FEM_lecture_8 (Лекции в Power Pointe)

Численные модели в интроскопии
8. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ

Численные модели в интроскопии
Среди объектов контроля много конструкций,
обладающих аксиальной (вращательной) симметрией.
В первую очередь, трубы, проволока, канаты.
Для возбуждения поля используются, как правило,
соленоиды или катушки, тоже обладающие аксиальной
симметрией.
Использование двумерного описания основано
на предположении, что геометрическая структура
не меняется в направлении,
перпендикулярном плоскости исследования и
поле постоянно в этом направленнии.

Численные модели в интроскопии
8.1. Преобразования координат
Задачи с аксиальной симметрией называются
осесимметричными
и рассматриваются в плоскости осевого сечения

Численные модели в интроскопии
Та же плоскость сечения, но в прямоугольных координатах,
представляет собой геометрический образ задачи
с бесконечно длинной пластиной прямоугольного
сечения и с таким же значением тока

Численные модели в интроскопии
Области решения плоско-параллельной задачи
в прямоугольных координатах и осесимметричной
задачи в цилиндрических – совпадают!!
Для задач с осевой симметрией нет компоненты
поля в  ом направлении
и производная по этому направлению равна нулю.
Существуют лишь компоненты поля в
r
и
z -ом направлении, то есть составляющие
Br и B z
могут быть ненулевыми, а
B  всегда нуль

Численные модели в интроскопии
Плоскость сечения осесимметричной задачи
в прямоугольных и цилиндрических координатах

Численные модели в интроскопии
Напомним, что в прямоугольных координатах,
функционал записывается следующим образом
Fi 
fds 
fdxdy
Si
Si
интеграл берется лишь по поверхности элемента i,
так как в перпендикулярном направлении
 0 z  нет изменения поля

Численные модели в интроскопии
В осесимметричном случае область интегрирования
имеет криволинейную форму.
При этом для элемента около оси симметрии эта
криволинейность выше,
чем для элемента вдали от нее.
Для элемента, относительно удаленного от оси  0 z 
задача очень близка задаче в прямоугольных координатах

Численные модели в интроскопии
В цилиндрических координатах локальный энергетический
функционал может быть записан как
Fi 
fds 
frd drdz
Ti
Ti
Ti фигура, которая получается 360-ти градусным
вращением элемента вокруг  0 z 
- осесимметричная фигура - тороид с треугольным сечением.
В плоско-параллельном случае эта фигура –
треугольная призма единичной высоты

Численные модели в интроскопии
При условии, что нет изменения
в  ом направлении, выражение для Fi
становится равным
Fi 2 
frdrdz
Si
Для упрощения операции интегрирования введем простую
аппроксимацию: допустим, что подынтегральная функция
 не изменяется существенно внутри треугольника,
а потому можно
воспользоваться приближенной формулой
Fi 2r0 
fdrdz
Si

Численные модели в интроскопии
r0 - расстояние от центра треугольника до оси
r0 
r1  r2  r3
3
Такая замена является вполне удовлетворительной,
особенно, если сеть содержит малые элементы вблизи оси
Уравнения имеют похожую форму
Fi 
fds 
fdxdy
Si
Si
Fi 2r0 
fdrdz
Si
Таким образом, для скалярного потенциала все элементы
матрицы должны умножаться на 2r0

Численные модели в интроскопии
8.2. Задачи со скалярным потенциалом
Для задач, оперирующих скалярным потенциалом,
получим следующие универсальные формулы
элементных матриц:
а) электростатические поля
S  n, k  
r0
 qn qk  rn rk 
D
для электрического заряда
r0D
3

Численные модели в интроскопии
б) поля стационарных токов
S  n, k  
r0
 qn qk  rn rk 
D
в) магнитные поля
r0 
 qn qk  rn rk 
S  n, k  
D
При использовании скалярного потенциала
напряженность поля определяется по формуле
H  grad
H r 



, H z 
, H  
r
z
r

Численные модели в интроскопии
Таким образом, в наличии простейшего множителя
при формировании матричных уравнений и состоит
различие между постановками в прямоугольной и
цилиндрической системах координат для задач
со скалярным потенциалом

Численные модели в интроскопии
8.3. Стационарное магнитное поле: векторный потенциал
B rot A
составляющие вектора B в цилиндрической системе
координат имеют вид:
1  rA  1 Ar
Bz 

r r
r 
1 Az A
Br 

r 
z
В осесимметричном случае A перпендикулярен плоскости 0rz
A  A ,
Az 0,
Ar 0
Тогда выражения для индукции принимают вид
Br 
A
z
Bz 
1  rA  A A
 
r r
r
r

Численные модели в интроскопии
Первый член энергетического функционала
B

Fi 
 HdB  J A  ds
Si  0

определяется следующим образом:
B

B

Fi1 
 HdB  ds 2r0 
 HdB  drdz
Si  0
Si  0


расчет
Fi1
Ak
дает выражение
B
 B
Fi1
 
2r0   HdB 
drdz
Ak

B

A
Si
0
 k
Fi1
D
B r0 D B 2
2r0 B

Ak
2
Ak
2 Ak

Численные модели в интроскопии
B 2 Br2  Bz2
B 2
B
B
2 Br r  2 Bz z
Ak
Ak
Ak
Для второго слагаемого справедлива формула
2 Bz
Bz  A A    A A 
  
