Курсовая работа: Вариант 1 – ДЗ №1 – Интегральные преобразования и уравнения математической физики

Проверенное домашнее задание по ИПиУМФ. В третьем задании стоит плюсик, но ответы, полученные разными способами, не совпадают, где-то есть ошибка. Всё остальное решено верно.


1. Для функции ϕ(x) = rect x и функции ψ(x), которая вне отрезка [−2, 2] равна нулю, а на этом отрезке графиком функции является ломаная, соединяющая точки A(−2, 1), B(−1, −1), C(1, −1), D(2, 1): а) построить их графики; б) вычислить свертку ϕ ∗ ψ; в) построить график свертки. (1 балл)
2. Определить тип дифференциального уравнения −x uxx + 4x 3 uyy + (1 + x 2 )ux + 2x 3 uy = 0, привести его к каноническому виду, записать общее решениею Найти решение задачи Коши для этого дифференциального уравнения с начальными условиями u(1, y) = y 2 , ux(1, y) = 0. (1 балл)
3. Найти поток векторного поля F = (x + z)zi + x 2 j + (x − 1)(x − z)k через поверхность S: x + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1, ограничивающую конечный объем. Результат проверить по формуле Остроградского — Гаусса. (1 балл)
4. Найти преобразование Фурье функции f(x), которая вне отрезка [0, 5] равна нулю, а на этом отрезке графиком функции является ломаная, соединяющая точки A(0, 0), B(1, −2), C(2, −1), D(3, −1), E(4, −2), F(5, 0) (1 балл)
5. Для задачи utt = uxx, x > 0, t > 0; u x=0 = 0, u t=0 = ϕ(x − 2), u0 t t=0 = 0, где ϕ(x) = Λ(x), нарисовать профиль струны в моменты времени t = 0; 1; 1.5; 2; 2.5; 3; 5. (1 балл)
6. Разложить функцию f(x) =    −4 − x, −3 6 x < −2; x, −2 6 x 6 2; 4 − x, 2 < x 6 3, заданную на отрезке [−3, 3], в тригонометрический ряд Фурье. Построить график функции f(x) и график суммы S(x) ее ряда Фурье. (1 балл)