Книга: Метода по криволинейным интегралам

Распознанный текст из изображения:

Табл, 7, Кх. 20. Бнблиогр. 3 наем.

Рис. 1

Редакция аакааной литературы

Дмитрий Альйредовнч мельников

Алексей Владимирович Ваклидоп

Константин Викторович Тмтоя

Н айвтвльство мГту. им, 8.8.Ванна а ВТ006,:исаака« 'йчк Вауикнокай, Б.

Рецеявавт А.В.Аттеткое

Наи н льнякси д.А., не дсв А.в..т см к.в. крив линейные

и поверхисстнна иптагрвлм: Нвтодическиа унавания к выводна„

типового расчета. - н,: Над-ао нГГУ ни. Н,В.Ватмана„ 2002

64 с., нл.

138АГ 8-7038-2024-3

Рассмотрапн криволинейные я посархнсстпна интегралы 1-го н 2-го рода. Приведена краткие теоретические сведения, примеры ранения ведая, грихоквння к аадачан наханмкн н Финики, эадачи дяя самостоятельного реваяия, условна типового расчета.*

Для студентов 2-го курса всех ФВкультотсв.

Кркволинейнме и поверхностные интегралы

Заведумная редакцией В.Г.Ковалевская Редактор О,Н.Королева Корректор Л.И.Малвтнна

15 8г1 Т

7038-2024-3 ® МГТУ им В 8 Вауманв 2002

Иад.лиц. Э 020623 от 28.04,97,

йодпиоако в печать 19.10.98* йо рнат Врхиаг16, Вунага твп. Ах 2

еч.л, 4 О.. ' ...,,- вд.л, 3,69«Тиран т00 екв

еч.л, 4,0. Уел.печ.л, 3,72. Уч,-н

9 Ту

Глава А. КРНВВЛИНВИННИ ННТКГРАД 1-Го РОДА

« ° ч«««ю «ю«м««««« ' «««««««««х ««««««

Пусть в пространстве Пх переменных а , у , х манама

5

кусо гас-гладкая кривая «18 . Внбарам иа иай точкм 4,4, 4

а «

,4 . .., 4 8 (рис, 1~.

и

Пюеислайие. Набор влементаримх

дуг 7Ф" .4 4, й-х,.,п,наэ

отса раап««аннам 7' дуги хГ8

.Г

Обсэначмм наяву апвментарной ду-

Я«

Ат

ги «', тая: .Т!

И,'у х

0поауавные, Диаметром раабиення

О«( Т ) напивается максимальная длина

влсмантарпой дуги, входяаай в раабна- Х=ь„

пиа 7'

о'( «) пчах

Иа какдой вяементарной дуге 1 выберем проиввольхпям образом точку ду . пусть на дуге абя аннана фумкцни ~1ж,у, х3

Ощхйй~ыекиав. Ннтеграаьиой суммой йункцнн 1',. Ооотнвтсткухеаей раабменим 7 и набору точек Ф «АГ . нанимаемом сумма,

' ° пь

.г('р, у')-Х: г (Ауа) хьюг,а.

ЯВрйхееекйе. крхуолнйвйным интеграюои 1-го рода От футпцрьи ~" по дуге,ф навмваетс«и предал Интегральных оунм Х ~~3, 7'), брн стремлении диаметра рввбканнл к О, волн он оуаествуеу, к ка ааваьонт от опоооба раабнеиня дуги ДЭ и выбора точек М ."

~ й .У,ТМ1; 1 1ЖУ*), 1г™

коли прадед 8»11 Оуйастнует, то йухккцкН р'''ыаацк«аеМйн::Гнй'-.', твгрмруамой' мо дуга, «4$

йнадогнчно опредвдкетцк крнаокийаймый:мнтйкркй.":.Дьбтх2;,"~11АВМ!'ф'-.,'!:: дутв . На Ьхйрснсотн ус', О«ВрхМВЙ$ЫПГХ,.АС. «, 3т . ««. ' „,":; „. „-' „' '„."-.ЕЬ'" ~, ',. '

У«8"::, « ':;...:::::. ф, я=«";," ",'!~"';",'; "„"'-;":,:.

Распознанный текст из изображения:

1 Ч д) '~ -) И' " ). й'уь

4В 4Ь АВ

) с )'сЫ - с ) ~ И 1 .

43 4"В

оу ". 2 сов2;

у ° 2 в1п2; О ° 2 22.

й й.

1* Пусть кривая АВ

иадийин

-*СЕ);

(

,йг

Рис. 2) видана параметрическими Удава- ф'.

!~~ф:, ' )у

-22

й -Мй);

- 2~2);

2 2,

Если ауикдни )г, р ннтвгрнруемм по А В, то йуикнмн 4 . Пу, гдв С Сопите, такие ин'тегрнруемм по АВ и

2. 2йййтййдопйй. пусть точна С лваит на .4'$, йуннпин с'

нитегрнруема по АС и СВ . Тогда у' ннтвгрнруеив по А В и

1 Я2- ( У2. ~ 2.,2'.

АЗ 4С

2 Нйййййййййййй от направления проноаденин кривой. Если Г

интегрируемв по АВ, то

1 ~ 22- 2" ~,22.

А'В ВА

а. Еййпййй об оценке, если Функция ь интвгрирувмв по А В

и д Оой Р АВ у" ~К) 4г',

Рть' и ) 1с~2 и дть', где 2 - длина кривой 4В

Ав Ф

6- 222Кщйй о среднем. Если йуикиия,Г нопрермвна мв 4 В

то суавотвует тенин точка Ре 4 В, что

) ~22 -У'2У) г.

