Методы расчета
и
проектирования
планетарных
коробок передач
Планетарным называется
механизм, в котором одно или
несколько зубчатых колес
совершают помимо
относительного движения вокруг
своих осей еще и переносное
движение.
Элементы планетарного ряда
1 – малое центральное колесо
(МЦК);
2 – большое центральное колесо
(БЦК);
3 – водило;
4 – сателлиты (составная часть
водила).
Основные преимущества
планетарных передач
1. Использование нескольких
промежуточных зубчатых колес
(сателлитов) в планетарных передачах
снижает, по сравнению с простыми
зубчатыми передачами, нагруженность
зубьев.
2. Симметричное расположение
сателлитов позволяет разгрузить
от радиальных сил центральные валы
и их подшипниковые опоры.
3.. При удачном выборе кинематической
схемы планетарные передачи обладают
более высокими значениями КПД.
. Использование планетарных коробок
передач существенно упрощает задачу
автоматизации переключения передач.
5. Наличие планетарной коробки
передач избавляет от необходимости
использовать в составе трансмиссии
сцепления или главного фрикциона.
Уравнения
кинематической связи
звеньев планетарного
ряда
r1 – радиус МЦК;
r2 – радиус БЦК;
r3 – радиус, на котором
находятся оси
сателлитов
Сателлиты совершают сложное движение:
• переносное вместе с водилом планетарного
ряда;
• относительное относительно своих осей.
Эпюра скоростей в
относительном движении
Эпюра скоростей в переносном
движении
Эпюра абсолютных скоростей
1r1 3r2
2
r2
1r1
3 2 отн пер
r2
1r1 3r1
1
r1
1 3 1отн пер
а)
Условно остановим водило
планетарного ряда
1 3
ik
2 3
или
(1 ik )3 1 ik 2
Для планетарного ряда а)
r2 rст1
ik
const
r1 rст 2
Для планетарного ряда б)
r2 rст1
ik
const
r1 rст 2
ik – внутреннее передаточное
отношение планетарного
ряда
Правило определения знака
внутреннего передаточного
отношения планетарного ряда
Знак внутреннего передаточного
отношения определяется знаком
произведения единичных
сомножителей, число которых
равно числу зубчатых
зацеплений планетарного ряда,
причем единичный сомножитель
положительный, если зацепление
внутреннее, и отрицательный
для внешнего зацепления.
Для планетарного ряда а)
sign(ik) = sign[(-1)·(+1)] = -1
Для планетарного ряда б)
sign(ik) = sign[(-1)·(-1)] = +1
1
ik
2 3 0
1
i12
2 3 0
или
2
i21
1 3 0
(1 i12 )3 1 i122
Остановим звено 2 (ω2 = 0)
(1 i12 )3 1
или
1
i13 1 i12
3 2 0
i12 1 i13
i133 1 (1 i13 )2
(1 i13 )2 1 i133
Остановим звено 1 (ω1 = 0)
(1 i12 )3 i122
или
2
1 i12
i23
i
12
3 1 0
1
i12
1 i23
1
1
2
1
3 1
1
i
1
i
23
23
i23
(1 i23 )1 2
3
1 i23
1 i23
(1 i23 )1 2 i233
(1 i12 )3 1 i122 ,
1
где i12
2 3 0
(1 i21 )3 2 i211 ,
2
где i21
1 3 0
(1 i13 )2 1 i133 ,
1
где i13
3 2 0
(1 i31 )2 3 i311 ,
3
где i31
1 2 0
(1 i23 )1 2 i233 ,
2
где i23
3 1 0
(1 i32 )1 3 i322 ,
3
где i32
2 1 0
Если три звена p, q и r составляют
некоторый планетарный ряд, то
(1 i pq )r p i pqq ,
p
где i pq
q r 0
Сумма коэффициентов слева равна
сумме коэффициентов справа:
1 - ipq = 1 – ipq
Уравновешенное уравнение:
apωp + aqωq + arωr = 0
ap + aq + ar = 0,
что является математическим
подтверждением свойства планетарных
рядов блокироваться.
