 Т) Х(бТ) х(7Т)

х(ат)

х(9Т) х(19т) х()) Т)

Х()гт)

Х (13Т) Х (14Т) Х (15ТР

х(а) Х(1) Х(Р! Х(о)' Х(4! ХЮ Х(5) Х(7) ХИ) 4) ХП4 х)(В! х()а) Х (11) Х(1г) х(т.т) Х(14) Х(15)

Распознанный текст из изображения:

Тогда справедливо выражение

(1.39)

(1.40):

у (пТ) = ~ Ь (1Т) х ((и — 1) Т) °

Запись (1.40) эквивалентна записи

М вЂ” 1

у (пТ) = ~~)', х (1Т) й'((и — 1) Т) .

(1.41)

Х (й)

!

х(е)

д=о

х(г) х(я х(й )(а

Х(г) Х(Д Х(4) Х(а

Х(Й

Х())

Х(й

Согласно (1.39)

Ь (0) Ь (Т) ° . й ((Л' — «Т)

Ь (Т) Ь (2Т)... й (0)

Ь (2Т) Ь (ЗТ)... й (Т)

(1.43)

Ь ((Л) — «Т)... Ь (()Ч вЂ” 2) Т)

х (0) х (Т)...х ((М вЂ” «Т)

х (Т) х(2Т)...х (0)

х (2Т) х (ЗТ)...х (Т)

ХИ

Х(г)

Х((2)

(1.44)

х (т)

Х(2 П

х((У вЂ” «Т)... х((У вЂ” 2) Т)

Х(1) Х(,2) Х(5)

х(гт) м (5т)

Рис. 1.12

20

й, — 1 Ф2 — 1

Х(йдй,+й,)= ~, ",~ х((пдЛ,+и,) Т) Р'д'"' У,",) л,=О л2=0

Алгоритм взаимно простых делителей позволяет избавиться от множителей по-

ворота и свести вычисление Л'=УдЛ2-точечного ДПФ к вычислению Л'2- и Л'2-то-

чечных ДПФ и является по существу методом отображения одномерного ДПФ

на многомерное (см. 1.3.3).

Пример 1.10. Рассмотрим случай У=6. Пусть У~ — — 3; У2=2. Соглаано (1.34)

положим:

п=пд 2+и,; й=йд 2+й~;

йд, пд — — 021,2; Ь~, п~=0,1.

Из е~.3=1(гпод 2); е1<2; е2 2— = 1(шой 3); е2<3 найдем: е1=1; ер —— 2. Получим элементы вектора х(пТ) из х(пТ) перестановкой (1.35)

Х(7) Х(2Т) х ЦТ) Х МТ) хф7'

'х()) х(г)) хут) х ьт~ х(г)

и элементы выходного вектора Х()г) из Х(й) перестановкой (1.36)

2 ' 1

Х(2д 2+2,)= г' ~ )! х(и, 2+а~)Г2-'"' ~ Г,"' ~'

л,=О ~л2 —— О

Соответствующий направленный граф изображен на рис. 1.12.

Вычисление 1-мерного ДПФ (см. 1.3.3) сводится к вычислению Уд, Л12, . ° .2У1-точечных ДПФ, для реализации которых могут быть использованы алго-- ритмы БПФ.

1.4. ДИСКРЕТНАЯ СВЕРТКА И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ

1.4.1. Круговая свертка

Пусть х(пТ) и Ь(пТ) — две периодические последовательности с периодами по Л' отсчетов.

Круговой (периодической или циклической) сверткой таких последовательностей называется последовательность у(пТ), определяемая соотношением

Последовательность у(пТ) также является периодической с периодом в Л' отсчетов, поэтому достаточно вычислять ее на одном периоде, например при п= =О,...,12' — 1.

Соотношения (1.40) и (1.41) справедливы и для конечных последовательностей х(пТ), Ь(пТ) (п=О,....,Л' — «, если рассматривать их как один период; соответствующих им периодических последовательностей. Круговая свертка конечных последовательностей будет также конечной.

В матричной форме круговая свертка имеет вид

у= Нх или у=Х)д, (1.42).

где у, 11, х — У-мерные векторы; у=[у(0), у(Т),..., у((Л( — «Т))т; )д=[й(0), Ь((Л' — «Т),..., Ь(Т) 1т.

х = [х (0), х ((Л вЂ” «Т),..., х (Т)1, а Н и Х вЂ” циклические матрицы размера МХ№

Пример 1.11. Вычислить круговую свертку последовательностей х(пТ) длинда

Л~ н Ь(пТ) =Ь((п — по) Т), пО 2'О.

Представим Ь(пТ) в виде последовательности длины У:

21

Распознанный текст из изображения:

0 при 0<и(ио; Ь(иТ) = 1 при и=ио;

0 при ио(и<У вЂ” 1. На рис. 1.13 приведена графическая иллюстрация вычисления круговой свертки по формуле (1.40) для У=4 и ио — — 1. Здесь исходные конечные последовательности периодически продолжены с периодом У отсчетов (пунктиром), чтобы показать, как получается круговой сдвиг. Звездочками обозначены выборки, составляющие у(иТ). Результирующая последовательность у(иТ) представляет собой последовательность х(иТ), сдвинутую на ио отсчетов вправо. (а т) Р 9 9 !1!9~1 Ф!1~9 ~ х(сй-И т) х(Р ~)т) х((г-1) т)

1. Вычисления ДПФ последовательности х(иТ):

Ж вЂ” 1

Х (А) = ~ х (и Т) К,",~~, А = О, . °, У вЂ” 1.

л=о

2. Вычисления ДПФ последовательности Ь(иТ):

(1.45)

1Ч вЂ” 1

Н(Ь)=У Ь(иТ)З~"', Ь=О,..., М вЂ” 1.

л=о

3. Перемножения коэффициентов полученных ДПФ:

У (Ь) = Х Я Н (Ь), Й = О, °, У вЂ” 1.

4. Вычисления ОДПФ последовательности У(Ь):

(1.46)

(1 47)

1.4.3. Линейная свертка

Линейной (апериодической) сверткой двух конечных последовательностей х(иТ) и Ь(иТ) по У~ и Ур отсчетов соответственно называется последовательность у(иТ), определяемая соотношением

М вЂ” 1

у (иТ) = — '>~ У (Ь) Р~"~, и = О,..., У вЂ” 1. (1.48)

)~ а=о

Последовательность у(иТ) есть искомая свертка.

Пример 1.12. Решить пример 1.11 с использованием ДПФ.

Пусть ДПФ последовательности х(иТ) равно Х(Ь). Из (1.19) ДПФ последовательности Ь(иТ) равно Н(Ь) =Ю~'ь, А=О, ..., )Ч вЂ” 1. Перемножим Х(Ь)- и Н(Ь): У(Ь) =Х(А) уф'~, Ь=О, ..., М вЂ” 1. Согласно свойству сдвига (см.

1.3.2) ОДПФ последовательности У(А) равно х((и — ио)Т). (Сравните с резуль. татом примера 1.11.)

хау-г)т) 9111 ~ ~11С~!~1~! у1т, т)

Рис. 1.13

Дискретная свертка является одним из способов вычисления выходного сигнала цифрового фильтра по заданному входному сигналу и известной импульсной характеристике фильтра (см. 2.3.3).

1.4.2. Использование ДПФ для вычисления круговой свертки

Круговая свертка двух последовательностей х(иТ) и Ь(иТ) может быть вычислена в результате выполнения следующих действий:

или

у (иТ) = ~~Ь (1Т) х ((и — Е) Т), и =О,..., У1+ Уа — 2, (1.49) 1=О

л

у (и Т) =,>~ х ()Т) Ь ((и — 1) Т), и = О,..., У1+ Уа — 2.

!=О

Последовательность у(иТ) является также конечной и имеет длину У,+Яр †отсчетов.

Сформируем последовательности х~(иТ) и Ь~(иТ) длиной по У,+Л11 — 1 отсчетов:

х(иТ) при и=О,..., У1 — 1;

х1(и Т) = (1.50)

0 при и=У1,..., )Ч1+1112 — 2;

Ь1 (иТ) =

Ь(иТ) при и=О,..., У2 — 1;

(1.51г

0 при и = Ж2,..., У1+ Ф2 — 2.

Тогда линейная свертка последовательностей х(иТ) и Ь(иТ) будет равна (Ф~+

+У1 — 1) -точечной круговой свертке последовательностей х~ (иТ) и Ь~ (иТ):

у1+уз — 2

у (иТ) = ~ х1 (1Т) Ь1((и — 1) Т), и =О,. ° °, У1+Уа — 2, (1.52)з

1=0

23

Распознанный текст из изображения:

1.4.4. Секционированные свертки

у (и Т) = 'Я уь (л Т) .

й: — о

Рис. 1.14

24

н может быть вычислена с использованием (У~+Уэ — 1)-точечного ДПФ (см.

1.4.2) .

Пример 1.18. Вычислить линейную свертку двух конечных последовательностей: х=[2, — 2, 1]т; Ь=[1, 2]т. Здесь У,=З, У2=2 и, следовательно, У~+ +У~-1=4. Сформируем последовательности длиной в четыре отсчета согласно (1.50) и (1.31):

х=[2, — 2 1 О]т Ь [1 2 О,О].

Вычислим круговую свертку последовательностей х~ и 1ь с помощью алгоритма 4-точечного БПФ (см. пример ~ о)

1) ДПФ х~ равно Х~= [1,1+21, о1 — 21]~'

2) ДПФ Ь, равно Н,=[3,1 —.21, — 1,1+21]т

3) ДПФ у равно т'=Х~ Нт~=[3,5 о1о]~

4) ОДПФ 7 является искомой сверткой й равно у='[2,2 — 3,2]т.

В том случае, когда одна из последовательностей гораздо длиннее другой (У~>>Уз или У2>>У~), используют процедуры, основанные на разбиении длинной последовательности на короткие секции и вычислении частичных сверток, из которых формируется искомая линейная свертка. Существуют два метода с сек-

ционированием свертки [1.6]: метод перекрытия с суммированием и метод перекрытия с накоплением.

Метод перекрытия с суммированием. Графическая иллюстрация метода приведена иа рис. 1.14.

Пусть более длинной, а в общем случае неограниченной является последовательность х(пТ), а й(пТ) содержит Уз отсчетов. Последовательность х(пТ) делится на смежные секции хд(пТ) по У, отсчетов, так что

х

(лТ)= ~~ хй (пТ),

а=о

х (л Т) при й Уг < л < (й+ 1) У~

где хк(пТ) =

при других значениях л

Вычисляем Й-ю частичную линейную свертку ук(лТ) последовательностей х~(лТ) и Ь(пТ). Каждая частичная свертка имеет длину У~+Ух — 1 и перекрывается с (Ь+1)-частичной сверткой на участке длиной в Уз — 1 отсчетов. Поэтому иа учаанв нанекрытия их отсчеты нужно сложить. Проделывая указанные д й ~в"' ла ==..-..'~, получаем искомую свертку:

Метод перекрытия с накоплением. Графическая иллюстрация метода приведена на рис. 1.15. В данном случае перекрываются не выходные, а входные секции. Пусть Ь(пТ) содержит У2 отсчетов. Длинная последовательность х(лТ) делится на секции хь(пТ) по У=У~+У2 — 1 отсчетов, так что каждые две соседние перекрываются на участке длиной в У2 — 1 отсчетов. Последовательность й(пТ) дополняется нулями до получения длины в У отсчетов:

Ь(пТ) при л= О, ..., Ув — 1;

Ьг (л Т) =

О при л= Уз, ..., У вЂ” 1.

Находим й-ю частичную круговую свертку ух(пТ) последовательностей й~(пТ) н хь(пТ). Последние (неверные из-за циклического характера круговой свертки) У2 — 1 отсчетов каждой из последовательностей уд(пТ) отбрасываются, а остальные присоединяются к верным отсчетам (й — 1) -й секции. Проделывая описанную процедуру для всех й, получаем искомую свертку.

1.4.5. Методы быстрого вычисления круговой свертки

Существуют три основных метода быстрого вычисления круговой свертки. Методы различаются требуемым объемом вычислительных операций и памяти, а также степенью точности, связанной с ошибками округления.

Первый метод, основанный на использовании БПФ и получивший название метода быстрой свертки, приводит к существенному сокращению требуемого количества арифметических операций для последовательностей, длина которых больше 32. Недостатки метода — значительные ошибки округления, большой объем памяти, требуемый для хранения комплексных экспоненцнальных коэффициентов, и все еще значительный объем вычислений.

Второй метод, использующий теоретико-числовые преобразования (ТЧП), является точным, так как служит для преобразования последовательностей в кольце целых чисел. Существенный недостаток, ограничивающий его применение в

Распознанный текст из изображения:

реальных системах,— зависимость между длиной последовательности У и требуемой длиной кодового слова, что приводит к длинным кодовым словам для больших Л'.

Третий метод — метод модульной арифметики в кольце полиномов, обеспечивающий высокие эффективность и точность вычислений. Недостаток этого метода заключается в сложности программирования вычислений, которая зависит от длины обрабатываемой последовательности.

У (пг(

Рис. 1.15

1.4.6. Использование теоретико-числовых преобразований

Так как последовательности в цифровых системах определяются с конечной точностью, то они могут быть представлены в виде последовательностей целых чисел, ограниченных сверху некоторым числом.

Теоретико-числовое преобразование определяется для последовательностей целых чисел х(пТ), п=О,...,У вЂ” 1 и Х(Ь), А=О,...,Лг — 1, как пара преобра.1ований:

1Ч 1

Х (Й) ° ~, 'х (о Т) а"~) (той М);

и О

(1.53)

Ф вЂ” 1

«(пТ) = У-~ 5', Х(А) а " (гпод М),

А=о

(1.54)

имеющих структуру, похожую на структуру ДПФ. Здесь М вЂ” целое положительное число; У вЂ” целое положительное число, взаимно-простое с М и такое, что на него делится число Р— 1, где Р— любой из простых сомножителей М; а — число такое, что У является наименьшим положительным целым числом, для которого справедливо ак— = 1(гпой М).

Преобразование (1.53) называется прямым, а (1.54) — обратным ТЧП (ОТЧП). При вычислении ОТЧП встречаются операции сравнения, выполняемые над отрицательными степенями целого числа. По определению [1.12]

г~ '=гз (шод М),

где гь гз, в — целые числа; з)О в том и только в том слУчае, если 1~м ~тзг~о (шой М).

Использование ТЧП для вычисления круговой свертки двух последовательностей целых чисел х(пТ) и Ь(пТ)=О,...,Лг — 1 аналогично ДПФ (см. 1.4.2) и. заключается в выполнении следующих действий:

1) вычислении ТЧП последовательности х(пТ):

Х вЂ” 1

Х (Й) а '3 х(оТ)а" ) (тойМ), Й=О, „,, У вЂ” 1; О.бо~

п=о

2) вычислении ТЧП последовательности Ь(пТ):

Ф вЂ” 1

Н (Ь): — ~ Ь (п Т) сс"~ (шой М), й= О, ..., М вЂ” 1; (1.56)

п=о

3) перемножении полученных ТЧП:

У (А) = (Х (Ь) Н (Ь)) (шод М), А = О, ..., М вЂ” 1; (1.571

4) вычислении ОТЧП последовательности У(Ь):

М вЂ” 1

у (пТ) = — Л' 1 „Р 1'(Й) а " (шог1 М), п=О,- ..., Л вЂ” 1. (1,58)

~=о

Последовательность у(пТ) является искомой сверткой. Так как в кольце целых чисел пс глоб М числа могут быть представлены однозначно, если их абсолютное значение не превосходит М/2, то х(пТ) и Ь(пТ) должны быть промасштабирояаны таким образом, чтобы ~у(пТ) ~ (М/2.

С точки зренля эффективности вычислений к ТЧП предъявляются следующие требования:

число ЬГ должно быть представимо в виде произведения большого числа сомножителей, чтобы сущестзовал эффективный алгоритм типа БПФ;

умножение на степени а должно быть простсй операцией; так, если а равно некоторой степени числа 2, то умножение сводится к сдвигам;

число М должно иметь двоичное представление с малым количеством разрядов для облегчения операции по гпойМ и быть достаточно большим, чтобьг исключить переполнение.

Наибольшее распространение на практике получили теоретико-числовые преобразования с числами Ферма (ТЧПФ) и Мерсенна (ТЧПМ).

27

Распознанный текст из изображения:

Теоретико-числовое преобразОааНИ Фсрма [1.6 1.12] является наиболее перспективным, так как позволяет использовать эффективные алгоритмы типа рПФ. В качестве модуля М выбирается одно из чисел Ферма:

М=Р4=22г+1 2ь+1 Ь 2

Здесь Рг называется 1-м числом Ферма. Первые семь чисел равны:

простые числа.

Ра = 641 Х6 700 417 Рв = 274 177 Х67 280 421 310 721.

В табл. 1.4 приведены параметры аескольких возможных реализаций ТЧПФ.

Таблица .1.4

дГ для а- '!'2

лГ для а=2

а для гч~,„

Пример 1.14. С помощью ТЧПФ вычислить свертку иоследовательносТей:

х= [2, — 2, 1, О]-т; !г= [1, 2, О, 0]т [1.12]. В качестве модуля выберем число

М=Р2=17. При ЛГ=4 а=4. Матрица ТЧПФ (1.53) принаьмает внд

(гпог! 17).

1 1

-т,=

1

Р,=З

Р1 =5 Ря — 17 Р =257 Рв — 65 537

1 1 1 4', 42 4' 42 44 46 43 46 49

1 1 1 1

1 1 4 — 1 — 1 1 — 4 —.1

1 1 1

— 4 1 4

— 1 1 16 4 1 13

1 1 16 13 1 16 16 4

2) ТЧПФ последовательности !г:

!

2

Х О

0

3 3

9 9

— (гпо41 17), 27 10

1 1 1 1 Н=Тф!г(ног! 17) =

1 4 16 13 1 13 16 4

3) Т= — Х Н = [3, 90, 80, 90]т= — [3, 5, 12, 5]т(пгой 17).

4) ОТЧПФ от У дает искомую свертку: у=Т-'фг'=[2, 2, 14, 2]т (игом!7). Так как результаты должны лежать в диапазоне [ — 8, 8], то окончательно у = [2, 2, — 3, 2]т. (Сравните с примером 1.13).

Теоретико-числовым преобразованием Мерсенна [1.12] называется пара следующих преобразовании.

Р— 1

Х (Й) вэ ~ х (п Т) ° 2" (тог! д), й =О, ..., р — 1; (1.59)

п=о

Р вЂ

х (п Т) = р — ' '~~ Х(й)2 " (гпог1 д), п=О, ..., р — 1, (1.60)

а=о

тде и — простое положительное число; д=2Р— 1 — простое число (число Мерсенна).

В качестве р могут быть выбраны числа 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61. С точки зрения обеспечиваемого динамического диапазона наиболее широко используются числа 31 и 61. Преобразование Мерсенна не обладает структурой БПФ и для своей реализации требует (р — 1)' операций сдвига и р(р — 1) — сложения.

Пример 1.15. С помощью ТЧПМ найдем свертку последовательностей: х= = [2, — 2, 1, О, 0]т; !г= [1, 2, О, О, 0]т. Выбевем р=5, тогда д=2' — 1=31. Матрица ТЧПМ имеет вид

1 1 1 1 1

1 2 22 26 24

Т = 1 22 24 26 26

м

1 26 2в 26 2г2

1 24 26 242 2гв

1 1 1 1 1

1 2 4 8 16

4 16 2 8 (гпог! 31) 1 8 2 16 4

1 16 8 4 2

матрица ОТЧПМ

1 1

2 6 2 — 4

2 — 6 2 — 8

2 — 6 2

2 — г2 2-"

'Так как а-'=25(гпог131), то

1 1 1

1 2 г 2

Т г=5 г 1 2 — 2 2 — 4

и

2 — 6 2 — 6

1 2 — 4 2 — 6

1 1 1 1 1 1 16 8 4 2 = 25 1 8 2 16 4

1' 4 16 2 8 1 2 4 8 16

(пгог! 31) °

-Так как 4-'— = — 4(гпог! 17), то

матрица ОТЧПФ

1

1

=13 1

1

'1 1 1 4 '424-6 4 24 44 в 4-6 4-4 4 в

1

1 — 4 — ! 4

1 — 1 ! — 1

1 4 — ! — 4

1 1 1 13 16 4 16 1 16 4 16 13

'ф =4-'

(гпог! 17).

' 2 15 х

0

18 78 243 213

1

10

(пгог1 17).

9

29

28

согласно (1.55) — (1.58) вычисляем:

1) ТЧПФ последовательности х:

1 1 1 1

Т х(гпог! !7) 1 4 16 13

Ф

1 16 1 16

1 13 16 4

Теперь вычисляем:

1) ТЧПМ последовательности х: Х=Т х= — [1, 2, 10, 19, 9]т (гпог! 31);

2) ТЧПМ последовательности 1г: Н= — Т !г= [3, 5, 9, 17, 2]т (гпог131);

3) произведение коэффициентов полученных ТЧПМ: г'= — НХт=[3, 10, 28, '13, 18]т (гпог! 31);

4) ОТЧПМ последовательности г': у=Т вЂ” '„г'— = [2, 2, 28, 2, 0]т (итог! 31).

Так как результат должен лежать в днавазоне [ — 15, 15], то искомая свертка будет равна у=[2, 2, — 3, 2, 0]т. (Сравните с примером 1.14.)

1.4.7. Испольвование модульной арифметики в кольце полииомов

Последовательность у(пТ), равная круговой свертке последовательностей х(пТ) и ЦпТ), п=О,..., У вЂ” 1, является последовательностью коэффициентов полинома

Распознанный текст из изображения:

«' (г) = Х (г) Н (г) (идо!1 (гл! — 1)),

(1.61)

где

Ю вЂ” !

(г) = ~ у (1Т) г!. !=О

у (0) = тд+ та ' У (Т) = пдд — та.

й

П '1 (г) (Рд (г) ..., Рд(г)) =1, 1=1

(1.62)

то

(1.63)

где

Таблица 1.5

(1.641 (1.65)

!

Число операций

Т

умножения ~ сложения

Число операций

умножения ~ сложения

2 ~ 2 ~ 4 3 ', .4 ~ 11 4 ' 5 15 5 1 10 , 31

8

16

14

19

34 70 46 81

8 9 !

