FEM_lecture_9 (Лекции в Power Pointe)

Численные модели в интроскопии
9. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ

Численные модели в интроскопии
Нередко магнитная проницаемость и электрическая проводимость
материала считаются постоянными величинами.
Однако в реальных электротехнических устройствах
с ферромагнитными элементами магнитная проницаемость
зависит от напряженности магнитного поля.
Ферромагнитные материалы характеризуются кривой B(H)
с проницаемостью, зависящей от положения
рабочей точки на кривой B(H).

Численные модели в интроскопии
Комплектование матрицы SS(K,K) требует знания значений
 (или ) для каждого i-го элемента.
Но как узнать величину  до того, как задача решена?
Система становится нелинейной, и для того,
чтобы найти решение,
необходимо организовать итерационную процедуру расчета

Численные модели в интроскопии
9.1. МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ
Этот метод позволяет использовать обычную расчетную
процедуру в итеративной форме.
Алгоритм расчета выглядит следующим образом:
а) задаем начальное приближение (например, =0)
для всех узлов;
б) используя приближение для ,
рассчитываем напряженность поля H в каждом элементе;
в) получаем  из кривой B(H) по рассчитанному значению H;

Численные модели в интроскопии
г) зная , рассчитываем локальную матрицу S(3,3) для этого
элемента, так же как и член с источником
(током или постоянным магнитом);
д) объединяем S(3,3) в глобальную матрицу SS(K,K),
а члены с источниками - в матрицу Q;
е) вводим граничные условия Дирихле;
ж) решаем систему SS = Q;
з) сравниваем  с  на предыдущем шаге итераций

Численные модели в интроскопии
Если критерий сходимости не выполняется
(ошибка превышает заданный уровень), то переходим к шагу "б".
Повторяем шаги от "б" до "з", пока решение не будет
удовлетворять критерию сходимости.
Шаги от "б" до "ж" определяют обычное решение
для линейной задачи.
Очевидно, что если свойства материала
(в данном случае проницаемость) постоянны,
то решение получается за один итерационный цикл.
Для нелинейных материалов решение для  сходится
за несколько итераций

Численные модели в интроскопии
8.2. МЕТОД НЬЮТОНА-РАФСОНА
По сравнению с методом простых итераций
его сходимость значительно быстрее,
так как решение ищется с помощью производных функций,
а не с помощью простой линеаризации кривой B(H)
В основе этого метода - ограниченный ряд Тейлора,
усеченный после первого члена.
Для матрицы-строки P, которая является функцией вектора
 x

Численные модели в интроскопии
усеченный ряд Тейлора имеет вид
 P m   P    x   x m 
 x 
 P 
 x 


матрица Якоби для  P  в точке  x  m
Например, для двух компонент:
 P 
 x 


 P1
 x
 1
 P2
 x1
P1 
x2 

P2 
x2 

Численные модели в интроскопии
Если  x m не очень далека от решения,
определим  x m 1 из матричного уравнения
 P m   P   x m1   x m  0
 x  m
что является лучшим приближением к решению, чем
 x m
Метод Ньютона-Рафсона состоит в решении
матричной системы следующего вида:
 P 
 P 
 x    x  m 1   x  m   x   x  m 1   P  m

m

m

Численные модели в интроскопии
Неизвестный вектор -  x  m 1 ,
 x m 1 легко определяется по формуле
 x m 1  x m   x m 1
после того, как решена система

Численные модели в интроскопии
9.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ СКАЛЯРНОГО ПОТЕНЦИАЛА
Если используется скалярный потенциал,
вектор-столбец  P  это результат перемножения матриц
 SS   
Каждый элемент этого вектора получается
суммированием членов
3
Fi
 H 
 ql qk  rl rk Vl

Vk l 1 2 D

Численные модели в интроскопии
Коэффициенты матрицы Якоби
 P 
 x 


равны соответствующим производным выражения
3
Fi
 H 
 ql qk  rl rk Vl

Vk l 1 2 D
по узловым потенциалам.
Fi отлично от нуля только в i-ом элементе,
а производная
Fi
Vk
ненулевая только тогда,
когда производная берется в отношении одного из
узлов i-го элемента, как например, Vn

Численные модели в интроскопии
Fi
Вычисляя производную V
k
по
Vn , получим
 Fi   H 
1   H  H 2
 qn qk  rn rk  

