Книга: Краткий курс тервера

Распознанный текст из изображения:

Московский государственный технический университет

имени Н.Э. Баумана

Распознанный текст из изображения:

Л. х»»ъа)мм е»а, й„,

событии

знает»п

наст пср-

ч»»и-",х:.:

'.~йфа)а)йййв тайхавтнасть с»»йьх»т»л

,.ф~ (йф(й))й)йии))ийм иа еайьхтий Ип

!:.';.-',,'"4ййо:.":"-::МФМ Иес х

. ' хйй:,:,'::::в-::::):»»»~:х»» ю~ »»»

,»,;,;...;::Ф

(,~~.;.~~::.„~".,",~.~;;;:;;::,.'3-;::.:-:":::;;-', ";: " ' ~„ ." -Ф-:":.'-'-'=:."::-':-:-':::::::: ':

рас. т ,.Ф~9.-.''"..'""::": *":-:-:.. (()(((й(АММУ Фертиетйость сабмтнл 4 ф~:„.:-;; ...х М- Ай= А(М, 4. О, + ... „Ц, ~~,,П

-» со свойством 3) верояепастн (см

» » Ф;:.х:, Р(Ю'= Р(»)",АИ)=- ~)" Р(АИ,) = ~ Р(И,))»(АУН ) »3 ь.» »ы Р(А) = ~ Р(Н,)Р(А»»И,).

».!

Хфимй~в. Из и экзаменааианных билетов студент (хз(а(ииииеь билеты), Что лучше: брать нз экзах1ене б ВЮедеы событие Л вЂ” студент взял»хороший» билет Йода) студент берет билет первым. та Р(А) =.—

пусть студент берис бму»х»»к»»»йй)))мф),'.""-.'*-'~ ~~~»а.,- йве)хсм лве сините~а:.";:.;,';, -':::..;::,':::;,,'«:,.'-,)!-:,:.:~;;.;,~,

9, — иервътй студент»вз)й(»

Вы»1нслмм ВероФФйиств ФМ)»(й()(ф',"„,~~фф~~ '

Р(А) =. РЩ)Р(А Цж)-"»:М,

итй$,-.(».. е,»ф:: ~;фф':;"и»' "'

Следовательно, безразлжио»';,.'ффффф,,;

(»ы»

1.5. Формула %айва::~

Н сааеветствии с теоремой уатйиййМца»((" '" "

Р(А Н,) = Р(П))Р(А~Н~Д":-': Я4~:~

й эта равенства надставим з)чх»х~;:!,,

й»орх»уле асан!ай нсраятиОсти» и нйЩфМР~М „..,.':--;;~-'3;::;";,

Р(А) = ",~ Р(Н",')ЙФ(()~':,;:;;:::;;-.-"":;, ".,

Р(А/ЦУ::: =':ЯЁ3~~

:»';.'-"" =;.Ф'

Эта следствие из теоремы ухивз)йе))йй. Ф,»

ралтнасти иазывветсй фармудай Бййвсв,"знйс

Вероятности гипотез Р(Щ,.вв(иЩММФфй((~'

р ., я риариыии,. т,. е)

опыт проведен и его результат нэаеете»н»»'::,ъ;й.',~",

изошла или не произошло событие А.'ФМсФ

получен при асушествленин кахазй"Фх Ф6)рФ'-'йх»фдад($~"

волнительная икФорыаци» об неладе;:,(зй(ай(б '

нероитнасти Гыйатсз. Эти перераеу)ре)Виенйж=

тез Р( О„'А) называл)т мзаете4)иийимип, т. 'е.. ей

Пример, й первой корзине ивлоййтси" $.4$$$зй))))~; 'Ф "

Хдсба, Ва Второй — 4 Каыв)виа И. ( йуЕОЧЕй Лйсй»)е'(

выбирает корзину, бежит к ней и:вМеййзйЦМФа'

Распознанный текст из изображения:

~ вновь ваз- ~ А? Каковы первой карчто она вто-

5 1/2 = 1/2;

щую зн значении

роятност (р, +...+ личина

Р1 ". Рп

Зако

и!

