Книга: Вырезка из книжки - Ряды Фурье, интеграл Фурье

Распознанный текст из изображения:

(66.! )

С другой стороны,

1

[[)

3,'Гл

Глава ХЧ. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

~ бб. РЯДЫ ФУРЬЕ

бб.1. Периодические функции.

Периодические процессы

При изучении разнообразных периодических процссгое, т. е, пр«

цессов, которые через определенный промежуток времени повторяю ~ с»

(встречвются в радиотехнике, электронике, теории упругости, теории и

практике автоматического регулирования и т. д.), целесообразнее р» 1,

латать периодические функции, описываклщие эти процесс,ы, не в с ~~

пенной ряд, а в так называемый тригонометрический ряд.

напомнилг, что функция у = г(х), определенная на множестгк

Р, называется периодической (см. и. 14.3) с периодом Т > О, ег иг

при каждом х 6 Р значение (х + Т) 6 Р и выполняется ранено|юг

йх+ Т) ='П*)

Для построения графика периодичс ской функпии периода Т досг».

очно построллть его на любом отрезке длины Т и периодически щ»1

должить его во вскл область определс пня.

Отметим основные свойства периодической функции.

1. Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих олег

и тот же период Т, есть периодическая функция с периодом Т.

2. Коли функция г" (х) имеет период Т, то функция Т(ах) нлюг 1

период —: действительно, 1(а (х+ — )) = 7(ах+ Т) = 7(слх).

а

3. Коли функция г (х) иллеет период Т и интегрируем» на огре»лп

и Л. Т ЬЕ7'

[хо,х,) 6 К, то / 7"(х) дх = / Т(г) дх при любых а и Ь 6 [гго;хл).

а ь

(.ль Пусть, например, О < а < Ь < Т, тогда

атТ ь а -1- Т

/,г"(х) дх = / г"(х) дх+ / Т"(х) дх.

ьлт и-1-Т ы-т

У ~(*) дх аа 1 (х)"" 1 (х)'

ь ь а-~-Т

ьчт ь ь -'.рв~~о [ ((х) дх = (подстановках = и+Т) = ~ 7(и+Т) дп = ~((х) дх

а-1-Т а а

' одставляем полученный результат в (66.2) и, сравнивая с (66.1), имеи-';Т ььт

3 ~(*)""= У (х)'

И

а ь

т 1+т

Н частности, ~ 7(х) Йх = (' 7(х) дх

о ь

Простейшими периодическими функциями являются тригономе:рические функции зшх и сов х. Период этих функпий равен 2к, т. е

= 2к.

Простейшим периодическим процессом (движением) является пробное гармоническое колебание (движение), описываемое функцией

У = А злп(пгь+ соо), (66. 3)

> О, где А . амплипгуда колебания, ол -- частотна, уло — начальнол

-'фаза

с17ункллию такого вида (и ее график) называют простой гармони.кой. Основным периодом функции (66.3) является Т = —, т. е. одно

2я

'цолное колебание совершается за промежуток времени — (ал показы27г 'планет, сколько колебаний совершает точка в течение 2к единиц време"ки)

Проведем преобразование функцлли (66.3)

у = Агап(аль+ уло) = Азпла11соз97о+ Асозал1зшсао —— асов»71+ Ьзлпо71,

(66. 4)

'где а = А зш соо, Ь = А соз уло. Отсюда видно, что простое гармоническое

'колебание описывается периодическими функциями зш с»1 и сов »71

Слоненок гармоничсслгое колебание, возникающее в резулллате наЗгложения конечного (или бесконечного) числа щзостых гармоник, также .'описывается функциями вида з1п аль и со» шй Так, функция

97(1) = .4о +.4, гдп(1+ 771) +.4а сйп(21+ улг) + + Азо зш(301+ Ьозо) =

зо

=А +ЕА »1 (пЬ+р )

»=1

зо -::;или, что равносильно., функция у(1) = Ао + х~ (аасовпь+ Ьизшпь)

и=-1

':";:задает сложное гармоническое колебание. Так как период первой гар '.'лмоники есть Тл = 2к, второй Т = —, третьей Тз — — —, ..., тридцатой

21г,, 2к

478

479

Распознанный текст из изображения:

(66.9)

(66.10)

(66.11)

ловпхл1х =

х =2я

(66. )к)

(и = О),

яшах дх = 0 при любом и,

(!)6) Н~

16 Колилк) кекоик оо оииоик е . к Н . К уо

480

481

Тво = 30, а период функции У = .4о («нулевая гармоника») есть любо!