ωp = ωq = ωr = ω
(ap + aq + ar) ω = 0
ω≠0
Классификация планетарных
рядов
Планетарные ряды первого класса:
ряды, у которых внутреннее
передаточное отношение, определенное
при остановленном водиле, величина
положительная.
Планетарные ряды второго класса:
ряды, у которых внутреннее
передаточное отношение, определенное
при остановленном водиле, величина
отрицательная.
Примеры планетарных рядов
первого класса
Планетарный ряд с двухвенцовыми
сателлитами, построенный с использованием
только внутренних зацеплений
Планетарный ряд со сцепленными
сателлитами, построенный с использованием
внутреннего и внешних зацеплений
Планетарный ряд с двухвенцовыми
сателлитами, построенный с использованием
только внешних зацеплений
Примеры планетарных рядов
второго класса
Планетарный ряд с одновенцовыми
сателлитами, построенный с использованием
внутреннего и внешнего зацеплений
Планетарный ряд с двухвенцовыми
сателлитами, построенный с использованием
внутреннего и внешнего зацеплений
Планетарный ряд со сцепленными
сателлитами, построенный с использованием
внешних зацеплений
Планетарный ряд с одновенцовыми
сателлитами, построенный с использованием
конических зацеплений
(симметричный дифференциал)
Планетарный ряд с двухвенцовыми
сателлитами, построенный с использованием
конических зацеплений
(несимметричный дифференциал)
Взаимосвязь внутренних
передаточных отношений
планетарного ряда
Пусть звенья p, q и r составляют
некоторый планетарный ряд
i pq ; iqp ; i pr ; irp ; irq ; iqr
1
i pq ;
iqp
1
i pr ;
irp
1
irq
iqr
Рассмотрим следующее уравнение
(1 i pq )r p i pqq .
Пусть ωp = 0
r
i pq
irq
.
(1 i pq )
q p 0
Пусть ωq = 0
p
i pr
1 i pq .
r q 0
Умножим первое полученное
выражение на второе:
iprirq = -ipq.
Для выполнения этого равенства
необходимо, чтобы одно из трех
внутренних передаточных отношений
было отрицательным.
Таким образом, если угловые скорости
трех звеньев связаны уравнением:
apωp + aqωq + arωr = 0
ap + aq + ar = 0,
то назначая по очереди в качестве
водила одно из трех звеньев, получим
три адекватных по кинематическим
свойствам планетарных ряда, причем
два из них должны быть первого класса
и один - второго класса.
Конструктивный параметр
планетарного ряда
Величина, определяемая абсолютной
величиной отношения угловой скорости
центрального колеса, вращающегося
при остановленном водиле с большей
частотой, к угловой скорости второго
центрального колеса, называется
конструктивным параметром и
обозначается символом k.
k > +1.
Для планетарных рядов с
одновенцовыми и сцепленными
сателлитами
k
z БЦК
zМЦК
,
где zБЦК – число зубьев БЦК;
zМЦК – число зубьев МЦК.
Для планетарных рядов с
двухвенцовыми сателлитами
k
z БЦК zстМЦК
zМЦК zстБЦК
,
где zстБЦК – число зубьев сателлита
сцепленного с БЦК;
zстМЦК – число зубьев сателлита
сцепленного с МЦК.
Если k < 1, то
k
zМЦК zстБЦК
z БЦК zстМЦК
,
Планетарный ряд второго
класса с одновенцовыми
сателлитами
Преимущества:
• простота изготовления;
• высокое значение КПД;
• относительно низкая стоимость.
4
k 4
3
Свойства планетарных
рядов
1. Свойство блокироваться.
Если угловые скорости двух звеньев
равны, то и угловая скорость третьего
звена будет равна угловой скорости
этих двух звеньев.
