ВКР: Кольцо двойных чисел

Содержание

Введение. ……………………………………………………………….3
Глава 1 Алгебры ранга 2 над полем действительных чисел
§1 Понятие и примеры линейной алгебры………………………5
§2 Описание алгебр ранга 2 над полем R………………………..7
Глава 2 Модели кольца двойных чисел, действия с двойными
числами, идеалы
§1 Кольцо двойных чисел……………………………………..…10
§2 Описание идеалов кольца С₁……………………………..…..16
§3 Действия над двойными числами………………………..…...18
§4 Двусторонние идеалы в кольце матриц над кольцом
двойных чисел……………………………..……………………....26
§5 Левосторонние идеалы в кольце матриц над кольцом
двойных чисел…………………………..…………………………28
Глава 3 Определители матриц над кольцом двойных чисел
§1 Определитель матрицы……………..…………………………30
§2 Обратимость матриц над кольцом двойных чисел..………....33
Глава 4 Некоторые вопросы линейной алгебры в кольце С₁
§1 Элементарные преобразования…………………..……………46
§2 Приведение матрицы над кольцом С₁ к ступенчатому виду..48
§3 Решение уравнений первой степени с одной переменной..…49
§4 Решение линейных уравнений……………………………..….51
§5 Решение систем линейных уравнений………………….…….54
Заключение……………………...………………………………..……..56
Литература……………………………………………………..…….….57





ВВЕДЕНИЕ

Данная работа посвящена изучению некоторых свойств кольца двойных чисел.
В курсе алгебры и теории чисел изучается понятие линейной алгебры, строятся некоторые примеры линейных алгебр (например, алгебра линейных операторов, алгебра квадратных матриц, алгебра многочленов, алгебра ком­плексных чисел, алгебра кватернионов). Алгебра комплексных чисел является алгеброй ранга 2 над полем действительных чисел. Известно [4], что с точно­стью до изоморфизма существует только три алгебры ранга 2 над полем дейст­вительных чисел: алгебра комплексных чисел, алгебра двойных и алгебра ду­альных чисел. В отличие от алгебры комплексных чисел, алгебры двойных и дуальных чисел не являются алгебрами с делением, так как в кольцах двойных и дуальных чисел существуют делители нуля.
В связи с этим несомненный интерес представляет систематическое изуче­ние свойств колец двойных и дуальных чисел и сравнение их свойств со свойст­вами, например, комплексных чисел.
Отметим, что в доступной нам литературе практически отсутствуют какие-либо сведения о двойных числах.
Перед нами были поставлены следующие задачи:

• изучить в научной литературе классификацию алгебр ранга 2 над по­лем действительных чисел;
• построить различные модели кольца двойных чисел;
• изучить действия с двойными числами. Специально поставлена задача попытаться найти такую форму для представления двойного числа, ко­торая позволила бы легко выполнять действия умножения и возведения в натуральную степень с двойными числами; изучить корни натураль­ной степени из двойных чисел;