2я

число, то функция у)(л) имеет период, равный 2я, т. е. Т = 2я.

Понятно, что при наложении простых гармоник полу. чаем перно

дическую фу нкцию, описывающу!о сложное периодическое колебаш и

(периодический процесс).

Возникает вопрос: всякую ли периодическую функпик), описывая).

щук! периодический процесс, можно представить в виде суммы простых

гармоник вида (66.3) нли (66.4)? Если да, то как найти неизвестные по

раметры (коэффициенты) каждой из этих гармонику Ответим спача. щ

на второй вопрос, а потом и на первый.

бб.2. Тригонометрический ряд Фурье

С помощью так называемого тригонометрического ряда любун)

(практически) периодическую функцию м!нкпо представить в виде ря.

да, членами которого являк)тся простые гармоники. Тригонометрически.м рядом называется функциональный ря:! вида

ао

— + ал сов х + Ь, вш х +... + аи сов их + Ьи влп тлх +

2

ао т-к

= — + ~аисояих+Ьившпх, (ббу)!

2

ии!

гд!". дл!йл)твитезп и! и" ~~с~а ао, аи, Ьи (тл = 1, 2,... ) называются кг)нз!))4))л

цнентами ряда.

Ряд (66.5) можно записать н ниде

ао

— + У Аи Ялгл(тле+ Ри). (66.6,'

и=!

Дейстнитлщ!ЬНО, НОЛОжнв Ои лл Аи ВШВОи, Ьи кк Аи СОВУ)и) ПОЛУЧИКО!

аи сов!ля + Ь„в!них = .4и вш(пх + У)и)! РЯд (66.5) пРинимаст нид (66.!)).

при этом А„=,,тглзк + Ьл, и ткут„= Ьа.

и

Свободный член ряда записан н вид! -1- для единообразия по.)у

, гл)

2

чающихся в дальнейшем формул.

Приведем формулы, которые щ)надобятся нам н де.оьнгйшсм.

С'1игая и), и 71 целыми положи!нльн11ми, находим:

соя тих сов их дх =

1 ! О (т у'. -и),

— / (соя(т+ 7!)х+ сов(т — п)х) дх =

2,/ ~к (т=и),

— л

вштих. совпхлйе =- 1 /.

— ! (вш(т+ п)х+ яш(ти — и)х) дх = О, 2 2

вштх я!Итлхдт, =

1 г 0 (711 т- и),

/ (сов(ти — т!)х — соя(т + п)х) дх =

2 ~(я (т = и).

Замечания.

1. Формулы (66.7) (66.11) показывают, что семейство функций

1, соя х, яш х, сов 2хк вш 2х, сов Зх, вш Зх,..., сов и,х, вш их,...

";Д обладает свойством ортпогонаяьности: интеграл от произведения любых двух функций этого семейства па интервале, имею- 'щем длину 27г, ра!зен нулкз

2. Формулы (66.7) (66.11) справедливы и н случае, когда область ,,интегрирования ость отрезок [О;2)г] (см. свойство 3 периодических ;:функций, и. 66.1)

Пусть 2(х) произвольная периодическая функция с периодом «'2я. Предположим, что функция з" (х) разлагается в тригопометричек::ский ряд, т. е. 1(зч) является суммой ряда (66.5)

ао

! (х!) = — + ~~ аигояих+ Ьившпх.

2

(66.12)

и=1

Так как функция т" (х) (и сумма ряда) имеет период 2я, то ее мож(к'но ралх:матривать в лк)бом промежутке длины 2я. В качестве основ.ного промежутка возьмем отрезок ( — к; я) (также удобно взять отрезок 10; 2я)) и предположим, что ряд (66.12) на этом отрезке можно почлепно ;:"интегрировать. Вычислим коэффициенты аи и Ьи. Для этого проинте"грируем обе части раненства (66.12) в пределах от — тг до к

г ао

= /'—

Л,)ккел / —,Л*еу" („ /..» ялт+Л. / .Л) =

./ 2

-л

и=1

— г — л

г ао

/ — ЛЛХ = 71аО.

./ 2

Распознанный текст из изображения:

Й

(66.13)

тветствия ( ) можно запри которых ряд Фурье как раз функцию 1(х). ощие период Т = 2я.. Та-

ю достаточное условие

' га

:: 17

Гго

7(х) = — + гз ап сових+ Ьп зшпх,

2

п=1

482

Интегралы от всех, кроме нулевого, членов ряда равны нулю в сил1

формул (66.7) и (66.8).