4$

Тогда

~,г~х ) 2)ь22 ) ~г~хгг), уЮ, 2~2))т'с ту + 2 сь „

~ф ((

Д;г, с~у, б7

Х- —, У'" —, 7"—

д "2 ' -,42,22

щщйр ~1,2. Пвйтн 2 ж П 2, где С' - окрувиость п, ° у -4

а т

подадим овруапость йврвмвтричесннмн УРавнениими

Пркмвиим йормулу (1.2):

У т

) х Н2 ) Фспт 2 т42|и 2 ~4соа 2 32 ~ В,) соа 2~22

П б

2%

(~+ссз 22)И2 «ВХ,

2. пусть кривая АВ вадана уравнением у у(х),' сйм огаВ

в декартовой системе ктнтрдииат 2рис. 31, Тогда

1 й, т)ж ~ Г~* и*э "~~Г~Л» д*. Пл

,ф а

Распознанный текст из изображения:

!

ауг (! Втб — !

! 1 гы( 4Х) ((+ х) !6

Во

3 пусть конная 4В недана Уранненпем г" ! О(1 с(я .( . (5 н

полярной системе коораннат. тогда

я

г

(1,4!

3 ~ух,у)о((-~('('гсаг (, »5! яраг(!(! ('г(.(11 Н (

яВ

Дй(п!йй ~Д. Найтн ! У х + У о,!, где:ПВ - второй виток

г(о

спирала арккмеда г 2!г (рпо. 4!.

точкам 4 н В соответствует еначвння полярного угла о = 21;

н (Ъ 4Х . По Формуле (1.4!

4'Х 4%

2ъ'х !.т Н1 ~ 2<~У4!((+4 4~4 4~ ~(ъс~.~-! а~4=

ЯВ гя 2%

"-('!4 +!) ! . - — '(('(бъ +!) -(4д + !) '

4 г 5|г 4т 4 , г 5(г ! 5(г

4. Пусть пространстаанная кривая напаяв обними уравнениями.

В «тон случае уравнения кркаой ~рияодятсл к параметрическому виду

и яспольауатса Формула (1.21.

В(йййгй 1 4. Найти ", ху с(2, где .ПВ - чаоть свчеянп

г г

циляядра х + у ! пяоскостьи 2 х .!. ( „лекааея и первою

оптанте (рис. 6),

В цилиндрических координатах х ! сок о( у !" 3! Т! с4 2 "

уравнения кривой ВВ имоет ннд

!.=!

т=!-со54 (, Па (и-- 'К

2

оледоаательно, Я В вадаетш! параметрнчоскимн уравнениями

5 (!!

2 =! ° сп5 4, 0~~(а

До Формуле (1.2!

'Х/2

хо!21 5 сояо( 5!и!4'г 5(т! о(! сп5 (гч 5(г! с4 оч(

г

Ь

г

%2г

дуг 'йи 2У2 -»

- - 'г т'(+ 51!( !4 !(5(п"!4 — !, ( . 5(п !.()

2 О о

о

АВ о плотностям ((л(Ж,2!),

амчасляетоя но Формуле

М Ф ((ь(й„У,21((ь .

еойн плотность вцрйиаетои. Формулой ((4~а, у) .,(2 ((Ж7+~Р', !!.

М ' .Ф ~:2'Щ ',((~й т46~ Щ~:~й(,',:О(йа В(Фч-..'.-: -,:-.:;:-;;":.,'"':,"':::;-':,::,)-:"-4:.~~~:,~;,-"

Распознанный текст из изображения:

11, отиоситвльно оси 0 ~ Му

Гв Статнческиа моыенти простран

страиствсиной кривой относительно коордн ватных плоскостей вмчисллвтси аналогично по Формулаы И -1 тра, М, 1 урЖ, М~~=1 хь«П.

Координаты цантра масс могут бмть найдены па 4юрмулам: длн плоской кранов М М

у"

с М ' г длк пространственной крквой М Икн

т

с М ' Ус Ф ' с М гие М- масса кривой. Ищщйй ь,й Найти цвнтр наес четверти однородной окруаностн е +у'-а', х а О, ум О. конно считать, что ьь 1. Тогда масса кривой равна ве длине: лба ма М вЂ” — . бтатнчаский момент

4 2 М - ~ уоЧ - 1 у а -цг )/ ~ ' — с~д - а' Ф

А3 а — и йв сообраааннй снмивтрнн М М . Тогда координаты центра масс равьа ц = — р М 2а М. га М»г ' г м и й йяййййй айййййй. цсмвитм ннврцин плоской кривой,4 В о плотноотьв Ьь отнооитальио координатных осой вмчнсллвтол по йор$ц'лам ~л ь уНс~~, 1 ") ж~рЫ~ 4Ъ

лб "т и"ардан стнооитально начала координат Г,-. У (ж'у') у. ие х . е

ф' Ж

слйчав прбстрнцстаан,'ой и-рввб,~ йцсрдиввььнк о й..., в м~ь~~в~ти ниврцик отиаситвд

о н на а Мрдинат бпрвдаллвтсд 'М ' '' '4

~„, - 1 < у '-,') ~ д ~

Я'В л-3

2

дб ЛЬ

Прбыосу 1.7 Найти момент инерцыи относнтвльнс оси О г однородной винтовой линии ~ о. ~) Х а с0» б, у - ц »ьп 1, ,г = а б О ж 1 я 2'х.