Р(Н )Р(А/Н ') 1/2 1/5

ХР(Н )Р(А/Н,)

зываетс

между е

тор ыми

Осн

слччайн

гм

гоуголь

х! ха хз . ха

Р .В

собуазу~в!)А::;:((тй)е)птолйгается, что этот кусочек затсл

~,;::В":::::кайзйп)():;.:,Какоьва вероятность событил

'ра(з)(йочйя;:.'лл(ло;::мщ второй раз мышка побежит к

а)рдел!~~"~ьф~ф~й~юй)зинепг'-'Какогва вероятность того.

Ф;,'Й~фв~::а(?сошек'хлеба?

~:~:::з(па)йгка бандит;к;псрвой корзине;

Ж'"„'-,— ',:;.,;: $~итщса''бежз)т: ка,' второй корзине:

Му):.'-'-'1/Ё:=" 2?(Нй) —.' 'априорные вероятности.'

/Ю~)!".""(4/5,'::::.'Р(А/Нз)-'-1/5; Р(А) = 4/5 1/2+ 1/

)?"'"'' Н Р(Н;)Р(А/Н,) !/2 4/5

~ Р(Н!)Р(А/Н,.)

ероятности Р(Н! /А) и Р(Н2/А) являются апастерпорнымн

т)гостями.

ри втором подходе Р(А) = 4/5 4/5+! /5 1/5 =! 7/25 > 1/2 .

ншка. обучилась, второй раз она выберет первую корзину

шей вероятностью н добьется болыпсга успеха.

аметим, что это — один из основных принципов обу !сшгя

етических систем.

3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Случайная вели пгна — это вели пота (чнсло), которая и результате опыта может принимать та или иное значение.

'Более строго, случайная величина — эта числовая функция случайного события Х = Х(ш). ш е (2 е о . Здесь о — алгебра событий.

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно, Например, число очков на

грани бр герба—

Слу' чения з ный. Зде расстаял прибора чины.

Расс

Распознанный текст из изображения:

той:,функции

слева; в

ф

распрел

ния.'.а. внае ' аиалитвческой

иня":-;;х,'„'...,'х„, н вероятности

Кую величину Для непре х) ='О, поэтому рассматри этих событий.

!аной слУчайной величины ия Х<х:

тн ости,

Ясно

кона пиал

ъ'4 х

«ост1

ства гц

~х) > О

ция

Р(х)~Ух

т. е, функция Распределегом деле, Х<х, =«Х< (Х < хе) = Г~х,); ) = 1. Действительно, сабы

ероятность нулевая. Собыоятность равна 1; к как события А = ~Х < о) овместны и событие С = ~Х с Ь) есть сум-

Р~Ь)=Р(Х<Ь)=Р(С) = Р(Я)+Р(В)=

распределения имеет примерно такой же

Рве, 9

Функпию распределения можно определить и для дискрет'ной'случайной величины. Ее график будет графиком ступенча-:;-22,

том всроя'и

Свой

1) р

гцая функ

2> )'

ра сомо

готности распределения: , так как фунипгя распределения — не~6'йЮФ-'::~~' ': =! ~условие нормировки), так как ИФ;):='-;-Ф-'.: .".:-;

м числовые характеристики слугчайнъй~,~;:;;;,,-„-~

Распознанный текст из изображения:

:х) рг

'р(х)ех.

(Х)) = ~У(х!)р,

см

ой величины;

иной величины

еского ожидания:

скретных случайных величин, если Х = С то М(С) = хр =С. Для непрерывных слу= ( Ср(х) !(х = С ( р(х) Кх = С по услоотности вероятностей;

) у' "фф!'ягф,', „'.;:.

М( ::,:з(!гн'непрерывной случа'

Свойства математич ::г,'а',веровт!носатые р = 1, ..:.';ч)~)(р(и,::величин М(С) -".~три(,',~ня~жировк!(длй ггл

случ ! нои вели'!ины назыв

т= М!Ю = а,(Х)

айных величин гл, = „,, „

и

жить гочки хп... х с

ентра тяжести системы т „ случайных величин математиче-

имеет смысл абсциссы центр

ункцг!г! случайной величины

з) М(СХ) ='СМ(Х));:;;В',::~й!йо из суммы:.в дии~Рчтном,-:~а~~~~ нем случае;.' З) М(Х+')") =''М(Х):::+':."МСй)') 4) М(Щ > (М(Х)1''(без:.'!!(о цент рнрованнон 'елучайнй~

гв„= Х вЂ” М(Х). определим нентральнйй мом Для дискретной слуФййо!'й

а и~=Х

'! 1 Для непрерывной случайн Дисперсией называется ной величины: В,. = В(Х) = По свойствам математи

О, = М(Хз) — 2(ги

Эта формула часто при концентрацию кривой расп пределения) около математ вой оси расположить точки момент инерции системы центра тяжести л!х. Для дискретных случайн

0„= ч„(х; — в„)~р; . Для непрерывных случайных величин

Юх = ) (х- гн„)~р(х)к(к,.

