Курсовая работа: Матрицы Ляпунова для систем с распределённым запаздыванием

Содержание











































2

Введение

Одним из способов анализа дифференциальных систем с запаздывани-ем на устойчивость является метод функционалов Ляпунова–Красовского [1], представляющий собой обобщение второго метода Ляпунова для си-стем обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, согласно теореме Красовского, для равномерной асимптотической устойчивости достаточно существование положительно-определённого функционала, допускающе-го соответствующую оценку сверху, производная которого вдоль решений системы отрицательно определена.

Для линейных стационарных систем обычно рассматривают два под-хода к применению данной теоремы. Первый из них заключается в вы-боре некоторого функционала, заведомо обладающего требуемыми оцен-ками, и дальнейшая проверка его производной вдоль решений системы на отрицательную определённость. Другим способом является построение функционала по заданной производной и затем проверка выполнения его положительной определённости.

Применение второго подхода продемонстрировано в работах [2, 3, 4],

• частности в работе [4] введены функционалы полного типа, позволяющие обратить теорему Красовского. Построение полученных в данных работах функционалов зависит от значений одной матричной функции на конечном промежутке. Данная функция, в дальнейшем получившая название мат-рицы Ляпунова, удовлетворяет системе дифференциальных уравнений с запаздыванием, а также симметрическому и граничному условию.

Построение матриц Ляпунова осложняется отсутствием заданной для них начальной функции, что лишь отчасти компенсируется накладываемым на них симметрическим условием.