Численные модели в интроскопии
7. ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО МЕТОДА
Численные модели в интроскопии
Вариационный конечно-элементный метод –
это комбинация вариационного принципа и
конечно-элементной процедуры.
Ранее была доказана справедливость введения
энергетических функционалов, минимизация которых
эквивалентна решению соответствующих
дифференциальных уравнений поля
Для дискретизированной области можем записать
F Fi
i
Численные модели в интроскопии
Функционалы Fi суммируются по всем элементам
дискретной сети.
Предполагая, что сеть имеет N узлов, условие минимизации
функционала для Vk -ого узлового потенциала будет
выглядеть следующим образом
N
F
F
i 0
Vk i1 Vk
Отметим, что хотя сумма и формируется по всем
элементам сети, Fi отличен от нуля лишь в самом i-ом
элементе и равен нулю вне этого элемента
Численные модели в интроскопии
Функционал для элемента равен нулю вне самого элемента.
Производные функционала по отношению к потенциалу
k-го узла отличны от нуля только для элементов a, b, c, f, g и h
N
F
Fi Fa Fb Fc F f Fg Fh
Vk i1 Vk Vk Vk Vk Vk Vk Vk
Численные модели в интроскопии
7.1. Вывод матричных выражений в электростатике
Дискретизированный функционал для
двумерной задачи электростатического поля имеет вид
1 2
Fi E V dS
2
Si
где для двумерного случая объем равен численному
значению площади i-го элемента Si
(глубина элемента равна единице)
Численные модели в интроскопии
Fi
Рассчитаем Vk , предполагая, что Vk - потенциал
одного из трех узлов 1, 2 или 3 элемента i
Fi
1 2
E
V
dS
Vk Vk Si 2
Рассчитаем первое слагаемое функционала,
используя выражение для напряженности
электрического поля
1 3
E iql jrl Vl
D l 1
(вектор E постоянен в пределах элемента!!!)
Численные модели в интроскопии
1 2
E
dS
Vk Si 2
Vk
2
1 D E 2
1 2
E dS
2 2 Vk
2
Si
3
2
E
1
i
q
j
r
V
l
l l
2
Vk Vk D l 1
2
2
3
3
1
q V rlVl
2 l l
Vk D l 1
l 1
Численные модели в интроскопии
2
2
3
3
E
1
2
qlVl rlVl
Vk D Vk l 1
l 1
2
Поскольку k-ый узел является одним из трех
узлов в элементе, то
3
E 2
1 3
2 2 qlVl qk 2 rlVl rk
Vk D l 1
l 1
Численные модели в интроскопии
В результате для первой составляющей
производной функционала получим
1 2
1 D E 2
E dS
Vk Si 2
2 2 Vk
q1V1 q2V2 q3V3 qk r1V1 r2V2 r3V3 rk
2D
q1qk r1rk V1 q2 qk r2 rk V2 q3qk r3rk V3
2D
Численные модели в интроскопии
В матричной форме
q1qk r1rk
2D
q2 qk r2 rk
V1
q3qk r3rk V2
V3
В численной процедуре при учете элемента
это матричное выражение записывается для всех трех узлов
q1q1 r1r1 q1q2 r1r2
q
q
r
r
q
q
r
r
2
1
2
1
2
2
2
2
2D
q3q1 r3r1 q3q2 r3r2
q1q3 r1r3 V1
q2 q3 r2 r3 V2
q3q3 r3r3 V3
Численные модели в интроскопии
Матрица коэффициентов, умножаемая на вектор
потенциалов, является симметричной.
