Книга: Метода к лабораторной работе К1

Файлы скачаны со студенческого портала для студенты "Baumanki.net"

Файлы представлены исключительно для ознакомления

Не забывайте, что Вы можете зарабатывать, выкладывая свои файлы на сайт

Оценивайте свой ВУЗ в различных голосованиях, в том числе в досье на преподавателей!

Распознанный текст из изображения:

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА К1 МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Цель работы: исследование колебаний математического и пружинного маятников.

Теория к работе

1. Гармонические колебания

Колебаниями, или колебательным процессом называют изменения состочв ия какой- либо системь1 хапакти1изующиеся опвепе ленной повторяемостью во времени. В зависимости от физической природы системы, в которой протекает колебательный процесс, различают колебания: механические, звуковые, электромагнитные и др. В данной работе будем изучать механические колебания.

Колебания называют периодическими, если в процессе колебаний каждое состояние системы повторяется через равные промежутки времени. Наименьший промежуток времени, по истечении которого система возвращается в исходное состояние, называют периодом колебаний Т. Говорят, что за период система совершает одно колебание. Число периодических колебаний совещттаемых за единицч времени называется частотоа колебаний Единицей измерения частоты является 1 герц ( Гц ), т.е. частота колебаний, период которых равен 1 с. Эволюция во времени системы, совершающей периодические колебания, описывается периодической функцией х = хф, которая по определению такова, что

х(~+ и Т) = х®, 1де н — целое число.

Колебания, описываемые функцией называют гармоническими; а система, в которой они происходят,— гармоническим осциллятором. Постоянные А, ы и а, в формуле (1)

Распознанный текст из изображения:

А сов ао =х,,

— Аы япа, =и,

А = ~х2+ ~=)

ио

оК Оо—

о' Хо

— А < х(~) (А.

2. Пружинный маятник

~МЪ КМ Д

(4)

(5)

Рис. 2. Прумсиннь!й л!аятник.

х = — А~ Йпп,

а вторая, т.е. ускорение. будет

х = — Аь~ сов а.

имеют следующие названия: А — амплитуда колебаний (А > О), !а — циклическая, или круговая частота (ы > О), оо — начальная фаза.. Функция

<." — ~а о + е~о (2)

называется фазой колебания. При ! = 0 функция (2) принимает зна-

чение о,: а(0) = о,. Так как период функции соя а равен 2к, период

функции (1) связан с частотой соотношением

1'рафик функции (1) приведен на рис. 1. Поскольку ~~ СОЯ ~~ ~~ С 1,

область значений этой функции определяется неравенствами

Рис. 1. ! армонические колебания.

Функция (1) является общим решением уравнения

которое называется дифференциальным уравнением гармонических колеоаний. Чтобы в этом убедиться, необходимо найти вторую производную по времени от функции (1) и подставить ее вместе с функцией в уравнение (4). При этом уравнение должно обратиться в тождество.

Первая производная функции (1), т.е. скорость, имеет вид

Значения постоянных А и а могут быть найдены из начальных

условий х(0) = х,, х(0) = и,,

где х, и и, — начальные значения величины х и скорости. Эти условия

при помОгци зависимостей1 ( а) и (5! можно преооразовйть к виду

Разрешив эти уравнения относительно амплитуды А и начальной фа-

зы а„придем к формулам

В КНЧЕСТВЕ ПРИМЕРа СИСТСМЫ, СОВЕРШоющсй ГарМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕ-

бания, рассмотрим тело массы т, которое движется без трения по гопизонтальной плоскости под действием ~прагой силы, создаваемой невесомой пружиной жесткости й (рис. 2).

При не очень больших значениях удлинения Л1 = 1 — 1„пружины

справедлив закон Гука:

Г= — йх, (7)

Распознанный текст из изображения:

Š— ~тах — тттах >

где

й

х+ — х= О.

тп

3. Математический маятник

~=2 Г.

(10)

тп

где функция

г

К= — тх

2

(12)

к = ю(~).

здесь Г есть проекция вектора г' силы упругости на ось х. При этом начало отсчета выбрано так, что координата тела х равна удлинению пружины: х = Ы. Положению равновесия тела, где сила равна нулю, соответствует при таком определении координаты ее значение х = О. При смещении тела вправо от положения равновесия пружина удлиняется и тянет тело влево (Г ( 0). Если тело смещается влево от положения равновесия, то пружина сжимается и толкает его вправо тГ ) О). Таким образом, сила упругости всегда направлена к положению равновесия.