Определим

.-' -1 ~~ у М~- ~ ~'а аиь 1 -а»1п 1).

2 2, 2 2 2

Аб

РХ

~/й +й»ьп »+с гбв Г сй й у2 )сгь

г . ь я т ь

о

= йь'Г Ха'.

$1.

Плоть на кривой А3 в пространства Б» вадино аакториов по-'.. ла Р Р~х,у', й)ь' т Я~х,у, д)у+Р~ж у т) йу ., драть."7'- равбнвниа'А3 на влвментнрийв *дуги ~й,~ Я~, д ' 1, „.' р~' М ~ »а, обозначим д~ виктор уй д 'дтлг+ду ~~.дд'.Щ

д-1 Ф Ф Ф .и (рйс. 6).

Распознанный текст из изображения:

~)р ге

АЬ

оу у Х(Р'Г) й (~~"и) "ььч)

о акврноо прюаввацение неаторов3 1 ."'а1-~,'Рг)а~ » ) (Рсозй' Йспв~ь» Юсова )дь"

иоанна аитеграэон векторного полл Г и- ,ч'Ь .4Ь АЬ

л тол припек китегрчиьннх суьив 1 ~ у, Т) прн

стрениекии дианетре Рвэбвеиии и а. соки оп сунв геует н ко вэвисат от оиоооее раэеиеиве кривой н вебера точек 4~,

) гчН ~ Рок ~ яИу ~ цех 1!пч Г(' у',г)

чс .4е а<т>- П l

йсиа эечело кривой вовлекает с ев копцов, то говорит, что 7~М1 /

читсурак еереггл пс эанкиутону контуру С н вспольэувт осооиинекие ф Рс~Е.

3шйьн, пусть Функции Р, й, у непрерне н кв кривой

4З " ~~1 и Я7 ц ц - ТСГда Иатвтрэк ~ Р' С~ ~ Суцсотпуст.

4

Р деиьиейаен кооринивтн еокторинх поиойпудвн предпоиагпть

ввирврнввне 4ниицианн.

Рис. т

$ ц. й 3. цщцййвцвц ущщщдщвфццуц

1..внивйиость1 1. пусть кривол Аз видана перенетричвсиани ураинаиаини

1 ~гч+6)НЕ ~ РН + ~ д ~~ . Р" СУ).

у " уСТ);

1. С ~чу У" С 1 ФИ 1, С «срт и»

Ф м у у ~Л), Х 6а~Ь;

й. йццнтнаность. цуоть точка С квант иа 43 . Тогда ,ц~'л~~у), ~~с~) . х~М) )'.

$.Рсу7 $ Рвут ч. ~ йьчу~,

,Ь АЬ дЪ д'~жги), Р ~М, 7~Р))"

Э Зеаианеовть от направлении прохоацекнл ирнеойх

Тоще ' .. ' '":.' ' й'- " '" "' '-'"':

~.У1х'ь -$' РгУ.

:Ьу,: уЪ

4;,:Фннь

Распознанный текст из изображения:

".'..;(.х

дп

"лл ллл оьл

.-лосси

яс летисрлет

системе

д», 3ьл

д у л л

до Фл

2

Дницьепеппнелвянх

.~евнес

„,,нне, считал у н .- постояннпмн:

у„',ср се У"

грл', тс сто реиенстяо гпредеяяет лл(гс ' уи

с точностью дс слагаемого. звиисляего от у и

у' = ц

ды дл,

. н "-'. ', ) ивхсднм, псдстлилля

Фу

— пс второе и ~ретье уравнения системы.

32 37

нрелде чен определить Функции и (х у, к), необходимо

убелитьсл н тон, что гсдынтегрвльное Выревенио является полины

либлереяцнелом. ДнФФнренцнлльиая Форме двух перемепнмх

""(,г, у) о'г Й;,х, у)б у, виденная В односаявной области,:: Ф1-,

лнетсн полимн дн44еренцнелом тогда и только тогда, когда Выпонкй;-:-," ' -:;,:'„'

ио условие

Й7 оР

ох су

ЛибФеренциельиея Форин трех пвременимх Р( ~ к ) у ли'' ~'-':-"~" .';::,,~! ~ф~,

'~(к, у. У)ауеР(т,ъ; т)аль, вдданннн в односвявной РблкСФфул"':":::-.'~::~~;-:;='

является ислени диФФеренцнвлсн тогда и только тогда, когдв; й)лмФФ:,,'~~:,,"- иеим условия

;Ц -Р аЯ За Э д Эа

й оу оу 82 02

Прдбдр 2 ~. Найти ) 'л сов% (жл ул2) ськ' +,;"::;::'.,":::„":!:,

4Ъ

'(рФух ООЗТ(ж у у +Ф ~

) ФФ Мул (ду СОЗТь(~+у.Ф):+,-::~

гле А.,О 001 Ф,б

проверим что ли4Фсреицикльили Форме лепечи является полним

ле1борвицнелсм. имеем Р = ~~

у и',

Ь~ 3%ухсале*к у" Х),рув

ц у ' г " ч 'л ' Р' .. 7) л 6 у 2

с~но, и 5

— — = Фд т ССВТ (ГГ ь у И)- 2я О ' ЕЛП%(Х - у и,'' бт:-—

— = -Н у в!и'л(к+у к) "- Фж

Условии 12. 1) емполнснн. Нейдем внвченне ннтегреле двуми способим»

Способ 1. Нмберем в качестве пути иитегрнровенил ломанув

МР, Р Р', где Р, (5,0,0) Р (5, л, О). Тогда нв 4Р1 у

2 О, Р=31сав~х; ив РР х 3, у О, Й О;нв

Р с ~ и, у 1, я л сов'д(ь -х)+бил, таим оброком,

1 РВх а(у абак-)Рак ) аиду Г Ка*-

АЬ лЪ РР рб

и

-)тсовьжак + 1 О аут 3 (я.сом(3+ х)ь бх')ал.-.