1!Л;1

У вЂ” 1

М вЂ” 1

Х(г)= У х(1Т)гд; Н()= ~ Ь(1Т)

1=-О

!=о

Для вычисления (1.61) воспользуемся китайск

й ои теоремой об остатках. Если

представить полипом гсг — 1 в виде произве й

с коэ ии

оизведения взаимно-простых полиномо

фф ц ентами из поля рациональных чисел (использ - и и

оизве ' - -- .. в

рассмотрено в [1.12~)

— ~ «'1 (г) Ьд (г) о! (г) ~1 (шод1 (г!ч 1))

~1 (г) — = Х (г) Н (г) (шод Р! (г));

~! ()=(г~ — 1),1Р, (,),

полиномы Я!(г) должны удовлетворять соотношениям

Я! (г) Ю1 (г) э— з 1 (и!о!1 Р1 (г)), 1= 1 ..., й.

> 1 ° ° Э (1.66)

Приме 1.1б. В

р р .. Вывести алгоритм вычисления к гово ностей х(пТ) и Ь(пТ) длиной Л'=2.

ия круговой свертки иоследовательСогласно (1.61):

Х (г) = х (О) + х(Т) г, Н (г) = Ь (О) ~ й (Т), .

) = У ( ) ~ У (Т) г =— (х (0) + х (Т) г) (й (0) + й (Т) г) (и!о~ ( з 1 !

р дсд'ав м г — 1=~ !(г)Ра(г), где Р!(г) =г 1 р (г) = 1 Т

д (г)= д — — (х(0)+х (Т)) (Ь(0)+Ь (Т)) «' (г) т

— (Т)) (й (О) — Ь (Т)).

Согласно' (1.65) '' ) = г+1' ~а = г — 1. Согласно (1.66) ~~ (г

(г+1)). О~~~д~ 1! (г) 112. ~,( )

Подставляя полученные зна .ения в (1.63), получаем

РЛ~ тя

!

У (г) = — (г ' 1) — — ' (г — 1' =

У (О) = (тд+ т,) 2;

У (Т) = (тд — т,),.'2.

'! том слдчае н ооходимо повторить вычисление ля - .'.'и .' следовательностей х(пТ) п и о ной

и, ие для различных по" х п ) при одной и той же последовательности Ь',пТ) сообразно все вычисления св з ( ) вы олнять заранее и

-н . - ', связанные только с й(пТ)

его использования хранить в я

р в ячейках памяти. Такая п едва ите, ь обраоотка данных существенно п

венно повышает эффективность вычислений.

30

Пример 1.1г. Алгоритм 2-точечной круговой свертки с предварительной обработкой данных (см. пример 1.16) имеет вид:

Бд — х (О) +х (Т); Я,=х (О) — х (7)

Ь (0) + й (Т) ~ !' й (0) — Ь (Т) ~

т,= ) ~д1 та ~ ) ~2

Б [1.121 показано, что минимальное число операций умножения, требуемых для вычисления (1.16), составляет 2Л' — К, где К равно числу различных неприводимых в поле 6 множителей полинома 2л' — 1. Для многих (особенно простых) Л! это число достижимо ценой чрезмерного увеличения числа операций сложения. Поэтому предпочтительными являются так называемые субоптимальные алгоритмы с несколько большим числом операций умножения, но гораздо меньшим числом операций сложения. В [1.121 приведены алгоритмы с предварительной обработкой данных для нескольких значений Л'. В табл. 1.5 приведено число

требуемых арифметических операций, необходимых для их реализации. В том случае, когда Л'=Л!;Л!я, где Л' и Л!я — взаимно-простые числа, исходную матрицу .свертки, полученную путем соответствующей перестановки строк и оголбцов, можно представить в виде циклической матрицы размера Лт!ХЛ';, элементами которой, в свою очередь, являются циклические матрицы размера Л2ХЛ!2, и свести тем самым вычисление Л'-точечной свертки к вычислению Л!, и Л'2-точечных сверток (алгоритм Агарваля — Кули [1.12]).

Рассматриваемый метод является, по существу, методом представления одномерной Л!-точечной свертки в виде двумерной (Л'!ХЛд)-точечной свертки:

Л,— 1 Л,— 1

у (п,Т,п,Т) = 5. '«. х (1, Т, 1а Т) й((п,— 1,) Т, (п,— 1а) Т), 1,'=О 1,=0

= 1(диос1 Лд) 1я = 1 (шод Ля) '

п (и!о6 Л,); п, = и (гпо!1 Л'и), п

Пример 1.18. Рассмотрим алгоритм вычисления 6-точечной круговой свертки. Положим Л',=2; Уз=3. Сопоставим каждому индексу п=0, ..., 5 пару координат (п!, па), где пд=п(диод 2); па=п(тпо!1 3). Тогда получим следующее взаимно-однозначное отображение:

0-»- (О, 0), 1-»- (1, 1), 2-»- (О, 2),

3-»- (1, 0), 4-»- (О, 1), 5-~. (1, 2) .

31

Распознанный текст из изображения:

Теперь изменим порядок расположения элементов у(пТ) в векторе У матричного выражения (1.42) таким образом, чтобы сначала размещались элементы, для которых п~=О; пб — — О, 1, 2, а затем элементы, для которых п~=1; пб= =О, 1, 2, т. е. у(0), у(4Т), у(2Т), у(ЗТ), у(Т), у(5Т). Тогда искомая свертка записывается в виде

(1.67)

Матрица последнего выражения представляет собой циклическую матрицу раз-

мера 2Х2 (У~ХЛ'~), элементами которой являются циклические матрицы размера

ЗХЗ (УеХУе). Вычисление (1.67) сводится к вычислению 2- и 3-точечных кру-

говых сверток. Пусть:

Уе = [у (0), у (4 Т), у (2 ТЯ " ' Ут —— [у (3 Т), у (Т), у(5 Т) ~т; Н [Ь(0) Ь(2Т) Ь(4Т))т ° Н ~1(ЗТ) Ь(5Т) 11 (ТЦтх (0) х (4 Т) х (2 Т) х(ЗТ) х(Т) х(5Т) Хе= х(4Т) х(2Т) х(0) Х~= х(Т) х(5Т) х(ЗТ)

х(2Т) х(0) х(4Т) х (5 Т) х (3 Т) х (Т)

Тогда

Используя алгоритм 2-точечной свертки (см. пример 1.17), получаем:

х +х

м, = — тн, -,'- н,>;

2

х — х

Мг = (Но — Нт) '

2

Уе — М7+ Мн т Ут = Мт — Ме.

у (0)

у(4Т)

у (2 Т)

у(3 Т)

у (Т)

у (5 Т)

х(0) х(4Т) х(2Т) ',х(ЗТ) х(Т) х(5Т) х(4Т) х(2Т) х(0),'х(Т) х (5 Т) х(ЗТ) х(2Т) х(0) х(4Т),'х(5 Т) х(ЗТ) х(Т) х(ЗТ) х(Т) х(5Т) х(0) х(4Т) х(2 Т) х (Т) х (5 Т) х (3 Т) * х (4 Т) х (2 Т) х(0) х(5Т) х(ЗТ) х(Т) 'х(2Т) х(0) х(4 Т)

Ь (0)

Ь (2 Т)

й(4Т)

Ь (3 Т)

й(5 Т)

й (Т)

~7 7

ртэ у2 уб у4

7 7 7 7

рг2 Уб Ц74 Уб

7

тт' 7 7

5 1

1й77 И77

з

ртэ р2

7 7

1.5. НЕКОТОРЫЕ ПЕРСПЕКТИВНЫЕ АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДПФ

1.5.1. Алгоритм Винограда

Алгоритм Винограда [1.121 основан на представлении матрицы У=У~Х ХУ Х ... ХУ -точечного ДПФ, где все У~ — взаимно-простые числа, в виде

2

прямого произведения матриц У~-точечных ДПФ

%77=™ь7 ®%Л ®" З м

% (1.70) и сведении вычисления

числения Л'-точечных ДПФ к вычислению круговых сверток с использованием модульной арифметики в кольце полиномов (см. 1.4.7).

Алгоритм Винограда, имеющий «гнездовую» структуру, существенно эффективнее классических алгоритмов БПФ: при р

и п иблизительно авном числе операции

" сложения он требует на 80б1б меньше операций умножения.

Вычисление ДПФ коротких последовательностеи. При У=р, р, , д р простое, нечетное число, а )1 ДПФ можно свести к вычислению круговых свер-

1. Пусть У=р. Тогда матрица ДПФ %р~ь, ~е путем соответствующей перестановки строк и стол ц в .

столбцов может быть преобразована в циклическую матрицу %г, размера р —,

(р — 1) Х (р — 1). Взаимно-однозначное соответствие между показателями степени элементов Й7 г матрицы

б % и индексами элементов циклической матрицы (1.43) задается так:

: — а" (п1ой р), и = О, ..., р — 2, (1.71) где а — первообразный корень числа р [1.12].

П 1.20. Пусть У=р=7. Первообразным корнем числа 7 является а=.

ример .. у

=3. Тогда соответствие (1.71) запишется так:

'п 0 1 2 3 4 5

д132645

а матрица %;, и, „-б преобразуется к виду

3 2 б р74 ртб

7 '7

рт2 уб

! 7

Тогда т с;оное ДПФ пр' мет вид

уз у2 ртб 1174 7 7 7 7 !

б х (пТ);

т=т, т,;

и=Ут а2+т2 ат.

Х (0) =

(1.68) (1.69)

~=0

(1.72)

%б

2 — 89

32

Для вычисления М и Ме применяется алгоритм 3-точечной свертки.

Пусть т~ и т2 — числа требуемых умножений для У~- и Л'-точечных сверток соответственно [(Л"„У2) = Ц. Аналогично а~ и а2 — числа требуемых операций сложения. Тогда для У~ХУ2-точечной свертки число требуемых операций умножения т и сложения а составит соответственно:

Пример 1.19. Пусть У=6; У,=2; У2=3. Согласно табл. 1.5 т~ — — 2; т2=4; а,=4; а2=11. Пользуясь формулами (1.68) и (1.69), получаем: т=2 4=8; а= =2 11+4.4=38.

Теперь положим: У,=З; У» — — 2. Тогда: т,=4; т2=2; а~ — — 11; а2=4. Аналогично находим: т=8; а=3 4+2.11=12+22=34.

Расчеты показывают, что второй вариант является более экономичным по числу требуемых операций сложения.

Х (1) — х (0) Х (3) — х (0) Х (2) — х (0) Х (6) — х (0) Х (4) — х (0) Х(5) — х (0)

х (Т) х (3 Т) х(2Т) х(6Т) х(4 Т) х(5 Т)

Распознанный текст из изображения:

Х (1)

Х (2)

Х (4)

Х (8)

Х (7)

Х (5)

Таким образом, вычисление 9-точечного ДПФ свелось к вычислению 6-точечной

круговой свертки и двух 3-точечных ДПФ, которые, в свою очередь, можно опре-

делить с помощью 2-точечной круговой свертки.

3. Пусть Ф=2и, а)2 — целое. В этом случае вычисление ДПФ сводится к вычислению двух 2!д-'-точечных ДПФ и двумерной 2Х2!д-д-точечной круговой свертки, -матрица которой имеет вид

%' 2а — 2

%" 2и — 2

ул

2а — 2

%' 2а — 1

где %' а 2 и %" и — гпредставляют собой циклические матрицы размера 2!д-д~~

Х2!д-д. Взаимно-однозначное соответствие междУ показателими степени д! и дх

элементов матриц %' а 2 и %" а — 2 и индексами элементов матрицы (1.43) име-

ет вид [1.12]:

9 9 1

9 9 9 9

~'9 ~79 ~ 9 9 9 9 9 9 8 7 5 1 9 9 9 9

9

х (Т)

Х(1) Х(2) Х(4) Х(8)

11 9

2

9

9

х(2 Т)

11~ = 5" (шМ2 ) ~ д~ = — 5" (шод 2"), и= 0...,,2'д 2 — 1. (1.74)

у2

9

~9

х(4Т)

Пример 1.22. Пусть У=2'. Соответствия (1.74) запишутся так:

л

дд 1 5 да — 1 — 5

х (8Т)

9 9 9 9 9 9 7 5 1 2 4 8

х (7 Т)

Х(7)

Тогда:

х (5 Т)

1~~9 ~9 9 9

9 5

17

9

Х(5)

у — 1 )р — 5!

2

117 — 5 У вЂ” 1

8 8

х (0) + х (3 Т) + х (6 Т) х(Т)+х(4Т) +х(7Т) х (2 Т) + х (5 Т)+ х (8Т)

1 1

9 9

З 6

~9 9.

Х (0) Х (3) Х (6)

8 8 8 8

Х (1)

'и' '

8

8

117 — 5

у — 5

8

х (Т)

в' — '

8

Х (0) Х (1) Х(2)

Х (6) Х (7) Х (8)

Х (5) Х (7) Х (3)

х(5 Т)

х (0)

Х (3) Х (4) Х (5)

8

й7 — 1 1р — 5! 'А! 8 8 ' 8

х (7 Т)

х (3 Т)

у — 5 рт — 1,' р~5 8 8 ' 8

~9 ~9

х (3 Т)

х (6 Т)

..., 7, вычисляются с помо-,:

, А=О, ..., 3, и Х(Й), Й=О,

Последовательности Х (И)

шью 4-точечного ДПФ:

2'

34

35

Выражение (1.72) представляет собой 6-точечную круговую свертку последо-

вательностей [У~'7, УР7, 'и7д7> 1!7'7, И7'7, Я~'7] и [х(Т), х(ЗТ), х(4Т), х(6Т),

х(2Т), х(5Т)], для вычисления которой с помощью полином~иальных преобра-

зований требуется восемь операций умножения и 34 — сложения (см.табл.1.5).

Для вычисления всего ДПФ к этому числу операций добавляются одна опера-

ция умножения на 1Г' и две операции сложения (см. табл. 1.6).

2. Пусть Ф=р!д, а~1 — целое. В этом случае вычисление ДПФ сводится к

вычислению двух ро-'-точечных ДПФ и одной (р — 1)р!д-'-точечной круговой

свертки. Это эквивалентно одной (р — 1)р!д †', двум (р — 1)р!д-', четырем (р—

— 1)рл-',..., 2!д-!(р — 1)-точечным сверткам. Взаимно-однозначное соответствие

между показателями степени элементов У „ циклических матриц %1„ !!р©

аь

Р

1=1,..., а, и индексами элементов матрицы (1.43) задается равенством

ул7ра ! д— э а" (шо11 р~д+! «)

л=О, ..., (р — 1) р" — 1,

хде ад — пеРвообРазный коРень числа Ро+' — д.

Лример 1.21. Пусть Ф=З'. В этом случае первообразные корнч а! —— ад ——

=2. Соответствие (1.73) для 1=1,2 запишется так:

л~ 0 1 2 3 4 б л О

дд 1 2 4 8 7 5 дд 3 6

Тогда 2 3=6-точечная круговая свертка будет иметь вид

Последовательности Х(ЗЙ), 1г=О, 1, 2 и Х(й), Й=О, ..., 8, вычисляются с помощью 3-точечных ДПФ:

Последовательности Х(А) и Х(А) такие, что

Х(1) Х (2)

Х (4)

Х (8) Х (7) Х (5)

Х(Ц

Х (2) Х (4) Х (8)

Х (7)

Х (5)

Распознанный текст из изображения:

1 1 1 1

Х (0)

х(0) +х(4Т) х (Т) + х (5 Т)

8

!!у 4

8

рб

8

1 1

!р 4 ииу6

8 8

у4

8

8 8

Х (2)

х (2 Т) + х (6 Т)

Х (4)

Х (6)

х (3 Т) + х (7 Т)

1 х(0) +х(4Т)

1 ! — 1 — ! х(Т) +х(5Т)

х (2 Т) + х (6 Т) х (3 Т) + х (7 Т)

1 — 1 1 — 1

1 — 1 — 1

1 1 1 1

х (0)

Х (4) Х (5) Х (6)

х(2 Т)

1 1 — 1

Х (1)

ПО

1 — 1 1 — 1

х (4 Т)

Х (2)

о 1 2

3 5 3 5 ~ 3 5

д1, (1.75)

Х (3) ~

1 — ! — 1 ! ~ х(6Т)

Х (7)

Х (1) Х (5) Х (7)

Х (1)

Х (1)

Х (5)

Х (5)

Х (7)

Х (7)

Х (3)

Х (3)

Х (3)

Таблица 1.6

М вЂ” т1 т2 1~1 162»

А = У1 а, + т, а1.

Число операций

Число операций

уиноже- ( умножения

ния ~ на 'Л »»

умножения на 'И ' ~ сложения

умноже- ~

ния

сложения

1 б

36 26 45 74

36

Последовательности х(п) и Х(16) такие, что

Вычисление ДПФ рассматриваемым методом не требует умножения на комплексные коэффициенты, т. е. коэффициенты являются либо чисто действительными, либо чисто мнимыми. Вычисление ДПФ комплексных последовательностей требует вдвое больше операций умножения и сложения.

В [1.12] приведены алгоритмы вычисления ДПФ коротких последовательностей для У=2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 16. В табл. 1.6 приводится число требуемых при этом арифметических операций.

Вычисление ДПФ длинных последовательностей. Пусть У=У~ У2 и № и У2 — взаимно-простые числа. Если сделать перестановку входной и выходной последовательностей, как и в алгоритме взаимно-простых делителей (см. 1.3.5), то

0 ( 2' ,2 " 7 8 2 ~ 1 , !6 ~ 8 ~ 2 0 ! 4 8 () 9 ~ 10 5 ) 1 17 ( 16 10

матрицу исходного ДПФ можно представить в виде прямого произведения мат-

риц Ф~- и Х2-точечных ДПФ:

%=-% (8! %

Пример 1.28. Пусть У=15; № — — 3; М2=5. Из уравнений (1.37) и (1.38) 5, 3=1 (итог 5); 52 5=1 (гной 3), т. е. 5~=82 — — 2. Переставим элементы х(пТ) согласно (1.35):

х ((п1 5+и,) Т) =х ((и, 3+п1.5) (шос! 5) Т), п1 — — О, 1,2; п2=0, ..., 4.

Введем векторы:

йа = [х ((О -1- 5 16) Т), х ((1 + 5 й) Т), х ((2 + 5 16) Т), х ((3 + 5 16) Т),

х ((4 + 5 16) Т) ] Сй = [Х (О+ 5 16), Х (1 + 5 12), Х (2 + 5 16), Х (3 + 5 16), Х (4 + 5 16) ], й = О, 1,2. Тогда искомое ДПФ преобразуется к виду

Ц) 3 5 3 5 3 5

02»» 3 5 3 5 3 5 Ц2 где»»»~3 — е — и/ % — матрица 5-точечного ДПФ.

Матрица выражения (1.75) и есть прямое произведение %6З%6.

Для вычисления векторов !.!О, 111 и !!2 воспользуемся алгоритмом вычисления

3-точечного ДПФ [1.12]:

»1=П1+П2»»2 — П1 П2» '»2»1 +НО

1 2 л ~ 2 л

пт1 = '! соз — — 1 ) %6 81; 1п2 = ! 8!и — %6 82 »

3 ) 3

'»4 гпО+ й11» 86 '»4 + п12» '»6 . ~~ п»2»

О О» 1 86» 1!2»6 °

Для вычисления векторов гпО, п1~ и 1п2 необходимо использовать алгоритм 5-точечного ДПФ. Элементы полученного массива следует переставить согласно (1.36) для получения искомого массива:

Х ((6 162+ 10 й1) (гпоб 15)) = Х (161 5+ й2), й1 — — О, 1, 2; 162 —— О, ...,4.

Таким образом, №-точечное ДПФ требует а, операций сложения и т~ операций умножения, включая 161 умножений на !5"; У2-точечное ДПФ требует аа операций сложения и т2 операций умножения, включая 162 умножений на ГО. Тогда число требуемых операций сложения А и умножения М для Л'-точечного ДПФ

(1.76) (1.77)

Пример 1.24. Пусть Л'=15; № — — 3; №=5. Согласно табл. 1.6 т~ — — 3; 16~ — — 1; а~=6; т2 — — 6; а2=17. Пользуясь формулами (1.76) и (1.77), находим: М=17; А=87.

Теперь пусть №=5; №=3. Тогда число операций умножения не изменится, а число операций сложения станет равным А=81.

37

Распознанный текст из изображения:

Число операций для'.~

действительной вход- ~ ~

ной последователь- '

ности

Число операций для действительной входной последователь- ности

о' — 1

о' — 1

умноже- ~ сложения, ния

умноже- ~ сложения ния

1831 2 3 5.61 ~ 4880 607560 1861 2а 3 5 31 6200 412920 2441 2з 5.61 8540 1 073 600

367 ~ 2 3 61 488 ,61 976 373. 2й 3 31 620 41 044 733 2а.3. 61 1220 153 964

Тогда

Хд — — а Х ~- Р У; '(

уд=ау =Ь рл.]

(1.78)

Таблица 1.8

в=в,+е,+е,+в,

йл

1

8

в,

вз

л/4

— л/4

л/2

— л/8

Зл/4

— л/4

л/8

0 ~ л/4

— л/8

5

(1.79)

0 ( — л14

5л/4

л/8

Зл/2

л/2 л/4

— л/8

7л/4

л/2 — л/4

л/8

1.5.2. Алгоритм Винограда с использованием ТЧП

Теоретико-числовые преобразования (см. 1.4.7) могут быть использованы для эффективного вычисления круговой свертки в алгоритме Винограда. В [1.14, 1.15] предлагается так называемый гибридный алгоритм с использованием ТЧП Мерсенна (см. 1.4.6). В табл. 1.7 приведено число требуемых арифметических операций для У=д'=1+а 2"р, где д' — простое; р=31,61; а=3,5; П=1,2,3. В этом случае ДПФ сводится к вычислению (д' — 1)-точечной круговой свертки, которую, в свою очередь, можно представить в виде прямого произведения а.2" и р-точечных сверток (см. 1.4.7). Для вычисления р-точечной свертки используется ТЧП Мерсенна, требующее р операций умножения и 2р(р — 1) сложения.