  
Ak  r r  Ak  r r 
Введем аппроксимацию
A  A
r
r0
 A  A2  A3 
A  1
3
среднее значение потенциала трех узлов
A 3 Al

r0 l 1 3r0

Численные модели в интроскопии
1 3
A r , z     pl  sl r  ql z  Al
D l 1
3
 1 sl 
 A A  3 Al 1 3
B z    
  sl Al  Al 
 
 r r  l 1 3r0 D l 1
l 1
 3r0 D 
Bz


Ak Ak
 1 sl  1 s k

A
   

l
l 1
 3r0 D  3r0 D
3
Bz  3  1 sl    1 sk 
Bz
  Al 
   
 
Ak  l 1  3r0 D    3r0 D 
 D
 
Bz
1  3  D



Bz
 2 
 sl  
 s k  Al 
Ak D  l 1  3r0
  3r0
 

Численные модели в интроскопии
Определяя f l как f l D 3r0  sl , можем записать
Bz
1  3

Bz
 2   f l f k Al 
Ak D  l 1

B 2
B
B
2 Br r  2 Bz z
Ak
Ak
Ak
Br  A    A 
Br
 



Ak  z  Ak  z 
которое с
1 3
учетом A r , z   D   pl  sl r  ql z  Al
l 1
B
1
Br r  2
Ak D
3
q q
l
l 1
k
Al
принимает вид

Численные модели в интроскопии
Подставляя полученные выражения, в результате получим
B
B
B 2
2 Br r  2 Bz z 
Ak
Ak
Ak
2
 2
D
3
 f
l
f k  ql q k  Al
l 1
Fi1
D
B r0 D B 2
2r0 B

Ak
2
Ak
2 Ak
Fi1
D
B r0 D B 2
2r0 B


Ak
2
Ak
2 Ak
r 
 0
D
3
 f
l 1
l
f k  ql qk  Al

Численные модели в интроскопии
B

Fi 
H
d
B

J

A

 ds
Si  0

Второй член функционала
учитывает плотность тока J (умноженную на 2r0 ), поэтому
Fi Fi1



Ak Ak Ak
r 
 0
D
3
  J A ds 

Si
  f l f k  ql qk  Al 
l 1
r0 JD
3
Окончательно, для коэффициента элементной
матрицы получаем выражение
r0
 qn qk  f n f k 
S  n, k  
D

Численные модели в интроскопии
8.4. Поле постоянного магнита
1
1 2
2


Fi 
 B  Br dv 
Bi dv 
2
2
Vi
Vi
1 2
D 2
2r0 Bi ds r0 Bi
2
2
Si
2
Fi
D Bi
r0
Ak
2 Ak
2
Bi2  Br  Brr    Bz  Brz 
2

Численные модели в интроскопии
2
Bi
B
B
2 Bir ir  2 Biz iz
Ak
Ak
Ak
Br 
A
z
1  rA  A A
Bz 
 
r r
r
r
2
Bi
 Br  Brr 
 Bz  Brz 
2 Br  Brr 
 2 Bz  Brz 
Ak
Ak
Ak

Численные модели в интроскопии
Bz  3  1 sl    1 sk 
Bz
  Al 
   
 
Ak  l 1  3r0 D    3r0 D 
Используя выражение
остаточной магнитной индукции, получаем
с учетом
Bz  3  1 sl    1 sk 
Bz
  Al 
   
 
Ak  l 1  3r0 D    3r0 D 
  1 sk 
 Bz  Brz   3  1 sl 
 Bz  Brz 
  Al 
   Brz  
 
Ak
 l 1  3r0 D 
  3r0 D 
f l  D  sl
Введем обозначение
3r0

 Bz  Brz   3  1 sl 
 Bz  Brz 
  Al 
   Brz  
Ak
1
 2
D
3

l 1
fk
f l f k Al  Brz
D
 l 1
 3r0
D
, тогда
1 sk 
  
  3r0 D 

Численные модели в интроскопии
Оставшийся член в выражении
2
Bi
 Br  Brr 
2 B  B 
 2 B
r
Ak
 Br 
Brr 
rr
Ak
z
 Brz 
 Br  Brr   A
 
 
 Brr 
Ak
 z
 Ak
 Bz  Brz 
Ak
 A

 Brr  

 z

 1 3
 q 
   ql Al  Brr    k 
 D l 1
 D 
 Br  Brr 
1
 Br  Brr 
 2
Ak
D
Brr q k
ql qk Al 

D
l 1
3

Численные модели в интроскопии
2
Fi
r0
D Bi
r0

Ak
2 Ak
D
3
 f
l
f k  ql qk  Al  r0  Brr q k  Brz f k 
l 1
Как видно из полученной формулы,
коэффициент элементной матрицы
r0
 qn qk  f n f k 
S  n, k  
D
а источник поля - постоянный магнит - отображается
в правой части системы выражением
r0  Brr qk  Brz f k 