(1 i pq )r p i pqq .
Пусть ωr = ωp = ω
(1 i pq ) i pqq ,
i pq i pqq
q p r
2. Свойство редуктора.
(1 i pq )r p i pqq
i pq 1
ωq = 0
p
i pr
1 i pq 1.
r q0
(1 i pq )r p i pqq
i pq 1
ωp = 0
1 i pq
q
iqr
1.
i
r p0
pq
3. Свойство мультипликатора.
(1 i pq )r p i pqq
i pq 1
ωq = 0
r
1
irp
p q0 1 i pq
0 irp 1.
(1 i pq )r p i pqq
i pq 1
ωp = 0
r
i pq
irq
1 i pq
q p0
0 irq 1.
4. Свойство реверсивности.
(1 i pq )r p i pqq
i pq 1
ωr = 0
p
i pq
i pq 1
q r 0
(1 i pq )r p i pqq
i pq 1
ωr = 0
q
1
iqp
p r 0 i pq
1 iqp 0
Обозначение планетарных рядов
qpr
Назначение чисел зубьев
зубчатых колес планетарного
ряда
1. Не желательны варианты, в
которых числа зубьев
сцепляющихся колес имели
хотя бы один общий множитель.
2. Не рекомендуется выбирать
варианты, в которых число
зубьев малого или большого
центральных колес кратно
количеству сателлитов.
3. Условие соосности.
rp
mp z p
rстp
rq
2
m p zстp
2
mq zq
rстq
2
mq zстq
2
m p ( z p zстp ) mq ( zq zстq )
В общем виде для планетарных рядов с
одновенцовыми и двухвенцовыми
сателлитами:
mмцк ( z мцк zстмцк ) mбцк ( zбцк zстбцк )
Для планетарных рядов второго класса
с одновенцовыми сателлитами:
zбцк z мцк 2 zст
Для планетарных рядов со сцепленными
сателлитами:
Ap Aст Aq 0,
где |Аp| – межосевое расстояние пары
«МЦК – сателлит МЦК»
где |Аст| – межосевое расстояние пары
«сателлит МЦК – сателлит БЦК»
где |Аp| – межосевое расстояние пары
«БЦК – сателлит БЦК»
4. Условие сборки.
Рассмотрим ПР второго класса с
одновенцовыми сателлитами prq, в
котором пусть БЦК (звено) q будет
неподвижным.
Для установки следующего сателлита
водило нужно повернуть на угол
r 2 / aст .
где аст – число сателлитов.
Угол поворота МЦК определим из
уравнения
(1 i pq )r p i pqq .
где φр – угол поворота МЦК;
φq – угол поворота БЦК;
φr – угол поворота водила
При условии φq = 0
zq
2
p r (1 i pq ) 1
aст
zp
где zp – число зубьев МЦК;
zq – число зубьев БЦК.
При этом МЦК должно повернуться на
целое число зубьев
2 K
p
zp
где К – любое целое число.
zq
2
1
aст
zp
2 K
z
p
z p zq
aст
K
Это соотношение справедливо только
для планетарных рядов второго класса
с одновенцовыми или сцепленными
сателлитами.
Для планетарных рядов первого
класса с одновенцовыми или
сцепленными сателлитами
zq z p
aст
K
Для планетарных рядов с
двухвенцовыми сателлитами
zq zстp z p zстq
aст
K
где знак « - » берется для планетарных
рядов первого класса, и « + » - для
планетарных рядов второго класса.
5. Условие соседства сателлитов.
Это условие проверяется определяется
путем геометрического построения.
Для планетарных рядов второго класса
с одновенцовыми сателлитами
zq z p 4
zq z p
sin
aст
где zp – число зубьев МЦК;
zq – число зубьев БЦК;
аст – число сателлитов.
6. Условие отсутствия
подрезания зубьев.