Таблица 17

1.5.3. Использование эффективных методов поворота вектора (КОРДИК)

КОРДИК".. — это совокупность эффективных методов поворота вектора (х,

у) =х+1ц на угол 0 с помощью только операций сложения и сдвига [1.16].

КОРДИК может служить эффективным средством реализации поворачивающих

множителей в алгоритмах БПФ. Общее выражение, описывающее КОРДИК,

имеет вид:

где х1, у1 — координаты вектора, повернутого на угол О=~агс1д[р/а]. Модуль

вектора (х1, у1) равен модулю вектора (х, у), умноженному на коэффициент

урт+ ~2

Различают две основные разновидности КОРДИКа: полный и оптимальный.

Полный КОРДИК представляет собой итерационный процесс. В этом случае

а=1; р=2 — ', где 1 — номер итерации. Процесс поворота вектора (х, у) на угол

0 с точностью до п-го разряда требует п итераций и происходит следующим

образом: вначале осуществляется присвоение начальных значений

1=0; 0~= — О; 6~=1, а затем и раз выполняется последовательность операций:

— а1= 81яп (01);

х1 ьд — — х1+а1у12—

— 1 °

У1+д = У1 — а1 Х1 2-';

01» д — 01 — а1а1+ с1д (2 — ');

~1+ = ~1 (1+2 ")1/',

— 1= 1+ 1.

* СОК1)1С вЂ” СОогйпа1е Ко1а11оп 01р1а1 Сопдри1ег.

38

л — 1

В конце п-й итерации коэффициент б= П (1+2-а1)'/'=1,6.

1=О

Из (1.79) следует, что полный КОРДИК требует 2П операции сложения с одновременным сдвигом.

Идея оптимального КОРДИКа заключается в том, чтобы выбрать такие целые числа а и р, удовлетворяющие равенству О=агс1д(р/а) или р/а=ф0 с заданной степенью точности, чтобы минимизировать число операций сложения при вычислениях по формулам (1.79). Другими словами, двоичное представление таких а и р должно содержать минимальное число единиц.

Использование оптимального КОРДИКа для вычисления ДПФ становится ясным из примера 1.25.

Пример 1.2О. Вычислим 8-точечное ДПФ:

7

Х (/а) — ~~ х(ПТ) Р

л=О

/а=О, ..., 7. (1.80)

Преобразуем выражение (1.80) согласно алгоритму с множителями поворота

(см. 1.3.5), для чего сделаем подстановку:

/а = пд+/аа 2; и = пд+ па 4;

пд,/аа — — О, ...,3; йд,па — — 0,1.

3 1

Х (/ад+Ля 2) = ~ ~~ х ((пд+и, 4) Т) К~'"* У~' "' Р'~' "' . (1.81)

л,=е л,=в

Таким образом, вычисление свелось к 2- и 4-точечным ДПФ, не требующим опе-

раций умножения, и умножению на множители поворота 1Га" "и Для реализация

множителей поворота используем оптимальный КОРДИК. Пояснения приведены

и табл. 1.8 для поворота на О= (2л/8)1+л/8.

Распознанный текст из изображения:

1.5.4. Специальные виды ДПФ

В таких важных приложениях цифровой обработки сигналов, как реализация трансмультиплексоров (см. разд. 9), нашли применение нечетно-временное нечетно-частотное ДПФ (Н'ДПФ) [1.20] и косинусное преобразования [1.211, позволяющие существенно сократить число требуемых арифметических операций по сравнению со случаем использования обычного ДПФ.

Нечетно-временнбе нечетно-частотное ДПФ. Этот вид преобразования используется для эффективного вычисления ДПФ 1]('-точечных (Л' кратно 4) симметричных действительных последовательностей в случае, когда во временнбй области отсчеты берутся в нечетные, кратные Т/2 моменты времени х((п+1/2)Т), п=О,...,/(/ — 1, а в частотной области — в нечетные, кратные 1/2ИТ, точки частотной оси: Х(й+'/в), Й=О,..., Л/ — 1.

Пара преобразований Н'ДПФ имеет вид:

. 242(2(2+1) (2П+1)

Х(П+ — ) = ~~ х(~ и+ — ) Т)е

. 222(21+1) (2п+1)

х ((и-(- — ) Т) = — ~ Х (4-)- — ) е

(1.82)

(1.83)

Преобразование (1.82) называется прямым, а (1.83) — обратным (Н'ОДПФ). В случае действительной входной последовательности с нечетной симметрией 1 1

х ((11(' — п — ) Т) = — х ( (и+ — ) Т) справедливо соотношение 2 2

(1.84)

х л( — ~ — — = — х

пРичем Х(/в+1/в), /в=О,...,121 — 1, ЯвлЯетсЯ Действительной послеДовательностью.

40

К

ак видно из табл. 1.8, повороты осуществляются в четыре ступени, На

первых двух ступенях повороты являются тривиальными и не изменяют модуля векторов. На третьей и четвертой ступенях все векторы поворачиваются на один и тот же угол с точностью до знака с тем, чтобы модуль всех векторов умножался на один и тот же коэффициент б. В конце последней ступени все векторы оказались повернутыми относительно искомого положения на один и тот же дополнительный угол, равный дд/8. Так как дополнительный фазовый сдвиг не изменяет формы ДПФ, то его можно не устранять.

Повороты на дд, д/2 и 1д/4 осуществляются следующим образом:

хд= — х; (Хд= — У;

д~ н/2 — 2- (

Уд= У' (уд — — х;

2д/4 -~

)' хд —— х — у,

[уд — — у+х

Поворот на дд/8 с точностью до 16-го разряда обеспечивается оптимальным отношением а/р = 128/309, которому соответствует

( 1х= х+х 2 — 2; 1д — у+у 2 — 2;

2Д

— — хд = (1х — ~х'2 и — х 2 — в) 2 — д ~ У.2 — 2;

8

Уд — (1 — 1~ 2 в — У 2 в) 2 — д ~- х 2

В результате для вычисления 8-точечного ДПФ потребовалось 128 операций сложения и ни одной операции умножения.

тор

— 1 — (Ь вЂ” '

2п (

4) каждый элемент вектора д( умножается на множители е

/в=О, ..., Л(/4 — 1, в результате чего получается вектор '6(. Действительная и

мнимая части элементов полученного вектора Р и есть искомые коэффициенты

НвДПФ:

Гь = — Х 2й+ — +1 Х 2/в+ — +—

(1.85)

Недостающие отсчеты определяются из соотношения (1.84).

Пример /.26. Вычислить 8-точечное Н'ДПФ действительной последовательности с нечетной симметрией х(пТ) = [1, 1, 1, 1, — 1, — 1, — 1, — 11:

1) Х= [1+1, 1+11;

2) ()=[(1+1)е ех,']/2е

3) 2-точечное ДПФ вектора 11 равно:

— 1—

Т = [(1+ 4/2 + 1)е ", (1 П/2+1) е

дд т~1 ! ~~ я

4) % = (1+ ~2) соз — + з1п — +1 ~ соз —. — з1п — (1+ ~/2) ),

16 ~1 16 16

ДД 2Д / ДД вЂ” дд

(~2 — 1) соз — + з1п — + 1 ~ соз — + (1 — [/ 2) зш — )

16 16 ~, 16 16 )

Согласно (1.85):

1 дд Од / 1

— =2 (1+ [/2) соз — +2з(п —: Х ~4+ — ) =2 соз =—

2

16 16 ' ~, 2 ) 16

— 2 (1+ [//2) з]ив

16

1

° е ее

Х (2-(- — ) = 2 (]/2 — 1) сое — +2 е)п —;

2 ) 16 16

1 ОД У'

Х (Б+ — ) = 2 сох — +2 (1 — ]/2)е)п — .

2 ) 16 16

Пользуясь (1.84), получаем:

Х (] -~-1/2) = — Х (6+ 1/2); Х (3+ 1/2) = — Х (4+1/2);

Х (5 ) 1/2) — Х (2+ 1/2); Х (7+ 1/2) = — Х (1/2) .

41

Процедура вычисления НвДПФ таких последовательностей задается следующим образом [1.201:

1) формируется комплексный вектор х, содержащий 1]('/4 элементов:

х = (х ((и + 1(2) Т) — 1 х ((Бс(2 + 2 и + 1(2) Т) ], и = О,, БС(4 — 1;

— 1 — ~а+в

еп

и, е

2) каждый элемент вектора г умножается на множитель е п=О, ..., 2](/4 — 1, в результате чего получается вектор С;

3) вычисляется стандартное Л(/4-точечное ДПФ вектора $3, результат — век-

Распознанный текст из изображения:

Дискретное косинусное преобразование (ДКП). Этот вид преобразовании

последовательности х(пТ), п=О, ...,У вЂ” 1, определяется как

2 С (й) ~

Х (й) = ~ х (и Т) соз [л (2 и + 1) /г/(2 У)], (1.86)

то Р(й) =Ке(Н(/г)) и

) =1пд (Н (/г)), /г=О, ..., Л//2,

а искомые коэффициенты ДКП

Х (1г) = 2 Р (й) С (й)/У, й = О, '..., ~/ — 1.

При цифровом преобразовании первичных (12-канальных) (

льных групп с (частотным разделением каналов) возникает необходимость вычисления 14-точечных Д П. В этом случае более эффективным является алгоритм, предложенный в [1.18, 1.19]. Пусть требуется вычислить

13

х(пТ)= ~ Х(~) соз ь гг

~=о =-::; -'- 28

Так как

(1.88)

13

х((14 — п — 1) Т) = ', ( — 1)ьХ (/г) соз ( +

й=О 28

то можно определить две последовательности:

л (2п+1) 2й

о 28

е

Ь„= ~ Х (2/г+1) л (2 и+1) (21+1)

28

,дг — 1, ...,6,

такие, что а„+Ь„=х(пТ) и а„— Ь„=х((14 — п — 1) Т).

42

где С(/г) = [1/У2 при /г=О;

[1 при /г=1, Л/

Обратное ДКП (ОДКП) имеет вид

Н вЂ” 1

х(пТ) = ~~ ~Х (й)соз [л(2п+1) /г/(2У)], п= О... У вЂ” 1.

~о

Дискретное косинусное преобразование можно вычислять с использованием

д2'-точечного ДПФ [1.21]. Пусть

Л вЂ” 1

Р (й) = У х (и Т) соз [л (2 и+ 1) /г/(2 У)], й = О... /1/ — 1,

-о

и последовательность у(пТ), и=О,,Ф вЂ” 1, такая, что

у (1Т) = х (21Т);

у ((1+У/2) Т) = х ((21+ 1) Т), 1= О, ...', Ф/2 — 1.

Е ели вычислить У-точечное,ДПФ следующим образом:

1 — Л вЂ” 1

. 2лй

Н (/г)=е ~', у (пТ) У,

/г=1, ..., 13. Тогда справедливы соотношения: ав — — Х(0)—

Пусть С2= соз (л/г/28),

Х(4) +Х(8) — Х(12);

(ад+ ав)/2

У

пе

(аз + а4)/2

Сд2 С4 Св

С4 — С, Сда

Х (4)

— Х (8)

Х (12)

Х (0)

Х (О) +

Х (0)

— Св Сд2 С4

Х (2) Х (6) — Х (10)

Св — Сдо

— Сдв С2 Св

(а — ав)/2

— (а2 — а4)/2

— где

Св Сдо

Выражения, отмеченные «*», соответствуют 3-точечной круговой свертке

зв ХО Хд Х2 УО

зд = хд х, х, у,

Я2 Х2 ХО ХД У2

которая мож

ожет быть вычисчена с использованием полиномиальных преобразо-

ь

наний (см. 1.47) следующим образом [1.12]:

(хв + хд + х,)

(1.89)

(х, + хд — 2 х,)

пдд

3

(УО У2) '

(ХО + Х2 — 2 хд)

т2 = (У2 У д)

3

(ХО + Хд 2 Х2)

гпв = 3

(уд УО)

[ пд ~д; 2д — т +тд — глв ' 22= гпв ~2+

Для вычисления Ь„используются тождества:

С, = С, (Св+ Св ), СΠ— — С, (С.— Сдв):

Св Сд (С4 + Сдв) ь Сдд — Сд (С4 Сдв)

Св = Сд (С2 + Сд2); Сдв = С, (Св — Св ) °

Пусть Х'(А) =СдХ®=Х(й)/ [/2, 1=1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Тогда Ьв=Х'(7)+

+ (Х'(1) — Х'(13) ) — (Х'(3) +Х'(11) ) — (Х'(5) — Х'(9) );

(Ьд+ Ьв)/2 — С4 Сдз Св — Х (1) + Х' (13) [ Х'(7)

(Ь2 Ь4)/2 — Сд2 Св — С4 Х (3) + Х (1 ) Х (7)

6 Св — С4 — Сдз Х' (5) — Х' (9) Х'(7)

(Ьд — Ьв)/2 — Сдв С, Св — (Х' (1) + Х' (13))

— (Ь2+ Ь4)/2 = С, С, — Сдв Х' (3) — Х' (11)

Ь6 Св — Сдо С2 — (Х' (5) + Х' (9))

Распознанный текст из изображения:

Оз — айаг (х) =Е [(х Р) ) = 1

(1.92)

ясли Е[х(пТ)] =О, то

р,= Е[«] = ) «1'„Ых,

(1.90)

(1.95)

Ж вЂ” 1

х (и Т).

п=О

(1.91)

(1.97)

[1.22]

44

где Ь'е+Ь"~ — — Ьб. ПРеобРазованиЯ, отмеченные ((~~)) могУт быть вычислены по

алгоритму (1.89). В общей сложности для вычисления (1.88) потребовалось 16

операций умножения и 76 — сложения.

1.6. СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

1.6.1. Случайная последовательность

Последовательность [х(пТ)) называется случайной (случайной решетчатой функцией, случайным временным рядом), если каждый отсчет х(иТ) является случайной величиной.

Пример 1.27. Пусть у(пТ) тх,(пТ)«2(пТ), причем х~(пТ) и х~(пТ) — правильные з-разрядные дроби, а у(пТ) — правильная г-разрядная дробь, г(2г, т. е. у(пТ) вычисляется с округлением до г разрядов. Тогда при непериодиче. ских последовательностях х~ (пТ) и х2(пТ) можно считать, что у(пТ) = =х~(иТ) х2(пТ) +А(пТ), где А(пТ) — случайная последовательность — погрешность (шум) округления.

1.6.2. Математическое ожидание и выборочное среднее

Для непрерывной случайной величины х математическое ожидание р определяется как [1.22]

где 1„— плотность распределения х (плотность вероятности х).

Пример 1.28. Для случайной последовательности Л(иТ) (см. пример 1.27)

~0 при Л< — 2

1а = ~ 2' при — 2 ~ ~ (А ~~2

(О при 2 ~ ~(А

и и= Е [х] =О.

Величина и характеризует среднее значение случайной величины х. Среднее

Ф

по времени случайной последовательности «(пТ) = 1пп ~ х(пТ). Для

л;. 2Ж+1 п= у

рассматриваемых ниже стационарных эргодических процессов статистические характеристики, полученные усреднением по ансамблю выборок и по времени, совпадают. Ниже символом Е[ ] обозначается усреднение как по ансамблю, так и по времени. Если известна реализация случайной последовательности, состоящая из Л' отсчетов, то оценкой математического ожидания (1.90) является выборочное среднее

1.6.3. Дисперсия и выборочная дисперсия

Для непрерывной случайной величины х дисперсия а' определяется как

В дичина О называется стандартным отклонением

согласно 1 92)

Пример 1 2у Дл условия пр Р

о2 = 2 в~/12.

(1.93)

О2=чаг [х (и Т)] = рср

анной последовательности ран-

т е если математическ ое ожидание отсчета сл

едней мощности РаР~

этой последовательности равна ее сре

но нулю, то дисперсия этои „, „и х(иТ), состоящей из Ф отсче-

~ализации случаинои последовате ьности х и

ля реа

тов, оценкои диспе

с е„сии является выборочна д „р

И вЂ” 1

О2 = — ~ (х (и Т) — х)з.

п=с

атическим отклонением и является оценВеличина о называется средним квадратическим

име 1.30. Пусть х(0)=1,400; х(Т)=1,600; х(2Т)=1,700; х( Т)

ия стационарной случаинои

1 6 4 Автокорреляционная фу~ция

последовательнос1и

двтокорреляционная фу"~ц"я Р

ия оп еделяется как

1~ ( ) — Е [(х (и Т) — р) (х ((п+ т) Т) 1~)1

Оценка я(т) имеет вид

1 у ( ( Т) «) (х((и+т)Т) «)'

К вЂ” т п=з

Автокорреляционная фу кц

н ия служит мерои ко

ции между отсчетами

т собой независимые

Если отсчеты представляют

слу аинои по едовательности с

случайные величины, то Я

т Оп ит>0

мо ности стационарнои

165 Спектр ьная плотност 'щ

случ "

айной последовательности

ть мощности в есть

5 средняя мощность последоваСпектральная плотность щ

я аяся на достаточно узкую полосу частот ,[в — Ав, тельности х(пТ), приходящаяся на

й Ф ье с автокорреляциля сл чайной последовательности х(пТ), п=О, Онной функцией Я(т) [1.23]. Для случайнои после

1, 2, ..., указанная пара преобразовани" ~р

ний Ф ~ ье имеет вид:

5 (в) = 4 Т вЂ” + ~~» ~ Р (т) соз т в Т);

1ЦО)

2

я1Т

Я(т) = ~ 5(в) созтв Тйв.

и

45

Распознанный текст из изображения:

Значения 8(в) могут быть непосредственно измерен по

ы по реализации случайной последовательности (см. разд. 8) или рассчитаны с помощью (1.97) по известной автокорреляционной функции.

2. ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ

2.1. ДИСКРЕТНЫЕ И ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ. УСТРОЙСТВА

ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

2.1.1. Линейные аналоговые фильтры

Линейный аналоговый фильтр представляет собой четырехполюсник, которыи реализует линейное преобразование входного аналогового сигнала и~ (1) . Математически связь между выходным и~(1) и входным и~(1) аналоговыми сигналами фильтра выражается обыкновенным линейным дифференциальным уравнением

и. (1)= — Я а1 '. +~

ахи, (1) ~ 1 ~1~ и~ (1)

ж'

где а; и Ь| — коэффициенты, представляющие собой константы или функции, зависящие только от времени 1.

Вопросы анализа и синтеза аналоговых фильтров весьма подробно рассмотрены в [2.Ц. Главный недостаток этих фильтров заключается в том что их па!

раметры изменяются при изменении условий работы (температ

ературы, давления и т. д.). Это приводит к неконтролируемой погрешности выходного сигнала, т. е. к низкой точности обработки сигналов.

2.1.2. Линейные дискретные фильтры

Математически работа линейного дискретного (импульсного) фильтра описывается разностным уравнением (уравнением в конечных разностях) [1.10)

М вЂ” 1 Ф вЂ” 1

у (п Т) = — ~~~ ау у ((и — 1) Т)+ „)~ Ь1 х((п — 1) Т), (2.1)

~=1 1=О

где х(пТ), у(пТ) — п-е отсчеты входного (х(пТ)) и выходного (у(пТ)) сигналов фильтра соответственно; а;, Ь~ — константы или отсчеты решетчатых функций, зависящих лишь от п.

Сигналы (х(пТЯ и ( (пТД

( ( ) ) (у ( ) ) могут быть как вещественными, так и комплексными. Уравнение (2.1) можно рассматриват

вать как алгоритм вычисления у(пТ). Как правило, решение уравнения (2.1) т. е. решетч

пТД т

(у(п )), требуется определить при п)0. Если известны коэфф

ны коэч фициенты а; и' Ьь отсчеты входного сигнала (х(пТ))

у( — 2Т), ... — М 1

ла (х(пТ)) при и) — И-;1 и начальные значения у( — Т)

у(( — + ) Т), то, используя (2.1), можно рассчитать отсчеты

!

у(пТ) для любого п)0.

Линей

нейные дискретные фильтры делятся на два класса: фильтры с постоянными параметрами (ЛПП системы [1.6), линейные инвариантные во времени импульсные фильтры) и фильтры с переменными параметрами.

46

л инеиные дис

кретные фильтры с постоянными р р

па амет ами описываются

ых все а и Ь~ — константы, назыв

ых в, аемые коэфуравнениями типа (2.1), в которых в

фициентами фильтра.

Пример 2.1. Линейный дискретный фильтр с постоянн

тоянными коэффициентами описывается разностным уравнением

у (а Т) = 0,8 у ((и — 1) Т) + х (и Т),

(1 "Ри и=О'

причем х(пТ) = ~

'1 О при п) 0'

Тогда

0 8у( — Т)+х(0) =

О 8у(0)~- (Т)=0,8'

(2 Т) 0 8 у (Т) + х (2 Т) = О,

ве ественными.

Входнои и вых й с гналы фильтра являются

коэффициент представляет собой комп-

Фильтр, у которого хотя бы один коэ

лексную величину, называют комплексным.

ы" фильт с постоянными коэф-

П име 2.2. Линейный комплексныи дискретный ф р

фициентами описывается разностным уравнением

у(п Т) = (0,3+10,2) у ((и — 1) Т)+х (и Т),

(1 при и=О;

причем х(пТ) = 1

10 при п) 0'

1 при п=2"

е'" = — 2й+], и=О

47

Тогда:

у (О) (О 3 + 1 О ~) У (

у (Т) = (О 3+ 10,2) у (0) + х (Т) = +

у (2 Т) = (О 3+ 1 0,2) У (Т) + х (2 Т) =

вещественным, а выходной — комп- и т. д. Входнои с игнал фильтра является в

Линеиные дис р

иск етные фильтры с переме

ис енными параметрами описываются

ффициент изменяется при изме-

и типа (2.1), если хотя бы один коэффициен уравнениями типа ( .

ле овательности, отличной от конт. е. и едставляет собой отсчеты последов

овательность представляет собой периостанты. Практически всегда эта последовательность

дическую функцию п.