Это так называемая элементная матрица, или
матрица элемента, обычно обозначается через
qn qk rn rk
S n, k
2D
где n и k - номера строк и столбцов в матрице
S n, k
Численные модели в интроскопии
Рассчитаем второе слагаемое производной функционала,
предполагая, что объемная плотность заряда
постоянна в элементе
Vk
V dS
Vk
Si
V dS
Si
Заметим, что потенциал есть сумма трех составляющих
3
V x, y pl ql x rl y Vl
l 1
Численные модели в интроскопии
Обозначая через коэффициент 1 , умножаемый
на потенциал V1 , то есть
1
1 x, y p1 q1 x r1 y
D
получим
3
V x, y lVl 1V1 2V2 3V3
l 1
x x1 ,
y y1
V(x1,y1 ) V1
V(x1,y1 ) 1V1 0 V2 0 V3
1 x1 , y1 1, 2 x1 , y1 0, 3 x1 , y1 0
Численные модели в интроскопии
Аналогично для
x x2 ,
y y2 1 x2 , y2 0, 2 x2 , y2 1, 3 x2 , y2 0
x x3 ,
y y3
1 x3 , y3 0, 2 x3 , y3 0, 3 x3 , y3 1
Таким образом,
1 есть двумерная (линейная) функция,
равная 1 для x x1 , y y1 и нулю в других узлах
Численные модели в интроскопии
Графическая интерпретация одного из коэффициентов
линейного приближения для треугольника.
Коэффициент равен единице в соответствующем узле и
равен нулю - во всех других
Численные модели в интроскопии
Возвращаясь к рассчитываемому выражению, получим
Vk
V dS
Vk
Si
V dS
Si
1V1 2V2 3V3 dS k dS
Vk
Si
Si
где k - узел треугольника. С учетом формы коэффициента
k
как показано, интеграл равен объему тетраэдра
D1
1
k dS
D
23
6
Si
Численные модели в интроскопии
Повторяя подобные расчеты для всех трех узлов элемента
и добавляя их к матрице, окончательно получим
Fi
V
1 S11
Fi S
V2 21
F S31
i
V3
S12
S 22
S32
S13 V1
D
S 23 V2
6
S33 V3
Это выражение является базовым строительным блоком
для формирования системы уравнений
в методе конечных элементов
Численные модели в интроскопии
7.2. Матрица элемента в задаче со стационарными токами
Это явление характеризуется энергетическим
функционалом вида
1
Fi E 2 dS
2
Si
По аналогии, расчет
Fi Vk
дает матрицу эквивалентного вида
qn qk rn rk
S n, k
2D
Численные модели в интроскопии
7.3. Задача магнитного поля: скалярный потенциал
H
Fi BdH dS
Si 0
Оценим производную функционала
H
Fi
BdH dS
Vk S i Vk 0
с учетом зависимости H от Vk , получим
H
H
Fi
H
BdH
dS B
dS
Vk Si H 0
Vk
Si
Vk
Численные модели в интроскопии
Для конечных элементов первого порядка
B
и
H
постоянны внутри каждого элемента
Fi D H D
H D H 2
B
H
Vk 2 Vk 2
Vk
4 Vk
H 2
Расчет Vk приводит к известному выражению,
которое дает аналогичное матричное уравнение
qn qk rn rk
S n, k
2D
Численные модели в интроскопии
7.4. Задача магнитного поля: векторный потенциал
Локальный энергетический функционал:
H
Fi HdB J A dS
Si 0
Выражение для Fi Ak получается суммированием частных
производных двух составляющих
Первая составляющая аналогична полученным выражениям
1
Отмечая, что H=B, с учетом получим
qn qk rn rk
S n, k
2D
Численные модели в интроскопии
Ak
Производная
подобна производной
J AdS
Si
Vk
V dS
Si
Используя ранее полученные результаты,
получим для Fi Ak следующее матричное выражение
Fi
A
1 S11
Fi S
A 21
F2 S 31
i
A3
S12
S 22
S 32
S13 A1
J
D
S 23 A2 J
6
J
S 33 A3
Численные модели в интроскопии
7.5. Поле постоянного магнита
Предположим постоянство магнитной проницаемости.
