Тестовые функции
Характеристики сигнала
• Мгновенное значение. Это мера того, на какую величину и
в каком направлении переменная отклоняется от нуля.
• Амплитуда. Это мера того, насколько значение
переменной отличается от нуля независимо от
направления, то есть, это модуль отклонения; амплитуда –
это модуль наибольшего отклонения сигнала, амплитуда
всегда положительна.
• Мощность сигнала. Пропорциональна квадрату
амплитуды. Часто требуется отображать на графике
сигналы с очень разной мощностью, поэтому
используются логарифмические шкалы.
• Разность мощностей = 10 * log10(P1/P2)
Классификация сигналов
• В наиболее общей формулировке сигнал – это
зависимость одной величины от другой, т.е. с
математической точки зрения – это некоторая функция.
• Физическая природа сигнала может быть различна, но
наиболее часто в радиотехнике в качестве сигнала
рассматривается напряжение или ток. В качестве
аргумента сигнальной функции обычно рассматривается
время, хотя в общем случае аргументом может быть
любая величина, например - пространственная
координата. Типичным примером последней ситуации
является задача измерения интенсивности
электромагнитного поля в волноводе или антенной
апертуре.
«Уровни» сигналов
• Помимо низшего уровня сигналов –
физического – существуют также сигналы
более высокого уровня.
• Например, значения ускорений, снимаемых
с акселерометра. В основе их также лежит
физический уровень (напряжение на
контактах МЭМС-датчика), но его
преобразование в ускорение совершается в
глубине микросхемы.
«Уровни» сигналов
• Обработка сигналов высокого уровня также
находится в компетенции ЦОС.
• В частности, задача распознавания жестов
путем анализа ускорений и моментов,
поступающих с акселерометров и
гироскопов.
Классификация сигналов
• В зависимости от объема наших знаний о поведении
сигнала во времени различают детерминированные и
случайные сигналы.
• Детерминированный сигнал известен точно – его
значение в любой момент времени однозначно
определяется начальными условиями и видом
соответствующей функции.
• Значение случайного сигнала на любой момент времени
может быть предсказано только с некоторой
вероятностью. В нашем курсе, за редкими исключениями,
касающимися анализа аппаратурных погрешностей,
сигналы будут рассматриваться как детерминированные.
Аналоговые, дискретные и цифровые
сигналы
• Исходный сигнал, наблюдаемый на выходе
физически реализуемого устройства,
обычно представляет собой непрерывную
функцию времени, т.е. определенную для
всех моментов некоторого конечного
интервала времени (интервала
наблюдения). Такой сигнал, как известно,
называют аналоговым (analog), или
непрерывным.
Аналоговые, дискретные и цифровые
сигналы
• Системы цифровой обработки оперируют с
выборками, т.е. последовательностями значений
(отсчетов, samples) сигнала, наблюдавшимися в
отдельные (дискретные) моменты времени,
принадлежащими интервалу наблюдения.
• Процесс преобразования непрерывного сигнала в
такую последовательность отсчетов называют
дискретизацией (sampling), а результат такого
преобразования, представляющий собой
дискретный ряд - дискретным (discrete-tme)
сигналом.
Аналоговые, дискретные и цифровые
сигналы
• Дискретный сигнал не полностью соответствует
исходному, т.к. не содержит информации о
значениях аналогового сигнала в интервалах
времени между отсчетами.
• Условия, при которых сохраняется возможность
полного восстановления исходного аналогового
сигнала на основании последовательности его
отсчетов, как известно, определяются теоремой
Котельникова (в иностранной литературе –
теорема Найквиста или теорема отсчетов).
Аналоговые, дискретные и цифровые
сигналы
• Обычно отсчеты непрерывного сигнала берутся
через равные промежутки времени τ, называемые
интервалом (периодом, шагом) дискретизации.
• Безразмерная величина номера интервала k=1/τ
представляет собой дискретное время,
нормированное к интервалу дискретизации τ.