Vn Vk
2D
2 D H 2 Vn
где
H 2
2  3

 2    ql q n  rl rn Vl 
Vn D  l 1

с учетом
S  n, k  

 qn qk  rn rk 
2D
H 2
2 2D 3
 2
 S  l , nVl
Vn
D   H  l 1
3
 q q
l
l 1
k
 rl rk Vl

Численные модели в интроскопии
Используя обозначение
S  n, k  

 qn qk  rn rk 
2D
 Fi   H 
1   H  H 2
 qn qk  rn rk  

Vn Vk
2D
2 D H 2 Vn
, получим
3
 q q
l
k
 rl rk Vl 
l 1
4    H    3
  3





S  n, k  

S
k
,
l
V

S
n
,
l
V

l  
l
D 2  H 2   l 1
  l 1

Значения  и

H 2 для этого выражения берутся
из характеристики B(H) материала

Численные модели в интроскопии
Чтобы получить полную матрицу Якоби,
необходимы лишь члены S(3,3), а они рассчитываются
с использованием значений Vl i-го треугольника
3
Fi
 H 
 ql qk  rl rk Vl

Vk l 1 2 D
Объединение этих членов дает глобальную матрицу Якоби
 SJ 
В матричном виде система принимает вид:
 SJ   V   R

Численные модели в интроскопии
Вектор-столбец правой части  R  - "остаточный" вектор,
так как является результатом матричного произведения
 SS  V 
Но!! - магнитные проницаемости при формировании  SS 

 qn qk  rn rk 
S  n, k  
2D
являются лишь приближениями.
Чем длительнее итерационный процесс,
тем ближе проницаемости к решению,
а  R  и  V  ближе к нулю.

Численные модели в интроскопии
Алгоритм Ньютона-Рафсона :
а) первоначальное приближение вектора-столбца V 
выбирается как можно ближе к решению;
;
б) по известным значениям потенциала рассчитывается H,
а из кривой B(H) -  и  2
H
в) по значениям  рассчитываются локальные матрицы
элементов S(3,3);



S
3
,
3
г) имея
и H 2 , потенциалы V на предыдущем шаге
итераций, рассчитываем коэффициенты матрицы Якоби
и остаточный вектор;

Численные модели в интроскопии
д) вводятся граничные условия Дирихле и
решается система уравнений
 SJ   V   R
е) полученное решение для значений
новые значения V;
 V 
дает
ж) повторяются шаги от "б" до "е" до тех пор,
пока не будет удовлетворяться критерий сходимости.

Численные модели в интроскопии
Этот метод очень эффективен в случае,
если первое приближение выбрано близким к решению.
На практике начинать итерационный процесс
Ньютона-Рафсона рекомендуется после 5 - 6 шагов
методом простых итераций.
Метод не приводит к необходимости выделения
дополнительной памяти для новой матрицы,
поскольку матрица Якоби топологически подобна
глобальной матрице SS.
Поэтому тот же участок памяти компьютера может быть
использован для хранения матрицы Якоби.

Численные модели в интроскопии
Коэффициенты матрицы Якоби для осесимметричных задач
со скалярным потенциалом подобны тем,
которые используются для прямоугольных координат.
Обозначая через
r0 
 qn qk  rn rk 
D
получим
S  n, k  
 Fi
2
  3

   H    3




S  n, k  

S
k
,
l
V

S
n
,
l
V

l  
l
Vn Vk
Dr0  2  H 2   l 1
  l 1


Численные модели в интроскопии
9.4. ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА
Для задач с векторным потенциалом выражение
Fi Ak
в прямоугольных координатах имеет вид
3
Fi
 S  k , l  Al  Q k 
Ak l 1
где коэффициенты
Sk,l 

 ql qk  rl rk 
2D
а Q k  источник, который в зависимости
от задачи рассчитывается по формулам

Численные модели в интроскопии
Q k   D
  Bry qk  Brx rk 
Q k  
2
J
6
- для источников тока,
- для постоянных магнитов ,
в рассматриваемых случаях Q k  не зависит от A!!!

Численные модели в интроскопии
коэффициенты матрицы Якоби рассчитываются
следующим образом
 Fi
4    B    3
  3





S  n, k  

S
k
,
l
A

S
n
,
l
A

l  
l
An Ak
D 2  B 2   l 1
  l 1

Для осесимметричных задач - аналогичное выражение:
 Fi
2
S  n, k  
An Ak
Dr0 2
где
  3

   B    3





S
k
,
l
A

S
n
,
l
A
l  
l
 B 2   

  l 1
  l 1

r0
 qn qk  f n f k 
S  n, k  
D
Остаточный член определяется формулой
 R  SS   A   Q