Тогда соответствующий функционал будет иметь вид
1
1
2
Fi B Br dS Bi2 dS
Si 2
Si 2
Предположим также, что в i-ом элементе магнита
отсутствуют токи
Fi Fi Bi D Bi2 Bi D
Bi
2 Bi
Ak Bi Ak 2 2 Bi Ak
4
Ak
Численные модели в интроскопии
В двумерном случае используется только одна
компонента А, перпендикулярная плоскости 0xy.
Рассматривая А как скалярную величину, можем записать
Bi
B i
Bi
B i
Ak
Ak
потому что вектора
Bi
и
B i
Ak
(производная вектора
по отношению к скаляру) имеют то же направление
1 3
B i rotA B r irl jql Al iBrx jBry
D l 1
Численные модели в интроскопии
B r iBrx jBry
B i 1
irk jqk
Ak D
Fi D
B i
2B i
Ak
4
Ak
D
2
1 3
1
i
r
j
q
A
i
B
j
B
i
r
j
q
l
l
rx
ry
k
k
D l
l 1
D
После алгебраических преобразований получим
Fi D 1 3
1
i
r
j
q
A
i
B
j
B
i
r
j
q
l
l
l
rx
ry
k
k
Ak
2 D l 1
D
3
Bry qk Brx rk
r
r
q
q
A
l k
l k
l
2 D l 1
2
Численные модели в интроскопии
В матричной форме это выражение можно переписать
в виде
Fi
A1 S11
Fi S
A 21
F2 S 31
i
A3
S12
S 22
S 32
Bry q1 Brx r1
S13 A1
S 23 A2 Bry q2 Brx r2
2
Bry q3 Brx r3
S 33 A3
Tk
Численные модели в интроскопии
7.6. Матрица элемента в задаче с электрическим
векторным потенциалом
Этот случай описывается локальным энергетическим
функционалом вида
1 2
Fi
J dS
2
Si
Расчет Fi Tk , где Tk - электрический векторный потенциал
в точке k, может быть проведен подобно тому,
как он был получен в задаче с магнитным
векторным потенциалом,
в предположении постоянной величины
Численные модели в интроскопии
При этих допущениях локальный функционал
рассчитывается по формуле
1 2
Fi
B dS
2
Si
Следовательно, условная запись S n, k для выражения
также будет аналогична полученной ранее, то есть
S n, k
1
qn qk rn rk
2 D
Численные модели в интроскопии
7.7 Формирование глобальной матрицы системы
Минимизация энергетических функционалов позволяет
получить элементные матрицы для различных физических
задач. Выражения Fi Vk
являются матричными уравнениями и
могут быть записаны в общей форме следующим образом
Fi
V
1 S11
Fi S
V 21
F2 S 31
i
V3
S12
S 22
S 32
S13 V1 Q1
S 23 V2 Q2
S 33 V3 Q3
Численные модели в интроскопии
Q
- это так называемый "вектор-источник" конкретной
задачи, который, в зависимости от постановки, может быть
электрическим зарядом, током или постоянным магнитом.
Уравнение, рассчитанное для i-го элемента, является
частью суммы
N
F
F
i 0
Vk i1 Vk
где N - число элементов в конечно-элементной сети.
Чтобы рассчитать эту сумму, надо объединить вклады
всех элементов в общую глобальную матрицу системы,
в которой учтены все узлы сети
Численные модели в интроскопии
Объединение локальной матрицы в глобальную.
Вклад элемента с номерами узлов 7, 10 и 14
Численные модели в интроскопии
После того, как все N элементов просчитаны и объединены,
образуется глобальная система
SS V Q
Перед тем, как приступить к решению, необходимо учесть
граничные условия Дирихле - это может быть сделано
с помощью метода, основанного на следующем правиле:
• если значение Vm известно, диагональный элемент
строки с номером m устанавливается в единицу;
• все другие коэффициенты в строке обнуляются;
• в строку m вектора Q вводится значение Vm
0 V1 0 V2 ... 1Vm 0 Vm 1 ... 0 VK Vm