• Величина, обратная интервалу дискретизации fd=
1/τ называется частотой дискретизации
(sampling frequency), а соответствующая ей
круговая частота ωд=2π/τ.
Аналоговые, дискретные и цифровые
сигналы
• При обработке сигнала в цифровых вычислительных
устройствах отсчеты представляются в виде чисел,
имеющих ограниченную разрядность, и поэтому
принимающих лишь конечное множество значений.
• Процесс преобразования отсчетов в числа
называется квантованием по уровню или просто
квантованием (quantiaton).
• Сигнал, дискретный во времени и квантованный по
уровню, называют цифровым (digital) сигналом.
Различия между аналоговым, дискретным и
цифровым сигналами иллюстрируются ниже:
Аналоговые, дискретные и цифровые
сигналы
• В большей части курса мы будем рассматривать сигналы
как дискретные, т.е. пренебрегать эффектами,
связанными с квантованием по уровню (округлением).
Указанные эффекты, рассматриваются в специальном
разделе, посвященном шумам (погрешностям)
квантования и другим явлениям, обусловленным конечной
точностью представления цифровых сигналов.
Тестовые сигналы
В классе детерминированных сигналов важное
место занимают периодические сигналы,
удовлетворяющие, при любом t, соотношению
s (t+nT) = s (t),
где n - произвольное целое число.
• T – период сигнала
• f = 1/T – частота повторения сигнала
• ω = 2πf – круговая частота
• Строго периодический сигнал
(существующий при любом t) является
физически нереализуемой математической
абстракцией, поскольку для реальных
сигналов должно выполняться условие
конечности энергии:
s
2
( t )dt
• Условию физической реализуемости
удовлетворяют финитные сигналы, т.е.
сигналы конечной длительности,
существующие только на ограниченном
интервале времени (дополнительное
требование физической реализуемости
финитных сигналов – отсутствие разрывов
второго рода).
В нашем курсе в качестве базовых (тестовых)
рассматриваются три вида сигналов:
• гармоническое колебание;
• дельта-функция (функция Дирака);
• функция единичного скачка (функции
Хэвисайда, функция включения).
Гармонический сигнал
s( t ) A cos( t )
• Это модель сигнала с бесконечно узким
(единичным) спектром, что, строго говоря,
справедливо только для неограниченного
времени его существования.
• При любой модуляции спектр сигнала
расширяется, однако, если за время анализа
относительное изменение амплитуды
невелико, указанным эффектом пренебрегают.
Дельта-функция
• Используется как модель бесконечно узкого
импульса бесконечной амплитуды. По
определению, функция δ(t) равна нулю при
всех значениях аргумента, кроме точки
t=t0, где δ(t) неограниченно возрастает,
оставаясь, однако, нормированной:
0 , t t 0
( t )
, t t
0
( t )dt 1
Дельта-функция
• Интеграл от произведения δ-функции и
некоторой непрерывной функции,
вычисленный по любой области,
включающей точку t0, совпадает со
значением функции в указанной точке:
f ( t ) ( t
t 0 )dt f ( t 0 )
Это свойство называется фильтрующим и
часто используется.
Дельта-функция
• Из того факта, что интеграл от δ-функции равен
безразмерной единице, следует, что сама δфункция имеет размерность, обратную
размерности ее аргумента.
• Соответственно, дельта-функция времени имеет
размерность с-1, т.е. частоты.
• На графиках δ-функцию изображают в виде
вертикальной стрелки, высота которой
пропорциональна множителю, стоящему перед
ней.
Функция единичного скачка
• равна нулю при t < t0, единице при t > t0; при t=t0
функция либо не определена, либо считается
равной 0.5 (в пакете МАТЛАБ – единице).
Функцию единичного скачка используют при
создании математических моделей сигналов
конечной длительности и других кусочнозаданных зависимостей.
• Все тестовые сигналы, строго говоря, не
удовлетворяют условиям физической
реализуемости: гармонический сигнал,
существующий при любом t, имеет
бесконечную энергию, дельта-функция и
фронт функции единичного скачка –
бесконечный спектр.
