FEM_lecture_4 (Лекции в Power Pointe)

Численные модели в интроскопии
4. ЗАДАЧИ С ВЕКТОРНЫМ
ПОТЕНЦИАЛОМ

Численные модели в интроскопии
4.1. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ: векторный потенциал
Если необходимо рассчитать поле в области с источниками
тока (как например, в задаче с намагничивающей
системой, включая обмотку и магнитную цепь),
формулировка задачи относительно скалярного потенциала
уже становится несправедливой, потому что в этом случае
подразумевает равенство нулю
вектора плотности тока J. Если же J0 , то возможно
использование векторного потенциала А, связанного
с вектором магнитной индукции В выражением
B rot A

Численные модели в интроскопии
B rot A
i

rot A 
x
Ax
j

y
Ay
k


z
Az
 Az Ay   Ax Az   Ay Ax 

 i  
 k



 j  
z   z
x   x
y 
 y
Почему возможно введение векторного потенциала??

Численные модели в интроскопии
Это следует из уравнения для дивергенции В
divB 0
Надо доказать, что
div rot A  0
Доказательство
div rot A  
  Az Ay    Ax Az    Ay Ax 
  
 
 



  
x  y
z  y  z
x  z  x
y 
2
2
 2 Az  Ay  2 Ax  2 Az  Ay  2 Ax






0
xy xz yz yx zx zy

Численные модели в интроскопии
Для двумерных задач векторы J и А имеют только
одну компоненту, перпендикулярную плоскости 0xy

A kA
Численные модели в интроскопии
J kJ
B iBx  jB y
A kA
Чтобы сформулировать задачу относительно потенциала,
воспользуемся уравнениями
rot H J
H B
где  удельное магнитное сопротивление (=1/)

Численные модели в интроскопии
rot B  rot  rot A  J
в двумерном случае
i

B
x
0
 Az

 y
j

y
0
B rot A
k


z
Az
  Az 
 i   
 j  Bx i  B y j
  x 
имеет вид
A
Bx 
y
A
B y 
x

Численные модели в интроскопии
Учитывая, что в двумерном случае нет изменений
в направлении 0z, получаем
rot B  J
i
j


rot B  
x y
 Bx  B y
k
i



z
x
0
A
 z
y
j

y
A
 z
x
k


z
0
  Az    Az    Az  Az 
 j    
 k kJ
 
 
 i    
 z x   z y   x x y y 

Численные модели в интроскопии
Записывая уравнение только для z-компоненты
 Az  Az

 
 J
x x y y
 2 Az
 2 Az


 J
2
2
x
y
Это уравнение Пуассона для магнитного векторного
потенциала в двумерных задачах

Численные модели в интроскопии
4.2. Физическая интерпретация векторного потенциала
A
y
A
B y 
x
Bx 
A
0
x
A
B y 
0
x
A
Bx  0
y
Магнитный поток
определяется на
единицу протяженности
вдоль оси z
Заключаем, что магнитное поле параллельно линиям
равного потенциала А

Численные модели в интроскопии
 
rot AdS Adl
 
BdS 
rot AdS
S
S
 Adl  A1 P  A2 P
C
S
A1  A2 
C

P

Численные модели в интроскопии
Область с двумя эквипотенциальными линиями.
Область между этими линиями называется
трубкой потока

Численные модели в интроскопии
4.3. Поле постоянного магнита
B H  B r
B r H c
Это удовлетворительная аппроксимация для ряда
магнитов (например, ферритов и магнитов на основе
редкоземельных элементов), у которых магнитная
проницаемость близка к единице

Численные модели в интроскопии
Определим напряженность H из выражения
1
H  B  Br 

и подставим в соотношение
rot H 0
1

rot H rot   B  B r   0


Этот тип задач также может быть решен
с использованием метода конечных элементов и
векторного потенциала в качестве искомой величины

Численные модели в интроскопии
4.4. Электрический векторный потенциал
J rot T
1

rot  rot T  0



Численные модели в интроскопии
Эквивалентные соотношения
A 
T
H  E
B H 
J E
A
T
 Jx 
y
y
A
T
B y 
 J y 
x
x
Bx 
 
BdS 
I 
JdS

A1  A1 
P
I
T1  T2 
P
S

S

Численные модели в интроскопии
Т определяется в Ампер/метр
Р - протяженность устройства (в метрах)
Разность между значениями потенциалов на двух
эквипотенциальных (силовых) линиях определяет
величину тока между линиями (трубка тока)
В электрических задачах поле может создаваться
только разностью потенциалов (скалярных либо
векторных), заданных на границах
 1 T  1 T

0
x  x y  y