ным коэ ициентом

Пример 2.3. Линеиныи д

Л искретный фильтр с перемен фф описывается разностным уравнением

у (п Т) = е '"" х (а Т),

причем Т=1; х(пТ) =1 при п>0. Тогда:

у (0) = х (0) = 1;

у(1) = — х(1) = — 1;

у(2) =х(2) =1

ве ественен, поскольку вещественен входной и т. д. Выходной сигнал фильтра вещественен, и

сигнал и

Распознанный текст из изображения:

х(лТ7

х~ (пТ7

х~ (птр

Х

у(пТ1=х (п71+х~(л71

ХУт~ «са17

а)

Х(п77 г:у х((п-.777Т7

ф

хд(пТ/

хд(лТ/

у(пТьХ7(л77+х,(лП

ф

Рис. 2.3

Рис. 2.2

х(пТ~ ~~ у(пТ7=Кх(пП

2,1,4. Цифровые фильтры

(лТ7=х(пТ/

х (пТ7

х7(пТ7

Х

у(пТ7=х (п77х (пТ/

,ф'

р у т=х(пТ7

Рис. 2.1

49

Дискретные и цифровые фильт ы

фр ' ф р принято делить на два класса: нерекурсивные и рекурсивные (РФ). Если в (2.1) все коэффициенты а;=О, то фильтр, реализующий этот алгоритм, называется нерекурсивным. Из (2.1) с ет алгоритм работы такого фильтра

з ( . ) следу-

М вЂ” 1

у(п Т) = ~', Ь1 х((п — 1) Т). (2.2)

1=О

Если в (2.1) хотя бы один из коэ ффициентов а;~0, то фильтр, реализующий этот алгоритм, называется ек сив

р ур ным. Очевидно, что НФ представляет собой устройство без б

обратной связи, а РФ вЂ” устройство с обратной связью.

2.1.8. Пе ехо от а р д р зностного уравнения к структурной схеме фильтра

Из рассмотрения (2.1) видно что

( . ) д , о для реализации фильтров необходимы устройства, выполняющие т и опе а и:

р р ции: задержку (запоминание) отсчетов сигналов, сложение и умножение — и

— соединяющие эти устройства линии передачи сигналов. На рис. 2.1,а показано условное обозначение линии передачи сигналов,

на рис. 2.1,6 — ст ойства за

у р ", держивающего каждый отсчет сигнала на т инте- валов дискретизации Т (т п

( последовательно соединенных регистров), на рис. 2.1,в и г — два варианта обо

р значения сумматора и множительного устройства соответственно, на рис. 2.1д — об

р, — о означение узла, отмечающего соединение трех и более линий пе е ачи

р д сигналов. Следуя разностному уравнению, аз ешенному относительно (иТ)

у( ), и используя условные обозначения (см. рис. 2.1),

разреможно изобразить структурную схему любого фильтра.

Пример 2.4. Изобразим ст кт н

мере 2.1. В эту схему входят: один элемент за

ру турную схему фильтра, рассмотренного в прид . ент задержки (регистр) для запоминания 08у(( — 1)Т1

и — ) и сумматор для вычисления суммы 0,8у((п — 1)Т)+х(пТ).Исла и выход множительного устройства подключаются ко

м сумматора, с выхода кото ог

у( Т) ( 22)

и .... р дключается ко входу элемента задержки п рис... Выход суммато а по кл

рого появляются заде жанны

держанные на интервал дискрет 1зации отыход элемента задержки подключается ко вхо

входу множи-

48

тельнэго устройства, на второй вход которого подается постоянный множитель — коэффициент 0,8.

Пример 2.5. Изобразим структурную схему комплексного фильтра, рассмотренного в примере 2.2. Рассуждая так же, как при рассмотрении примера 2.4, и учитывая, что комплексное уравнение фильтра эквивалентно следующей системе вещественных уравнений:

уд (и Т) = 0,Зуд ((и — 1) Т) — 0,2у2 ((и — 1) Т)+х (и Т);

у, (и Т) = 3,2 уд ((и — 1) Т) + 0,3 у, ((и — 1) Т);

(у(пТ) = уд (пТ) +1 у2 (пТ); уд (пТ), у2 (пТ) — вещественные последовательности) получаем схему фильтра (рис. 2.3), в которой каждый элемент реализует операции над вещественными числами.

Если алгоритм (2.1) реализуется с помощью схемы, выполненной на аналоговых элементах (например, линиях задержки, ключах и операционных усилителях [2.1]), то дискретный фильтр будет иметь тот же недостаток, что и аналоговый, — изменение параметров устройства вызывает неконтролируемые изменения (погрешности) выходного сигнала.

Цифровой фильтр (ЦФ) представляет собой цифровое устройство, реализую1цее алгоритм (2.1). При этом входной и выходной сигналы являются цифровыми, так что в устройстве циркулируют только двоичные коды. Поскольку операция умножения отсчетов цифрового сигнала на число иногда выполняется неточно за счет округлений или усечений произведений, в общем случае цифровое устройство неточно реализует алгоритм (2.1) и выходной сигнал отличается от точного решения (2.1). Однако в ЦФ погрешность выходного сигнала не зависит от условий, при которых работает фильтр,— температуры, влажности и т. п. Кроме того, эта погрешность контролируема — ее можно уменьшить, увеличивая число разрядов, используемых для представления отсчетов цифровых сигналов. Именно этим определяются основные преимущества цифровых фильтров — высокая точность обработки сигналов и стабильность характеристик — по сравнению с аналоговыми и дискретными фильтрами. Строго говоря, цифровые фильтры представляют собой нелинейные устройства, к которым не применимы методы анализа и синтеза линейных систем. Однако число разрядов в кодах, циркулирующих в ЦФ, как правило, достаточно велико, чтобы сигналы считать приблизительно дискретными, а фильтры — линейными дискретными. Это позволяет использовать весьма развитый аппарат анализа и синтеза подобных уст-

Распознанный текст из изображения:

М вЂ” 1

Ь~г

ю=о

Нр (г) =

(2.3)

(2.4)

ройств. Вводимые ниже характеристики (передаточная функция, частотные характеристики и т. д.) относятся (если не будет особых оговорок) к линейным дискретным фильтрам, точно реализующим алгоритм (2.1). Однако эти же характеристики используют для описания ЦФ, близких по своим свойствам к линейным дискретным фильтрам.

2.1.5. Устройства цифровой обработки сигналов

М вЂ” 1

1+ ~', айаг

)=1

ч — 1

Нн(г)= ~ Ь|г — ~.

1=О

Устройства цифровой обработки сигналов (ЦОС) — это цифровые устройства, реализующие тот или иной алгоритм цифровой обработки (например, БПФ, см. разд. 1) йли алгоритм (2.1).

Основные преимущества устройств ЦОС по сравнению с устройствами аналоговой обработки и дискретными системами, реализуемыми на аналоговых элементах, следующие:

1. Характеристики устройств ЦОС абсолютно стабильны и не изменяются при изменении внешних условий (температуры, влажности и т. д.), пока все элементы устройства сохраняют работоспособность.

Возможна реализация ряда операций и алгоритмов принципиально нереализуемых с помощью аналоговых элементов; например, можно обрабатывать весьма низкочастотные сигналы, поскольку длительность хранения информации цифровыми элементами практически не ограничена.

3. Эти устройства весьма удобно реализовывать в виде больших и сверхбольших интегральных схем, например в виде специализированных микропроцессоров.

Основные недостатки современных устройств ЦОС:

1. Относительно низкая скорость обработки информации, которая ограничивается задержками используемых цифровых элементов.

2. Как правило, относительно большая потребляемая мощность.

3. Относительно большая стоимость.

4. Необходимость использования на входе и выходе элементов ЛЦП и ЦАП.

Отмеченные выше достоинства позволяют считать устройства ЦОС весьма перспективными при значениях частот дискретизации сигналов до сотен кило- герц.

Принципиально точность устройств цифровой обработки сигналов ограничена применяемыми АЦП и ЦАП (характеристики АЦП и ЦАП см. в табл. 9.4). Точность вычислений в самом устройстве определяется числом двоичных разрядов, используемых для представления кодов.

2.2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ

РЕАЛИЗАЦИИ ФИЛЬТРОВ. ПЕРВЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ

2.2.1. Передаточные функции

Передаточной функцией Н(г) называют отношение Е-образов выходного У(г) и входного Х(г) сигналов фильтра при нулевых начальных условиях: Н(г) =У(г)/Х(г). Для рекурсивного и нерекурсивного фильтров из (2.1) и (2,2) с помощью (1.2) — (1.4) получаем:

50

Коэффициенты фильтров являются коэффициентами соответствующих передаточных функций. Очевидно, что построение структурной схемы по известной передаточной функции выполняется практически так же, как по известному разностному уравнению. Передаточные функции являются основным аппаратом при рассмотрении соединений и различных форм реализации фильтров (см. 2.2.2 и 2.2.3) .

Пример 2.б. Пусть у(пТ) = 0,4у((п — 1) Т) — 0,1у((п — 2) Т) -1- х(пТ)—

— Зх((п — 1) Т), Тогда для этого фильтра

1 — Зг

Н (г)—

1 — 0,4г ~+0,1г

т. е. Ьэ=1; Ь~= — 3; У=-2; а~= — 04; аз=0,1; М=З.

2.2.2. Соединение фильтров

Пусть Н~(г) и Нэ(г) — передаточные функции фильтров Ф~ и Фд. Ниже приводятся выражения для передаточных функций Н,(г) фильтров, эквивалентных определенному соединению Ф~ и Фэ.

Соединение, при котором выход одного фильтра х~пт~ у/и .', соединен со входом другого (рис. 2.4,а), называют

каскадным (последовательным), причем а)

Н „(г) = Нт (г) Нэ (г) . (2.5)

Соединение, при котором фильтры имеют общие Х( входы, а выходы подключены ко входам одного сумматора (рис. 2.4,б), называют параллельным, при- чем

Т/

х(/7т/

Нэ, (г) — Нт (г) + Нэ (г) (2 б)

Соединение, показанное на рис. 2.4,в, называют

включением фильтра Ф, в обратную связь фильтра

Ф~, причем

Нд (г)

Нэ.о ( ) (2.7) Рис. 2.4

/Тример 2.7. Пусть Н~(г) =1/(1 — О,Зг — '); Нэ(г) =0,2гг — '; г '. Тогда из

(2.5) — (2.7) получаем:

Нэ.в (г) = (О, 2 + г ~ + г ~)/(1 — О, 3 г ~);

Нэ.п (О, 2 + О, 7 г ~ + О, 7г ~ — О, Зг з)/(1 — О, Зг ~);

Нэ.о = 1 25/(1 — 1,625 г ~ — 1,25г ~).

51

Распознанный текст из изображения:

х(п)

хст

х'

у',л Г)

— -э~ Я вЂ”:>в

б)

х1п

Рис. 2.б

М вЂ” 1

о (пТ) = — ~; ау и ((и — 1) Т) + х (пТ);

Л вЂ” 1

и(пт) =~', Ь1п((п — 1) Т).

1=0

Рис. 2.7

Рис. 2.б

1оь+Р"г '+1'г '

1+ ать г + ао11 г

— 1 — 2

(2.8)

Цо1,+~11,г +~,Ьг

1+ад,г +а,11г

— 1 — 2

б2

53

2.2.3. Некоторые формы реализации фильтров

Существует весьма большое число различных форм реализации рекурсивных фильтров [2.2]. Отметим лишь четыре основные формы: прямую, каноническую, каскадную (последовательную) и параллельную.

Прямая форма (рис. 2.5,а) соответствует непосредственной реализации фильтра согласно (2.1) или (2.3).

Каноническая форма (рис. 2.5,б, для случая У=И вЂ” 1) соответствует замене (2.1) эквивалентной системой разностных уравнений:

Введение вспомогательной последовательности п(пТ) позволяет уменьшить число элементов задержки по сравнению с их числом при прямой форме реализации: Т.о=гпах(Л~ — 1, М вЂ” 1).

Каскадная (последовательная) форма (рис. 2.5,в) реализации представляет собой каскадное соединение однотипных звеньев, соответствующее представлению О(г) в виде произведения:

Отдельные звенья, каждое из которых имеет передаточную функцию

называются биквадратными блоками. Биквадратный блок является универсальным звеном, пригодным для построения любых фильтров.

Параллельная форма (рис. 2.5,г) реализации фильтра представляет собой параллельное соединение, соответствующее представлению Н(г) в виде суммы:

1'ой+ 1И г ь=1 1 + а1ь г + а,11 г

— 1 — 2

Отметим, что каждое звено параллельной формы может быть реализовано в виде биквадратного блока, если положить ~г~,=0. Как правило, каскадная форма реализации рекурсивных фильтров обеспечивает наименьший уровень собственных шумов фильтра [2.31. Вопрос об оптимальной расстановке звеньев каскадной формы рассматривается в разд. 5 и [1.61.

Нерекурсивные фильтры могут быть реализованы в различных формах. Прямая и каскадная формы реализации НФ строятся так же, как и соответствующие формы реализации РФ. Прямая форма (рис. 2.6) соответствует непосредственной реализации фильтра согласно (2.2) или (2.4). Каскадная форма соответствует реализации фильтра согласно (2.8) при а1~=аг~=0. Для весьма важного класса нерекурсивных фильтров с линейными ФЧХ (см. разд. 4) возможны специальные формы реализации, уменьшающие число операций умножения, которые надо выполнить, чтобы получить один отсчет выходного сигнала фильтра. На рис. 2.7 показана ст ф ьтра соот х~п О

2.2.4. Реализациоииые характеристики фильтров

Следующие характеристики фильтров определяют сложность аппаратной реализации и моделирования фильтра в реальном масштабе времени:

1.о — число ячеек (регистров) оперативной памяти, необходимое для реализации фильтра;

— число ячеек постоянной памяти, необходимое для реализации фильтра;

1~~ — число операций умножения, которые должны быть выполнены в фильтре за время Т для получения одного отсчета выходного сигнала;

1~о †чис операций алгебраического сложения двух слагаемых, которые должны быть выполнены в фильтре за время Т для получения одного отсчета выходного сигнала.

Указанные величины могут быть определены по структурной схеме фильтРа: ~, равно числу элементов задержки; Š†чис различных постоянных множителей, выписанных около обозначений множительных УстРойств; Ут — числУ

Распознанный текст из изображения:

множительных устройств; Р, — суммарному числу входов сумматоров минус чис-

ло сумматоров. Так, для структурной схемы фильтра на рис. 2.3 Е,=2; Е,=З;

1~у=4; ~с=2.

2.3. ЧАСТОТНЫЕ И ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЛЬТРОВ

2.3.1. Частотные характеристики

2.2.5. Устойчивость фильтров. Первый критерий устойчивости

Фильтр называется устойчивым, если при любых начальных условиях и любом ограниченном входном сигнале х(пТ) выходной сигнал у(пТ) также остается ограниченным, т. е. из условия !х(пТ) !(В при всех и следует, что

! у (и Т) ! ( 4.1, причем В и  — константы, не зависящие от и. Очевидно, что фильтр всегда устойчив.

Условие (2.9) неудобно использовать для проверки устойчивости рекурсивных фильтров. Первый критерий устойчивости РФ, удобный для практической проверки, формулируется следующим образом ~12.4]: если передаточная функция фильтра представляет собой несократимую дробь, то для устойчивости фильтра необходимо и достаточно выполнение условия

!21!(1, 1=1, 2,..., Я4 — 1, (2.10) где 24 — полюс (корень знаменателя) функции Н(в), т. е. все полюсы должны .лежать внутри единичной окружности на з-плоскости (рис. 2.8); в=а+1р.

Пример 2.8. а) Н1(г) =(1 — г-1)/(1 — 0,3г-1); полюс з1111=0,3 (см. рис. 2.8); !г1'>~ ! <1; фильтр устойчив.

б) Н2(х) =(1 — г-')/(1 — 22 — '); полюс 21'14=2 (см. рис. 2.8); !212>4!)1; :фильтр неустойчив;

'в) Нз(з) =(1 — з-2)/(1 — 1,8в-1+0,97в-2); полюсы з1211 — — 0,9+10,4; з1212=0,9— — 10,4 (см. рис. 2.8); !г1'11!=)г1212!<1; фильтр устойчив;

г) Н4(в) = (1 — г 2)/(1 — 2,4г-1+1,ба-2); полюсы г1411 — — 1,2+10,5; г1412=1,2— — 10,5 (см. рис. 2.8); [х14>1! =!х1412!>1; фильтр неустойчив; д) Н(х) =(1 — г- )/(1 — х — '). Так как Н(з) =1+в-', фильтр устойчив. Неустойчивый фильтр, безусловно, неработоспособен в том случае, когда входной сигнал действует неограниченно долго, так как рано или поздно выход-

ной сигнал перестает зависеть от вход- ,8 ного. Он работоспособен и практически 1

используется в тех случаях, когда вход- И 141 ной сигнал действует в течение ограни-

х/ р~ ченного интервала времени. Например, 1!4 д~ ~ ~ оп цифровой интегратор с передаточной

функцией Н(г) =1/(1 — х-') (эта функй~ 4У~ 11~ ~ ция имеет полюс я=1, т. е. фильтр неус-

тойчив) вполне работоспособен, если д 2 входной сигнал х(пТ) действует при О( <и

(2.4):

(2.11)-

Нр (е1" т)—

М вЂ” 1

1+ ~ а. е — 114О т

/=1

Л вЂ” 1

Н (е140 т) — '~~ Ь е — ''" т

1=о

(2.12)

Модуль комплексной частотной характеристики А(в) = )Н(е1вт) !, называемый амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) фильтра, определяет амплитуду выходного сигнала устойчивого фильтра в установившемся режиме при входном сигнале х(пТ) =е1 "4~т.

Аргумент комплексной частотной характеристики 4р(в) =агд~Н(е14от)1, называемый фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) фильтра, определяет фазу выходного сигнала устойчивого фильтра при входном сигнале х(пТ) =е'"вт. Очевидно, что для фильтров с вещественными коэффициентами справедливы соотношения:

Ж вЂ” 1 2 ~1 — 1

2

~ Ь1соз1в Т + ~~~ Ь121п1в Т

1=О 1=О

Ар(в) = !Нр ( е1" )! =

М вЂ” 1 2 М вЂ” 1 2

а соз/в Т + ~ а1 з1п/ в Т

1 — о4 /=о

/ Ф вЂ” 1Л вЂ” 1

, Ь,„Ь14соз(т — й) в Т

=о

т=о

(2.13'т

М вЂ” 1М вЂ” 1 ~~)~ ар а, соз (р — з) в Т

р=о

где ао=1;

Ю вЂ” 1

~', Ь1 21п1в Т

1=О

~р (в) = ага [Нр ( е' )] = — агс1к

Ю вЂ” 1

Ь1 соз 1в Т

1=О

М вЂ” 1

~~ а~ зйп / в Т

/=о

+ агс1д

'~~ а~ соз/в Т

/=о

55

(2.13")

Комплексные частотные характеристики представляют собой функции, полученные в результате подстановки з=е'о~т в передаточные функции (2.3) и.

Распознанный текст из изображения:

к~7 7)

(2.14')

у/пт)

(2.14")

ууст

(2.15)

а)

Рис. 2.9

А е )))

г'

га'весе

Рис. 2.10

57

56

у л~ — ) 2 Д1 — ) з

А ||о)=)/У | е' ))= [~ ~; 'ь! со||ит .)- ~, 'ь,||п||||

ь=о г=о

Л' — 1Ф вЂ” 1

Ь, Ь~) соз(т — Ц в Т;

т=о А=О

Л) — 1

Ь) з1п1а Т

фн (а) = агд [Н ( е' ю т)] = — агс!д

Ь~ соз 1в Т

|=О

Групповое время замедления (ГВЗ)

т(а) = — Ыф/до

равно времени задержки в установившемся режиме выходного сигнала фильтра

относительно входного сигнала х(пТ) =е'"ат.

Пример 2.9. Пусть Н(г) =2+0,5я-' — г — '. Из (2.12), (2.14) и (2.15) получаем:

Н(е)о)т) 2~ О 5е — |ит е — )2'от

А (а) = Я(2+ 0,5 соз а Т вЂ” соз 2 в Т) 2 + (0,5 э!п в Т вЂ” з]п 2 в Т)з;

0,5япа Т вЂ” з!п2в Т

ф (в) = — агс!д

2+0,5созв Т вЂ” соз2в Т

1

т(в) = [(2+0,5-соза Т вЂ” соз2 в Т) (0,5Тсозв Т вЂ” 2Тсоз2о Т)—

Аа (о)

— (0,5з!па Т вЂ” яп2в Т) ( — 0,5 Тяпа Т+2Тз1п2в Т)].

Пример 2.10. Пусть Н(х) =1/(1 — 0,5г-'). Из (2.11), (2.13) и (2.15) получаем:

Н ( е' о) т)

1 — 0,5е

1

А(о) =

~~ (1 — 0,5 соз в Т) з+ (0,5 яп в Т) з

0,5з1пв Т

ф (о) = агс!д

1 — 0,5 созв Т

— 1

т (в) = [(1 — 0,5 соз в Т) 0,5 Т соз о Т вЂ” 0,5 з!п а Т 0,5 Т яп а Т]. Аа (в)

Пример 2.11. Пусть Н(я) =1+0,5 г-' и х(пТ) =з!и паТ, а=2л2000 с-',

Т=1/8000 с. Из (2.12), (2.14) и (2.15) для установившегося режима получаем:

у) ст (п Т) = А (о) зш [и в Т + ф (в) ] = [/1,25 яп (и л/2 — агс!я 0,5);

т=Т/4=81,25 мкс.

На рис. 2.9,а изображена структурная схема фильтра с передаточной функцией Н(я) =1+0,5г — ', на рис. 2.9,б — временные диаграммы х(пТ), у(пТ) при нулевых начальных условиях и у,-„(пТ), построенные по данным примера 2.11.

Устройства цифровой обработки способны обрабатывать лишь аналоговые сигналы с ограниченным спектром (см. 1.1.2). Если частота дискретизации аналогового сигнала выбрана в соответствии со значениями в,;„и в,„(см.

11.2), то хаРактеР частотных хаРактеРистик в диапазоне частот от 0 до ах/2=

=и/Т полностью определяет изменение спектра аналогового сигнала, полученнрго после цифро-аналогового преобразования выходного сигнала фильтра.

2 8.2. Основные свойства частотных характеристик. Нормировка частоты

Из формул (2.11) — (2.15) следуют основные свойства частотных характеристик фильтров с вещественными коэффициентами.

1. Все частотные характеристики представляют собой периодические функции частоты в с периодом ав, определяемым (1.14).

Пример 2.12. Для условий примера 2.10 при Т=1/8000 с на рис. 2.10 по. строен график двух периодов функций А(а).

