ДЗ 1: Классическая, комбинаторная, геометрическая вероятности. Случайные величины. вариант 15

Задача 1. Одновременно подбрасывают две игральные кости. Найти вероятность
того, что произведение выпавших очков: 1) равно 8; 2) меньше 9; 3) больше 7; 4) заключено в промежутке [10;13].
Задача 2. На некоторое обслуживающие устройство поступают две заявки. Каждая может по ступить в любой момент времени в течение 150 минут. Время обслуживания первой заявки 15 минут, второй - 35 минут. При поступлении заявки на занятое устройство она не принимается. При поступлении заявки на свободное устройство даже в последний момент времени Т , она обслуживается. Найти вероятность того, что: 1) обе заявки будут обслужены; 2) будет обслужена ровно одна заявка.
Задача 3. Задана структурная схема надежности системы, состоящей из пяти элементов. Событие Аi - отказ i-го элемента за некоторый промежуток времени. Вероятности безотказной работы элементов заданы:
Pij(A)=0,95, i = 1,3,5; Pij(A)=0,9, j = 2,4.
Событие А состоит в безотказной работе всей системы за рассматриваемый промежуток времени (события Аi независимы в совокупности). Требуется: 1) выразить
событие А через Ai или Аi ( i =1,2,3,4,5); 2) найти вероятность P( А) безотказной работы
системы.
Задача 4. Из партии, содержащей 12 изделий, среди которых 9 - высшего сорта, для
контроля последовательно выбирают наугад 6 изделий. Найти вероятность того, что среди выбранных изделий окажется ровно 4 высшего сорта при условии, что выборка производится: 1) с возвращением (выбранное изделие после проверки возвращается обратно в партию); 2) без возвращения (выбранное изделие в партию не возвращается).
Задача 5. На склад поступили детали, изготовляемые на трех станках. На первом станке изготовлено 40% деталей. на втором - 35% деталей, на третьем - 25% деталей. Вероятность выпуска бракованных деталей на i -м станке равна Pi (i = 1,2,3) . Р₁= 0,05; Р₂= 0,01; Р₃= 0,02. 1) Определить вероятность того, что деталь, наудачу взятая со склада оказалась бракованной. 2) Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на третьем станке.
Задача 7. Произведено 5 независимых выстрелов по мишени с вероятностью попадания p=0,7 . Пусть случайная величина ξ - число попаданий в цель. Для случайной величины ξ найти: 1) распределение вероятностей; 2) функцию распределения и построить ее график; 3) вероятность попадания случайной величины в интервал (1,3;2); 4) математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
Задача 8. Непрерывная случайная величина ξ имеет плотность распределения
вероятностей f (x) . λ = 2. Для случайной величины ξ найти : 1) ее функцию распределения F(x) и построить графики функции распределения F(x) и плотности распределения вероятностей f(x); 2) вероятность попадания случайной величины в интервал (1;5); 4)
математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.
Задача 10. Дана система двух дискретных случайных величин (ξ,η), закон
распределения которой задан таблицей pij= Ρ(ξ= xi, η = yi) i=1,2,3, j= 1,2,3,4., где
x1=2, х2=3, х3=5, у1=-1, у2=0, у3=1, у4=2. Найти: 1 ) законы распределения случайных величин ξ и η; 2) математические ожидания и дисперсии случайных величин ξ и η ; 3) коэффициент корреляции r.
Задача 12.
а) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ = 3ξ -2η + 8, где (ξ ,η ) - данные, взятые из 10 задачи.