Отсюда

Умножив обе части равенства (66.12) на соз тх и проинтегрировав по

лученный ряд в пределах от — к до к, получим:

ао г

,7(х) созтхдх = — / созтхдх+

2 ./

~(" / -- ---" 1 --- ь "и)

п=1

и

В силу формул (66.7), (66.9) и (66.10) из последнего равенства прн

т = п получаем:

)(х) сов ггх дх = аптг.

Отсюда

1

ап = — / 7(х) созпхдх, и = 1,2,3,...

Аналогично, умножив равенство (66.12) на зш тх и проинтегрировав почленно на отрезке ( — к; к), найдем:

1' г Ьп = — / /(х) зшггхдх, и = 1,2,3,... (66.15)

ао 7'(х) - — + 2 оп сових+ Ьпгйппх

п.=1 и говорят: функции 1(х) соответствует (поставлен в соответствие) ~ ряд Фурье. Если ряд Фурье сходится, то его сумму обозначим о(х).

:,. ~б7. РДЗЛожЕНИЕ В РЯД ЭУ ЬЕ

2тг-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИ

'"~!:.;:,:б7.1. Теорема Дирихле

Выясним условия, при которых знак соо

': .; менить знаком равенства (=), т. е. условия,

.:, функции 7(х) сходится и имеет своей суммой

Будем рассматривать функции /(х), имег

:;:,кис функции называют 2к-периодическими.

Сформулируем теорему, представляющу

$;,:,: разложимости функции в ряд Фурье.

Теорема 67.1 (Дирихле). Пусть 2к-периодическая функция /(х) на

отрезке [ — к;х) удовлетворяет двум условиям:

1. /(х) кусочно-непрерывна, т. е. непрерывна или имеет конечное

число точек разрыва ! рода

2, /(х) кусочно-монотонна, т. е. монотонна на всем отрезке, либо

этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что

на каждом из них функция монотонна

Тогда соответствующий функции /(х) ряд Фурье сходится на этом

отрезке и при этом

1. В точках непрерывности функции сумма ряда Я(х) совпадает с

самой функцией: о(х) = 7(х)

2. В каждой точке хо разрыва функции сумма ряда равна

/(хо — О) + /(хо + 0)

Яхо) =

2

т. е равна среднему арифметическому пределов функции 1(х) справа

и слева

3. В точках х = — к и х = к (на концах отрезка) сумма ряда равна

Я( — тг) = Я(к) =

/( — гг + О) + /(к — О)

Е Таким абра:юм, если функция /(х) удовлотворяет условиям 1 и 2

',Н

теоремы (условия Дирихлв), то па отрезке ( — гг; к) имеет место раз'", ложение (66.12)

" причем коэффициенты вычислякгтся по формулам (66.13)- (66.15). Это

483

Распознанный текст из изображения:

Рис. 260

2чч

по = — / 1(х) ч(х,

о

Аналогично находим

(2х при0<х<тг,

1(х) = ~ — х при — к <х< 0.

':ЧЧ

~( — я+О) + ~(я — О) я+ 2я 3

484

485

равенство может нарушиться только в точках разрыва функции Г(х) и на концах отрезка [ — тг; тг].

В силу ггериодичности исходной функции и суммы ряда Фурье может быть получено указанное разложение во всей области определения функции.

Замечания.

1. Если функция 1" (х) с периодом 2тг на отрезке [О; 2к] удовлетворяет условиям Дирихле, то для нее имеет место разложение (66.12), где коэффициенты вычисляются по формулам

2л

а„= — ' / г"(х) совпхдх, и = 1,2,3,...,

о

зл

5„= — / 1" (х) вгп пхдх, и = 1, 2,3,...

о

л 2л

(Интегралы / 1(х) чтх и /,7 (х) чгх равны в силу свойства 3 периодил о

ческой функции -- см. и. 66.1.)

2. Условиям Днрихле удовлетворяют большинство функций, которые встречаются в математике и ее приложениях. Существуют функции, не удовлетворякнцие условиям Дирнхле, но при этом разложимые в ряд Фурье, т. е. теорема Дирихле дает лишь достаточное условие разложимости, но не необходимое.

Пример 67.1. Разложить в ряд Фурье функцию 1(х) периода 2тч.

