DIP_lecture_4 (Лекции в PowerPointe)

Цифровая обработка изображений
4 Математические аспекты. Z-преобразование и
Матричная Алгебра
4.1 Определение Z-преобразования
Прямое Z-преобразование цифрового двумерного сигнала
X  z1 , z 2  

m n


x
m
,
n
z

1 z2
m , n 
Обратное Z-преобразование - восстановление двумерного сигнала
1
x m, n  
2
 j 2 
m 1 n 1


X
z
,
z
z
 1 2 1 z 2 dz1dz 2

Цифровая обработка изображений
Свертка двух функций эквивалентна произведению их Z-образов
Y  z1 , z 2  H  z1 , z 2  X  z1 , z 2 
Y  z1 , z 2 
 H  z1 , z 2  
X  z1 , z 2 
Область сходимости – единичный круг
z1 1,
z 2 1
Если, в частном случае,
z1 exp j1 ,
z 2 exp j 2 
то Z-преобразование становится преобразованием Фурье

Цифровая обработка изображений
В случае, если Z-образ сигнала можно разложить в ряд по
степеням комплексных переменных , то цифровой
двумерный сигнал представляет собой коэффициенты при
соответствующих слагаемых ряда этого разложения

Цифровая обработка изображений
4.2 Свойства двумерных Z-преобразований
Отражение
x m, n , y  m, n , h m, n 
X  z1 , z2 , Y  z1 , z2 , H  z1 , z2 
x  m, n 
X z1 1 , z 2 1
1 x1  m, n    2 x2  m, n 
Линейность

Комплексная x
сопряженность
Сепарабельностьx1
 m, n 
 m  x2  n 
Смещение
Модуляция
Свертка
Произведение
x m m0 , n n0 
a mb n x m, n 
h m, n   x m, n 
h m, n  x m, n 


1 X 1  z1 , z2    2 X 2  z1 , z2 

X  z1 , z2

X 1  z1  X 2  z 2 
z1m0 z2n0 X  z1 , z2 
 z1 z 2 
X , 
a b
X  z1 , z2  H  z1 , z 2 
 1 


 2j 
2
 
 z z 
dz


 1 , 2 Y  z , z  1 dz2
X

   1 2   

z1 z 2
C1 C2
 z1 z 2 

Цифровая обработка изображений
4.3 Стабильность и причинная обусловленность

H  z   h n z  n
n 0

 h n   
n 

  h m, n  
m , n 

Цифровая обработка изображений
4.4 Оптическая и модуляционная передаточная функции
H 1 ,  2 
OTF 
H  0,0 
H 1 ,  2 
MTF 
H  0,0 
Задача
2
h x, y  2 sin 2    x  x0   /   x  x0   
sin 2    y  y 0   /   y  y 0  
2
H 1 ,  2  2tri 1 ,  2  exp  j 2  x01  y 0 2  
OTF tri 1 ,  2  exp  j 2  x01  y 0 2  
MTF tri 1 ,  2 

Цифровая обработка изображений
4.5 Основные сведения из матричной алгебры
Матрица (изображение)
A  a m, n 
Транспонирование
AT  a n, m 
Комплексное сопряжение
A  a  m, n 
Единичная
I    m  n 
O  0
A  B  a m, n   b m, n 
Нулевая
Сумма матриц (изображений)





Цифровая обработка изображений
4.5 Основные сведения из матричной алгебры (продолжение)
Умножение на скаляр
Перемножение матриц
A  a m, n 
K
c m, n   a m, k b k , n 
k 1
Коммутативность
Скалярное произведение
(если оно равно нулю –
ортогональность)
Векторное произведение
AB BA
x, y  x T y  x   n  y  n 
n
xy T  x m  y  n 

Цифровая обработка изображений
4.5 Основные сведения из матричной алгебры (продолжение)
Симметрия
Матрица Эрмита
A  AT
A  AT
A
Детерминант
A 1 A  AA 1 I
Обратная матрица
A 1
Собственные числа
A  k I 0
Собственные функции
Ak kk , k 0

Цифровая обработка изображений
4.6 Правила транспонирования и сопряжения
 
T 
T
A A
T
BT AT
1 T
T 1
 AB
 A   A 
 AB

A B



Цифровая обработка изображений
4.7 Теплициевы матрицы
 t 0 t  1 t  2  t  N 1 
 t

t
t

t
0
1
 N 2 
T  1
 
  
 


t

t
t
t
2
1
0 
 N1
c1
c2 
cN  1 
 c0
c

c
c

c
N1
0
1
N 2

C
 

 
 


 cN  2 cN  1
c0 
 c1

Цифровая обработка изображений
Задача: линейная свертка
4
y  n  h n   x n   h n  k  x k 
k 0
h n  n,  1 n 1,
0
0 0
 y   1    1 0
 y 0   0  1 0
 x 0 
0
0


 

 y 1   1
0  1 0 0   x1 

 

0  1 0   x 2  
 y  2    0 1


 y  3   0

0 1
0  1  x 3 

 

0
0 1
0   x 4 
 y 4   0
 y  5   0
0
0
0 1 

 

Цифровая обработка изображений
Задача: циркулярная свертка
N1
y  n   h n  k  x k , 0 n  N  1
k 0
h  n  h N  n 
 y 0   3
 y 0   0

 
 y 0   1

 
 y 0   2
2
3
0
1
1
2
3
0
0  x 0 



1   x1 
2  x 2  


3  x 3 