Курсовая работа: Методы анализа устойчивости линейных систем с постоянным и линейно возрастающим запаздыванием

Содержание


















2

Введение

• настоящее время область приложений дифференциальных уравне-ний с отклоняющимся аргументом заметно расширяется. Системы таких уравнений позволяют моделировать динамические процессы в различных областях физики, техники, биологии, медицины, экономики, экологии.

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом диф-ференциальные уравнения, в которые неизвестная функция входит при различных аргументах. Такие уравнения можно разделить на три типа: уравнения с запаздывающим аргументом, уравнения с опережающим ар-гументом и уравнения нейтрального типа. С основами теории дифферен-циальных уравнений с отклоняющимся аргументом можно познакомиться

• работах [1, 2].

• настоящей работе рассматриваются линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы, в кото-рых скорость изменения в любой момент времени зависит от предыдущих состояний, а не только от текущего состояния.

Для дифференциальных уравнений существует несколько методов анализа устойчивости. Два основных подхода были разработаны Ляпуно-вым А. М., они известны как первый и второй (прямой) методы Ляпунова.

Под вторым методом Ляпунова понимают совокупность приемов и средств исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений при помощи специальных функций Ляпунова. Для систем ви-да x = Ax, где x 2 Rⁿ, A постоянная матрица, известен критерий: система экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда существу-ет положительно-определенная квадратичная форма (функция Ляпунова), производная которой вдоль решений данной системы представляет собой отрицательно-определенную квадратичную форму.

Существуют обобщения второго метода Ляпунова на системы с за-паздыванием. Данная работа будет основана на одном из таких методов
методе Красовского Н. Н.. В силу того, что состояние линейной системы с запаздыванием это сегмент траектории, а не значение в текущий момент времени, то функции Ляпунова Красовский заменяет функционалами, за-висящими от сегмента траектории. Именно эти функционалы, используе-мые для анализа экспоненциальной