заданную на отрезке [ — я: я] формулой

(х Решение; На рисунке 260 изображен грагрик функции ('(х). Эта

функция удовлетворяет условиям Дирихле, значит, она разлоткима н

ряд Фурье. Находим коэффициенты ряда:

по = — / ~(х) 71х = — / ( — т) с12. + — / 2хг1Х = —,

л и/

2 '

— ЧЧ ЧЧ о

а„= — / 1(х) совтгхг1Х = — / ( — х)совпхдх+ — / 2хсовпхйх =

тг 1

(и=х

ди = ггх

интегрируем по 'Частям; ~,1п совтгхч1Х о = — вгпих

1

и

— — в1п 71х + — сов пх + — — вн1 пх + — 2 сов пв:

тт П, — П2 — л,/ я ]ЧП О П ']о,/

2 3

= ††2(1 — совки) + †2 (совтгп — 1) = — — 2 (1 — ( — 1)"]

тгтт, лп'

77П

6„= — / ((х) вшпх Йх, = = — ( — Ц 1 г 1 „ег л и

Исходной функции 1(х) соответствует ряд Фурье

ОО

1

/(Х) Б(Х) = — + ~ ~— —.(1 — ( — 1)") СОВПХ+ — ( — 1)лг ВЧППХ

4 тгп и

л=1

, Функция 1(х) непрерывна во всех ннутрснних точкой отрозка [ — тб л]

,, поэтому, согласно теореме Дирихле, для всех этих точек имеем равен

- ство 1(х) = о'(х), т. с

Зтг 6 тч сов х сов Зх сов 5х

П*)= (х)= — --[' — +" + 2 +. +

4 тч [, 12

В точках х = хк сумма Я(х) ряда равна

;.':, Графики функций г" (х) и Я(х) показаны на рис. 260.

Распознанный текст из изображения:

г

Рис. 261

ао

1(х) = — + ~ аосовпх,

(67.1)

где

2

ао = — /,/(х) Г)х,

о

Если функция /(х)

2 Г / Г (х) сояглхг1х, б гч о

(67. 2)

нечеплная, то ее ряд Фурье имеет вид

7'(Х) = ~б.яшп.

и=1

(67 „'5)

Г(х) интегрируема на сим

льного

2 ' /7./(х) агх, если 7" (х)

о

О, если 7(х)

четная функция,

(67.51

нечетная функция.

с перио-

ет периоц число) и

разуем в и имег'.т

[

)

= 1 и при

;(г !;-'-"-т. е. Га(1+ 21г) = ггл(г)

486

67.2. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных

|г функций

Если разлагаемая на отрезке [ — я;х) в ряд Фурье функция 7'(х) является четной или нечетной, то это отражается на формулах коэффициентов Фурье (вычисление их упрощается) и на виде самого ряця (он становится так называемым неполным).

Если функция /(х) чесания, то ее ряд Фурье имеет вид

д

2 Г

бо = — / ((х)яшпхагх,

я

о

Д Как известно (см. и. 39.4), если функция

метричном отрезке [ — а; а), .то

2

г е

и с Гч'. (67. 1)

Если функция /(х) - четная, то 2(х) сових, .— четная функ. ция (1( — х)соя( — пх) = Г(х)сових), а Г(х)вшггх нечетная функпия (Г( — х) вш( — пх) = — )(х) гйп пх).

Если же /(х) -- нечетная функция, то, очевидно, функгГигг /(х) сових . - нечетная, а Г(х) вш пх — - четная.

С учетолг формулы (67.5) из формул (66.13) (66.15) получаем фир мулы (67.1) . (67.4). М

Ряды (67.1) и (67.3) называются неполными тригономстри ияли.

ми рядами, или рядами по косинусам и по синусам соотяетстш ни ь

Пример 67.2. Разложить в ряд Фурье функцию 7"(х)

х б ( — гг;.г), Т = 2я.

(,1 Решение: На рисунке 261 изображен график заданной функции.

Условиям Дирихле функция у = х удовлетворяет. Эта функция—

нечетная. Следовательно, ао = О, п = О, 1,..., а

," ,Ь = — Г ХВШП,Хагт = — [л — — СОЯПХ + —. ЯГППХ~ = — — — СОЯЯП,

о т,'' о,/ я[л п,/

о

т. е. 5 = — ( — 1) "тг (и, е Я). Ряд Фурье содержит только синусы

ив

и

2 „,, увшх я1п2х ГйпЗХ

— ( о" ' ' =2(

ь

=-1

2

7,. При этом Ь'(хя) = ~+ = О (см. рис. 261)