Минимальное число зубьев шестерен
нарезанных без смещения zmin = 17.
Рассмотрим планетарный ряд второго
класса с одновенцовыми сателлитами
и определим какое в зависимости от
конструктивного параметра зубчатое
колесо должно иметь минимальное число
зубьев: МЦК или сателлиты.
Из условия соосности имеем
z БЦК zМЦК 2 zст
или
k1
zст
1 z БЦК
1
zМЦК 2 zМЦК
2
Если k > 3, то zст > zМЦК
и минимальное число зубьев
следует назначать для МЦК
Если k < 3, то zст < zМЦК
и минимальное число зубьев
следует назначать для сателлитов.
Относительная угловая
скорость сателлитов
ст
zМЦК
zстМЦК
МЦК
в
или
ст
z БЦК
zстБЦК
БЦК
в
где знак « - » берется для
внешнего зацепления, и « + » для внутреннего зацепления.
Рассмотрим планетарный ряд второго
класса с одновенцовыми сателлитами
ст
zМЦК
zст
МЦК
в
Из условия соосности
zст
z БЦК zМЦК
2
zМЦК (k 1)
2
zМЦК
zст
2
k1
ст
2
МЦК в
1 k
ст
z БЦК
zстБЦК
БЦК
в
zст
z БЦК zМЦК
2
1
z БЦК 1
k1
k
z БЦК
2
2k
z БЦК
zст
2k
k1
ст
2k
БЦК в
k1
Определение
моментов,
действующих на
звенья планетарного
механизма
Допущения:
• звенья планетарного ряда
вращаются с постоянными угловыми
скоростями;
• потери в зубчатых зацеплениях
планетарного ряда отсутствуют.
Для планетарного ряда, составленного из
звеньев р, q и r, запишем условие
равновесного состояния
Мр + Мq + Мr = 0
и сохранения энергии
Мрωр + Мqωq + Мrωr = 0
Выразим из первого уравнения
Мr = – Мр – Мq
и подставим его во второе
Мр(ωр - ωr) + Мq(ωq - ωr) = 0,
откуда:
Mq
p r
p
Mp
q r
q
i pq
r 0
В результате
M r M p (1 i pq )
M q M r
i pq
1 i pq
Таким образом:
в любом планетарном механизме с
отрицательным внутренним
передаточным отношением (второго
класса) моменты на центральных
зубчатых колесах всегда совпадают по
направлению и уравновешиваются
моментом на водиле, который имеет
противоположное направление;
в планетарных механизмах первого
класса моменты, действующие на
центральные зубчатые колеса,
противоположны по направлению, а
момент, действующий на водило,
равен их алгебраической сумме и по
направлению совпадает с моментом
центрального колеса, вращающегося
при неподвижном водиле с большей
угловой скоростью.
Если использовать понятие
конструктивного параметра, то
M БЦК kM МЦК ;
M ВОД ( M МЦК М БЦК ).
где верхние знаки относятся к
планетарным рядам первого
класс, а нижние – планетарным
рядам второго
Расчет
распределения
потоков мощности
Мощность на любом звене
планетарного ряда
N зв M зв зв ,
Если Nзв < 0, то звено ведущее и через
него мощность поступает в
планетарный ряд;
Если Nзв > 0, то звено ведомое и через
него мощность выходит из
планетарного ряда.
Рассмотрим несколько вариантов
блокировки планетарного ряда
Вариант 1.
М Ф kM 0
ωМЦК = ωвод = ωБЦК = ω0 = 1
Вариант 2.
Момент, приходящий на БЦК со стороны
блокировочной муфты, равен а
Момент на БЦК, определенный через
момент на МЦК, равен k(1-а)
Очевидно, что эти два момента должны
быть равны:
k
a - k(1 - a) = 0 → a
k 1
k
Мф
k 1
ωМЦК = ωвод = ωБЦК = ω0 = 1