2. Амплитудно-частотная характеристика А(о) и ГВЗ т(о) представляют собой четные функции частоты а, а фазо-частотная характеристика ф(о) — нечетную функцию частоты а.

Из указанных свойств следует, что требования к частотным характеристикам при постоянном значении Т следует задавать лишь на интервале [О, л/Т]. С целью упрощения сопоставимости частотных характеристик различных фильтров нормируют частоту одним из двух способов. При первом способе полагают нормированной частоту а=вТ, тогда а„= а Т=йи и требования к частотным характеристикам задаются на интервале [О, л]. При втором способе полагают нормированной частоту к =аТ/(2п), тогда а.,=о,|Т/(2л) = 1 и требования к частотным характеристикам задаются на интервале [О; 0,5]. В справочнике используется, как правило, второй способ нормировки. При этом изменяются аргументы в обозначениях частотных характеристик Н(е'"'и), А(и)), ф(и)) и т(и)).

Распознанный текст из изображения:

2.3.3. Импульсная характеристииа

(1 при п=О;

Ь(пТ) = (

(О при п~О.

(2.16)

Ь (и т) = г ' (Н (г) >;

Н (г) = Е (Ь (п Т) ) .

<Ь (и т)< ~ ~1~1,

п=о

(2.17)

(2.20)

Л/Т

Ь(и Т)= ~ Н( е1~ т) е1по т<~'~в.

2п „/т

(2.18)

2.3.5. Теорема Парсеваля

Н(е' ) '~~ Ь( т) — 1пит

-о

1 при п=О;

Ь(пТ) =

— 1,5( — 0,5) -' при п).1.

(2.22)

у(0) =Ь(0)х(0) = — 1;

у(Т) =Ь(0)х(Т) +Ь(Т) х(0) =1,5;

у(2Т) =Ь(0) х(2Т) +Ь(Т) х(Т) =О;

у(ЗТ) =Ь(Т) х(2Т) = — 0,25;

у(пТ) =0 при п)4.

58

Импульсная характеристика Ь(пТ) фильтра представляет собой реакцию

фильтра при нулевых начальных условиях на входное воздействие:

Из этого определения и определения передаточной функции следует, что

Из (2.17) следует, что Ь(пТ) и Н(е'~т) связаны парой преобразований Фурье:

Пример 2.13. Пусть Н(г) =1+0,3г-' — 0,2г-~, тогда Ь(0) =1; Ь(Т) =0,3;

Ь(2Т) = — 0,2; Ь(пТ) =0 при п)3.

Пример 2.14. Пусть Н(г) =(1 — г-')./(1+0,5г-'). Используя (1.7), получаем

В зависимости от характера импульсной характеристики дискретные и цифровые фильтры принято [1.61 делить на следующие два класса: КИХ-фильтры (фильтры с конечной импульсной характеристикой) и БИХ-фильтры (фильтры с бесконечной импульсной характеристикой). Отметим, что все практически реализуемые НФ являются КИХ-фильтрами, а почти все РФ [за исключением тех, у которых передаточная функция может быть преобразована к виду (2.4)1 являются БИХ-фильтрами.

Зная Ь(пТ), можно рассчитать при нулевых начальных условиях выходной сигнал фильтра у(пТ) по заданному входному сигналу х(пТ). Из (1.2) следует, что последовательность у(пТ) представляет собой линейную свертку (см. 1.4) последовательностей х(пТ) и Ь(пТ), причем эти три последовательности могут быть как конечные, так и бесконечные:

у (ит) =,~~ Ь(1Т) х ((и — 1) Т) = ~>'.х(1т) Ь((и — 1) т)

1=о /=о

при этом Ь(пТ) =0 при п(0 и х(пТ) =0 при п(0.

Пример 2.15. Пусть Ь(0) =1; Ь(Т) = — 0,5; Ь(пТ) =0 при и)2; х(0) = — 1;

х(Т) =1; х(2Т) =0,5; х(пТ) =0 при п) 3. Из (2.19) получаем:

Для вычисления (2.19) при обработке сигналов нерекурсивным фильтром можно использовать рассмотренные выше (см. 1.4.4) методы секционирования свертки.

2.3.4. Второй иритерий устойчивости фильтров

Из определения (2.9) и (2.19) следует второй критерий устойчивости фильтров: для того чтобы фильтр был устойчив, необходимо и достаточно выполнение условия

где 1л, — константа.

Второй критерий менее удобен для проверки устойчивости фильтра, чем первый.

Пусть х(пТ) и у(пТ) — комплексные последовательности. Тогда [1.6] согласно (1.6)

~о я/Т

;), 'х(пт) у(пТ) = — ~ Х (е' )Р(е'" ) ~оз,

п=о о

где а — величина, комплексно-сопряженная с а: Х(е'ит) и у(е'~от) — спектры

последовательностей х (пТ) и у (пТ) .

В частном случае при х(пТ) =у(пТ)

ОО Т ~/~

~' <х(пт)~з= — ~ 1Х(е'и )! Ыа. (2.21)

3

Л

п=о о

Равенство (2.21) называется теоремой Парсеваля. Согласно (2.21) для любого

фильтра с действительными коэффициентами справедливо равенство

и/Т

~' Ьз(ит) = — ~ !Н(е'"')РИ

п=о

Л

о

Из (1.6) при х,(пТ) =х2(иТ) =Ь(иТ) следует равенство

ОО

1

Ьз(пт) = ~Н(г) Н(г ) г (2.23)

2п1

где в качестве контура интегрирования выбрана единичная окружность.

Для вычисления интеграла в (2.23) можно использовать (1.8), полагая г (г) =Н(г) Н(г-') г — ' и учитывая при вычислении только полюсы, расположенные внутри единичной окружности.

Пример 2.16. Пусть Н(г) =1/(1 — 0,5г-'). Тогда из (1.8) и (2.23) получаем

1 . 0 1

~, Ь2(пт) = ф

2л1 . г — 05 1 — 05г

п=о

Поскольку внутри единичной окружности находится только полюс г1 —— ,,

г =05

СО

1 4

Ь2 (пт) =1ип

п=о

86

Распознанный текст из изображения:

(2.25)

(дуга 21);

Р,, =О,3Р21

Р12=Р °

Рп=р

(вершина 2);

(дуга 23);

(вершина 3);

(' дуга 84);

Рзз — — 0,2 Рзз

Р2з 1 Р4з Р24

34

-а,г

34 42

Р34 Р41

(вершина 4);

(дуга 43);

Р4з = 0,3 Р4з

Р . 2.12

Рис. 2.11

ео

2.4. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦИФРОВЫХ ЦЕПЕЙ

С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

2.4.1. Цели анализа линейных цифровых цепей с постоянными

параметрами

Под линейной цифровой цепью с постоянными параметрами понимается схема, реализующая линейное разностное уравнение и состоящая из элементов задержки (регистров), каждый из которых задерживает один отсчет сигнала на время Т, сумматоров, устройств умножения и соединяющих эти элементы линий передачи сигналов (см. рис. 2.1). В задачах анализа этих цепей рассчитываются частотные и временнь';е характеристики цепей, параметры выходных сигналов при детерминированных и случайных воздействиях, чувствительность цепи, т. е. зависимость определенных характеристик от изменения параметров цепи 12.1, 2.31. Ниже рассматривается один из наиболее эффективных методов анализа, основанный на определении Е-образа выходного сигнала путем решения системы линейных алгебраических уравнений 12о1.

2.4.2. Определение Е-образа сигнала по сигнальному графу цепи

Сигнальный граф состоит из узлов — нумерованных вершин и соединяющих их направленных дуг (рис. 2.11). Стрелки на дугах указывают направление передачи информации от одного узла к другому. Сигнальный граф однозначно соответствует структурной схеме, причем вершина соответствует узлу или сумматору; дуга, соединяющая две вершины, — элементу задержки или множительному . устройству; дуга, направленная к одной из вершин, начало которой не соединено с вершиной, — входному сигналу. В сигнальном графе запись з-' рядом с дугой означает, что эта дуга соответствует элементу задержки, а запись Ь рядом с дугой — что эта дуга соответствует устройству умножения на Ь.

Для определения Л-образа искомого сигнала необходимо по сигнальному графу составить систему линейных алгебраических уравнений относительно Е-обуазов сигналов цепи. При этом удобно использовать следующие обозначения (рис. 2.12):

Р „— Е-образ сигнала, передаваемого из вершины с номером т в вершину с номером п до преобразования элементом, соответствующим дуге та;

Р* — Я-образ сигнала, передаваемого из вершины с номером т в вершину

тп

с номе ом и после

с н после преобразования элементом, соответствующим дуге тп;

Є— Е-образ входного сигнала, поступающего к вершине с номером и.

Основой при записи систем уравнений являются уравнения дуг и вершин.

З1ти уравнения имеют следующий вид:

для дуги, соответствующей элементу задержки,

э

ШП~

для дуги, соответствующей устройству умножения,

Реп = Ь Ргпп,'

для вершины

и Р Р '' =Р м 1=К1 Кз~ ° ° ° гг 2.26 1п пМ1 пМ2 ''' пМд~

ГдЕ 11Ь 2 ..., и—

Кь К,..., К вЂ” номера г вершин, в которых начинаются дуги, заканчиваю; М М ....,. — номе„а, ве, шин, в которых защиеся в вершине с номером и;

канчиваются дуги, начинающиеся в вершине с номером и.

Записав уравнения

3 писан уравнения (2.24) — (2.26) для каждой дуги и вершины, получают систему уравнений, которую можно разрешить относите льно Е-об аза любого

Р

сигнала.

Пример 2.17. Сигнальный граф (см. рис. 2.11) соответствует структурной

схеме фильтра (см. рис. 2.3). Система уравнений имеет вид:

1 1+ Р41+ Р21 Р12 (вери ина 1) 1

(дуга 12);

Р41 — 0 (дуга 41).

Решая эту систему методом Гаусса (2.6], можно выразить Л-образ любого сигнала через Л-образ входного сигнала. Например,

Р12 = Р1 (1 — 0,3г )1(0,04г + (1 — 0,3г ) ).

Отметим, что система линейных алгебраических уравнений, составленная по сигнальному графу, решается в общем виде, т. е. в

т. е. в итоге пол чаются формулы

° У

относительно искомых величин. Процессы составления р

ния и ешения системы уравнений реализованы в виде программ на ЭВМ (см. приложения 3 и 4).

Распознанный текст из изображения:

7 ~,~, В '.~ Ь.~С

' ~..7ДВВВ 7В" ~'

г:иаэс

я

Рис. 2.И

63

2.4.3. Определение характеристик е

цепи и параметров детерминированных

и случайных сигналов на выходе цепи

Зная Л-об а -преооразование (1.7

р з сигнала, можно, используя обратное 2- определить значения отсчетов этого детерм

)

терминированного сигнала для любых и.

нкцию Н

ассматривая некоторую точку цепи как вход, можно опреде

елить передаточную фу кцию Н(х), импульсную характеристику Ь(пТ), АЧХ А(и) ФЧ ГВЗ т(а) (см. 2.3.1).

(и), ФЧХ <р(а) и

Е сли входнои сигнал цепи представляет с б "

со ои стационарную случайную последовательность с некоррелированны. б

шаяся диене сия в

ми между со ой отсчетами то уст

р ыходного сигнала в выбранной выходной точ

у ановиввыражением

нои точке определяется

о2

вых овх ~'~ Ь (пТ), (2.27)

п=О

где ов — по

где о вх — постоянная дисперсия входного сигнала Ь',пТ)— теристика.

(и ) — импульсная харак-

Вычисление (2.27) по известной передаточной н и помощью (2.23). Если м

редаточнои функции Н(г) выполняется с

ью .. сли математическое ожидание величины от

отсчета входной стационарнои случайной последовательности а

сти равно нулю, то средняя мощность выходнои последовательности равна

р 2

вР вых (2.28)

Если входной сигнал цепи представля б

яет со ои стационарную случайн ю последовательность с коррелированными ме б

У

и между со ой отсчетами, то, зная спектральную плотность мощности 5, (в)

(в), можно определить среднюю мощность выходной последовательности:

Т 7цт

Рср= 1 8 (В) !Н(е~ Т)~ йи,

— л/Т

где 8„(и) ~ Н (е'~в т) ~ ' =5

) ~ = вы,(в) — спектральная плотность мощности последовательности.

— ности выходной

Функция 8 (в)

по изве т

( ) может быть определена путем измер

. ерении или рассчитана

. вестнои автокорреляционной функции '"см. (1.97)1.

Теорема Парсеваля в фо ме (2.22)

р. ( . ) весьма удобна для предваритель оценки средней мо н

( . ) . рительнои сии вхо

р " щ ости шума Р,р на выходе фильтра

ра по известной диспеходного шума о'„и заданной АЧХ ильт а

ф ° р ().

' в), в силу (2.22), (2.27) и (2.28)

П

+х '+х 'по а

ример 2.18. Пусть на вход цепи с пе

передаточной функцией Н(х) =1+в-'+

а) стационарная случайная последовательность с неко ели ованн

ду собой отсчетами и математическим ожи ан

нулю при ем о' =03

Э Э

б) стационарная случайная последовательность, причем

3 при 0(в(в,;

2 при в1(а(л/Т.

62

В первом случае согласно (2.27) и (2.28) Рвр=о~вых=о~вх'4=1,2. Во втоом случае согласно (2.29) и (2.14)

з1п(и — Ь) а1 Т

т= о в=с

Таким образом, величина Р,р может быть оценена до синтеза фильтра. На рис. 2.13 изображена схема алгоритма определения параметров детерминирова

анных и случайных сигналов на выходе цепи и характеристик цепи.

2.5. ВОСХОДЯЩИЕ И НИСХОДЯЩИЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ

2.5.1. Общие сведения

Восходящей дискретной системой (ВДС) (2.7 — 2.9] называется система, частота дискретизации сигнала на выходе которой выше частоты дискретизации ~ходного сигнала.

Нисходящей дискретной системой (НДС) называется система, частота дискретизации сигнала на выходе которой ниже частоты дискретизации входного сигнала.

Система, в которой увеличение (уменьшение) частоты дискретизации производится в один прием (однократно), называется соответственно простейшей восходящей дискретной системой (ПВДС) и простейшей нисходящей дискретной системой (ПНдС).

Распознанный текст из изображения:

7= Т/л7

х ("Т)

х Фп

~ — 1 Х-~(т "7

а)

Рис. 2.14

Рис. 2.15

,~Х(е' ' ',~'

х(пТ1

.г~~~ ~~ ~„'=Яд~ Ф~ттТ~'=2Я~Т'

(2.30)

а~ =2~1', Т

Рис. 2.16

Рис. 2.17

Х~ ( е~ и т) Х ( е~ О> т т)

или

65

Многократной дискретной системой (МДС) называется система, образованная последовательным соединением дискретных подсистем, работающих с различными (кратными) частотами дискретизации.

Если частота дискретизации последующей подсистемы выше (ниже) частоты дискретизации предшествующей подсистемы, МДС называется многократной восходящей (нисходящей) дискретной системой (МВДС и МНДС).

Частным случаем МВДС (МНДС) является ПВДС (ПНДС), которая содержит лишь одну подсистему.

Каждая подсистема ВДС состоит из элемента, увеличивающего частоту дискретизации — экспандера частоты дискретизации (ЭЧД), находящегося на входе подсистемы, и дискретного фильтра, выполняющего последующую обработку сигнала с выходной частотой дискретизации.

Каждая подсистема НДС состоит из дискретного фильтра, выполняющего предварительную обработку входного сигнала с входной частотой дискретизации, и элемента, уменьшающего частоту дискретизации — компрессора частоты дискретизации (КЧД), находящегося на выходе подсистемы.

При практической реализации ВДС (НДС) операции, выполняемые экспандером (компрессором) частоты дискретизации, часто совмещаются с операциями, выполняемыми дискретным фильтром. Однако при рассмотрении принципов работы ВДС (НДС) целесообразно выделять ЭЧД (КЧД) в отдельный блок.

2.5.2. Экспандер частоты дискретизации

Экспандер частоты дискретизации (рис. 2.14,а), увеличиваюп,ий частоту дискретизации входного сигнала в и раз (т — целое), представляет собой блок, преобразующий входной дискретный сигнал, описываемый решетчатой функцией х(1>Т') (~=0,1,2, ...) с периодом повторения Т',.в выходной дискретный сигнал, описываемый решетчатой функцией х" (пТ) =х*(пТ'1т) (п=0,1,2, ...) с периодом повторения Т=Т'1т по алгоритму 12.10~:

1 и

х ~ — Т'~ при п=О, т, 2т, ...; х"' (пТ) =

0 при других и, т. е. последовательность х "(пТ) получается из последовательности х(~Т') путем ввода (т — 1) -го нулевого отсчета между двумя последовательными входными отсчетами. На рис. 2.15 показаны последовательности х(кТ') и х*(пТ) на входе и выходе ЭЧД при увеличении частоты дискретизации в 3 раза (т=3).

Е-преобразования входного и выходного сигналов ЭЧД тождественны:

Х~ (г) =Х(г'), (2.31) где г=ехр(1вТ); г'=г""=ехр(1втТ).

Спектры входного и выходного сигналов ЭЧД связаны соотношением, получаемым из (2.31):

~~( 12пю) Х( 12п1ИГ6) (2.32")

где и>=в1вд —— вТ/(2п) — нормированная частота. Выходной сигнал ЭЧД х" (пТ), формируемый из входного сигнала х(кТ') по алгоритму (2.30), имеет тот же

спектр, что и входной сигнал. Спектр выходного сигнала пернодичен со «старои» частотой дискретизации в'л =2л1Т', а не с частотой вд =2и1Т, как это обычно имеет место Для сиГналОВ, интерВал дискретизации которых раван Т.

На рис. 2.16 условно показаны модули сгектров входного и выходного сигналов ЭЧД при т = 3.

2.О.З. Компрессор частоты дискретизации

Компрессор частоты дискретизации (см. рис. 2.14,б), уменьшающий частоту дискретизации входного сигнала в т раз -(и — целое), представляет собой ключ, который замыкается в моменты времени 1=птТ+йТ, 1=0,1, ...,т — 1; п=0,1,2,..., т. е. из входного дискретного сигнала, описываемого решетчатой функцией х(пТ), п=О, 1,2, ..., с периодом повторения Т, берется только каждый т-й отсчет, что позволяет получить выходной дискретный сигнал, описываемый решетчатой функцией х">(~Т') =х"'(~тТ), ~=0, 1, 2, ..., с периодом повторения Т'=тТ.

Операция, выполняемая КЧД, часто называется прореживанием, а последовательность х "(кТ') на выходе КЧД вЂ” прореженной.

На рис. 2.17 показаны последовательности х(пТ) и х "(кТ') на входе и выходе КЧД при уменьшении частоты дискретизации в 4 раза (т=4; 1=2).

~-преобразования выходного и входного сигналов КчД связаны соотношением 12.7, 2.9~

1

>и — 1 12п — й ! 12п — ~

Ху,(г')=г~ —,'>; е Хазе ), Ф=О, 1,..., т — 1, (2.33)

1=0

где г=ехр (1 вТ); г'=г"'= ехр (1 втТ), а Х(г) и Х">, (г') — г-преобразования

решетчатой функции х(пТ) и прореженной смещенной решетчатой функции

3 — 89

Распознанный текст из изображения:

В практических случаях, как правило, выбирают й=О. При этом связь между г-преобразованиями выходного и входного сигналов имеет вид

1

т — 1 ( 12д — 1 Х":(г') = — ~ Х ~ ге ).

т 1=0

(2.34)

Соответствующее соотношение для спектров выходного и входного сигналов, получаемое из (2.34), имеет вид

т — 1 1 в Т+12и—

1

х*1е 1= — ~ х (е

т 1 — О

(2.35')

или

Х~ ( 12й тв) ~1~ Х т

(2.35")

1) 8,а/

1,~ ~=1

Из (2.35) видно, что спектр выходного сигнала есть сумма спектров входного сигнала, сдвинутых относительно друг друга по оси частот а на величину 2и/(тТ). На рис. 2.18 условно показаны модули спектра входного сигнала (рис. 2.18,а) и составляющих спектра выходного сигнала (рис. 2.18,б) КЧД при уменьшении частоты дискретизации в 3 раза (т=З).

Х (е' ) при 1а~~ 1—

тТ 1

Х;(е в'~) =

(2.38)

0 при ~ ~~ — (1 [

тТ тТ 1

) соответствуют верхнеи (а>0) и нижнеи (а(0) по лосам 1 го спектРа В форм1че (236) [ 1 означает наибольшее целое чисто не пРевышающее заданного числа верхний индек + (Х+ )

екс « » ( ~) соответствует четным 1, а «минус» (Х вЂ” ~) — нечетным 1.

Смысл фо м лы (2.36) сост

ф р у ( . ) оит в следующем. Если основной спектр входного сигнала КЧД условно разбить на т составляющих

их, занимающих т полос на оси частот шириной л/(тТ) [см. (2.37), (2.38)1, то после уменьшения частоты дискретизации в т раз в основную полосу частот [О, /( ТЯ

а~[, л/(т )1 выходного сигнала попадают прямые спектры Х+~( ) четных составляющих (1=0,2, ...) и инверсные спектры Х ~( ) нечетных составляющих (1=1, 3, ... )

( =,, ... ) входного сигнала.

На ис. 2.

Рис. 2.18 показана графическая интерпретация формулы (236) п и

Уменьшении частоты дискретизации в 3 раза (т=3). С р й нал

условно разбит на т=З составляю их (Х~ Х+, Х+

т= . пектр входного сйгнала

ственно частотные диапазоны ~а| = О, —, — '-2 — 2—

После уменьшения частот

ты дискретизации в 3 раза в соответствии с (2.36)

в основйой полосе частот спектр выходного сигнала имеет вид

1

1а Т+1—

. 2л

Хв( ~втт) Х+( 1аТ) ~ Х+

0 Г~~тпт 22Тф7т ' т~~~пт Ьт~гпТ=Кг~Т

ф

Рис. 2.18

в ( 1в т Т) — — '~~ ~Х вЂ” е

1=0

| т — 1~

1 '

2 1о Т+12и — ~

Хф е

1=0

(2.36)

Х21 11 е

1=1 )

где Хс(е1ат) — 1-я составляющая спектра входного сигнала, занимающая полосу

т~ л

частот ~~а~я~1 —, (1+1) 1:

тТ тТ 1

Х(е Т)=~ Х1(е "Т)= ",~, (Х+~(е'" )+Х~ (е'" )) (237)

1=0 1=0

66

В основной полосе частот а~[0, л1'(тТ)1 спектр выходного сигнала КЧД

определяется как [2.1Ц

ставляющие Х+ (.) Х+

1 выходного сигнала попадают

в ', 2( ) при 1=0,2 и Х (.) при 1=1.