; 67.3. Разложение в ряд Фурье функций произво

периода

Разлагать в ряд Фурье можно и периодические функции

.;, дом, отличным от 21г

Пусть функция 1(х), определенная на отрезке [ — 1; 1), име

'21 (7(х + 21) = /(х), где 1 — произвольное положительное

':. удовлетворяет па этом отрезке условиям Дирихле

Сделав подстановку т, = — г, данную функцию /(х) преоб

функцию яо(В) = 11 — 11, которая определена на отрезке [ — х, я

',1Г /

::„;.период Т = 2я

Действительно, если 1 = — гг, то х = — 1, если 1 = гг, то х

;.: — '1г < Г < гг имеем — 1 < х < 1,

(1+ 2 .) /[ (1+ 2я) / = /~ — 1+ 21/ = /[ — / = ггг(1)

Гг

Распознанный текст из изображения:

на интервале ( — 4; 4)

где

творяет условиям Ди-

имеем;

ь=1

1 г

— / гр® совптд4 (и = 0,1,2,...),

1 г

— гр(1) вш пЬ сМ (п = 1, 2,... ).

а„

Ь„

(67.6)

п=1,2,3,

,' Таким образом,

где

и[, 1 2 3

(67. 7)

' для-4<х<4

"в

1( ) гго ~ ггпх

2

ч=1

(67.8)

где

(67.9)

(67. 10)

(67.11)

где

Рис. 262

2 г ппх

Ь„= — / Дх) яп — дх

1/

о

и = 1,2,

489

Разложение функции гр(ь) в ряд Фурье на отрезке [ — и; и] имеет вид

ао

Уг(г) = — + ~ а„совпС+ Ь„вгпп4,

Возвращаясь к переменной х и заметив что 4 = пх, дЬ = пдх

'=7 х получим

Ряд (67.6) с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (67.7), называется рядом Фурье для функции )(х) с периодом Т = 21.

Зимвчание. Все теоремы, имеющие место для рядов Фурье 2п-периодических функций, остаются в силе и для рядов Фурье функций, период которых Т = 28 В частности, если 7'(х) на отрезке [ — 1;1] четная, то ес ряд Фурье имеет нид

2 г 2 г ппх

ао —— — ~,г(х)дх, а„= — ! 7"(х)сов — дх, п, = 1,2,...;

1/ ' " 1/

о о

если 7(х) — нечетная функция, то

1(х) = ~г Ь„вш

о=1

Пример 67.8. Разложить функцию г'(х) = х

; в ряд Фурье

Ь]г ' г,'в Решение: Данная функция нечетная, удовле

'„:;Ьрихле. По формулам (67.10) и (67.11), при 1 = 4,

1ГПХ

х=~ Ь яп—

г и 4

;48 '"'

4

.';где Ь„= — / хяп 4 дх, п = 1,2,3,

о

Вычисляем Ь„:

1гг 4 пггх 4 4 4, ппх 4'~

Ь„= — [ — х — сов — ' + — — вш — ] =

2[ пп 4 о пп пп 4 о1)

8 8

= — — сов пп = — ( — 1)

пп 1ГП

';:,67.4. Представление непериодической функции рядом Фурье

Пусть у = 7(х) - — непериодическая функция, заданная на всей

числовой оси (-оо < х < со).

Такая функция нс может быть разложена в ряд Фурье, т. к. сумма

ряда Фурье есть функция периодическая и, следовательно, не может

быть равна 7" (х) для всех х.

Однако непериодическая функция 1(х) моопггш быть представлена в виде ряди Фурье яа любом конечном промежутке [а; Ь], на котором она удовлетворяет условиям Дирихлс. Для этого можно поместить начало координат в середину отрезка [а;Ь] и построить функцию 74(х) периода Т = 21 = [Ь вЂ” а[ такую, что 71(х) = Г (х) при — 1 < х < 1. На рисунке 262 приведена иллюстрация построения функции г'1(х).

Распознанный текст из изображения:

Разлагаем функцию 11(х) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [а; Ь) (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией 1(х), Вне этого промежутка сумма ряда и 1(х) являются совершенно различными функциями.

Пусть теперь непериодическую функцию г" (х) требуется разложить в ряд Фурье на отрезке [О; 1). (Это частный случай: начало координат перенесено в точку х = а отрезка [а Ь); область определения функции г'(х) будет иметь вид [О:1), где 1 = )Ь вЂ” а[.)

Такую функцию можно произвольным образом доопределить на отрезке [ — 1; 0), а затем осуществить ее периодическое продолжение с периодом Т = 21. Разложив в ряд Фурье на отрезке [ — 1;1) полученную таким образом периодическую функцию 71(х), получим искомый ряд для функции 1 (х) при х б [О; 1).

