Методы синтеза ЦФ
СИНТЕЗ ФИЛЬТРОВ КИХ
Синтез фильтров КИХ
• При наличии импульсной характеристики
ее достаточно оцифровать с нужной
частотой дискретизации.
• При наличии АЧХ используется два метода:
метод окон (метод разложения в ряд
Фурье) и оптимизационный.
Метод окон
Этот метод имеет две реализации:
• Аналитическая
• Дискретная
Метод окон
• Аналитический метод предполагает
наличие частотной характеристики в виде
формулы H(f):
– Эта формула приводится к дискретной
частотной характеристике H(m)
– Полученное выражение H(m) подставляется в
формулу ОДПФ
– Полученная функция h(k) является импульсной
характеристикой, а ее отсчеты – искомыми
коэффициентами фильтра.
Метод окон
• При отсутствии ЧХ, заданной аналитически,
применяют второй способ:
– Заданная ЧХ дискретизируется в частотной
области в интервале [–fд /2; fд /2]
– Полученные отсчеты подставляются в формулу
ОДПФ
– Полученная функция h(k) является импульсной
характеристикой, а ее отсчеты – искомыми
коэффициентами фильтра.
Метод окон: иллюстрации
1. Идеальная непрерывная ЧХ: H(f)
2. Ее дискретное представление: H(m)
Метод окон: иллюстрации
3. Применяем ОДПФ: H(m) → ОДПФ → h(k)
4. Получаем h(k) – коэффициенты фильтра
Синтез ПЧ и ФВЧ фильтров КИХ
Для синтеза полосового фильтра:
1. Рассчитаем ФНЧ с нужными параметрами:
шириной полосы, крутизной спада, уровнем
пульсаций, центр АЧХ которого приходится на
0 вместо требуемой частоты:
Синтез ПЧ и ФВЧ фильтров КИХ
2. Сместим полученную H(m) на нужную
частоту, воспользовавшись свойством
сдвига ДПФ:
Пусть последовательность y получена путем
сдвига последовательности x на n отсчетов:
y(t) = x (t - n), тогда
ДПФ(y) = ДПФ(x) exp(-j2nk/N)
…перерассчитаем h(k) полосового фильтра:
hП(k) = hНЧ(k) exp(-j2nk/N)
Синтез ПЧ и ФВЧ фильтров КИХ
То есть, нужно умножить коэффициенты ФНЧ
на дискретную синусоиду, частота которой
равна нужной центральной частоте.
В случае же ФВЧ эта частота равна половине
частоты дискретизации. Тогда коэффициенты
ФНЧ умножаются на последовательность
(1, -1, 1, -1, 1, -1…).
СИНТЕЗ ФИЛЬТРОВ БИХ
Синтез фильтров БИХ
Применяются следующие разновидности
расчета фильтров:
• Синтез по аналоговому прототипу
1. Метод инвариантной импульсной
характеристики
2. Метод билинейного преобразования
3. Метод дискретизации дифференциального
уравнения аналоговой цепи
• Прямой метод синтеза
• Эвристические методы (Алгоритм Герцеля)
Метод инвариантного преобразования
импульсной характеристики
Импульсная характеристика ЦФ получается
путем дискретизации ИХ фильтра-прототипа.
Значения импульсной характеристики ЦФ
h(k) должны быть равны значениям ИХ
фильтра-прототипа в отсчетные моменты
времени t=k.
Метод инвариантного преобразования
импульсной характеристики
Затем, применяя к ИХ ЦФ Z-преобразование,
можно найти системную функцию и составить
алгоритм ЦФ. Степень приближения ЧХ ЦФ к
ЧХ прототипа зависит от выбора шага
дискретизации.
При необходимости можно вычислить ЧХ ЦФ,
введя в системной функции замену
Z=exp(j), и сравнить ее с ЧХ прототипа.
Метод инвариантного преобразования ИХ
• Требуется спроектировать фильтр, ИХ коего
является дискретизированной версией
непрерывной ИХ аналогового фильтра.
Метод инвариантного преобразования ИХ
• Соответствие этих характеристик
предполагает, что мы можем отобразить
каждый полюс передаточной функции
аналогового фильтра H(p) в р-плоскости на
полюс передаточной функции дискретного
фильтра в z-плоскости.
Наложение при использовании метода ИП
ИХ
Следует делать частоту
дискретизации как
можно выше, чтобы
минимизировать
перекрытие первичной
АЧХ и ее спектральных
отображений,
разнесенных на
расстояние, кратное
частоте
дискретизации.
Метод инвариантного преобразования ИХ
• Методы проектирования БИХ-фильтров на
основе инвариантного преобразования
импульсной характеристики больше всего
подходят для проектирования
узкополосных фильтров.
• То есть, для ФНЧ, частоты среза коих
намного меньше частоты дискретизации.
Метод инвариантного преобразования ИХ
Первая методика:
1. Получить аналоговый фильтр с требуемой
АЧХ, что означает наличие передаточной
функции H(p).
2. По передаточной функции H(p) с помощью
преобразования Лапласа определить
непрерывную импульсную характеристику
h(t).
Метод инвариантного преобразования ИХ
3. Определить частоту дискретизации,
исходя из требований к сигналу и
оборудованию. Частота дискретизации
должна быть как можно выше.
4. Найти z-преобразование ИХ h(t) и получить
передаточную функцию БИХ-фильтра H(z).
Метод инвариантного преобразования ИХ
5. Подставить значение интервала
дискретизации в H(z). Этим
обеспечивается равенство отсчетов
дискретной ИХ значениям непрерывной
ИХ в моменты времени t=kτ.
6. Записать разностное уравнение и тем
самым получить коэффициенты фильтра.
Метод инвариантного преобразования ИХ
Вторая методика:
1. Исходный фильтр математически
разбивается на M фильтров с одним
полюсом.
2. Каждый из этих фильтров аппроксимируется
однополюсным цифровым.
3. Набор M однополюсных фильтров
аналитически объединяется в БИХ-фильтр
M-го порядка.
Оптимизационный метод проектирования
БИХ-фильтров
• В случае, если требуемая АЧХ сложна и не
выражается формулой, применяется
оптимизационный метод.
• Суть его состоит в итерационном подборе
коэффициентов фильтра и сравнении
результирующей АЧХ с заданной.
• Количество итераций ограничено либо
напрямую, либо заданной величиной
ошибки.
Прямой метод синтеза БИХ - фильтров
• Прямой синтез ЦФ сводится к нахождению
функции, аппроксимирующей заданную ЧХ
так, чтобы в результате получилось
дробно-рациональное выражение для
системной функции ЦФ.
• Для того, чтобы H(Z) была дробнорациональной, необходимо, чтобы
аппроксимирующая ЧХ была дробнорациональной относительно exp(j).
Подводные камни при проектировании
фильтров
• Квантование коэффициентов (ограниченная
точность) приводит к смещению нулей и
полюсов и искажению АЧХ.
• Переполнение на промежуточных этапах:
результат сложения и умножения может
сильно превышать величину входных и
выходных сигналов.
Подводные камни при проектировании
БИХ-фильтров
• Предельные циклы вызваны ошибками
округления. На выходе фильтра
присутствуют колебания даже в отсутствие
входного сигнала.