Распознанный текст из изображения:

этому М(Х2),=' 'р;=, а: дйряфейя)

О(у) М(у2) ' („,-„)2. ~р" .ф"-„:

распределение называется

если плотность случайной:: велич

(а, Ь! р(х) = р и равна нулвз 'вне)аМ

Из условия нормироаии'фяя

з под знака

атея о(т) =

используют- мера остро-

Отс1ода вытекает, что. р =.,

распределения. Функция раси ленной равномерно на отрезке:

рифметича-

х

р(х) = ) р(х)Их ~

оа значение

Вычислим математическое

ны, распределенной равномерн

а~ =) — И» =—

х

Ь вЂ” а Ь вЂ” а

а

Ьз з (а+ Ь)(Ь

=р

3 2

а +аЬ+Ь2 а +2

3

= — (4а' + 4аЬ + 4Ь2

= — ~Ь

1

12

при равном

То есть

= (Ь вЂ” а)2/12

ость макси— абсцисса й плотности Р(») = 1(2) оятностью р аний в миимаюшая два р соответст-

Г...,.:....ч.... ,:~:.::;;:-:,:~~,.'-":;;::;::::",'!;;-';,: ~идя'распределения равна

О, — » <х<О; Р(х) = д, О < х < 1;

! 1<х<+ . Математическое ожидание равно

М(Х) = тх = Од + 1р = р.

Если составить ряд распределения для случайной величины

Х~, то мы получим ту же табл. 3 (так как 02 = О и 12 = 1). По-

— ба—

2

— 2аЬ+ а ) = ' ' .: "'::::.'-'';::!':,::,;.'-;:."~::"'"';::-;-'':;!'.-"--:';,-!~,':-"'::!4

ерном распределении.2я».=,;.ФхФ~~~Ь;-'~~~~"' '

Распознанный текст из изображения:

йу(х)= ' 'г~„'

) ХДу

а о 2 * "алогично аг(у Ь

)=-;

о' а ' 3 ' и»логично ЬГ(у Ьз

)= —- 3' ~(л)=АУ'(Х')-ру(Х з а' аз

)) а а

3 4 ) 2 аналогично гз(у) Ь

ь

12

(Хз) = — (суд Г -,) ! аз Ь'

аЬ з ) лУгУ вЂ” а

0 е аЬТТ= 4-

Следовательно

ые величины Х ~,

неко ррелиро ванны

6-5. Дв

.. Д умерное яормальиое

е распределение

Двумерная сл

р случаиная величина (Х, У) ас мально со средним

на , ) распределена норкоэффициен

и значениями т и,

ентом корреляции, е ана

Ьь диспсрсиями о2,о1

р, если ее плотность задана

-1 ~ (х — т)

2,о,~4 - Р (2('- Р 6

Р +

( 1)(-1 т2) (у газ)

о~о~

2

б.б. Задача линейного прогноза

Заданы характеристики тн жм он ом р случайного вектора (Х,, Х2). Вводится случайная величина — оценка Х = аХ,+Ь— линейный прогноз Х2. Вычислить и„Ь, чтобы линейный прогноз был наилучшим среднеквадратическим (в смьгсле миниму-. ма погрешности оценки: М((Х вЂ” Хт)2) -ь пип). Найдем

ЬУ((Х Хз) ) )3(Х Хз) + ('" (Х Хз))

= Д(Х) — 2

за счет выбо

слагаемое, сделав

ья обеспечить мг шину параболы):

Подставляя а

Вычислим и

виях параметров

ЬГ((Х- Хз)

При линейно

грешность равна

Чем меньше В крайнем случ а = О ь =..аь - Х =.