В частности, функцию 1 (х) можно доопределить на отрезке [ — 1; О) четным образом (т. е. чтобы при — 1 < х < 0 было )(х) = Т( — х))— см. рис. 263. В этом случае функция г"(х) разлагается в ряд Фурье, который содержит только косинусы (см. формулы (67.8) и (67.9)).

О Решение: Продолжим функцию 1 (х) на отрезок [ — гг; 0) четным абра' ' ~у зом (см. рис. 265). Разлагаем в ряд функцию 0<х<я,

9

2 ~ с периодом Т = 2гг. Условиям теоремы ," Дирихле функция 11(х) удовлетворяет 'х, " Используя формулы (67.1) и (67.2), нахо- 4' дим:

1 ао = — (~ 2' " 2

1ГП

о о ' Таким образом,

я — х гг 2 ггсовх совЗх соз5х

где 0 < х < ри этом Я(0) = = — = — Я(Ыг)—

:'- б7.5. Комплексная форма Ряда фуРве

Рис. 263

Рис. 264

Если же функцию г"(х) продолжить на отрезок [ — 1; О) нечетным

образом (слг. рис. 264), то опа разлагается в ряд, состоящий только из синусов (см. формулы (67.10) и (67.11)).

Ряд косинусов и ряд синусов для функции 1 (х), заданной на отрезке [О;1), имеют одну и ту ясе сумму, Если хо точка разрыва с[гункции 1(х), то сумма как одного, так и другого ряда равна одному и тому жс

З(х ) У(хо — 0) + Х(хо + О)

2

Замечание. Все, что было сказано о разложении в ряд Фурье функции 7"(х) на отрезке [О;1), псрсносится практически без изменения на случай, когда функция задана на отрезке [О; я); такую функцию можно разложить как в ряд косинусов, так и в ряд синусов (формулы (67.1) и (67.3)).

Пример 67.4. Разложить в ряд косинусов функцию г'(х) =

2

0 < х < гг.

)1[))

490

Ряды Фурье часто применяются в комплексной форме записи. Преобразуем ряд (66.12) и его коэффициенты (66.13) "(66.15) к комплексной

форме. Для этого используом формулы Эйлера, выражающие косинус

и синус через показательную функцикг

гпх+ 'пх

е

сових =

2 ' 21

вшах =

(из фо м лы ЭйлеРа егсг = совУ + гвш111 и вьггекаюшего из нес

е те

Ранннотна Е Сх = 11ОЗ:Р— 1ВШУг НаХОДИМ, Чта 11ОЗСО

вшуг = . ). од.т

). П ставив эти выражения в ряд (66.12), находим

21

ао

Х

е +с

гпх — гпх

с гпх — е

,(( ) гх — '+ ~ и Ьп

2

п=1

е +с ', е

гпх — пгх гпх — гпх

— Е-

2

п=1

аО (ап — 1Ьп)сгпх (ап + 1Ьп)Е

2

п=1

ао - гЬа а + 1Ь

4 ": где обозначено сп = ~2 , с

491

Распознанный текст из изображения:

сп — ко = О,х«,

т. е

й спектр и

оложенн

(67.13)

)О хб[ 10), Т

[1 хй[0;1[;

Рис. 2бб

-Нпх

е

— 1 — тлп

1

.— Нпхт«Х

т'и

2

о

1

то= / т«х

[1

функции ((х) справен

тхх

у( ) — — +т

1

1)п

2.тп

и= -'х т петц

с

гнх

е' ' е

— +

3тт 3тт

па графике Я(х) нс отмечена).

492

493

Най ем дем выражения для комплексных коэффи

льзуя выражения для ап и 5п (формулы (66.14) и (66.15)), получим

««'1

л

сп — 2 т (х) сов ттх т«х — т —,т (х) зш ттх дх

к,/

— л

1

— «(х)(сових — тв«ппх) т«х = — «тхте 'пт«х

1

сп лх — / 7(х)е '"'т«х (и = 1,2,3,...),

ао 1

(67.14)

с = — [ — / 7(х) сових т«х+ т — т т(х) зтппхт«х

х l

1

2к .т

— л

(67. 15)

Таким образом, формулу (67.12) можно записать в виде

у(х) = со + х спе'пх с

+ с пе ', или т'(х) = ~~ спето'. (67.16)

п=1

Коэффициенты этого ряда, согласно формулам (67.13) т67,15)

записать в виде

м , т , ), можно

2к 7 т(~)е ~х (тт = О,т«,~2, ) (6717)

Д азываетсЯ комттлексногт ф, о д

Равенство (67.16) н':

Ц т(х), а числа сп, найденные по фоРмУлс (67.17),—

комплексньлми коэффициенттлами ряда Фурье.