Второй закон Ньютона. для рассматриваемого тела. выражается уравнением

тх= — юх,

которое петр-дчо преобразовать к виду

Сравнив это уравнение с дифференциальным уравнением (4) гармо-

нических колебаний, приходим к выводу, что они идентичны, если

циклическая частота связана с параметрами ю и тп исследуемой си-

стемы соотношением

(й

(9)

Из сказанного следует, что функция (1) является решением уравнения (8), т.е. тело пол действием упругой силы совершает гармонические колебания с частотой (9).

Период колебаний пружинного маятника.

В некоторых случаях колебательные системы удобно исследовать

при помощи закона сохранения энергии. Сила упругости (7) является

консервативной, т.е. ее можно представить в виде

У(х) = — Й х

2

(11) есть потенциальная энергия деформированной пружины. Так как кроме силы упругости другие силы вдоль оси х на тело не действуют, полная механическая энергия Е системы, т.е. сумма кинетической

и потенциальной энергий тела, не изменяется с течением времени:

г 1 г

— тп х + — Й х = Е = сопИ .

2 2

При этом кинетическая и потенциальная энергии пружинного маятника изменяются в пределах от и до Е каждая. Причем при движении тела происходит их непрерывное взаимное преобразование, т.е. в то время, как одна из них увеличивается, другая уменьшается; когда одна достигает наибольшего значения, другая обращается в ноль. Таким образом,

1 1

~~тах —, тП итах И ( тах

2

— максимальные значения кинетической и потенциальной энергий соответственно.

гассмотрим неоольшое тело, подвешенное на невесомой и нерастяжимой нити. Исследуем движение этого тела в вертикальной плоскости вокруг точки подвеса 0 (рис. 3). Когда. тело находится в равновесии, нить будет расположена вертикально. При отклонении нити на некоторый угол ~р от вертикального полсжения сила тяжести будет стремиться вернуть тело в положение равновесия. Вследствие этого тело будет совершать колебания. Если длина нити 1 много больше размеров тела, то такое тело называют математически.и маятником.

Рис. 3. Матпематический маятник.

Движение маятника удобно описывать посредством зависимости

угла ~р от времени:

Распознанный текст из изображения:

К+С =Е=сопв1,

щ12

1, 1

Л: — тп 6 = — тп1

2 2

а второе

с' = — тд1 сов р

Ц вЂ” ттт с 1 втп гл

Г„„~ = — тд1,

~р+ — втп ~р = 0,

д

1

(15)

1

К„„,. = — тп1' р ..

г, 2

2

то

этвуд У.

Е = — т*д ° соя у

У+~ К

4. Затухатотттие колобаттия

где

(17)

(20)

(21)

птю = — Йх — тж

Используя обозначения

2„3=—

(22)

и>

тп

Эту функцию можно найти при помощи основного уравнения вращательного движения:

1ф=М, (14)

где Х вЂ” момент инерции тела относительно неподвижной оси вращения

О, М вЂ” момент силы, т.е. произведение силы на плечо. В данном

случае момент инерции тела равен

где 1 — длина нити. Так как плечо силы тяжести равно произведению

1 вш ж, момент этой силы при отклонении нити на угол у будет

Подстановка этих выражений в уравнение (14) преобразует его к виду

Если маятник совершает малые колебания, т.е.

В этом случае уравнение (15) можно преобразовать к виду

Уравнение (16) есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний, общее решение которого можно записать в стандартной форр= р сов(ы1+а,).

'1'аким образом, малые колебания маятника являются гармонически-

ми с частотой ~, определяемой формулой (17). Период малых коле-

баттий математического маятника равен

Так как сила тяжести является консервативной, а работа силы натяжения нити равна нулю, полная механическая энергия математического маятника со временем не изменяется:

где первое слагаемое в левой части есть кинетическая энергия враща-

тельного движения маятника

— его потенциальная энергия. Когда угол р равен нулю потенциаль-

ная энергия тела принимает наименьшее значение

а кинетическая энергия — наибольшее

Когда угол р принимает наибольшее значение <р„„, угловая скорость

ф и кинетическая энергия обращаются в ноль. При этом энергия ма-

ятника будет

Пусть тело, изображенное на рис. 2, движется в вязкой среде. Тогда па него, кроме силы упругости, будет действовать еще и сила сопротивления среды, которая по величине пропорциональна скорости и направлена в противоположную ей сторону:

Здесь коэффициент пропорциональности г называется коэффициентом сопротивления среды, или коэффиииентом трвния.