Наложение спект ов п

р ри уменьшении частоты дискретизации отсутствует

если спект вхо

р диого сигнала занимает только одну из полос частот

У

т — 1 ю

( ~итТ) '~' ~ ( Т) — в Т

т

1=0 п=0

(2.40)

где ~т (и Т) = х (и Т) ех р ( — 12л — п) .

рис. 2.19

Формуле (2.40) соответствует эквивалентная схема КЧД показан

)

ная

на

Л

тТ

г — Т ~ а ~~ (г+ 1), г = О, 1,..., т — 1 .

тТ (2.39)

Условие (2.39) со о тветствует обобщеннои теореме Котельникова, устанав ливающей связь меж

[Щ.

ду ширинои спектра и частотои дискретизации си а а

л

мы сме

Выражение для спектра выходного сигнала КЧД (2.35) с помощь

г . с помощью теоресмещения преобразуется к виду [2.111

Распознанный текст из изображения:

Рис. 2.19

у(пТ)

У, (1)т Т)

ПВДГ'

у('и Т)

)T (х)

У(х)

Г

!

х(УТ) = х(йттТ) ~

х (пТ)

Х (б

Х(гт) !

а)

Рис. 2.21

у(пТ) =,. п)х~(п Т вЂ” 1Т), 1 О

(2АЗ)

Рис. 2.20

68

69

2.5.4. Простейшие восходящие дискретные системы

Простейшая восходящая дискретная система представлена на рис. 2.20,а. Входной дискретный сигнал х(чТ') =х(~тТ), ~=0, 1, 2, ..., с интервалом дискретизации Т'=тТ поступает на ЭЧД, увеличивающий частоту дискретизации в т раз по алгоритму (2.30). Выходной сигнал у(пТ), п=О, 1, 2, ..., ПВДС получается в результате обработки сигнала х"(пТ) дискретным фильтром с передаточной функцией Н(г), г=ехр(ЪТ), и импульсной характеристикой Ь~= =Ь(1Т), работающим на «высокой». частоте дискретизации выходного сигнала (с интервалом дискретизации Т) .

Л-преобразования выходного и входного сигналов ПВДС связаны соотноше- нием

у (з) = Х (г~) Н (з) . (2.41)

Эквивалентная схема (ЭС) ПВДС показана на рис. 2.20,б. Входным сигналом ЭС является входной сигнал ПВДС х(кТ') с интервалом дискретизации

Т'=тТ. Эквивалентная схема содержит т параллельных ветвей, в каждой из которых находится дискретный фильтр с передаточной функцией Н*~(з ), й= =О,1, ...,т — 1, работающий с интервалом дискретизации входного сигнала Т'. Выходные сигналы фильтров представляют собой дискретные последовательности с интервалом дискретизации Т'. На выходе дискретного фильтра й-й (й= =О, 1,...,т — 1) ветви находится элемент задержки на й интервалов Т (интервалов дискретизации выходного сигнала ПВДС). Сдвинутые относительно друг друга последовательности у~(чтТ+ИТ) складываются в сумматоре, образуя выходной сигнал ПВДС у(пТ).

Преобразование ПВДС в ЭС (см. рис. 2.20) осуществляется следующим образом [2.12, 2.9]. Выходную последовательность ПВДС у(пТ) с периодом дискретизации Т можно представить в виде суммы т последовательностей у1,(ктТ+ЙТ) с периодом дискретизации Т'=тТ, сдвинутых относительно друг друга на интервал Т (рис. 2.21):

т — 1 т — 1

у (пТ) = ~! рь И (~ Т' + Й Т) ~ ~ ~ь уь (у т Т+ ьТ) (2 42)

~о ~о

где ~=[п)т~); ~ь=1 при А=п(гпос( т) и ~~=0 при других А; [А) означает

целую часть числа А; А(п1ой В) означает число А по модулю В.

Таким обпазом о счет последовательности у(пТ) для фиксированного и определяется только одной из последовательностей у~ (~тТ+йТ) при Й= . =п(п1ой т).

Поскольку

.де )н — отсчета. импульсной характеристики фильтра ПВДС с передаточной

Функцией Н(я), а уь(плТ+УгТ) =у((~т+сг) Т), из (2.43) имеем

ут+ь

уь (~:т Т+АТ) = ~~ Ь; х (~~т Т вЂ” (1 — й) Т).

1=о

Распознанный текст из изображения:

Так как х*(пТ) ФО только при 1=И, т+Ь, 2т+Ь, ..., а х*(~тТ) =х(чтТ),

из (2.44) получаем

у» (~т Т+ууТ) м4 )' И»+утх((~ — 1) т Т). (2.45)

1=0

Уравнение (2.45) можно интерпретировать следующим образом: каждая из последовательностей у»(ьтТ+ЬТ) есть результат фильтрации входного сигнала ПВДС с дискретным фильтром с импульсной характеристикой Ь*»;= =Ь»+у, 1=0, 1, 2, ...

Уравнение, описывающее ЭС во временной области, получается после подстановки (2.45) в (2.42):

.=Ь,+, уу=О, 1, ..., т — 1; 1=0, 1,2,. ° .

На рис. 2.22 показаны отсчеты импульсной характеристики Ьу фильтра

ПВДС (т=4) и отсчеты импульсных характеристик фильтров Ь"»у в четырех

параллельных ветвях ЭС.

~ ууу

уу у 2 5 Ф' б б 7 8 р ууу уу у2 уб 14 УУтфу

у+Фу

Рис. 2.22

Передаточная функция фильтра в Ь-й параллельной ветви ЭС определяется как

(2.47)

т — 1 12п — » 12 Я вЂ” 1

у у

Н» (гт) =г — я'. е Н 1~г е

т у=о

где Н(г) — передаточная функция фильтра в исходной ПВДС.

70

д(пТ)=~' Ь~ Ь»'у х((~ (2.46)

»=о 1=0

где ~= [пут]; Р»= 1 при Ь= (п)упор т и р»=0 при других Ь. Уравнению (2.46) соответствует ЭС ПВДС (см. Рис. 2.20,б).

Отсчеты импульсной характеристики Ь":», у, 1=0, 1, 2, ..., дискретного фильтра в Ь-й (И=О, 1, ..., т — 1) ветви ЭС есть отсчеты импульсной характеристики Ьь 1=0, 1, 2, ..., фильтра в исходной ПВДС (см. Рис. 2.20,а), взятые через т — 1 отсчет:

Ри ед . 9. Рассматривается ПВДС (см. Рис. 2.20,а), содержащая ЭЧД, увеличивающий частотУ дискретизации входного сигнала в т=4 раза, и ди кретный фильтР, построенный по нерекурсивной структуре с передаточной функцией Н(г) = Х Ьрг-р.

р==о

Эквивалентная схема ПВДС (см. Рис. 2.14,6) содержит четыре параллельные ветви (И=О, 1, 2, 3). Уравнение, описывающее ЭС и получаемое из (2.46), имеет вид

з

У( Т) Х:Р»х Ь 1 (( — 1)ЗТ) °

»=о 1=о

Передаточные функции фильтров в ветвях ЭС определим из (2.47). Для

фильтра в первой ветви (И=О) имеем

3 1у 12 п — '1 14 3 — 12уу — р

у

Н (г4) = — ~~, Н ~ге / = —,'~, 'Ирг Р ~е

4 у=о 4 р=о у=о

Поскольку

4прир=0,4,8,

~е

у=о 0 при других р,

ууолучаем

з

НО(г') = Х Ь41 'у.

1=0

Для фильтра во второй ветви (И=1)

у: . у

3 12п.— у' 12п

Н1 (г4) = г,~, 'е Н ~г е

410

3 12уу — ур 11 3

ХЬрг ~~~ е =- ~~ Ь ° г 41

=О у=о

Аналогично определяются передаточные функции фильтров в третьей и четвертой ветвях (И=2 и Ь=З);

з 2

Н (г4)=~ Ь2 1г~у; Нз(г4)= )~ Ьз .г

/=0 у=о

При нерекурсивной структуре исходного фильтра в ПВДС, для которой отсчеты импульсной характеристики являются коэффициентами передаточной функции, передаточные функции фильтров в ветвях ЭС легко определяются и без использования (2.47) по формуле

Н»(г )= ~ Ь»+ г — тУ р

у=о

где Л' — по

порядок передаточнои функции исходного фильтра ПВДС ( рис. 2.22).

При Рекурсивной структуре исходного фильтра в ПВдС передаточные функции фильт

ф ров в ветвях ЭС определяются либо по (2.47), либо с помощью алгоритма, описанного в 12.121.

71

Распознанный текст из изображения:

(. (г)

й=Р

х(1

!

!ус=п7-у

!

Н~,(г~~

1 а! у,,„при у=О, т~, 2т,; ,ьт, 0 при других у',

(2.5Ц

Рис. 2.23

Н (г~)=~', а;г ~'У=~~ а .г у=о у=о

Рис. 2.24

Я (г) = Х ( г~' ~') Н1 ( г~') Н~ (г).

72

(2.48)

73

Модификации эквивалентной схемы ПВДС ~2.81 показаны на рис. 2.23. В структуре на рис. 2.23,а введение (т — 1) сумматора на два входа приводит к использованию элементов задержек только на один интервал дискретизации Т. В структуре на рис. 2.23,б (в коммутационной структуре) коммутатор играет роль множителя ~~ в (2.46), подключая последовательно через интервал Т выходы фильтров в ветвях ЭС к выходу схемы, начиная с ветви для 1=0.

2.5.5. Многократные восходящие дискретные системы

Многократная восходящая дискретная система, состоящая из двух подсистем, показана на рис. 2.24. Первая подсистема состоит из ЭЧД, увеличивающего частоту дискретизации входного сигнала х(ут~т~Т), 1=0, 1, 2, ..., МВДС

ууИсис)пят! ( Пя~снптима Т

!

х((т пъ,Ту! ~ х Ф~~Ту уу(.~)~ !У~(~~~~ ! ь У ~~~~ уу (г)

у(~~та~~~ ! у у,=(г~~ ~ !'у(гаггу ! ! 'г' (П ! я(гу

1

в т~ раз, и дискретного фильтра с передаточной функцией Н~(г"') =

ОО

= 2; а~,;г- У (г = ехр (ЪТ) ), где а1,; — отсчеты импульсной характеристики

у=о

фильтра, работающего с интервалом дискретизации т~Т. Вторая подсистема состоит из ЭЧД, увеличивающего частоту дискретизации выходного сигнала у(от~Т), о=О, 1, 2, ..., первой подсистемы в т~ раз, и дискретного фильтра с передаточной функцией Н~(г) = ~ а~,;г-У(г=ехр(иоТ)), где аз,; — отсчеты

у=о

импульсной характеристики фильтра, работающего с интервалом дискретизации Т.

Я-преобразования выходного и входного сигналов МВДС связаны соотно- шением

Спектры выходного и входного сигналов МВДС связаны соотношением, получаемым из (2.48) путем подстановки г=ехр(1вТ):

Я ( е' ~ г) = Х ( е' " ~п' ~' г) Н ( е' ~' т) Н, ( е' " г).

Эквивалентная схема 1 (ЭС1), сводящая МВДС к ПВДС, показана иа рис. 2.25. Она состоит из ЭЧД, увеличивающего частоту дискретизации входного сигнала х((т~т~Т) МВДС в т=т~т~ раз, и эквивалентного фильтра Н~, работающего на частоте дискретизации

выходного сигнала МВДС. Передаточ- р.(пТу + у~утТу ная функция эквивалентного фильтра в

Х(г т'2у Р(г)

ЭС1 имеет вид

Рис. 2.25

Н*(г) =Н1 ( г ') Н, (г). (2.49)

Импульсная характеристика Ь"'~=~Р(1Т) эквивалентного фильтра в ЭС1 оп. ределяется как

1

"~=1 а~ у а~ у — у (2.50)

где а~, — отсчеты импульсной характеристики фильтра второй подсистемы, а

где а~, „— отсчеты импульсной характеристики фильтра первой подсистемы. Уравнение (2.50) получается из (2.49) с использованием теоремы свертки, если передаточную функцию Н1(г"' ) фильтра первой подсистемы представить в виде

где а*1,; определяются (2.51).

Таким образом, импульсная характеристика эквивалентного фильтра в

ЭС1, работающего на частоте дискретизации выходного сигнала МВДС, пред-

ставляет собой свертку импульсной характеристики а~, „, п=О, 1, 2, ..., фильт-

ра второй подсистемы и вспомогательной импульсной характеристики а*~,

а=О, !, 2, ..., образуемой из импульсной характеристики а~, „фильтра первой

подсистемы по алгоритму (2.51), т. е. путем ввода (т~ — 1) -го нулевого от-

счета между каждой парой отсчетов характеристики а1,

Пример 2.20. Рассмотрим МВДС (см. рис. 2.24) при т1 — — т~ — — 3, причем

фильтры подсистем являются однородными НФ (все коэффициенты однородно-

2 2

го НЦФ равны 1) с передаточными функциями Н1(г') = 2' г-~у и Н~(г) = Е г-~.

у=о у=о

Импульсные характеристики фильтров а,,„=а,,„=(1, 1, 1). Вспомогательная

импульсная характеристика в соответствии с (2.51) равна а*и =(1, О, О, 1, О,

1). Импульсная характеристика эквивалентного фильтра ЭС1 определяется

(2.50) и равна й"ч=(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, Ц.

Эквивалентная схема 11 (ЭС11), сводящая МВДС к ЭС ПВДС (см. 2.5.4

" Рис. 2.20,б), показана на рис. 2.26. Она получается в результате преобразоЭС1 МВДС, аналогичного преобразованию ПВДС в ЭС, описанному в

2.5.4.

Распознанный текст из изображения:

Н" (г)= ПН. 1,г ~)

(2.52)

Р

К()=Х(, )ПН ~, ! ).

х 1

'Пп1ст77й~т! ~

!

!

!

'!ПЮтсптма р-!'

!

777 Т!

77777 / 1 ~ т„) 1У 1(А777

! !

1 Л

(ЪА77с,т7сма р

! !

!)7(7717

УР (х)

!

1

(2.53)

Рис. 2.27

74

Эквивалентная схема ПМВДС содержит т=т7т~ параллельных ветвей, в каждой из которых находится дискретный фильтр с передаточной функцией

1

( . 1

т т~ 12л — 77 ( 12л — ~

* ( т т ) 77 ~1 т1т~ „,~ т,т~

т1тз 1 — о

где Н*(а) — передаточная функция эквивалентного фильтра в ЭС1, определяемая (2.49), и импульсной характеристикой Ь*;, 7„отсчеты которой есть отсчеты импульсной характеристики Ь"'7 эквивалентного фильтра в ЭС1, взятые через т,т~ — 1 отсчет (Ь"7,,;=Ь":7,+;..т„(=0, 1, ...; Ь=О, 1, ..., т~т,— 1).

Рис. 2.26

Уравнение, описывающее ЭСП МВДС во временибй области, имеет вид

т,т, — 1

У (пТ) = ~ Рь ~~ Ь~+1т т х ((~7 — () т1 тд Т),

ь=о

где Р= [п(т]; р7,=1 при Ь=п(гпой т1т~) и ~д=О при других Ь; 1А1 означает целую часть числа А.

Модификации ЭСП МВДС имеют вид, аналогичный показанному на рис. 2.23.

Многократная восходящая дискретная система, состоящая из р подсистем, показана на рис. 2.27. Каждая х-я (к=1, 2, ..., р) подсистема содержит ЭЧД, увеличивающий частоту дискретизации входного сигнала х-й подсистемы в т„ раз, и дискретный фильтр с передаточной функцией Н.(г 1"х), где

Р х

т= Пт7,а и7х=Пт

М=1 А=1

2-преобразования выходного и входного сигналов МВДС связаны соотно- И1ЕНИЕМ

Спектр выходного сигнала МВДС определяется как

т

Р ( 1в — Т~

1 (е'"т)=Х(е'"тт) П Н„~е " ).

х=1

Передаточная функция эквивалентного фильтра в ЭС1 МВДС определяется

аналогично (2.49):

и $

Импульсная характеристика Ь*7, 1=0, 1, 2, ..., эквивалентного фильтра в ЭС1 МВДС определяется аналогично (2.50) как свертка вспомогательных импульсных характеристик Ь*,, ь (=О, 1, 2, ...; х=1, 2, ..., р, где

— х, 1их/т > х>

Ь . при (=О, т/и7, 2т/в„, ...;

0 при других (,

— импульсная характеристика фильтра х-и подсистемы (и†, , , ...)

,а=О 1 2

х,л

Ь',=ЬР !-ЬР 1,*...*Ь1 ..

(=(=О, 1, 2,...

Передаточная функция фильтра в Ь-й (Й=О, 1, ..., т —, вет и

т —., ветви ЭСП определяется аналогично (2.47), где в качестве Н( ) в правой части уравнения надо рассматривать передаточную функцию эквивалентного фильтра в ЭС1 МВДС.

2.5.6. Простейшие нисходящие дискретные системы

П остейшая нисходящая дискретная система представлена на р с.

и . 2.28и.

Р

Входной дискретный сигнал х(пТ) с периодом дискретизации Т обрабатывается дискретным фильтром с передаточной функцией Н(г) (г=ехр(!аТ)) и импульсной характеристикой Ь7=Ь((Т), (=О, 1, 2,... На выходе фильтра стоит КЧД, уменьшающий частоту дискретизации выходного сигнала фильтра у(пТ)

нал ",1Т', = ~,ттТ, в т раз, в результате чего формируется выходнои сигнал у,, — у ~7=0, 1, 2, ..., с периодом дискретизации Т'=тТ.

~-преобразования выходного и входного сигналов ПНДС связаны соотно- шением

т — 1 ( 12л — ! ( 12л.—

У*(гт)= — ~ Х!ге ) Н ~ге

т 1=0

Действительно, У(з) =Х(з)Н(я) и, используя (2.34), получаем (2.52). Спектр выходного сигнала ПНДС определяется как

1> » Т+12л ! ( 1Н Т+1 'л—

>>> > >> ~ >1> !и

т

Выходная последовательность у "(ттТ) определяется уравнением, описывающим ПНДС во временнбй области:

Распознанный текст из изображения:

х(аТ) !

Г

!

!

х(п Т/

ПНДС ~

УР~~7, ~ У (МАТ)=у б/Т?

У(х) ~' ~ у+ х лу

!

' а) '

х (йлТ,'

Н(х)

Х(х)

1

х,(ж

хх Мт7 Т!

СС /7НДС

Рис. 2.29

Рис. 2.28

76

ит

у"' (~ Т') = у~ (~ т Т) = ~~ Ь. х (ктТ вЂ” ~' 7),

~'=о

~ = О, 1, 2,..., (2.54) где й; — импульсная характеристика дискретного фильтра ПНДС (1=0, 1, 2,...).

Эквивалентная схема ПНДС показана на рис. 2.28,б. Входным сигналом ЭС является входной сигнал ПНДС х(пТ) с периодом дискретизации Т. Схема содержит т параллельных ветвей обработки сигнала. В й-й ( А=О, 1, ..., т — 1) ветви находятся последовательно включенные элемент задержки на Й интервалов Т (периодов дискретизации входного сигнала ПНДС), КЧД, уменьшающий

частоту дискретизации входного сигнала в т раз, и дискретный фильтр с передаточной функцией Н'~(з ), работающий с интервалом дискретизации выходного сигнала Т'. Выходные сигналы фильтров складываются в сумматоре, образуя выходной сигнал у*(~тТ) ПНДС. На рис. 2.29 показаны отсчеты входного сигнала х(пТ) с интервалом дискретизации Т и входных сигналов фильтров х*~(ктТ), т=3, А=О, 1, 2, с интервалом дискретизации Т'=тТ, полученные уменьшением частоты дискретизации в 3 раза задержанной на Й интервалов Т последовательности х(пТ). Отметим, что отсчеты последовательностей х*~(~тТ) для фиксированного значения ~ поступают на входы фильтров в один и тот же момент времени 1=чтТ.

Преобразование ПНДС в ЭС (см. рис. 2.28) осуществляется путем приведения уравнения (2.54) к виду

ш — 1

у~ (у т7) = ~ ~, 11~ 1Т~~ х ((У вЂ” !) т 7 — 7) . (2. 55)

~о у=о

аналогично тому, как было выполнено для ПВДС.

Уравнение (2.55), описывающее ЭС ПНДС во временнбй области, можно

интерпретировать следующим образом: выходная последовательность у*(~тТ)

ПНДС есть сумма т последовательностей у~,(ктТ), й=О, 1, ..., т — 1, каждая

из которых есть, в свою очередь, результат фильтрации последовательности

х*ь(чтТ) =х(птТ вЂ” пТ) дискретным фильтром с импульсной характеристикой

Ь*», ~=1~й+1~л, 1=0, 1, ".

Отсчеты импульсной характеристики й*~,;, 1=0, 1, 2, ..., дискретного фильтра в А-й (А=О, 1, ..., т — 1) ветви ЭС есть отсчеты импульсной характеристики йь 1=0, 1, 2, ..., фильтра в исходной ПНДС (см. рис. 2.28,а), взятые через т — 1 отсчет:

~ь, 1 ~й+ут ~

й=О, 1, ...,т — 1; 1=0,1,2,

Передаточная функция фильтра в А-й параллельной ветви ЭС определяется аналогично ЭС ПВДС по формуле (2.47).

Простейшая НДС не инвариантна к временнбму сдвигу и имеет т различных импульсных характеристик Й*д; (реакций системы на входную последовательность вида б-функции). Это видно из (2.54) и рис. 2.28,б.

Модификации эквивалентной схемы ПНДС аналогичны модификациям ЭС ПВДС (см. рис. 2.23) и описаны в [2.81.