о о а

Втп %а~ + В1тькь (3+к) ~ т$х 1 атаь 2 2,

0 о о

апособ И, Составим систему

—,Р 31 сабй1'(ос'.+ к у )1

ли

— 4 - Муг К Сабд-ж..,: Кгуя) Ч' 2.КВ;

— ',. ' )Ф -..'Ф(у: Фаза(со+к:У )+ Фл ук,::.т

'М'-

Распознанный текст из изображения:

~йа)яср гл а)м Е)—

Е Е'К сябй))о-

си с)! ) УсЕх "

'Р А лб

яр

) сЕ Е = 'я ст Ь .

О

й. найти работу силового поля ) 0Р— т)Е т Х ) яа яа"

рамаиаяяв точим яо яряс циялоиди

х р -п)яЕ,

а ютальяаго романия

ум' 1. Нанта

К й. найти ) — о= —, гда 0 - отргаси прямой

ь'х''у" ' р

Ои х с1. З«найти ),, где с - Дуга хардпоидм

г. - ~ + сот ~у', 0 л:Р и 4. Найти массу дуги ириной х я сбн Е, у = Кг а',пЕ; т=е, ОмЕ иРк е плотноотьв *" ' Е,

ху 2+

нл К. Найти момент инерции относительно начале лоординат лен)НМФ';;,~-'.;,'!~'.:;::-'';:",~~,

2 наги г. -сей К~К с плотноотьв

'гс= Г'

1 у " х л х а у , где С - дуга пера к

г ь я ох ' х сЕУ '- 2 у сЕ х, где С - ду

йтерях з)пх О. Найти ' — сЕХ вЂ” — — — —, оу ' —., сЕ2

2 ',ь )К Р уь

Д гда,д ~'О, ), О)), В ~'„'-! 2,!) „убодивиись,е том, что яад интогралом стоит палимй ди44араипиал.

г а ъ, я я 4 ЕО. Найти ) Ех т Еху )с!х" ~йх у — бу )сЕу,

АЪ ' гда .4 0 - Р— !) . В 0 б, О) , убадияаись н том, что подмитагежльиоо Вмралаяиа " поляне дифЕераициал. ЕЕ. Найти ф 0 х у') сЕх — '. х . у ) сЕ у , гди С'-

С пробегеемнй е пололительном напревлении контур треугольнина с вериияами АОЕ,~), В ЕЬ, 2), С'Ей П) . Ответ проверить по Формуле Грина.

Глава К. ПОККРХНООТНЫИ МНТКГРйй 1-ГО РОМА й Е. еле ие ове хн е

Ящщдаледйе. Реебиепием 7' поверхности 6 мвемвветов внове ство ее учаотнов яЕ ВК, Еь Е, ...,и танин',,что Мввдиненм)в, всех д О равно б', а пересеченпв, Дврх раин)РЩмх,,УЧсабтиов д 6

! и ь 6 е ть е 'еоть) либо вУоочно'-'Рдвднан', кпк)пннК,:::::Фйбо':Вийем

у ° миовеотво (рве. ЕИ.

мнвч':п)овврхмбавм:- Кудре".;~;.':::;Д."Мй".:: .'-;,~,::;::",:: ":!,':;:,'-'",:::;"р,'-'

Распознанный текст из изображения:

лу еи о ( ьби~ 2, Вйййтйййость, плоть поиириности б и б. - непереирмвн

манное, т.с. их пересечение яллльтсн ооьепннениеи конечного чнолв

йусть ие кусо ны глнлииь кривил (в члстности, оно монет бмть пустим]. Тсгрем йа кейФ»~

арией покер йе если Г интегрируеми по б и 6 . . то г интегрируеме пс

"и и

, л

~/ б. е

~ л у, Ки .. ' „ой лунийии Г,;г у у',, соотеелотеуейей рл

бл

ил Я 3. 0цонийв ннтйговло. ьсли ллл всел точен о р д у, у 1 ао

лд.)=~- у'~'я . 3',, у,'

я~Ут,-с . ь ь' е'

нервности б м~ л ~", л;, у, ', Н л М .о ЬН сосни, то гле л Я - плойваь елементирной понериностн о тт~8е ~! г ~;, ьто

рлностнмм нитегрялсм 1- го Ройс от Фх1ицнн

б

пййвйленкее. Воверл нос

гне -' - насколь поенрлно

йййемй р срвлнем. Воли ф

вввисит от способе роебисивя псоерхнсстн и

ли о» еуаествует и не вевисит от то суйеотвует точко лр б б , текля, ото

вебера томик МЬ:

Й ~~аб "л(Р) 8

Д гу~ у т)а*В - й Б~~',~'~

(Г

б Г.' 0

о. о .Веди ~ив~ йй й,то

Вййь'щмййкг мйтегреаьвщх цам суйеотеует, то Фунамия г" ннеййййййй ййтйййцфейой йо йойеркйоотй б' оЛ у" с~6 = 8 . йрй етом Фйийцйя 1' имеет йе бить тоййеотффВВфйь- Фйайейе йтремаеймя диаметры Разбиения к 0 лйляот- йейио Рййййа еййййце ййе 6 . Вапйийей, еоай б- оа,вйй ~а, ~а+ йй,:4йййй, ММфййй.;лййь-ФФо$йй отрейайййй и 0 йлойййей йсеа мамон- 4 у и~Я > тй.