В таком случае второй закон Ньютона будет иметь вид

Распознанный текст из изображения:

(23)

(24)

А(»),,з т

А(»+ Т)

а его логарифм

(25)

Л вЂ” 1и

А(»)

— я 'г

А(» + Т)

(27)

лт

Т,ВТ А

А(»)

А(»+ т)

5. Вынужденные колебания

Г=Г, соя й»,

(27)

Рис. 4'. Затухатошие колебания.

Частота затухающих колебаний

2 ~2ф

(26)

к+ 2 ф х+ 1о, х = ~ сов й»,

(28)

запишем уравнение (21) следующим образом:

х+ 2~3х+с,г,2 х = О.

Нетрудно доказать, что функция

х = а е сов (иг» + а,),

КОТОРаЯ ОГ1ИСЫВаЕТ Тан НаЗЫВНЕМЫс За тНУХа та!час КО 4ЕОаиггЯ, Явлти»Т[ и

общим решением дифференциального уравнения (23).

Функция

А(») = ос

называется амгглитудой затухаклцих колебаний'. Это есть монотон-

но убывающая функция, скорость убывания которой характеризуется

коэффициентом затухания. т». Величина

НЗЗЫВа»ТС51 СтРЕМЕ11ЕМ РЕЛанеийии. Оа ЭТО ВРЕМЯ НМГгЛИТУДа, У МЕН1>гнается в е раз:

1'рафик функции (24) изображен на рис. 4. Верхняя пунктирная

к гивая пре ставля»т собой граАик зависитмости амплитнтты (251 от

времени.

зависит от коэффициента затухания Д. Чем больше коэффициент затухания, тем меньше частота колебаний. При 9 = ат, частота колебаний становится равной нулю. Иначе говоря, колебания прекращаются. При сг ) с т, формула (26) не справедлива. Период затухающих колебаний определяют формулой (3).

Дскрементолс затухания колебан ий называют отношение

называют логарифмическим декремснтом затухания. За время т си-

стема совершает число колебаний

~ аКИМ ОоРазом, ЛогаРИЧтм!!ЧЕСКИЙ ДЕКРЕмснт ЗаТу'ХаНИ51 А ССТЬ ВЕЛИ- чина, обратная числу колебаний Лт, совершаемых за время релаксации т.

Исследуем систему, в которой происходят затухающи» колебания, при помощи закона сохранения энергии. С этой целью умножим уравнение (21) на х и преобразуем его к виду

2 2 2

с»Е

— — пгх + —,1ех ( = — тх, или — = — тх'<О.

с»» ~2 2 (

с!»

1зРанаЯ ЧаСТЬ ЭТОГО УРИВНЕНИЯ сСТЬ МОЩНОСТЬ СИЛЫ ТРсНИЯ, КотораЯ всегда отрицательна. Поэтому полная энергия Е маятника убыва»т со временем. На этом основании можно утверждать, что причиной затухания колебаний являются потери энергии при трении.

Пусть на тело (рис. 2), кроме сил упругости и вязкого тр»ния,

действует еще периодическая сила

которая называется вынузгсдагощей; Г, и й — амплитуда и частота

этой силы. Подстановка выражения (27) в правую часть уравнения

(21) приводит к уравнению движения маятника

Распознанный текст из изображения:

Нетрудно показать, что

где

Йт = от — 2дт .

(32)

/20т

I .т т

х~11 = хсвоФ')+ хвынуэкд~'~:

Ар—

Х

2ф /~2 ф2

(30)

.Д) = А со;~Й~+,)

вынузтстт

где

2рЙ

— атг с$ д,т

,,2 Й2

о

х вын ужд ® — '4 сов (Й 1)

(34)

т

А=

)ы2 — Й2 ~

(35)

Рис. о. Резонансная кривая.

ИА(Й)

НЙ

10

У=

Г,

Общее решение уравнения (28) равно сумме

где функция х б(~) есть общее решение уравнения (21), а функция

о(1) — частное решения уравнения Я8). Движение ттэла сываемое фУнкцией х в б(1), называетсЯ свободными, или собственными колебаниями. Тогда как функция х „,„. 1® описывает так называемые вынужденные колебания.

Функция, описывающая вынужденные колебания, имеет вид

амплитуда вынуждечных коле аний,

Из формул (30) и (31) видно, что вынужденные колебания происходят, т«а Отой Й ВЫНтту, даЮПтЕй Ся„т1Ь1 а ИХ аМП т1Ит\ттта 4 яВЛянтоя функцией от этой частоты. График зависимости А = А(Й) приведен на рис. 5. Подобного вида кривые называются резонансными.

