Численные модели в интроскопии
3. ЗАДАЧИ СО СКАЛЯРНЫМ
ПОТЕНЦИАЛОМ
Численные модели в интроскопии
3.1 Общая модель Максвелла
Уравнения электромагнитной cвязи:
(закон электромагнитной индукции)
(закон полного тока)
B
rot E
,
t
rot H J ,
Численные модели в интроскопии
Уравнения непрерывности поля
(1-й закон Кирхгофа)
divB 0
divD
divJ 0
Численные модели в интроскопии
При этом суммарная плотность тока в общем случае
имеет 4-е составляющие
(сторонний ток, индуцированный ток, ток смещения,
движение проводника в магнитном поле)
E
J J e E
V B
t
Численные модели в интроскопии
Уравнения связи (описывающие свойства материалов)
(закон Ома)
0 H
B B H 0 H H
H
0
D D(E) 0 E
J J(E) E
Численные модели в интроскопии
3.2.ЭЛЕКТРОСТАТИКА: диэлектрические материалы
Численные модели в интроскопии
Электростатика характеризуется уравнением
rot E
B
0
t
Введение скалярного потенциала
E gradV
Это возможно, если справедливо
rot gradV 0
Доказать это!
Численные модели в интроскопии
V
V
V
gradV i
j
k
x
y
z
i
rot E
x
Ex
j
y
Ey
k
z
Ez
E z E y E x E z E y E x
i
k
j
z z
x y
y
y
Численные модели в интроскопии
i
rot gradV
x
V
x
j
y
V
y
k
z
V
z
2V
2V 2V
2V 2V
2V
i
j
k 0
yz zy zx xz xy yx
Численные модели в интроскопии
Основные уравнения
divD
D E
div E
div gradV
в трехмерном случае для прямоугольных координат
V V V V V V
div gradV
x x y y z z
Численные модели в интроскопии
в двумерном
V V V V
x x y y
Если область содержит лишь один материал,
а диэлектрическая проницаемость постоянна, то
2V 2V 2V
2 2
2
x
y
z
2V 2V
2
2
x
y
Это уравнение Пуассона, которое описывает
распределение потенциала в области
Численные модели в интроскопии
В практических задачах часто плотность
заряда нулевая. В этом случае уравнение Пуассона
преобразуется в уравнение Лапласа
V V V V
0
x x y y
Здесь источником поля являются граничные
условия, определяемые заданными
потенциалами на границах
Численные модели в интроскопии
3.3. СТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ: проводящие материалы
Разность потенциалов (Va - Vb) обусловливает токи в
комбинированной области с проводимостями отдельных участков
Численные модели в интроскопии
B
0
t
Чтобы вывести уравнение, описывающее
это явление,
rot E
воспользуемся соотношением
E gradV
а также уравнением непрерывности для тока
divJ 0
Учитывая закон Ома для любой точки области
J E
или в более подробной форме
divJ divE div gradV 0
Численные модели в интроскопии
в трехмерном случае для прямоугольных координат
div gradV
V V V V V V
0
x x y y z z
в двумерном
V V V V
0
x x y y
Если область содержит лишь один материал,
а электрическая проводимость может считаться
постоянной, получим
2V 2V 2V
2 2 0
2
x
y
z
Численные модели в интроскопии
3.4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ: скалярный потенциал
Предполагаем, что магнитодвижущая сила намагничивающей
обмотки приложена к области между линиями А и В.
Это приближение удовлетворительно лишь в случае,
если проницаемость магнитной цепи высокая.
Тогда необходимо рассмотреть лишь область
воздушного зазора, показанного отдельно,
где магнитное поле обусловлено разностью
потенциалов на границах.
Численные модели в интроскопии
Токи в области А-В отсутствуют
J 0
Численные модели в интроскопии
Так как
rot H J 0
становится возможным определить скалярный
магнитный потенциал (размерность потенциала Ампер!),
который связан с напряженностью магнитного поля выражением
H grad
Это возможно, поскольку
rotH rot grad 0
Численные модели в интроскопии
Используя соотношения
B H
divB 0
получаем
divB div H div grad 0
которое может быть переписано в виде
div grad
0
x x
y y
z
z
Численные модели в интроскопии
0
x x
y y
Проницаемость в общем случае не является
постоянной величиной, так как почти все
электротехнические устройства имеют
ферромагнитные элементы из нелинейных материалов.
Численные модели в интроскопии
3.5. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ: векторный потенциал
Если необходимо рассчитать поле в области с источниками
тока (как например, в предыдущей задаче, включая обмотку
и магнитную цепь),
формулировка задачи относительно скалярного потенциала
уже становится несправедливой, потому что в этом случае
подразумевает равенство 0
вектора плотности тока J. Если же J0 , то возможно
использование векторного потенциала А, связанного
с вектором магнитной индукции В выражением
B rot A
Численные модели в интроскопии
Для двумерных задач векторы J и А имеют только
одну компоненту, перпендикулярную плоскости 0xy
Численные модели в интроскопии
Численные модели в интроскопии
Численные модели в интроскопии
Численные модели в интроскопии
Численные модели в интроскопии