млйьйй~ йййфийеейМ;: Ь'6 -~ йй тою,'. йт пан,й я а

4мн.м ий'+ В )Сво' Я .Ц ЫФел4%Й

йй: 4МВВй~~ 4ВМ:::.ф~7'ф-льф. б

4ЩМ$:фййВ4МЙЭФ4'. "Вйй$нфййййф Мй йнйфйййоотй

',~РФй:; 4н: Й$~МФМММ''ФФ4~ВМВВ4ф14~и,,'„:.,'::ф . $ $.

ил,йй;*;,, ' "' ' ~ ' " ° ° .,'.' ° '',!

~

~

Распознанный текст из изображения:

1х 1~ теаим обоеаои, с" — ——

с г

В сатчео„чс:.хе Ст1еепаи с состсееее ее чсое;:хвосте / еичисеееие еитссоеае саоаится е .исчесееееи .зсаеае осаерееости б

д2ииео с.г, Найти ~',,';, - о. е ' ..;, .„с', 1'Хе О У о - часта еоетса = . - е у , тсеееемее елосеостеии с — е

!

О и "' 1 1вис. -'с). ф е

у ,$„, У

т

гх у т» Р .14

с. ео ,;,;~~1':~9~4Ф~М'щФппФРе м вйпарбмеещв первевикию вл сс

О

х 4 Рне. 1Ь Рнв. 16 с:,.„,:,~~~~:"„:~ВФМ~ЙШФ дщи поверхностей

тен пеп ннп в4~~св. С ~С~ у)) ~ ж,+ у Ъ, ма ъ.т,.:,.'~!-Ф.'.: е:11.: пехучпп уревевннв 4~~;:;,:;:-:Ф...'-'е''Й':~",е Теннм обрена,' И ~Ф - (д е:1е «;+1) 4Ф Ц:еИ'.:. йрФЬ . %~~=,

'г

Распознанный текст из изображения:

,„~,, е.В,~" Д ~~у, у,т) Нб Й «Лд'У~Х. и 31 "" ~ 3„~ "~ р, 1 '"- ":- е

и:*и~и исс Охиос~и;; апис

~~ ~~'а ~~ е) у,е)у'1'-, ~ —,' "~ .;,,'::'

Иб и з а Нерее Л * иао

роднина а уравиеиии параболоиди .'.:-- и а $~ Ооекиим ~ 7 = 1 ",упеииииис ироскции аники перосоиииия ваоеаодс щя и иеооеооеи на иеоскосеь уды, токио ое ренее, ироеецеер поеорииости б ив .~,'~~, будеенруе ~у .и и "к~~=~. и„ . нраанеена иараооаоида емоои ~(у ')=

а. 0"