Амплитуда вынужденных колебаний принимает наибольшее значение пРи частоте Й = Йр, котоРаЯ называетсЯ Резонансно1ь ЗтУ частоту можно найти из условия экстремума функции

Подставив это значение частоты в формулу (31), получим выражение

для наиоольшего значения амплитуды вынужденных колебаний:

Из этой формулы следует, что амплитуда Ар вынужденных колебаний резонансной частоты тем больше, чем меньше коэффициент затухания о. Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний, когда частота вынуждающей сипы приближается «ттезоттансной стоте, пазь1вастся резонансом.

Теория вынужденных колебаний становится наиболее простой при ф = О, т.е. когда в колебательной системе не действуют силы трения. Б этом случае уравнение движения маятника ~28) принимает вид

х+ы, х=~' сов Й1.

Убедиться в том, что описывающая вынужденные колебания функция

является решением это уравнения можно 1ри помощи непосредственной подстановки ее в уравнение. При этом найдем, что амплитуда вынужденных колебаний

Распознанный текст из изображения:

1

— тп и = 2тпд1.

о

Сттавнить поттучт нные значения т

тт

трения.

13

Порядок выполнения работы

Данная лабораторная работа заключается в наблюдении на экране компьютера различных движений математического маятника и пружинного маятника вдоль оси х под действием силы упругости и силы

вязкого трения.

В процессе дю10нстрации на экран выводятся гра(рик зависимости от времени то = р(1) угла отклонения маятника от вертикали или график зависимости координаты от времени х = хф для пружинного маятника.

По указанию преподавателя выполнить следующие упражнения:

1. СВОбОт7иытг МаЛЫЕ КОЛЕбапття МатЕМаитттттнтттгктотгв Мттятппттна ЦС-

следовать движение маятника при различных значениях его длины 1, начально: о угла р, и коэффициета вязкого трения.

Для ра личных значений длины 1 маятника измерить период его колебаний. Для этого по графику функции ~р = тр(1), которая появляется на экране при нажатии кнопки "старт", или при помоши секундомера измерить время 11~, в течение которого маятник совершает Ж колебаний. Период Т колебаний вычислить по формуле

Полученные данные занести в таблицу

По этим данным построить на бумаге график зависимости периода T колебаний математического маятника от ~/Т. Построить на том же графике теоретическую зависимость Т = Т(~l! ) по формуле (18). наблюдения провести для различных значений угла то, и коэффициента

2. Свободные колебания математического маятпника большой ами гитпуды. В этом упражнении изучается движение математического маятника при различных значениях начального угла то„начальной скорости и, и коэффициета вязкого трения.

а) Снять зависимость периода Т колебаний от р, при и, = сопят.

Измерения периода проводить так, как описано в упражнении 1.

б) Снять зависимость периода Т колебаний от и, при тр, = сопв~.

Полученные данные занести в таблицы

ПО ЭТИМ даННЫМ ПОСтрОИтЬ На б~МаГЕ ГрафИКИ ЗантИСИМОСТЕй Т

Т(тр,) при и, = сопят и Т = Т(и,) при 1о, = сопв1.

Вычислить длину 1 математического маятника по формуле ~ 18) для

периода его малых колебаний.

Для значения тО, = О определить значение начальной скорости и,т

при котором скорость тела в верхней точке, т,е. при то = 7Г, равна

нулю. Вычислить длину маятника из закона сохранения энергии

3. Свободные гармонические колебания пруотсинного маятника. Исследовать лвижение пружинного маятника, при различных значениях массы тп тела, жесткости Й пружины и начального значения х, координаты при отсутствии силы вязкого трения.

а) Снять зависимость периода Т колебаний от массы тп тела при к —..- сот!И.

б) Снять зависимость периода Т колебаний от жесткости й при тп = сопй.

Полученные данные занести в таблицы

ПО этим данным построить на бумаге графики зависимостей Т Т(~/т) при Й = сопй и Т = Т(1/,тЯ) при тп = сопят. Построить на тех же графиках теоретические зависимости Т = Т(~/ти ) и Т = Т(1/~/Г) по формуле (10).

Распознанный текст из изображения:

2тГ,

р=

т44, т тт

(37)

А(1+ Т)

~с г2

т 2 ел~

(36)

14

15

4. Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Исследовать свободные колебания пружинного маятника при различных значениях массы т тела, жесткости Й пружины и коэффициента г вязкого трения. Дать начальной координате х, наибольшее значение.