7. ЗЛК

И ЦЕНТР

Первое нера» Х > О и существ для л!обого е )

Р(Х >е) <

- (Х, Х,)+Ю(Х,)+((жСХ)..-,-'-',ж'",'," „

з 3 а а, — 2аро1оз+ ов и(атзнеЬ;-';,'заф',.; Фаьф~а ра Ь можно лишь. мизцпяиаи~г4~~;

его равным нулях Ь"='"'л~: ".:."а)гг)~ шнмум квадратного -трез)лею'-".~., огрешность указанйой оценйи':.;-'щ~~~!4~$ф"

к",,; оф

.2 з оз з зоз ч:.'Й"~!' з, -) ='.— '.-, — . —;-,;:-.--..-.,~„:,.-,".„-а".',—,,- й зависимости Хн Х, ((р)'=,,з);::рйеМмяежф~фкоэффицнент корреляции . тем.афтаб~~!, ' ае при отсутствии корреляции::(~О~."; .щ, ЬЯХ =Х„л-,л =зт, ' . ".';...".".=.":",~:::::',.';;::.'!!!!'.;"; .„" ";ф;;,

ОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ --: ':,:::",:;::.:-::-".'.".-:::;:;;.-,.":",'-,,;~~~~

АЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАИ ЖОР$5~Ф:.'-":,::;;:,,:,";::,'-:~:::;;-'::,:!':.'-'~~ 7Л. Неравеяства ЧебьпяеЫ:"';,",.':-'::::,':::;-''.'';:!':'.::,:::!.-::.:!':--"-',:~~' еиство Чебьвпев», Пустя":случаи)гай~;'))$'~'!~~;!~ы О выполнено пераое' неравчЕЖ~~Ь!"~Ф~Ф~~~'"';;

Распознанный текст из изображения:

о 2БГ(У) =

Ь

2'

аг

И(уг) = —;

3 '

~2

огично Р()') —.— —;

12 '

2 4

Подставляя это значе~

некоррелированны

Вычислим погреши

ниах параметроа:

ормалвное распределение

М((Х-Х,)г)= р

При лииеинои завис

г

грешносгь равна нулю.

Чем меньше коз~)

В крайнем случае и

.л = 0 И =.,Буз . У =..и), Ф

гф

ри

глг)(у — лгг) (у — глг) ~)

оРг ог )~

г

((И вЂ”. Х,1,1—

~. ЗАЕО

И ЦЕНтрАПЬ

7Л. Неравенства Чебышева

Первое неравенств

Х2 0 и супгествует

длл любого е > 0 а

г.(Х >е) « —.

М(Х)

е

„::,~~.'~'. „':.~," нйФф;БпГи , '.:,;'."анаггогачно

лг''' аг': аг

3::.' '4 Г2'

"Б: 1 гБг

о'х) зуау = —— е величины Х, г'

величина (Х Г) распределена норнйями лй лгг, дисперсиями о;,о', и

р, если се плотность задана

б.б. Задача линейного прогноза

Заданы характеристики глп т„оп о„р случайного вектора "(Хг,"Хг); Вводится случайная величина — опенка Х = аХ,+Ь— ',линейный прогноз Хг. Вычислить а, Ь, чтобы линейный прогноз был наилучшим среднеквадратическим (и смысле лп~ниму. ма'погрешности оценки: М((Х вЂ” Х,) ) — Б ппп). Найдем

г(у((Х-Хг)') = Р(Х Хг)+(д(Х Х,))

Р(Х))-'":2(66чфДД

= его~,'!:'Б2арй

слагаемое, сделав его''рашгьпа

си обеспечить минимум кв

шину параболы)

НЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

НАЯ ПРЕДЕЛЬНАИ ТЕОРЕМА

о Чебышева. ПУсть слУчайнш '~Н ее математическое ожидание М(Х) ыполнено первое неравенство::::ззеб

Распознанный текст из изображения:

При

. исп

ятнос о.

неогранич

ытаний — ''

ти события

Доказательство

уе луелгд Бернулли.

опьггов — независим~ гх о вероятности к веРо доказательств

ио теореме Чебышева.

Пре

теорема функпи ых вели Функции теорем перимен влияни ксперим нисм с бразом.

Х» — н ческие о

ельиая оторьгх случайн ельней дельная ого зкс кторов такой з пределе юшиьл о а. Пусть темати

означи

~ (Х.