и ~( Ф

Рре..~е':.: ' ' рр я~ $ ' ' е„

м4у~«41Я О О и~ ~ г

~~~Ф'~~ ~" ';еи ~(„ф ~)

'!ок иии иа иижийи ссиииоиии е . И, ео

5 е1 уу',' йб О,

б

Лли аврииого основские о" иеееи ~ ис у', ~ -" — ° — О °

юж~~ иоиирхиосеиый ~и~~~~ по б' ж~~ж~ о яиойиим ~~~

роном Ое фуксе 7'*;~ у) ~ х у~~ )осу~, иоееми яо аркин З

,с

Б ~~ жу~ аб' Б ~ ху1 джему ~ ~~ сон~ ~~п се ~о"

Ьу ЫЪЯ~а

Распознанный текст из изображения:

г !1 о,а „,~ т„; ся- «1 ~ иг

и

О' 21.! !+'2 (тУЧ г -"! ! ! ~!!!'' Кт т ' к! Б .тК~ 22 I~+ ' У вЂ”. и;С=';.=

/2 л*укл Р-т-т

У 2 г Я"~~А' „' . "','! - й;Р:,':. .т'+у'и~' Л 2 2 2

уж~!!! й! св!п — !' — "-,',: 1 /~

,2

Ф -1" 062 нося 2»,,' ' у',и — ° 2

— 7' О Р" равен Ф ерт „хруга радиусом р 0 ~ % 22аи. ОВ262етрев ОЧ6

, т.в. — .! Но сообраивам 9. он262еця2в очевидно „что координаты центра.

.масс „Х' и у рвв-

ур * ртвтвчеовиа ио ит 'Ф И иийк-' !! Д2!

у ... ~,С у' и

! '„:~,.'~~:ж.:'-~':.~ 'ау~'-': -™, . ~

цстоицини влоитростотнчсокого и!Кли, соодввксыого оорниоиной цсиврхи!!стью н в точки г

.-о .'О, "ь

,г! о', у. т'! с т

23.1)

,2

гдв" ," ком1!гицисит ороРЭрциоисяьиости в ивесно ирис!!в, зввисяиий ст Кистины сди!!Нц. Па точечный заряд !~ „ иаыоиоиннй в то!2ху ! уо !1„ т ! , со стороны внр!!ионной повсрхиости действует

силв

.~'=-У2!ГВС У~ЛИ и т ~--Р~ Р 2и и "-' Г ~"' ~) (В.У1

'! ЗХ д~' 022

Формулы, вналогичиив (3.1! и (3.2), справедливы для гравитационного потенциала, совдавввиого иассамн„распределенными по повврхиости б' , и дли сваи, с иоторой вта поверхность притягивает точвчиув массу. При атом постоянная 1 доланв быть вамеиена нв гравитационную состояниуа ~" ! плотность ВВРИАОВ ~!( й у т') ив плотность мапо 22 !'х у т ) , величине заряда д иа точечиув пассу т. Вернула снлм имеет слвдуааия внц! 2." " 222 ~т'м1 2/ ~ Яо , Уо, х ! . РтсУтствве иивУс» В ВИР666- иин для силн оеъасвяется тен, что гравитационное н еяеятроотатние!' кое взаимодействия имеют различный харантер; масси прнтягмвантйя! тогда Вая Одионменима варади втталлхьвви!тся,

, рщ2зщр.3 ~, Найти ноющнав няедтроствтнцаенеге ахая.~йф62ф-. мерно варяяеннон О!Варн 22виетноста нярндд ~! м фртьф:ф .фщфб о!Вврм К

ЙВФ$ЕМ ~Щбафввя Н тенае,.А:,;: МХРфМФ2аРа Яа 4МФФ63фИМФ::: ..~":;;; '-: ". От, цеятф$ 2В4мру2л щмфй4 а!22Ф~ЯЁ.!!фффф$ф4$,,!~ммфм~н!ф-""ф~ф~р2В~~~зь~

':!~~ф~фф~,'!ь!я!~, .»;;ф~~фф,: ! „

Распознанный текст из изображения:

волучавм

2 у,„) ~ ~.Д ",,г

;к;;Ь:

х", у' Л ~,."~- --,—,—;

у'~ ъ ~ ~ Д'К'-2'. -Ъ

СУ, б~ ;Д,Я~ .у ~.„- '; ~ А ~;в'-ро сф.ры. потдя:уайд н~,ыу ~:~-.ь р;,рд~.~:. вз ссобрйавкМВ вел;. "„йз-

- К',',)) =-4: '„.а,, Че Ц:.,;~р, е

з~~Й~~~) .,ФФ Р 6:',:." ~ О- У йь,л г х ~ ммьи~ '«.З~, ж ~о'ив 4 а ж и~~ вкутри с4еры, т,е. ~ ~ ~~', т )Д- ~ ~ й - ~ ж,'Ц4~" 2 У 2 +1~-П уР~- г~

~~ ~оД:~+ ~ ~,.~~ ~, ~, р '10'Р83ЩМВЛ ВЕРДИ ОфРДМ ЙФ ЗЙВКИРЙ ОФ ~,,фИНМ 66РЙВОМ~ Ж~ 3Ю~ точках внутри о~ври ютващал одяыиовий и а~аз. дейв~.а~ааи вв мрлд, юмами„еаза вьцерь обмера, 'рвнж 6," T=-у уж3 0" 6 ~~~-.~ ~,ф~-~ Ь".ЛЯ ТО~ЖЖ ИЕЙОДВйОЯ В26 ОфИЩЖ ( 3 ~ Я 3Э Фб ~ Р Ц'." ~ — Я ,'~;;,.~-!,-'! ф:;,~й'-'!;,,;,'„;.-".;."-'-;-„:,"д"" ' -'4 4-;

Распознанный текст из изображения:

тк;к~ивет

переселенка к д

~ а~с., гне б' - тсекгалкпнк и ерррвннни И,О,О1, И„-д,р1, ~а,о,д~

а;ыйя и, ы

л

ФАУ. %,, стсеквеаеи екоскоотккв рр ° т

Л к'а' ~ ул) т'б, где р - п,,„н„к

4. ' к'Х е у'

ыекыв ~/к'.~

Л1Х ~йб, где р-афере

Ф.'+ф' +кк ° йк

Е " честь иилкндре Ду;„+,' й е'4,, 6 е х е уу

мед ., д к' к ыыитре васс однородиг ф и оку

Ф:- ~®нг'рснадт ннаривн отиосккеаьлщ

Ф'+ф: е МА„6 е к и 8, аоки икотность равна квадрату