а) Снять зависимость коэффициента затухания 1з от коэффициента вязкости г при т = сопИ.

б) Снять зависимость коэффициента затухания ез от массы тв тела,

тт тт т

Для этого сначала измерить период колебаний Т. Затем по графику функции х = х(1) найти два значения амплитуды А(е) и А(~ + Т). По формуле

вь1числить логтаритрмический декремент затухаеЕИЯ. По формуле

вычислить коэгЬфиттиент затухания. Пол~чене1ые данные занести в

таблицы

По этим данным построить на бумаге графики зависимостей ~3 =,8(г) при т = сопй и 9 = Д(1/е7е) при г = сопй. Построить на тех же гра-

ЕЕтт11таХ тЕОттЕтИЧЕСКттЕ ЗаВтЕСИЕтЕОтСГт1 Й вЂ” ф(Г ~ И Д вЂ” Й1/Ка1 ПО ЕЕ~ОрМуЛЕ

Измерения произвести для трех различных значений жесткости к.

5. Вынужденные колебания пружинного маятника. Формулы (32)

и (33) можно преобразовать к виду

В этом упражнении необходимо убедиться к правильности этих фор-

мул.

На экране после нажатия кнопки "ста т" появляется зависимость х = х(е) координаты тела от времени, которая описывает вынужденные колебания пружинного маятника. На экране также изображена зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы. Теперь вместо символа А амплитуда колебаний обозначается как х„а частота вынуждающей силы вместо й — как ы. При этом резонансная частота обозначается как ы, вместо йр. Значение резонансной частоты можно измерить при помощи красной точки на. гпафике которая перемещается при изменении частоты ы.

тЧНКСИМНЛЬНОЕ ЗНаЧЕНИЕ Лр аМПЛИтудЫ МОЖНО ИЗМЕрнтЬ ЛИНЕИКОй.

Установить некоторые значения жесткости к и коэффициента трения г. Измерить соответствующее значение резонансной частоты. По формуле (36) вычислить массу тела ете.

а) Снять зависимость резонансной частоты от коэффициента вязкости т при ес = сопй.

б) Сиять зависимость резонансной частоты от жесткости й при т = сопй

в) Снять зависимость резонансной амплитуды Ар от коэффициента вязкости г при к = сопй.

г) Снять зависимость езонансной амплит;ды Лр от жесткости Й при т = сопй. Полученные данные занести в таблицы

По этим данным построить на бумаге графики зависимостей Йр —— йр(г) при к = сопй и Ор — йр(к) при г = сопй. Построить на тех же графиках теоретические зависимости Йр — Ор(т) при Й = сопй и Ор —— йр(к) при т = соп~~ по формуле (36). Построить на бумаге графики зависимостей Ар — — йр(т.) при й = еопй и Ар — — йр® при г =. солИ. На отдельном листе бумаги построить графики Ар — Ар(г) при й = сопй и Лр — — Ар® при г = сопй по формуле (37). Сравнить эти графики.

Распознанный текст из изображения:

Вопросы к работе

1. Определение периодической функции.

2. Функция, описывающая гармонические колебания.

3. Период гармонических колебаний и частота.

4. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

5. Скорость и ускорение гармонических колебаний.

о. ~вязь амплитуды гармонических колебаний с начальными значениями координаты и скорости тела.

7. Второй закон Ньютона для пружинного маятника и его решение.

8. Частота и период колебаний пружинного маятника.

9. Закон сохранения энергии пружинного маятника.

10. Основное уравнение вращательного движения, 11. ~ равнение движения математического маятника и его решение для малых колебаний маятника.

12. Заксч сохранения энергия математического маятника.

13. Второй закон Ньютона для пружинного маятника. на который действует сила вязкого трения.

14. Функция, описывающая затухающие колебания.

15. Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени.

16. Время релаксации затухающих колебаний.

17. Логарифмический декремент затухания колебаний.

18. Зависимость частоты затухающих колебаний от коэффициента

затухания.

1~. ЗаеОн изменения энергии пружиннОго маятника> на еОторый действует сила вязкого трения.

20. Вынужденные колебания пружинного маятника. Уравнение движения и его решение.

21. Функция, описывающая вынужденные колебания.

22. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.

23. Зависимость резонансной частоты от коэффициента затухания.

24, Зависимость резонансной амплитуды от коэффициента затухания.