Если функция „т(х) з ает

„"(.«т ад '. сянаотрезке[ — «;«[,тоттомплекснаяфо—

ма ее ряда Фурье имеет вид

лсксная фор

7'(х) = ~ спе

тплх

2« / У(х)е ' т«х (тт = 0,~1 л2 )

Как видим комп

(67.18)

ак видим, комплексная форма ряда Фурье (и коэффициентов)

более компактна, чем обыкновеннь й Ф

т' ряд урье.

В электротехнике и радиотехнике ' -'.~:: гармониками, коэффициенты

л$:,:рмоник, а числа отп — — (и "=л;, фУпкции Д(х) = 2 спе'"" х

и= — пп

Совокупность величин (ст, сг,...,сп,, ..) называется амплитудным спектром

Графически алтттлитудны

: ных отрезков длиной сп, раси ;::". оси.

Пример 67.5. Построить рцц Фу; рье в комплексной форме для 2-периоди-' ческой функции

;, л,г Рептеттие: На рисунке 266 изображен

:1,. график функции т" (х). По 4юрмулалт (67.18) находим (« = 1):

( — 1)п — 1.

= — (сов ттп — тсйпктт — 1) = т, и ф

2ттп. 2кп

;:„Следовательно, для всех точек непрерывности лино равенство

т и

=- — — т [ — — +

2

'';-: ('—

б(0) 0+1 1, Я(Р«) = — =-

3 бв. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

Как известно, всякую (периодическую или непериодическукт)

функцию тт(х), удовлетворяющую на отрезке [ — «; «[ условиям теоремы

Распознанный текст из изображения:

(68.1)

где ып =—

7гп

(68. 2)

с

бп сс — 1,((С) в1пы„СШ (и = 1,2,...).

2,2

-с

1 ~(*)~ *=

т. е.

с

У( ) = ~ ~ у(с) бс+

— с

Будем теперь неограниченно

части равенства (68.3) при 1

— ~ У(1)а < — ~

1 1

ос

— / р(С) совы„(1 — т) М..

п=!

(68.3)

у(С)~а < —, / ~у(С)~б1= —,-зо. 1 М

о

'иь

495

Дирихлс, можно разложить в ряд Фурье

ао

С(Х) = — + ~ ап СОВ ЫОХ + б„ясв ЫОХ,

с

ап сс — / 1(С) совы„С й (и = О, 1, 2,...),

Это разложение будет справедливым на всей числовой оси Ох в том случае, когда С(х) периодическая функция с периодом Т = 20

Рассмотрим случай, когда !(х) неоериодическая функция, заданная на бесконечном промежутке ( — оо; оо) (т. е. 1 = +оо).

Будем предполагать, что на любом конечном промежутке ( — 1; 1) функция у (х) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и что сходится следующий несобственный интеграл:

Говорят: С" (х) абсолютно интегрируема на всей числовой оси.

Подставляя в ряд (68.1) значения коэффициентов ап и бп (68.2),

получим;

с

со

С(х) = — / С'фг(С+ — ~ зС' С'(С)(совыпС соаыпх+в1пыпС вшыпх) с1С,

.и=!

увеличивать й Первое слагаемое в правой

— г +со стремится к нулю, т. к.

Рассмотрим второе слагаемое в равенстве (68.3). Величина

ып ос — принимает значения ы! = —, ыз = —, ыя = —, ..., образую.

1ГП сг 21г Згг

=Т

щие бесконечную арифметическую прогрессию с разностью Ьы„= -'.".

— 0 1,2,, ), при этом слып -! 0 пр 1 ! +ос

"М" (сты„= ып, — ып., п =

г; Итак,

со 1 со

'~ ~ р(С) совы„(1-х)61=-~ 1 1(С) сов .(-х)~ Т=

1

и=-' с

п=г — С

.йй

1

( 1 Г(С) .СОВЫО(1 — Х) Й)11ЫО = — ~„'Р(Ы ) '

:*ё и .с . п=1

н п=1

г!' 22к игг

„где ср(ы~) = / .с(с) 'совып(~ х) г~с' " 1' Х ' ' 1

Полученная сумма напоминает интегральную сумму для функции

гр(ы) = / с(с) совы(» — х) гсс, ы Е (О;+оо)

(доказывается, что так оно и есть), поэтому, переход р

я в авенстве (68.3)

гг

г: к пределу при 1 — г +со, получаем

СО

1

с'(х) = — 1!пп,'~ гр(ы„)Ьы„= — / гр(ы) с) 1,

1

к с-!со

й или

со Оо

г( ) — ( ссы / ((С) совы(С вЂ” х) сй (6 )

о — ОО

Формула (684) называется формулой Фурье а инге р р

вой части формулы — интегралом Фурье д фу Г(

Ф у Фу е имеет место в тачках непрерывности функции

Фо мула урье иъ .