'4*' чакке величину анан, действуеиев иа точечный варки

Ф~М~Мдйй н йентр основании конуса, боковая иоверкиость которого

~М."®енн- ррднуа основании конуса к, ввсота й, Поверкиостнав

'Ж,.~ей~нее. 4ФвФ нрсиерднонедьна кубу реостоииик до центра ооиоРнйр":4к'.фМИИИФВФВЩ,ЙИЩРРАД 2-й) РОДА ::, ' -, '"-.. 'й',1"', ' е

;!'4;"'„,".';-'::.йеерраееФФ:.„: р . Ф' МФХФеррсн 'ФФщеркнеенв ' навннаеесж ФРФ~р~ - . ;;.„':.,; гыккдтр:;:!вФ~$':ФАЙФ~:,й::ФФйФврей ярк Мцфе но «нбкеду нннв)ФФ':::,-:;-':::-:::;"'!;-. "„:„,:; ~~ ...:„„., 4,"~!',Фь4ФФ~ФЩФФф н '-М~':.

:-::.-:.'ие:!;~Ф~~~ФФ9$Щ~М~ФЙ Дф! ерКФЬ44ффйк.',.Ффффф:

дуать не паоерхиааты с Эккека еектаркап пале

уг Ру гг у и)'г т ц ~ ... у т'~~ е к',' т, у, т' '.

реооаьеы поеаакнпатк б епелаг пы а тому, кек пта была сделана е

которые репин и,':" ааатпптстепкка. рк келдай плаеедке выберем

тачку Л', и р к смотрим ыктегральыуе акену:

где пен зяб каы суыыы стоит океллгкоо прынеееде гка егкгарое.

0~РЕЛГЛЕНКО. РРЕДЕт ККУЕГРакенил ПУЫЫ -";,*' Р; ПРН

стремлении дыеыотре раебкеинк ~Д,',', к Р, если ан еукостеует н

ее пеенаит ат апаоабе реебкеиие поверхности р н еыборе точек

тМ иезыоеетпл паееркноотпыы пнтагрелаы 2-га рода н ооооиечаетои

1', Г;~» - Д,с.,у...„, „.а„„к,~к л.,г„,л„, „

Й

1'1гп Яг,к' T)

рггу р

хррреме. йусть векторное поле е' неирврнвио не иросчйсевкМ»- иод ориеитироввдиор соверкиооли р' . Тогда витерран ®'Р с~'Ф

В дакьнедеен вен раосренррщпйре: нектсрирн:.ВФМ:;~фФ~:~е::;::".-: воаагать ннвререннуееу.

Дв сцр~щедтнйр~:З~кр~ю'.~;:-'.4Д~ '

Распознанный текст из изображения:

и отличается зт *лс.

'"ьв"ьтзья;П

Взял перги нанаев из аз Пяьн г о о, ,г, з

~ и1 ою, с .ярзясляят" . яааси состт т, .гг:ь ° .'"' г, януса, и ямзязг' ььаитз нятзгрььсе борется зиаз пляс, осли я ; и, . .в.

. '> ' ' , -: . ясрзвлявниб косинус солслмтвлвя ~т.в. пернель образует сот. вй -.: -, с

с"~р з угол с ссстнстстзуеиее нссрпиаатвой ооье,''

ьа,; пере>; интегралом борется знал иисус, ясли взсраелноеий изоинус отрицателен ~угол - тупод~.

Ящер ~.~. Вызволить Д ,г о' б- , тле Р -~и.' 2')7»- -ь ( Я у — т. ); + ~ с ьо у) $, б - часть ноеерииосеа иаВзеи~- ро у -~-, еенлаяеииая изиду длооиостлии а" Ф, Фь е» 3'. и

Ог у 3, Отерсеа Псиорниестн Внбираотса тан, Втеба Неравна Еб рееовиеала острин ууол о сова . Ож (рис. 19у,

дувру ) до~4у )),~~ /7(А~о)/сон(Р, и') а ~»

ееаат бава ииуероретароееяо веа иолячеотоо аидиоотя ~ паза ~, пзо

иааауйуее иерее паоаааау д б" е ваяравлояии зореаля у"- . т,п, а

%мурав ~5 Р бтк опреденяее обаее иолиоестно лидаости

аау, вроееиееаее е единицу ереиеии верее все поверхность б

еуоа~ «оверхыоотиай вытегра» 3-то рода ььозивватсп таили пото;, 1г у

ааааррируо яоаа Р" иерее оееорлпоо гь

$Г ~аварии Мжььггю~я~~

фдяя~ь у

~~ Р~~+ ~) 4ь" " Л и а'Е + Д Р,У б

и ' б и гг

~а)У'4:~ 'б'2~' ~б, с -сбу е~,

,Ф: б

"," а ЩЦКИЩ9ЯЩй. Еааа,)ЮВЕрхвеоть б' раобыте яа Иоявроирп'."~ь~ЩаФМ жаЩйИвоеа б' и ба, то

'.:,::.':,',:.::::Д::::Ф46: '.у::3$ РВ8 . Б Ро(б'.

,"::;:.: ~;,,".-."."-'";':Ф:::::,'::,'':::, ",::.' 6,"'

. Боли б' - двуото'; ..„„. ' ~4Ф~Ф~$Й~~~~!'-Ф «ФЩФЭФ яу Обстаотетауаи аерааае цо, а

у.'.;:: ".::;;",, фФ::;:::::~~',.~$1ФТ,

$

~с 4$~фг '. '. --:-'-ать"-'«'~г: Ё '

Распознанный текст из изображения:

а л' ег л

Ы л"'о'й - Л ~.п лплуер.

0 и

л лГ /г,у в "7~10 /в-У гзн,лп т1

" ( 2.п - У)с~и слУ,Ц (.г г н вл - Р

'у. ~,8

— 0') лх а" т,

0 л пвл - проенпнн б по ~ гос ьетн у '

о. Провлпнп поверлностн и нп пл с .~

нню - перепоет у ; '* , спл 1- - в , :в , , тс, е

ствуот. Пвпнслнн отллльно пнт огрвхп Пп „О в Лвннон слупве слсутствуо . ' ' * " " » , г1 п