»м

Если можно подобрать т

акое зн

41Х т ~з.а

;: ';!Тогда;"среди

е)луЧФииБк ве

;,-мети)гескому'ш ма

- Доказатель

;... дтзгоЪти 'з)рояодитс

::,'-;:,':- Я'.

то при п-+

г" (.х) сходится к Ф(х) =—

» лз

,л2л

равномерно по гс

"~~"'"Йо!.:„"Рассмотрим ",.

.'.;::-'~-:::=.",::и:.х, н„хднф.

.--:-;,;~(Хч»)): -„з М(Х«Х» — М(Х»))'),

:(Х„"':-'М(Х,))(Х„- М(Х»))) =

;«„:;,~~~1-.:- Лз к ' » з — ~ 0

Величины независнмьл, следовательно, и

рощ~:.-:нераренству Чебышева следует

тво сходимостн по вероятности

едыдущей теореме).

ллпсть

усть Хн Մ— зависимые случайные

тическими ожиданиями т,...,

и..., т„и диспер-

личин схо

ее" арифметическое наб

людавшихся значений

сходится по вероятггости к среднем ахи и

ожиданий.

ство. Д

я

. Доказательство сходи

' димости по ве о, как в теореме Чебышева.

р

Цевтральиая пред

вящая условия, при к

дивидуальио малых

мых сходится к норм

Центральная пре

если исход случайн

числом случайных фа

иебрсжимо мяло, то

ется нормальным рас

ра~ шыми соответству

ледрема Ляпунов

личины. имевшие ма

персии 0(Хл) = О». Об

параметрами вл,'- 0,.',.П(ЛЕ~'-':,;.!,"';.',;";;!!'-,'„;~~,=

Щхд =ю,:и,~:,:,'.,;';.-'.-'::..,'=.,'.:.,'.:,,-'.-,',,".'-.-','.,

— т„)

0»

Распознанный текст из изображения:

з

л

Х))» = (»»оз =,г„- е=!

где»»а, Ь вЂ” любые значения

х ! з

)ез. »г! о

. условие

1

Фо(х) =—

Лл

о

ХМ!А — л! ~"

Ток кзк значения »»а Ь мо

туг быть вы

~, -лр

Ь вЂ” на =

лрЧ

Муавра — Ланда

золанном интервал

/с! — лр

образом, заменим и на —,

,/лрЧ

Вывод»м ингсгратьиую формулу

стп нахождения числа успехов в

= Фо г= '~'о

п, Ь. Тогда

:теареоеа е '

щания М~д ) ичииы, ик»е!

л! и дисперсии Л( ющи

»)= оз

о

Х!»

1-

рт(х) сходит„„„

~~е з,у!

:: Равномерно по х,

це Леви Ли еб

В теореме Л

нзральной нредель! ., Р (се ча»пе »ц-с!.

ной теоремой)

сего и

выполнено, оно превращается в—

ается в — ! 0 (проверьте сами)

лз

из-за т ебо а

р в'ния еодинаковости распред еленин»к т. е. равенства вкладов слу айных величин в случайную ) .

велич»»н) ! . Поэтому, теорема Леви — Ли»щеберга следует Л

из теорел»ы ляпунова,

ели рассматривать схему Бернулли, то из теоремы Лсви— Линдеберга следует интегральная теорема Муавра — Лапласа.

Интегргееоная теорелга Муавра — Лаиласа. Пусть производится л нсзависимых испытаний, в каждом из которых с вероятностью р может появиться событие А Введем следующие обозначения:

ния: у». — число появлений события в !»-м испытании

Р1

(М (А'е) = р ))(А) = РЧ~; Х = ~ Х». — общее число появлений

'-к' к

браны произвсл~~:'! ~!':,"'.'':.~"'::,„"';;")"„;,

А=!

