FEM_lecture_3 (Лекции в Power Pointe)

Численные модели в интроскопии
3. ЗАДАЧИ СО СКАЛЯРНЫМ
ПОТЕНЦИАЛОМ

Численные модели в интроскопии
3.1 Общая модель Максвелла
Уравнения электромагнитной cвязи:
(закон электромагнитной индукции)
(закон полного тока)
B

rot E 
,

t
 rot H J  ,

Численные модели в интроскопии
Уравнения непрерывности поля
(1-й закон Кирхгофа)
 divB 0

divD 
 divJ 0


Численные модели в интроскопии
При этом суммарная плотность тока в общем случае
имеет 4-е составляющие
(сторонний ток, индуцированный ток, ток смещения,
движение проводника в магнитном поле)
E
J  J e  E  
   V B 
t

Численные модели в интроскопии
Уравнения связи (описывающие свойства материалов)
(закон Ома)

  0 H


B B H   0   H  H
  H

0


 D D(E)  0 E

J J(E) E





Численные модели в интроскопии
3.2.ЭЛЕКТРОСТАТИКА: диэлектрические материалы

Численные модели в интроскопии
Электростатика характеризуется уравнением
rot E 
B
0
t
Введение скалярного потенциала
E  gradV
Это возможно, если справедливо
rot  gradV  0
Доказать это!

Численные модели в интроскопии
V
V
V
gradV  i 
j
k
x
y
z
i

rot E 
x
Ex
j

y
Ey
k


z
Ez
 E z E y   E x E z   E y E x 

 i  
 k



 j  
z   z
x   y
y 
 y

Численные модели в интроскопии
i

rot  gradV  
x
V
x
j

y
V
y
k


z
V
z
  2V
2V   2V
2V   2V
2V 

 i  
 j  
 k 0



 yz zy   zx xz   xy yx 

Численные модели в интроскопии
Основные уравнения
divD 
D E
div E  
div   gradV  
в трехмерном случае для прямоугольных координат
V V V V V V
div  gradV   




 
x x y y z z

Численные модели в интроскопии
в двумерном
V V V V



 
x x y y
Если область содержит лишь один материал,
а диэлектрическая проницаемость постоянна, то
 2V  2V  2V

 2  2 
2
x
y
z

 2V  2V

 2 
2

x
y
Это уравнение Пуассона, которое описывает
распределение потенциала в области

Численные модели в интроскопии
В практических задачах часто плотность
заряда нулевая. В этом случае уравнение Пуассона
преобразуется в уравнение Лапласа
V V V V



0
x x y y
Здесь источником поля являются граничные
условия, определяемые заданными
потенциалами на границах

Численные модели в интроскопии
3.3. СТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ: проводящие материалы
Разность потенциалов (Va - Vb) обусловливает токи в
комбинированной области с проводимостями отдельных участков

Численные модели в интроскопии
B
0
t
Чтобы вывести уравнение, описывающее
это явление,
rot E 
воспользуемся соотношением
E  gradV
а также уравнением непрерывности для тока
divJ 0
Учитывая закон Ома для любой точки области
J E
или в более подробной форме
divJ divE  div   gradV   0

Численные модели в интроскопии
в трехмерном случае для прямоугольных координат
div gradV  
V V V V V V





0
x x y y z z
в двумерном
V V V V



0
x x y y
Если область содержит лишь один материал,
а электрическая проводимость может считаться
постоянной, получим
2V 2V 2V
 2  2 0
2
x
y
z

Численные модели в интроскопии
3.4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ: скалярный потенциал
Предполагаем, что магнитодвижущая сила намагничивающей
обмотки приложена к области между линиями А и В.
Это приближение удовлетворительно лишь в случае,
если проницаемость магнитной цепи высокая.
Тогда необходимо рассмотреть лишь область
воздушного зазора, показанного отдельно,
где магнитное поле обусловлено разностью
потенциалов на границах.

Численные модели в интроскопии
Токи в области А-В отсутствуют
J  0

Численные модели в интроскопии
Так как
rot H J  0
становится возможным определить скалярный
магнитный потенциал  (размерность потенциала Ампер!),
который связан с напряженностью магнитного поля выражением
H  grad
Это возможно, поскольку
rotH rot   grad  0

Численные модели в интроскопии
Используя соотношения
B H
divB 0
получаем
divB div H  div    grad   0
которое может быть переписано в виде
     
div  grad  





0
x x
y y
z
z

Численные модели в интроскопии
   



0
x x
y y
Проницаемость  в общем случае не является
постоянной величиной, так как почти все
электротехнические устройства имеют
ферромагнитные элементы из нелинейных материалов.

Численные модели в интроскопии
3.5. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ: векторный потенциал
Если необходимо рассчитать поле в области с источниками
тока (как например, в предыдущей задаче, включая обмотку
и магнитную цепь),
формулировка задачи относительно скалярного потенциала
уже становится несправедливой, потому что в этом случае
подразумевает равенство 0
вектора плотности тока J. Если же J0 , то возможно
использование векторного потенциала А, связанного
с вектором магнитной индукции В выражением
B rot A

Численные модели в интроскопии
Для двумерных задач векторы J и А имеют только
одну компоненту, перпендикулярную плоскости 0xy

Численные модели в интроскопии

Численные модели в интроскопии

Численные модели в интроскопии

Численные модели в интроскопии

Численные модели в интроскопии