и у,'г, 2'0 пв хравнопнл поперли Б, , определен и:, у, т ~ .; . . ' : . о

л

и,

и нопопнлоплн носовой нержин (рпо П/.

4~

ло,

~в

+ 21 с~у 588,

0 0

Д ~8у~д,т)-х)ахеяну олог Лп' - ~~в~гс с1т

В

~' 1 влтт 0 (8;г - ж) отй 923

0 0

плаща $ Д' Н б ' 838 - 928 -600.

-'Ф: 8. йичполеппе паверхпоотп

о и

вичислеппп поперхпоотвого иптп

Д И-. -Л~~,РМ..- ~~

ф8рвфцФй ппейифВ $1рри~ыщ

:::;.-:.-':::,;.;,4~!'-:,,".~'

ого интеграле 2 го ропп сводит и РРВЛП Л"ГО РОДЙ+'

Рйо,' 80 ~ Ропе пс + Й опв ~е н л! 008'у ) 0 0.

Ймвем

6: ° Рде "' . 8 .вуп ' (йериепв,: впеипппЬ

Распознанный текст из изображения:

,„.в д

лвс ~

ввовав

*,'.4)в " !в.ввм,

с

Мвивримосвь р сссвсв вв свгмсвтв вд, смолл вс -- ',' ' ".-. 4

вмввм в, мврвссвсвдв вс . у в -. д - 2 и лосев 5, лдвскосвм

2 3. Омввидио, во П и 2 Ас б.у: ') ° Нвддем лровлмлв Гв

Ы,

и б ев адовмвсвь дну . йсвдмввя - лс состоим урввлввлй

'а"

д' вуа+ у =4

вмиРВм л' - М' 5 - дрввиемле лроеицмл дивил лереовлонмм о(ер ' "м4ввоо вмФ ив тду, под у 0 о драв им 1вребвемди иввсеам й + у' м 2, аида обрввом, орврмвесимй оермеив Ф"авва~Фа™ аров;Р я . ~ ~ $ в масел лврвбовомда " и 4МИИФ Р 2 О:й в.М Ф'В, Двд ОЕСМЕЛта О)арл О, ММЕОМ 4МИВ:."4" м6, й 4(Ж,~) 4-фд уд. ЛОЕМОМд

д4 -4'

а' '- '.'':.';.,':„' .'Й~ ~$ "йм(Ф Ва .М '4ф~ф (С(СВ ((ф. В )Л" ~д'.м Ср ..;д ':,~' ',.':.'$4 Е.~вВа, ' . 9 Яу

.,$ р...й~.(~- -'~ „в.;.'.—,

о

в

орврв, ~ввлдлмвосв в вврввм ввеввмв, в ввл,в-".омом

в. лвйвв;мс:д с~ъмо'д «ув вв;.."д - во,- .м ~у ддв 6-

лсдлвв вввврхвсств кров ~'р ~ ":: 1 „.м'~ м 4. 'у„*',, вв ': свмеммаа

4. модем ломом иеммврмого лови,"" = 7хвв '"''ву р = й, д,

ворье лвавув ловврмкоовь авиа ъва .у' ело р''вм Ф 2"

В ИВЛРВВ4ОМММ ММЕИМВЙ ЙОРМЕДМ

ь, двйвм,Ц Р Уб.. иде вм мааа И +'д.м

меод лврамдомда д ' д. '~в, О ввЯ44-..Й,'мвО ™р~м 4!~в

.алой мивд о оощ Дд

Распознанный текст из изображения:

62!Ргц

.!. 2. 'и

4 ° ъхб )6

10. 62. 11. - ! 6

!'лоос

Таблица 1

и

па!

Ллстность )!

1

ураененне ириной С~

с)'

2

). = )-сок!с

тнйб!Вби Распну

0 <с)дй

',.оба,),lб — 6 6) пил)

х а)ц'ох);, о ~ хтю В:

2

6. Б ьй .."', ' ро Ид !,9 '" ":.''

с

Глава 4

1. -~26, 2. --;„26 „к, 6, х .—,, 6,!хй

Щдча а1, Дана хрнвал 6! плотности !х (см. табл. 1). В ваакантах 1...10 найти момент инерции кривой 6' относктельно начала кссрдииат, В вариантах п...20 найти массу кривой 6' , В аарпаитак' 21...30 найти координатн центРа масс кринсй С' .

, ЗЦЩВа Вт ВКЧКСЛИтЬ КРИВОЛИКЕйимй Иитстрап ) РЦ';2 ю Я С)У

ЛВ убейкккнсь в тои, что цодннтегралвное инралениа паляетса полним дюййеренцкалои (си. табл. 2).

. 4йдйа В В аариаитал 1...16 начислить крнволинейкнй интеграл

с) ж Й Ф)) ..+ )2 х) 2, :, убадиаииоь,и тои, что подан)теграаьиию

акРих!иииа, ццкиий диФ!)арайциад. В юариаийак 16«"20

найти йбпцки!ю ')22'10, ау, 2~- . ао еа цоиийиу,д!юФФарйнциа~!у

!2)Л )Р)Хго Ю. ФС) У + й С) 2,",.Убюйнаййаау ДраДаарнтала'

!

!нмн с, ° Г!легкость поеерхнсстн б ранна )! ( бл 6) В .и,!пт!!х ) ° ,)0 наНти массу поверхности б' . В вариантах П ...20 пнйтю НС!Рпипатн цаптрп Мапо ПОПЕРХНОСтн б' . В НарКаитак 21...30 ,„,;;„; мпмпнты нпср!но! поверхности б относительно псей координат

ю, р~к!ат

Вп!).!ВВ!,6. Нпптк !нток аокторного полл Р перес часть плоссгроннчснную нсорлнпатнычн плоснсстпнк, Второ!пх плос-

,П), цоппстсп нсРмслью, сбраотюаей сотрнй угол с укаэанной

ртп 'хт !гм табл 6)

!)пдц В! 7. ц!!йтк поток нектарного полн;5 череп неаеикиутую

, » !н ст, б, Скоро!и! поверхности опрелеляеток нормалью г), попсою!!Кой! налип!пхп угол о паданкой осью ксорцинат )см. табл. 7).