са для вероятно: —,. '.",

е (см. равд'..'5)! ' . ",'.(.~,

»л! - лр гл — лр тз -лр

р~ »л, < ~ Х» < ль ) = р~ — < — <

(,,!лрЧ

Заменим а иа и —, Ь на Ь вЂ” в силу произвольности:: РЧ РЧ

— — — = Фа Ь вЂ” -Фо »!' „

Распознанный текст из изображения:

М(Х):., пр,'!Щ~~~~~', '

к Ф(х) ='.— '":: )''в::.:З':::;.'Ф:::, "!~:::;,-;-:~,",,,

дует практичесхюе~й~б,;

сабы гия в и !гспызвн»гях (

по теореме Леви — Линд

Тогда

Р (х) сходится

мерно по х. Отс!од«еле

равно лсния

х ! !

)::схрдится'к Ф(х) = — )г е ' ау

,%

рот)зв~:;.'~,;!;;-' .

ч~ З» = ч'па =а/а!

*=!

где Ча Ь вЂ” любые значения

')ез й

па

!

(х) =—

Д

Фе

могут быть выбраны"и

ире-. »

у Муавра — Лапласа

заданнол! интервал

Так как значения Ча

(З вЂ” ггР ормул ехов в

образом, заменим а на

Выведем интегр сти нахождения

альную ф числа усп

Р гл! с

»=

~~~" Х» с гл! !

=Фа гл — — Фе

илу произвольности";, — Фа а —..:,.:: —:,',:,."-:::::.,',!.',:;:-;,,=::-':.';:~,:,.=,'~~,

ьф~у~';-''':,',-:,)уа)!))афер»а.. Пусть Х» — независимыс олина

В))))ц~;;.'~айИЫегвеличины, имеющие математиЩХд!):".='':;-'ф':и'дисперсии Ю(Х») = а'-. Обозна*щи

~.,'(Х -«!)

г:-."ю -з

ви — 'Линдеберга (ес чщпе всего и назьпгают

ельнгой теоремой)

1

',,:.~-:"-:В~)г)о)!)»еко,'.'оно превращается в — — --- — » О (проверьтс сами) !::, -:»(з'-,'ж!требава)гйя «одинаковости распределений«, т. е. равенства -."'Лк)гадов':.случайных величин в случайную величину У. Позто' Йу гебреиа Леви — Линдеберга следует из теоремы Ляпунова

)сс)пг'рассматривать схему Бернулли, то из теоремы Лсви—

'Лщщеберга следует интегральная теорема Муавра — Лагиаса

»хагаеграеьааа теорема Муавра — Лииаса. Пусть произво' дится и независимьи испытаний, в каждом из которых с веро- ятноетъю р может появиться событие А. Введем следу!ощие обо.значения: Х

° ния: Х» — число появлений события в /г-м испытании (, »Л,'; —:.р,. ~~Х»»! = рд); Х = ~~ Х» — общее число появлений

»=!

,Лф

Заменим а на а —, 6 на Ь. — в с

1 Р») ~ )з)

а, Ь. Тогда

Р ив

Распознанный текст из изображения:

Е. С „Оач 1973. 172 ~ В.Е. Ру математ

н В.Е. Те Высш. ш вероятн МГТУ им ~ическам

— - р = — — = 0,007 = е;

'Ру-- р~ < е ~ = 2Ф ( О, 007„~ — ~ = 2Ф (О, 89) = О, 626

в;я „,~...,Ц,„„и~л ра .";::.';-:;„:!' !'';":?ф~вийр,':,,'Зю44ои брас '„;:~-;:::;:::-:,,:!-;.'::,!2~во:раз;:: Найти вероятно :з'":-'-"".герба от вероятности.

Получаем:

мула для вычисления отклонения

п1, т.е, а=-е,Ь=е, то па нс-

ния события р=0,8, Проведена

. Найти вероятность того, что

и не более 90 раз.

а получаем

зу = О, 4938+ О, 3944 = О, 9882 .

ил монету 4040 раз и получил герб сть отклонения частоты появления

Веиицел

564 с.

Веяющ

М.: Наука,

Гмурмта

ятностей и

334 с.

Емурма

стика. М.:

Теория

шенка. М..

тика а теи

С. Теория вероитк~~;;:У~ю~;;- араеХА. Теорий"" ' " '"""

ководство к решений~::яйафФМ" ической,статисти~.;.'.'$~~!,':,~ф,:,, ' ории верояхйосхей,"и:

к., 1972. 477 с.„

остей / Под' ред;,'В.'С::::,ЙР',уьвай~~~

. Н.Э. Баумана, 2001::1458-',:,Ф~':,~„- ' -,