ДЗ 1: Теория вероятностей вариант 1

Задача 1. Одновременно подбрасывают две игральные кости. В вариантах 1-10 найти вероятность того, что сумма выпавших очков: (а) равна k ; (б) меньше k 1; (в) больше k 1; (г) заключена в промежутке ; . В вариантах 11-30 найти вероятность того, что произведение выпавших очков: (а) равно k ; (б) меньше k 1; (в) больше k 1; (г) заключено в промежутке ; . Задача 2. На некоторое обслуживающие устройство поступают две заявки. Каждая может поступить в любой момент времени в течение Т минут. Время обслуживания первой заявки 1 минут, второй –  2 минут. При поступлении заявки на занятое устройство она не принимается. При поступлении заявки на свободное устройство даже в последний момент времени Т , она обслуживается.

Найти вероятность того, что: (а) обе заявки будут обслужены; (б) будет обслужена ровно одна заявка. Задача 3. Задана структурная схема надежности системы, состоящей из пяти элементов. Событие Аi – отказ i -го элемента за некоторый промежуток времени. Вероятности безотказной работы элементов заданы: (Ai )  0,95, i 1, 3, 5; (Aj )  0,9, j  2, 4. Событие В состоит в безотказной работе всей системы за рассматриваемый промежуток времени (события Аi независимы в совокупности). Требуется: (а) выразить событие В через Ai или Аi (i =1, 2, 3, 4, 5); (б) найти вероятность (B) безотказной работы системы. Задача 4. Из партии, содержащей n изделий, среди которых k – высшего сорта, для контроля последовательно выбирают наугад m изделий.

Найти вероятность того, что среди выбранных изделий окажется ровно  изделий высшего сорта при условии, что выборка производится: (а) с возвращением (выбранное изделие после проверки возвращается обратно в партию); (б) без возвращения (выбранное изделие в партию не возвращается). Задача 5. На склад поступили детали, изготовляемые на трех станках. На i -ом станке изготовлено Ri % деталей ( i 1, 2, 3). Вероятность выпуска бракованных деталей на i -м станке равна Pi (i 1, 2, 3) . (а) Определить вероятность того, что деталь, наудачу взятая со склада, оказалась бракованной. (б) Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на j-м станке.

Задача 6. В отдел технического контроля поступает партия, содержащая N изделий, среди которых имеется M бракованных. Контролер для контроля отбирает три изделия, при этом в бракованном изделии он обнаруживает брак с вероятностью Р. Партия бракуется, если среди трех отобранных для проверки изделий обнаружено хотя бы одно бракованное изделие. Найти вероятность того, что данная партия изделий будут забракована. Часть 2 (к модулю 2 «случайные величины») Задача 7. Произведено n независимых выстрелов по мишени с вероятностью попадания p . Пусть случайная величина  – число попаданий в цель. Для случайной величины найти: (а) распределение вероятностей; (б) функцию распределения и построить ее график; (в) вероятность попадания случайной величины в интервал ;  ; (г) математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Задача 8. Непрерывная случайная величина  имеет плотность распределения вероятностей f (x) (см. таблицу ниже). Для случайной величины  : (а) найти ее функцию распределения F(x) ; (б) построить графики функции распределения F(x) и плотности распределения вероятностей f (x) ; (в) найти вероятность попадания случайной величины в интервал ;  ; (г) найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение. Варианты 1 – 10 Варианты 11 – 20 Варианты 21 – 30 Экспоненциальное распределение ( ) , 0 0, 0 e x x f x x        Гамма- распределение (  3) 3 2 12 ( ) , 0 0, 0 x e x x f x x         Распределение Лапласа 12 f (x)  e x ,    x   Задача 9.

Плотность распределения вероятностей случайной величины  имеет вид ( ) , [0; ] 0, [0; ] f x k x x c x c       . Случайная величина  связана со случайной величиной  функциональной зависимостью   a 2  b. Найти: (а) константу k ; (б) математическое ожидание и дисперсию случайной величины  , используя плотность распределения вероятностей случайной величины  ; (в) функцию распределения и плотность распределения вероятностей случайной величины  и построить их графики; (г) математическое ожидание и дисперсию случайной величины  , используя найденную плотность распределения вероятностей. Задача 10. Дана система двух дискретных случайных величин  ,  , закон распределения которой задан таблицей pij    xi ,   y j , i 1, 2, 3; j 1, 2, 3, 4., где x1  2, x2  3, x3  5, y1  1, y2  0, y3 1, y4  2.

Найти: (а) законы распределения случайных величин  и  ; (б) математические ожидания и дисперсии случайных величин  и  ; (в) коэффициент корреляции r ; (г) условные распределения      xi y2 и  y j x2 ; (д) условные математические ожидания       y2 ,   x2 . Задача 11. Система непрерывных случайных величин ,  распределена равномерно в области D , расположенной в полуплоскости  и ограниченной линиями x a, y b, y x      . Найти: (а) совместную плотность распределения f (x, y) , предварительно построив область D ; (б) плотности вероятности случайных величин  и  ; (в) математические ожидания и дисперсии случайных величин  и  ; (г) коэффициент корреляции r ; (д) условные плотности распределения f x y и f  y x; (е) условные математические ожидания  y и  x; (ж) уравнения линий регрессии и построить их графики.

Задача 12. (а) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины   a  b  c , где  ,  – система случайных величин из задачи 11; (б) Найти функцию распределения, плотность распределения и математическое ожидание площади прямоугольника с вершинами в точках (0,0), (0, ), ( ,0), ( , ), где  ,  – система случайных величин из задачи 11..