2.5.7. Многократные нисходящие дискретные системы

Многократная нисходящая дискретная система, состоящая из двух подсистем, показана на рис. 2.30. Первая подсистема содержит дискретный фильтр с передаточной функцией Н,(г) = ~ а1,,г — ~ (где з=ехр(1вТ) и а~,; — отсчеты

)=о

импульсной характеристики фильтра), работающий с интервалом дискретизана выходе которого стоит КЧД, уменьшающий частоту дискретизавыходного сигнала в т, раз. Вторая подсистема содержит фильтр с пе-

Распознанный текст из изображения:

редаточной функцией Н,( ,) — Й~, гг- ' (где а~, 1 — отсчеты импульсной хау=о

рактеристики фильтра), работающий с интервалом дискретизации т~Т, на выходе которого стоит КЧД, уменьшающий частоту дискретизации в тз раз. В результате формируется выходной сигнал МНДС г"'(тТ') =г'(~т~тгТ) с периодом дискретизации Т'=т~т~Т.

,%%сатемсг 1

Г

у~ 77 У (1,~~

! к

Х„1 ~ ~ Й) 1у»(2-

Н~(~! ~т1

1

Лаасиса7еми Я

!

~(Фа~,(~ ~

ЯЙ~',1

1, М77 777гт/ ~Я (х ~ ~Р

Рис. 2.80

Е-преобразования выходного и входного сигналов МНДС (см. рис. 2.30)

связаны соотношением

и +пз, р

',1Х

р=о р=о .

12л—

ХН, г~'е '/.

Спектры выходного и входного сигналов МНДС связаны соотношением,

получаемым из (2.56) подстановкой в=ехр(1 вТ):

т,— 1 т,— 1 / 1 а Т+12л

Ш'И

Х

а;р=о р=о

1вТ+12л 1от, Т+12и—

и+та Р

ХН е ' Н е

Н*() =Н (г) Н,(а ') (2.57)

Импульсная характеристика Ь*1=Ь~(1Т) эквивалентного фильтра в ЭС1 определяется как

1

2,! 1,1 — !) (2.58)

1=о

где а~, ~ — отсчеты импульсной характеристики фильтра первой подсистемы;

Эквивалентная схема ЭС1, сводящая МНДС к простейшей НДС показа!

на на рис. 2.31. Схема состоит из эквивалентного фильтра Н~, работающего на частоте дискретизации входного сигнала МНДС и КЧД,

и ~, уменьшающего частоту дискретизации выходного сигнала х(лТ) «Р~п77, ~ (~"7.а'г "7 р(пТ) эквивалентного ф .

,Ч (г/

«

тного чильтра в т=

РЮ Л (х "о~4 =и1~шг Раз.

Рис. 2.81

Передаточная функция эквивалентного фильтра в ЭС1 имеет вид

где а~, — отсчеты импульсной характеристики фильтра второй подсистемы.

Уравнение (2.58) определяет импульсную характеристику Ь*~ эквивалентного фильтра в ЭС1, работающего на частоте дискретизации входного сигнала

м НДС, как свертку импульсной характеристики а~, „, п=О, 1,,..., ильтра

:В

первой

ой подсистемы и вспомогательной импульсной характеристики а ~, „, и — О, 1, 2, ..., образуемой из импульсной характеристики а~, „фильтра второй подсистемы по алгоритму (2.59), т. е. путем ввода (т~ — 1) -го нуле

евого отсчета между каждой парой отсчетов характеристики а~,

Алгоритм определения импульсной характеристики ЭС МНДС аналогичен соответствующему алгоритму для МВДС и может иллюстрироваться приме-

4

Выходная последовательность г*(юп~т~Т) определяется уравнением, описывающим ЭС МНДС во временнбй области:

ут,т,

(2.60)

1=О

где Й*1 1=0 1, 2, ..., — импульсная характеристика эквивалентного фильтра,

! У

определяемая (2.58).

Пример 2.21. Рассмотрим качественный пример, показывающий, как преоб-

разуется спектр входного сигнала в МНДС (см. рис. 2.30), использующей не-

(2.59)

1 а2 7 при 1=0, ть 2ть ...,

из

1

0 при других 1,

Рис. 2.82

79

Распознанный текст из изображения:

дискретизации выходного сигнала

««о т+!1 11 ~" 1'!

1 2««П+11 ~

4

1=о

1 [ . «ит — 1

У .. «« '!

— — р+ ( ' «г Т) + р — ~

4 ( о

Рис. 2.83

/

!в Т+! — !

+Р «е 2 1~ р — ( от — г«)

/

81

80

Мг

рекурсивные фильтры с передаточными функциями Н«(г) = ~ аь;г — 1 и Нг(г') =

у=о

/1' г

= ~~. аг,у(г') 1 (ГдЕ г'=г ) И ЛИНЕЙНЫМИ фаЗОВЫМИ ХараКтЕрИСтИКаМИ Прн т«= у=о

=2 и т2=2. Подобные системы могут решать, например, задачу выделения из сигнала с широким спектром, занимающим диапазон [О, яуТ~1, узкополосного сигнала с шириной спектра п(т«т2Т с одновременным понижением частоты дискретизации выходного сигнала по отношению ко входу в т=т«т2 раз (см. равд. 7). На рис. 2.32,а условно показан модуль спектра входного сигнала х(пТ) системы (см. рис. 2.30). Спектр входного сигнала периодичен с частотой «о =2г«(Т. Амплитудно-частотная А,(и) и фазочастотная «р1(а) характеристики фильтра первой подсистемы, периодичные с той же частотой «о/«=21тУТ, показаны на рис. 2.32,б и в соответственно. Для фильтра второй подсистемы А2(«о) и «р2(«о) изображены на рис. 2.32,г и д соответственно. Эти характеристики периодичны с частотой дискретизации и'/«=2пУ(т«Т) =г«УТ.

Преобразуем МНДС в ЭС1 (см. рис. 2.31). Передаточная функция эквивай, Жг

лентного фильтра в соответствии с (2.57) Н* (з) = ( Х аьуз-У) ( Х а2,1з- 1), а

у=о ' у=о '

импульсная характеристика Ь*ь определяемая (2.58), есть свертка последовательностей (аьо, .а«,«, ..., .а«,«/ ) и (аз,о, О; аул, 0; ...; а2,««11 0; а2««). На

1

рис. 2.32,е и ж изображены АЧХ А*(и) и ФЧХ «р*(и) эквивалентного фильтра. Из (2.57) видно, что А"'(в) =А«(а)А2(а), а «р*.(«о) =«р«(«о) +«р2(а). В результате фильтрации входного сигнала эквивалентным фильтром его выходная последовательность р(пТ) имеет спектр, определяемый АЧХ и ФЧХ эквивалентного фильтра Р (е««~т) =Х (е««от) Н (е««о*) . Так, если ! Х(е««~т) ~ = сонары для «о«1= ~[0, 1тУТ1, модуль спектра Р(е«ит) на выходе эквивалентного фильтра имеет ту же форму, что и А*(«о).

В результате уменьшения частоты дискретизации выходного сигнала эквивалентного фильтра в т=т!т2=4 раза спектр выходного сигнала системы в основной полосе частот ае=[0, п((4ТЦ всоответствии с (2.36) есть сумма четырех составляющих:

Составляющую спектра при 1=0 можно рассматривать как спектр полезного сигнала. Она представляет собой составляющую спектра входного сигнала Хо(е«оэт) [см. (2.37)], измененную в соответствии с АЧХ и ФЧХ эквивалентного фильтра. Модуль спектра составляющей Р,(е«о~т) показан на рис. 2.32,з. Составляющие спектра Р— «( ° ), Р+2( ) и Р-э( ) следует рассматривать как помехи, искажающие спектр Ро(е«о~т) полезного сигнала. На ис. 2.32, и, к, л показаны соответственно модули спектров Р—,(.), Р+2( ° ) и -г( ). В полосу частот попадают составляющие Х-«(.), Х+2( ° ) и Х вЂ” г( ) спектра входного сигнала, измененные в соответствии с АЧХ и ФЧХ эквивалентного фильтра на данных интервалах (см. рис. 2.32).

Эквивалентная схема ЭСП МНДС, сводящая МНДС к ЭС ПНДС (см.

2.5.6), получается в результате преобразования уравнения (2.60), описывающего ЭС1 МНДС (т. е. простейшую НДС), к виду

/«'г пгг

х ((~ 1) /и т2 Т вЂ” ЬТ)—

/пд тг — 1 Р

~)~, Ь х((ъ — у) т1 т2 Т вЂ” ЬТ).

ь=о у=о

В качестве ЭСЦ МНДС можно рассматривать схему, показанную на рис. 2.28,б, где //«=т«т2.

Для определения передаточной функции Н"«,(г"" "' ) фильтра в Ь-й (Ь=

1, ..., т«т~ — 1) параллельной ветви ЭСП необходимо вначале определить передаточную функцию Н*(з) эквивалентного фильтра в ЭС1 по (2.57). Тогда Н~ь (г """г) определяется по формуле (2.46), в которой т=т«т2, а в качестве Н( ° ) надо рассматривать Н*(г) — передаточную функцию эквивалентного фильтра в ЭС1 МНДС.

Отсчеты импульсной характеристики Ь":/,,„1=0, 1,2, ..., дискретного фильта в Ь-й (Й=О, 1, ... т«т2 — 1) ветви есть отсчеты импульсной характеристики Ь*, 1=0, 1,2, ..., эквивалентного фильтра в ЭС1, определяемой (2.58), взятые чеь

рез т«т2 — 1 отсчет (Ь"'~,; =Ь*«,+1,„, у =О, 1, 2, ... ) .

Многократная нисходящая дискретная система, состоящая из р подсистем, показана на рис. 2.33. Каждая х-я (х=1,2,...,р) подсистема содержит дискретный фильтр с передаточной функцией Н„(» /!'х), где т=- П т„, р„=

х =1

Р

= П т/„и КЧД, уменьшающий частоту

1«=х

фильтра х-й подсистемы в т„раз.

!7,"йлсп-ему /: ' !/Мяс///смир-Т ! ПИсис///емар ! ! ! Е //гт/т гт ~ ! !у~(/Ут, //' ! '~~-'~-~' !уД ~~ т' ! У (от? У вЂ” ууууу '7~

! ! ! 1

Передаточная функция эквивалентного фильтра в ЭС1 МНДС определяется

аналогично (2 о7)

Р

Н" (г)=- П Нх1г У.

у //гу!«. 1

х=!

Импульсная характеристика Ь"'ь 1=0, 1, 2,..., эквивалентного фильтра в ЭС1 МНДС определяется аналогично (2.58) как свертка вспомогательных импульсных характеристик Ь":.,;:

Ь! Ь1,у Ь2,1' ' ' 'Ьр, уг

у=,'=О, 1, 2...; х=1, 2,..., р, где

Ш Ш

при 1=0,

Ь.

х, /

0 при других у;

х ь — импульсная характеристика фильтра х-й подсистемы.

Распознанный текст из изображения:

Передаточная функция фильтра в й-й (1=0,1,...,т — 1) ветви ЭСП определяется аналогично (2.46), где в качестве Н( ) в правой части уравнения надо рассматривать передаточную функцию эквивалентного фильтра в ЭС1 МНДС.

Таблица 3.2

3. ЭФФЕКТЫ КВАНТОВАНИЯ СИГНАЛОВ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЫРАХ

3.1. ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

3.1.1. Основные определения

Таблица 3.1

Основание СС

Символы

2 О, 1

8 О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

10 О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

О, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, А, В, С,Р, Е, Р

Любое число А можно представить в виде разложения по степеням основания ПСС:

(а рл ~ а рп-1 ~ ~ а р1~ а"ре

+а ~р +...+а,„р +...).

(3. 1)

где а; — символы, используемые в данной ПСС. Число А в СС с основанием р

записывается в виде последовательности символов а,:

А<д1 — ~а„а„~...а1 аа, а ~...а,„... (3.2)

Каждый символ а; занимает одну позицию в записи числа, называемую разрядом. Коэффициент р' при символе а; называют весом (весовым коэффициентом) 1-го разряда. В табл. 3.2 приведены значения весовых коэффициентов для двоичной СС (р=2).

Под системой счисления (СС) понимается способ представления чисел с помощью символов, имеющих определенное количественное значение.

Позиционной (ПСС) называется система счисления, в которой количественное значение каждого символа определяется еще и местом (позицией), занимаемым данным символом в записи числа.

Основанием р позиционной СС называется число различных символов, иснользуемых в данной ПСС.

В табл. 3.1 приведены символы, используемые в двоичной (р=2), восьмеричной (р = 8), десятичной (р = 10) и шестнадцатиричной (р = 16) системах счисления.

Пример 3.1. Запишем число А=25,8125~|о> в различных системах счисления,

используя (3.1) и (3.2):

двоичная СС:

А 1 24 12в(022 ~021+12а~ 1 2 — 1~12 — 2~02 — 3~12 — 4.

А<~> — 11001, 1101;

восьмеричная СС:

А=3 81+1 8о+6 8 ~+4 8

А1з1 — 31,64;

шестнадцатиричная СС:

А= 1 ° 161+9 16е+Р 16

А<„, — 19,Р.

Как правило, в устройствах цифровой обработки сигналов числа представляются в двоичной системе счисления.

3.1.2. Перевод чисел из одной ПСС в дрУгУто

Перевод чисел из одной ПСС в другую осуществляется в соответствии со следующими алгоритмами.

Алгоритм подстановки. Для перевода числа А< ~ из ПСС с основанием

Р1

Р1 в ПСС с основанием р2 необходимо в представление числа А;„1 в виде (31) подставить значения основания р и разрядов а;, записанные в ПСС с основанием р2, и вычислить полученную сумму произведений.

Пример 8.2. Перевод двоичного числа А<21 — — 1011,01 в десятичную систему счисления.

А(1 ) — — 1 2 +О 22+1 2~+1 2е+О 2 ~ -+ 1 2 2 = 11,25.

83

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16 384 32 768 65 536 131 О?2 262 144 524 288

— 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 ! 7 — 8 — 9 — 10 — 11 — 12 — 13 — 14 — 15 — 16 — 17 — 18 — 19 — 20

0,5

0,15

0,125

0,0625

0,03125

0,015625

0,0078125

0,00390625

0,001953125

0,0009765625

0,00048828125

0,000244140625

0,0001220703125

0,00006103515625

0,000030517578125

0,0000152587890625

0,00000762939453125

0,000003814697265625

0,0000019073486328125

0,00000095367431640625

Распознанный текст из изображения:

20 ~

О 4

0

А<„— 10100.

Перевод десятичного числа АО~~= 11,25 в двоичную систему счисления:

А<а> — 1 ° 1010+~ + 1 ° 10100+ 10 1010 ~ + 101 1010 ш ж1011,01.

При «ручном» переводе алгоритм подстановки удобно использовать при преобразовании чисел из двоичной в десятичную СС, а при «машинном» переводе (т. е. при выполнении преобразования чисел в цифровом устройстве, работающем в двоичной системе счисления) — при преобразовании чисел из десятичной в двоичную СС.

Перевод целого числа (алгоритм последовательного деления). Для перевода целого числа А~р 1 из ПСС с основанием р1 в ПСС с основанием рз необходимо

1

последовательно делить число А<р1> и получающиеся частные (большие, чем р~~ на число рд, записанное в ПСС с основанием рь и выписать последовательно все остатки от деления, начиная с последнего.

Пример 3.3. Перевод десятичного числа А001=20 в двоичную систему счисления:

(3.3)

0 ( (~А~(1.

Разрядная сетка, содержащая Ь+1 двоичных разрядов (старший — знаковый, остальные — числовые), позволяет представить 2'+' различных чисел (2~ отличающихся по абсолютному значению чисел с шагом 2-ь) в диапазоне

0( ~А~ (1 — 2

(3.4)

Если результат арифметической операции выходит за верхний предел неравенства (3.4), происходит переполнение разрядной сетки, приводящее к искажению результата. При выполнении условия (3.3) переполнение может произойти только при операциях сложения и вычитания.

3.2.2. Плавающая запятая

ва — дробную часть числа. Все разряды числа (вместе со знаковым) образуюттак называемую разрядную сетку ЦФ. Каждый 1-й разряд сетки имеет определенный вес, что позволяет просто реализовать арифметические операции.

Как правило, в ЦФ используется нормирование обрабатываемых данных таким образом, чтобы все арифметические операции выполнялись с числами, по абсолютному значению меньшими единицы:

Перевод правильной дроби (алгоритм последовательного умножения). Для

перевода правильной дроби А~р ~ из ПСС с основанием р, в ПСС с основанием

1

р2 необходимо последовательно умножать данную дробь на число Ор, записанное

в ПСС с основанием р~ (перемножаются только дробные части), и выписать

последовательно все целые части полученных произведений, начиная с первого.

Пример 3.4. Перевод десятичной дроби А~~0>=0,8125 в двоичную систему

счисления:

А(,) — 0,1101 .

8125

2

Х О,

6250

2

1,

Х

2500

2

1,

Х

5000

2

О,

Х

0000

3.2. ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЪТРАХ

3.2.1 Фиксированная заяятая

При представлении числа в форме с фиксированной запятой считается, что положение запятой, отделяющей целую часть числа от дробной, фиксировано. Разряды слева от запятой представляют целую часть числа и его знак, а спра-

84

Алгоритмы последовательного деления и умножения удобно использовать при «ручном» переводе — в случае преобразования чисел из десятичной СС вЂ” и «машинном» вЂ” при преобразовании чисел в десятичную СС.

Перевод неправильной дроби выполняется в два приема (отдельно для целой и дробной частей).

Числа в форме с плавающей запятой представляются с помощью двух чисел с фиксированной запятой — мантиссы ц и порядка у:

А= ~у-~- ц.

(3.5)

Представление числа в виде (3.5) основано на записи его в виде

А= (~- и) р~т, (3.6)

где р — основание системы счисления; у — целое число; р — правильная дробь.

Пример 8.5. Представим двоичное число Аоп — — 0,0101 в виде (3.6):

а) А=0,101 ° 10 — 01, где и = +0,101;

у,,„= — 0,1;

б) А= 0,0101 ° 10+00, где и 1 —— 0,0101;

у1,> — +00, и т.д.

Порядок у (вместе со знаком) указывает истинное положение запятой в числе А.

Число называется нормализованным, если в старшем числовом разряде мантиссы стоит цифра, отличная от нуля. Нормализованное представление числа позволяет сохранить в мантиссе наибольшее количество значащих цифр, т. е. повышает точность вычислений.

В разрядной сетке, содержащей Ь двоичных разрядов, Ь разрядов отводится на представление порядка и его знака, а Ь„разрядов — на представление.- мантиссы и ее знака (Ь=Ь -~-Ь ). Диапазон представления абсолютных знаи

чений нормализованных двоичных чисел в форме с плавающей запятой определяется неравенством

ьу — 1 1ь,— Ц

2 2 (~А~((1 — 2 " ) 2 (3.7).

85

Распознанный текст из изображения:

Пример 8.Ь. Определим диапазон представления чисел в форме с плавающер запятой, если разрядная сетка содержит Ь=20 разрядов, причем Ь =б; Ь„=14. В соответствии с (3.7)

2 — зз и:-]А]< (1 2 — да).2зд

Вероятность переполнения разрядной сетки при выполнении операций над числами в форме с плавающей запятой оказывается незначительной. Однако сами операции являются более сложными по сравнению с арифметическими операциями над числами с фиксированной запятой, поскольку действия выполняются как с мантиссами чисел, так и с порядками. При сложении двух чисел с плавающей запятой вначале осуществляется выравнивание порядков (меньший приводится к большему путем сдвига мантиссы на соответствующее число разрядов вправо), затем — сложение мантисс и нормализация результата. При умножении двух чисел производятся сложение порядков, умножение мантисс и :нормализация результата '[3.1].

3.3. КОДИРОВАНИЕ ЧИСЕЛ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ

Существуют три основных кода для представления чисел: прямой, обратный и дополнительный.

В данном параграфе рассматриваются положительные и отрицательные чис.ла с фиксированной запятой

А = -~= О, ад а2 ... аь,

-удовлетворяющие условию (З.З).

Код числа содержит Ь+1 разряд. Старший разряд служит для фиксации знака числа и называется знаковым. Следующие Ь разрядов служат для фиксации дробной части числа и называются числовыми.

3.3.1. Прямой код

Условное обозначение: [А] р. Используется при выполнении операции умножения в ЦФ.

Правило кодирования: в знаковый разряд кода записывается 0 (для положительных чисел) и 1 (для отрицательных чисел), числовые разряды кода соответствуют числовым разрядам (дробной части) исходного числа:

[А] р ——

О. ада, ... аь при А)0;

(3.8)

1. ад а2 ... аь при А(0.

Пример 8.7. Представим положительное число А и отрицательное число В,

модуль которых равен 0,10111, в прямом коде. В соответствии с (3.8)

[А]др — — 0.10111 и [В]др — — 1.10111

3.3.2. Дополнительный код

г

О. а, а, ... аь при АР-.О;

[А] поп= — —, — ь (3.9)

1. ад а2 ... аь-г- 2 при А<0.

Пример 8.8. Представим отрицательное число А= — 0,10111 в дополнительном коде. В соответствии с (3.9)

[А] = 1.1О111 1.О1ООО

+ ]

1.01001

[А]„ = 1.о1оо1.

Правило перевода дополнительного кода отрицательного числа в прямой числовые разряды дополнительного кода инвертируются и к младшему разряду добавляется 1.

П имер 8.9. Осуществим обратный перевод дополнительного кода числа А:

р

(см. пример 3.8) в прямой код:

[А]дод —— 1.01001-~- 1 10110

-]- 1

1.10111

[А]др = 1.10111.

Модифицированный дополнительный код имеет условное обозначение: [А]м„„. Он образуется по правилам дополнительного кода, но для представле-- ния знака числа отводятся два разряда.

Пример 8.10. Представим положительное число А и отрицательное число В, модули которых равны 0,01110, в модифицированном дополнительном коде:

[А]„",„= 00. 01110; [В]„",„= 11. 10010.

3.3.3. Обратный код

Условное обозначение: [А] оор.

Правило кодирования положительных чисел: обратный код положительного числа совпадает с прямым кодом: [А] обр= [А]пр.

Правило кодирования отрицательных чисел: в знаковый разряд кода запи-- сывается 1, числовые разряды исходного числа инвертируются.