с(х); в точках разрыва данной функции интеграл Фурье равен среднему арифметическому ее односторонних пределов

1 ((х — О) + ((х + О)

— гСса ~ 1(С) совы(С вЂ” х) г)С =

и з 2

о

Ф, г(68,4) ажно переписать в другом виде (в виде однократ

ормулу г( ', ) м

ного интеграла)

(х) =-.' У' У ~(')со ы('-х)"'=

о — ОО

— асы / Г(С)(совоЛ сояых+ сйпыС. ясных)сй =

и

1 г

,! ( 1Г ГО!.„1О' ° *+-, С ГФ"" 'з"""*) о — с

Распознанный текст из изображения:

т. е.

(68.5)

где

(<

),')Я Функции А(ог) и В(ог) называются соответственно косинус-пре-

"(,::Я~

образованием и синус-преобразование.м Фурье для функции

' ',((х)

4. Иипгсгрол Фурье (68.4) е комплексной форме имеет вид

ф(х) = — ~ е'"*<) г ~ ((1)е <зм<М

представлена формулой (68.6), во втором формулой (68.7). 3. Формулу Фурье (68.5) можно представить в симметричной форм<

2 1(,)

записи, если положить в формулах (68.6) и (68,7)

В(<о) = — В(<о). В случае четной

Г2 г-

1(х) = — ~ А(<о) созогх<1ог,

о

в случае нечетной функции

Г2 г

1(х) = — / В(ы) зги<ох<<<о,

о

функции

Г2

где А(ьг) = — / г(4)<гоз<о<<в.

о

Г2 г

где В(ог) = — 1< ф(1) з,п,„1зг

о

Как видно, сеть аналогия между рядом Фурье и интегралом Фурье: в обоих случаях функция Дх) раскладывается на сумму гармонических составляющих. Однако, ряд Фурье суммируется по индексу п, принимающему дискретные значения п = 1, 2, 3,..., в интеграле Фурь< производится интегрирование по непрерывной переменной <о.

Некоторые сведения, связанные с интегралом Фурье, изложим в виде замечаний. Замечания 1. Если функция ф(х) чегпноз, то формугга Фурье (68.5) принимает вид со

2 ф(х) = (' А(ог) созогх <оо, где А(<о) = — г' 1" (1) <<<<ног<<10 (68.6)

з /

о о в случае нечетной функции СС

2 ф(х) = / В(<о) в<в<ох<1<о, где В(<о) = — / Д(1) вше<4<16 (68.7)

о о

2. Если функция ф(х) задана лишь на промежутке (О;+со), то ег можно продолжить на промежуток ( — <ю; 0) разными способами, в частности четным или нечетным образом: в первом случае она будет

< интеграл Фурье (68.5) имеет вид

ф(х) = — / с(ог)с'"~<Ко,

2к

( ) / ф(1)е «14 или в симметричной форме записи ф(х) = — / 5(ог)е™х<г<о,

.:: где

5(ы) = ~ ф(1)с вы<14

;;: (с(ог) = 1 5(ог))

Пример 68. 1. Представить интегралом Фуры функцию

е *, х Е (О;+со),

О, .х=О,

с', х 6 ( — оочО).

Пх) =

:: Следовательно,

2 г ог

'-„'з 5.' ф(г) = — ~ —.з1погхй.~„

и 1 1+го

о

<ьй

х 6 ( — со; 0) О (О;+оо). °

497

О Регггепве; Функция удовлетворяет условиям представимости инте* тралом Фурье, абсолютно интегрирусма на промежутке ( — оо; +со)

оэ о СО

1Х(х)~ бх = / с",Ь+ / с ' йх = 2.

— ОО о

;: Функция нечетная, применим формулу (68.7):

В( )= — г е <з <6= —.

к .Г я 1+<о

о

Распознанный текст из изображения:

Замечание. Интересно отметить, что если т = 1., то

С другой стороны, 1'(1) = е ~ = —. Таким образом

е'

1 — """""=~(1) -=- 1ь уз 2 2е

Иными словами, при помощи представления функций интегралом Ф-

у рье иногда можно вычислить величины несобственных интегралов.