О. ада, ... аь при А)0;

[А] обр= (3.10)

1. ад а," аь при А(0.

Пример 8.11. Представим отрицательное число А= — 0,10000 в обратном= коде:

[А]обр —— 1.01111.

Модифицированный обратный код образуется по правилам обратного кода,.

но для представления знака числа отводятся два разряда.

Условное обозначение: ~[А]„, . Используется при выполнении операций ум.ножения и сложения в ЦФ.

Правило кодирования положительных чисел: дополнительный код положи-тельного числа совпадает с прямым кодом:,[А]по =~[А] р.

Правило кодирования отрицательных чисел: в знаковый разряд кода за:писывается 1, числовые разряды исходного числа инвертируются (О заменяется 1 и наоборот) и к младшему числовому разряду добавляется 1:

34- АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ,

ИСПОЛЬЗУЮЩИХ АРИФМЕТИКУ С ФИКСИРОВАННОЙ ЗАПЯТОЙ

3.4.1. Алгебраическое сложение в дополнительном коде

Пусть заданы дополнительные иоды чисел А и В, причем (А(, (В(, ( +- ,А+- +В](1. Дополнительный код суммы чисел образуется путем сложения допол-- 87

Распознанный текст из изображения:

нительных кодов слагаемых. Перенос из знакового разряда при сложении не

учитывается [теряется).

Пример 3.12. Допустим А= — 0,01100; В= — 0,10001. Тогда

[А]доп — 1.10100

+ [А+ В]доп = 1 00011 °

[В]доп =

: — 1Ц ', 1.00011

Единица переноса не учитывается.

3.4.2. Алгебраическое сложение в обратном коде

Пусть заданы обратные коды чисел А и В, причем С А], С В С, 1А+В С (1. Об:ратный код суммы чисел образуется путем сложения обратных кодов слагаемых с учетом переноса из знакового разряда [циклического переноса), при наличии :которого к младшему разряду суммы добавляется 1.

Пример 3.13. Допустим А= — 0,01001, В=0,11000. Тогда

[А]обр = 1. 10110

'=+

[А+ В]обр = 0.01111.

[В]обр = 0.11000

1,' 0.01110

Циклический — + 1

перенос

0 .01111

3.4.3. Переполнение разрядной сетки при сложении

При сложении нескольких чисел, удовлетворяющих условию [3.3), может произойти переполнение разрядной сетки. Для фиксации переполнения используют модифицированные коды, содержащие Ь дополнительных знаковых разрядов, где Л=1п11од2Й, а Й вЂ” число слагаемых.

При сложении двух чисел [1=2) Ь=1. Модифицированный код, фиксирующий переполнение, должен содержать два знаковых разряда. При наличии пе.реполнения значения знаковых разрядов не совпадают, т. е. в знаковых разрядах фиксируется комбинация 01 или 10.

3.4.4. Умножение в прямом коде

Пусть множимое А содержит Ь числовых разрядов, а множитель В

т числовых разрядов

[А]пр — а,. ат а2 ... аь,

[В]пр — — Ьо. Ь1 Ь2 ... Ьо»,

где ао, Ьо=(1, 0) — знаковые разряды сомножителей.

Точное значение произведения Р=АВ может содержать до Ь+пг числовых .разрядов. Значение знакового разряда произведения Р определяется путем сложения значений знаковых разрядов сомножителей по модулю 2: ро — — ао®Ь„т. е.

1 при аочг'=Ьо.,

Ро=

0 при ао=Ьо.

88

1 1001-~

+ 01001

0000

01001-»- 001001

1001

Формирование

знака произведения

101101-»- -~ 1 .0101 101 = [АВ]пр .

Стрелка -»- соответствует сдвигу кода частичной суммы на один разряд

вправо. Различные алгоритмы умножения чисел в прямом коде подробно описаны.

в [3.2] .

3.4.5. умножение в дополнительном коде

При умножении чисел в дополнительном коде множимое и частичные произведения обычно представляются в модифицированном коде [для устранения переполнений при вычислении частичных сумм).

Алгоритм умножения чисел в дополнительном коде, начиная с младшего. разряда, практически аналогичен соответствующему алгоритму для прямого кода, однако на последнем шаге [при отрицательном множителе) к частичной сумме добавляется дополнительный код числа, равного.множимому по абсолютному значению и противоположного по знаку.

Пример 3.15. Пусть А = — 0,111; В = — 0,010, т. е. [А] м„, 11.001;

[В] доп=1 110; [ — А] доп=00.111~

[А]" = 11.001

Х

[В]м „= 1.110

00.000-»- 00.0000

11.001

11.0010-»- + 11.10010

11.001

10.10110-»- 11 .010110

00 111

00.001110 = [АВ]доп.

89

Значения числовых разрядов получаются путем перемножения числовых

разрядов сомножителей.

Пример 3.14. Пусть А= — 0,1001; В=0,101. Выполним умножение чисел в

прямом коде по алгоритму умножения, начиная с младших разрядов [3.2]:

1 ~- 1.1001 ахи[А]пр

® х„';

О 0О.101 = [ В]

Распознанный текст из изображения:

Различные алгоритмы умножения чисел в дополнительном коде, в том числе и широко используемый в ЦФ алгоритм Бута, подробно рассмотрены в .11.6, 3.21.

3.5. КВАНТОВАНИЕ ЧИСЕЛ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ, ИСПОЛЬЗУЮЩИХ АРИФМЕТИКУ С ФИКСИРОВАННОЙ ЗАПЯТОЙ

3 5 1. Общие сведения

Квантование числа есть представление последнего с помощью конечного количества (Ь) числовых разрядов. Операция квантования является нелинейной и вносит в представление числа х ошибку

Евв =Р (х) — х, (3.11) где х — число до квантования; Р(х) — число после квантования (после выполнения нелинейной операции Р).

Шагом квантования Я называется весовой коэффициент младшего числового разряда, равный 2-'. При квантовании используются два способа: округление и усечение.

3.5.2. Округление

При округлении числа до Ь разрядов исходное т-разрядное число (Ь(т( (оо) заменяется на ближайшее Ь-разрядное (округление соответствует выбору ближайшего уровня квантования). Ошибка округления Е,=Р,(х) — х удовлетворяет неравенству

— 2 ь/2(Ед (2 ь/2 (3.12) для всех трех способов кодирования чисел (прямого, обратного и дополнительного кодов). В (3.12) считается, что т»Ь.

Характеристика нелинейности, соответствующая операции округления, показана на рис. 3.1,а. а)

Рис. 8.1

Плотность вероятности ошибки округления Р(Е,) показана на рис. 3.2,а.. При анализе эффектов квантования в ЦФ, как правило, предполагается, что все значения ошибки квантования равновероятны, т. е. ошибки распределены равномерно.

3.5.3. Усечение

При усечении т-разрядного числа до Ь разрядов (Ь(т(оь) младшие т — Ь разрядов исходного числа отбрасываются. Ошибка усечения Е~=Р„(х) — х удовлетворяет неравенствам: а) для положительных чисел при любом способе кодирования и отрицательных чисел в дополнительном коде

— 2 — ь ( Е~(0; б) для отрицательных чисел в прямом и обратном кодах

0(Е,(2 — ь . В (313) считается что т»Ь

Характеристика нелинейности, соответствующая операции усечения для дополнительного кода, показана на рис. 3.1,б, а для прямого и обратного кодов — на рис. 3.1,в.

Плотности вероятности ошибки усечения Р(Е,) показаны на рис. 3.2,б для дополнительного кода и на рис. 3.2,в для прямого и обратного кодов. 3.6. КВАНТОВАНИЕ СИГНАЛОВ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ

3.6.1. Модели ироцесса квантования

Квантование сигнала есть представление отсчетов последнего с помощью конечного числа Ь числовых разрядов.

Квантованию в ЦФ могут подвергаться дискретные (в аналого-цифровых преобразователях — АЦП) и цифровые (на выходах умножителей и сумматоров) сигналы.

Нелинейная модель процесса квантования сигнала показана на рис. 3.3,а, где й (пТ) — квантуемый сигнал (дискретный или т-разрядный цифровой);. р(пТ) — квантованный сигнал (Ь-разрядный цифровой, Ь(т), а характеристика нелинейности Р квантователя показана на рис. 3.1. Нелинейная модель используется, как правило, при моде-

Р(п11

~~ангесагепь лировании процессов в ЦФ на ЭВМ. Линейная модель процесса квантования показана

а на рис. 3.3,6, где е(пТ) — аддитивный дискретный сиг-

е(п7) нал, учитывающий ошибку квантования: 1(пТ)

А7 с . е (и Т) = Р [а (и Т)] — Н (и Т) . (3.14)

ф Линейная модель используется при аналитическом анализе процессов в ЦФ. Рис. 3.3

-г-

а)

91

Рис. 8.2

90

3.6.2. Детерминированные оценки ошибок квантования

Детерминированные оценки позволяют определить абсолютные границы

~шибок квантования

Распознанный текст из изображения:

(3.16")

Таблица 3.3

8 10 12 14

18

20

Разрядность Ь

Шаг квантова-

ния Я

Дисперсия о'„

дБ

'г!~

у,'п~ '

Рис. 8.4

93

92

1 1

шах ~е (и Т) ~( — .2 — ь — — д (3.15) п»0 Ч Ч

где Ь вЂ” количество числовых разрядов; Я вЂ” шаг квантования; ~1=2 при округлении и т~ =1 при усечении (см. рис. 3.1 и 3.2).

3.6.3. Вероятностные оценки ошибок квантования

Вероятностные оценки основаны на представлении ошибок квантования (сигнала е(пТ)) как случайного шумоподобного процесса (шума квантования) [1.6, .3.31. Допущения, вводимые относительно шума квантования:

последовательность е(пТ) является стационарным случайным процессом; последовательность е ,'пТ) не коррелирована с квантуемой последовательностью Й(пТ);

любые два отсчета последовательности е(пТ) не коррелированы, т. е. шум квантования является процессом типа «белый шум»;

распределение вероятности ошибок является равномерным по диапазону ошибок квантования (см. рис. 3.2).

Среднее значение т, и дисперсия с', шума квантования определяются соотношениями:

~

пе

0 при округлении и усечении прямого

и обратного кодов; (3.16')

— 0,5Я при усечении дополнительного кода;

Я'/12 при округлении и усечении дополнительного кода;

Я'/3 при усечении прямого и обратного

кодов.

Здесь Я=2 — ' — шаг квантования.

Из формул (3.16) видно, что использование усечения прямого и обратного кодов нежелательно.

В табл. 3.3 приведены значения дисперсии с2, шума округления в децибелах при различном шаге квантования, рассчитываемые по формуле Ф,= = 10 1д Я4/12) = 10 1д(2 — 2ь/12) = — (6,02Ь+ 10,79) дБ.

2 — з 2 — то 2 — ~2 ( 2 — ~4 ~ 2 — тв ~ 2 — ~е 2 — 20

!

!

' — 59 ~ — 71 ' — 83 ~ — 95 ' — 10? ~ — 119 ~ — 131

3.7. УЧЕТ КВАНТОВАНИЯ СИГНАЛОВ В СТРУЕТУРНЫХ СХЕМАХ

: ИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

Структурные схемы цифровых фильтров (ЦФ) с ограниченной разрядностью регистров отличаются от соответствующих схем дискретных (линейных) фильтров наличием нелинейнсстей Р и Ф, учитывающих округление (усечение)

результатов ариц мет

ф етических операций в регистрах умножителеи и суммато ов соответственно. ид хар

. В актеристик нелинейностей г" и Ф показан на рис.

й сти Г., и Ф. в

При анализе эч ч

ффектов квантования сигналов нелинейности Г;,д и; в

(пТ) и ст уктурных схемах ~ за

ЦФ меняются источниками аддитивного шума е, ~ п и

Р

, (пТ) (1 — номер сумматора ЦФ к которому подключен соответствующии ф.й источник шума1. результате

е~

). в формируется линейная модель ЦФ, учитывающая эффекты квантования сигналов.

Если к определенному /-му сум

мматору ЦФ подключено несколько источни«ов шума их можно заменить в л

линейной модели эквивалентным источником

Ф

см. 3.9 .

шума уз,п ~ гоцен

( Т) (~ ки параметров шумового сигнала 7;(пТ) см.. ].

Пример 3.1б. Рассматривается нерекурсивныи цифровой фильтр

т Н Ф с аередаточнои ч~ункцией

функцией Н(г) = Х Ь г-4 реализованный в прямой форме. НеЯ э

НЦФ показана на рис. 3.4,а. Линейная модель, полученная путем замены нелинейностей г"4, ь и Ф, источниками шумов е4, ~(п )

показана на рис, с

3.4б ~считается, что разрядности регистров всех умножителей, подключенных к сумматору, равны, т. е. е4 ~(п ) =е4( )1.

дель с эквивалентным источником шума у~(пТ) на выходе сумматора показана

Пример 8.17. Рассматривается каскадная структура рекурсивного ци ровсго фильтра (РЦФ) с передаточной функцией Н(а)= П (Ьоз+Ьцз-'+Ьззг-~)/(1+

Распознанный текст из изображения:

Г

ЦТ) +

Уу(пТ) 7 ~ Т, Сг)

!

.Х(пТ) ~ I ~ црТ) ~

)7(пТ)НЮ Б, ~Х) ~у(пТ)

+ — — — ' — +

в~(пТ)~ ~~(пТ),

~~,~~~5 / ~ !

1 Т)~~ ' ~~)-(пт) !

Бс м(п

е,(п

е„(

~(п,

Г. (г)

г) (пТ)

Е:

~ Цы ррсбпа

~ рипыпр

в,(пТ]

Рис. 8.7

Рис. 8.б

94

+ацг — '+а2)г-') при прямой форме реализации биквадратного блока. Нелинейная модель РЦФ показана на рис. 3.5,а (считается, что разрядности регистров умножителей в отдельном биквадратном блоке равны). Линейная модель, полученная путем замены нелинейностей Р; ~ и Ф; источниками шумов е,,~(пТ) и в1 х(пТ), показана на рис. 3.5,б (разрядности регистров умножителей, подключенных к 1-му сумматору, считаются равными, т. е. е;,~(пТ) =е;(пТ). Линейная модель с эквивалентными источниками шума у; (пТ) на выходах сумматоров показана на рис. 3.5,в.

Рис. 8.5

3.8. ОБОБЩЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА

Цифровая система произвольной структуры может быть описана с помощью линейной модели, представляющей собой совокупность дискретной системы и определенного числа ограниченных по абсолютному значенгю аддитивных воздействий, учитывающих эффекты квантования сигналов и подаваемых на соответствующие точки дискретной системы.

Линейную модель у

ЦФ добно представлять в виде направленного графа 11.61, показанного на рис.

. 3.6 где х(пТ) — дискретизированный (но не квантованный по уровню) входи й

) одной сигнал е,(пТ) — шум квантования входного сигнала

АЦП); .( Т) — к ивалентный шум квантования, обусловленный округ- „пением (усечением) результат в

атов операций умножения в регистрах умножителеи, подключенных к 1-му сумма тору и округлением (усечением) результата суммирования в регистре самого )-го сумматора;;( ) д;(

6. (г) и . (пТ) — соответственно пеедаточная ~рункция и импульсная характеристика части дискретного фильтра от выхода 1-го сумматора до выхода фильтра;;( ) )';( )—

Р. г) и (пТ1 — соответственно передаточная ч ун

ф кция и импульсная характеристика части дискретного фильтра от его входа до выхода 1-го сумма

мматора о.(пТ) — выходной сигнал 1-го сумматора; Н(г) и )т (пТ) — передаточная функция и импульсная характеристика всего . ильтра.

Верхняя половина графа (см. рис. 3.6) используется при получении оценок выходного шума ЦФ, являющегося результатом сложения выходных шумовых

и,пТ,. Ш мовой сигнал составляющих, обусловленных сигналами е,(пТ) и у;(и ). ум

ео (пТ), определяемый разрядностью АЦП, проходит через весь фильтр с передаточной функцией Н(г). Шумовой сигнал 7;(пТ), определяемый разрядностями регистров умножителей, подключенных к )-му сумматору, и разрядностью регистра самого )-го сумматора, проходит на выход через часть фильтра с передаточной функцией б;(г).

Пример 8.18. Линейная модель НЦФ, реализованного в прямой форме (см.

ис. 3.4), показана на рис. 3.7. Она представляет собой совокупность дискретного фильтра с передаточной функцией Н(г) и двух источников шума: ео(пТ)

и у1(пТ). Шумовой сигнал ео(пТ) проходит через весь фильтр, а сигнал у1(пТ)

складывается с выходным сигналом у(пТ) дискретного фильтра (т. е. 0,(г) =

=1)

Прим р 8.19. Линейная модель двухзвенной каскадной структуры РЦФ с

е

2

передаточной функцией Н(г) = П В~ (г)/А) (г) при прямой форме реализации

1=1

звеньев показана на рис. 3.8. Шумовои сигнал е~(пТ), уччтывающ " у,

ываю ий ш м АЦП,

проходит через весь фильтр с передаточной функций Н(г). Шумовой сигнал

"г1(пТ), появляющийся на выходе сумматора первого звена (см. рис. 3.5,в), про-

! ходит через цепь обратной связи данного звена (блок с передаточной функцией

1)А ( )) о звено т. е. 0 (г) = ( . Шумовой сигнал у2(п )

1 г и второе авен .. 1 — / ° и

проходит через цепь обратной связи второго звена (т. е. 62(г) — / 2( )).

6 (г) =1,А2,г,

95

Распознанный текст из изображения:

(3.20)

гг ~0777=/т(п777

Вг(г)

войт) ~ ~

и

Х(пТ) х(пт~~ ~

+ В 1г)

г;йт) Н, ~г)~

!

+ Ми)

!

~$~(пТ) пг 1г)

,у(п77

+ 91г)~ '

г

!

9'гг

(3.21)

Я(пТ)

Рис. 3,8

(3.22)

Х ",~.' ~ а (и Т) ~

и=О

(О 5 Явх ~ ~Ь(пТ) (+О.,К',~ г) ) п=0

(3.23)

3.9.1. Общие сведения

шах ~х (и Т) ~( 1;

п~О

(3.17)

3.9.2. Детерминированные оценки

Ео = шах (ео (п Т)~(2 вх = 0 5 1~вх. и>О

(3.18)

— 5 — 1

(2 268.2 'вх +21,9482

97

(3.191

4 — 89

96

Нижняя половина графа (см. рис. 3.6) используется при получении оценок диапазона изменения сигналов в любой точке фильтра, которые необходимы для определения величин масштабных множителей, вводимых в схему фильтра для предотвращения переполнений регистров сумматоров и улучшения шумовых ха-

рактеристик. Выходной сигнал 1-го сумматора и;(пТ) есть результат прохожде-

ния входного сигнала х(пТ) =х(пТ) +ео(пТ) через часть фильтра с передаточной

функцией Р; (г).

3.9. ОЦЕНКИ ОШИБОК (ШУМОВ) КВАНТОВАНИЯ ВЫХОДНОГО

СИГНАЛА В ЦИФРОВОМ ФИЛЬТРЕ

В данном параграфе предполагается, что:

а) входной сигнал х(пТ) нормирован в соответствии

б) разрядность входного сигнала (АЦП) после запятой равна з„;

в) разрядности (после запятой) всех регистров умножителей и сумматоров

ЦФ равны з~;

г) при квантовании используется округление.

Детерминированные оценки определяют абсолютные границы (диапазон изменения) ошибок квантования выходного сигнала в ЦФ и получаются с использованием линейной модели ЦФ (см. 3.8) на основе оценок ошибок квантования сигналов при выполнении элементарных операций, определяемых (3.18) — (3.20).

Ошибка квантования входного сигнала

Ошибка квантования сигнала на выходах умножителей

Е;,к~шах ~е. ~ (и Т)~ (2 ц =0,5.Я. п>0

тования на выходе сумматора ЦФ

Эквивалентная оши ка квант в

Гу = гпах ~ уу (и Т) ) < 0,5 т" 11,

п>0

о множителей, подключенных к )-му сумматору.

где г; — число умножите

бусловленная квантованием

Составляющая выходной ошиб

бки квантования, о

входного сигнала,

Е = шах ~ ео вь,х (и Т) ~ ( гпах ~ ео (и Т) ~ ~~~~ ~ й (п Т) ~ < о вых= п>0

( 0,5 Явх ~~ ~ й (и Т) ~ .

и=О

выхо ной ошибки квантования, обусловленная квантоваСоставляющая выходнои оши ки, . квантова нием сигналов

лов на выходах умножителеи, подклю

— (и Т)(<шах !;7(п Т) ~ ~', ~ц~ (и Т);'(О,о г)Х

Е.т вых = шах 1е,у вых и ' З

— 0

п>0 п>

п=

Ошибка квантования выходного сигнала с ччетом 3.18) — (3.22) )

= шах ! евых (и Т) ~ ~< гпа х ~ е, вых (и Т) ~ + ~~, гпах ~ е) вь,х (и Т) ~ <

7 и>0

Пример 8.20. Рассматривается каскадная структур Ц

кт а РЦФ восьмого порядка

с передаточной функцией Н(г) = П В. (г)/А)(г) =.П (Ьц — Ь2;г — ~)/(1+амг '+

лиза ии элементарных звеньев второго поряд-

7048

г е Ь .=Ьо.— — 0,25; ап — — — 0,703; а21 —— ,

37 8. 1989 4 92

= — 1,1553955; а22 — — 0,7416381; а1о — — — О, 7

о о на выхо через весь фильтр с переда-

иТ '=1 2 3 4) — через части фильтра

точной функцией Н(г), а сигналы уу(пТ) 1=,

г = П. ~Оо(г)= П

с передаточными функциями: 6~ ( ) =

— 6 ( ) = соответственно (см. рис.

1

в и .. б квантования на ЭВМ рассчитываются

3.5,в и 3.8). Для получения оценки ошибки квантования

ОО

: Н"'=2.268;

величины Н":= Х ~Ь(пТ) ~ и 6" = г. ~д.(пТ) ~. Эти величины равны: Н: — .

0"'~=5 363. Тогда из (3.21) и (3.22) полу-

Е 05Я 2268 Е 05Я

Оценка ошибки квантования выходного сигнала оп

Учетом (3.18) и (3.19):