FEM_lecture_11 (Лекции в Power Pointe)

Численные модели в интроскопии
11. ЗАДАЧА ВИХРЕТОКОВОГО КОНТРОЛЯ
(МЕТОД ГАЛЕРКИНА)

Численные модели в интроскопии
Можно ли всегда найти выражение для энергетического
функционала для конкретной задачи электромагнитного
контроля или нет?
Если нет, то что должно быть предпринято в тех
случаях, когда такой функционал не может быть найден.
Ответ:
Действительно, для многих задач электромагнитного контроля
можно вывести выражения для эквивалентных
энергозависимых функционалов и, следовательно, эти задачи
могут быть решены с использованием вариационного подхода.
Но! некоторые задачи могут не иметь функционалов

Численные модели в интроскопии
В этом случае задача может быть решена с помощью
метода Галеркина.
Продемонстрируем использование метода Галеркина для задачи
вихретокового контроля,
но с учетом движения преобразователя относительно объекта
контроля.
В этом случае для задачи нельзя построить энергетический
функционал

Численные модели в интроскопии
Формулировка, основанная на методе Галеркина
(методе взвешенных невязок),
требует простой подстановки конечно-элементной
аппроксимации решения в соответствующее уравнение поля
и получения невязки.
Система весовых функций определяется
через производные аппроксимирующей функции по
неизвестным переменным, а результирующий интеграл от
взвешенной невязки приравнивается нулю

Численные модели в интроскопии
Ключевые моменты реализации метода:
1.Выбирается формула для аппроксимации искомой функции
A x, y, z   f  x, y, z  A i
2.Определяется невязка исходного уравнения подстановкой
этой аппроксимирующей функции в исходное уравнение поля
3.Затем определяется система весовых функций по формулам
f  x , y , z 
W  x , y , z 
K
где K обозначает переменные в области решения
4.И, наконец, формируется следующее интегральное уравнение
W  x , y , z R x , y , z dv 0
V

Численные модели в интроскопии
11.1 Уравнение для задачи вихретокового контроля
с учетом движения датчика
Используем то же уравнение вихретокового контроля с
гармоническим возбуждением, только предположим,
что датчик (источник тока) перемещается по отношению
к контролируемому объекту.
Это типичная ситуация при классическом вихретоковом
контроле теплообменных труб парогенераторов АЭС,
при котором преобразователи проходного типа
(абсолютные или дифференциальные) автоматически
перемещаются внутри трубы с относительно большой
скоростью (до 2-4 м/сек)

Численные модели в интроскопии
Суммарная напряженность электрического поля может
быть записана следующим образом
E u A  jA  V
Первый член представляет собой электрическое поле,
обусловленное движением,
второй - поле вихревых токов,
третий член - поле, обусловленное градиентом
электрического скалярного потенциала.
По-прежнему полагаем источники поля гармоническими,
а все переменные – комплексными

Численные модели в интроскопии
Второе уравнение Максвелла может быть записано как
1
 A  J S  u A  jA  V

Полагая справедливым условие Кулона
 A 0
1
1
 A   A J S  u A  jA  V


после разложения первого слагаемого (двойного ротора)
член с дивергенцией пропадает, и левая часть становится
лапласианом векторного потенциала

Численные модели в интроскопии
Уравнение  1 A   1 A J S  u A  jA  V


полностью описывает исследуемое явление, но поскольку
в нем неизвестными являются как магнитный векторный
потенциал, так и электрический скалярный потенциал,
мы должны воспользоваться еще одним уравнением Максвелла,
чтобы можно было решать задачу относительно двух этих
переменных.
Это второе уравнение
J 0
 u A  jA  V  0

Численные модели в интроскопии
11.2 Аппроксимирующие и весовые функции
Формулы аппроксимации для конечного элемента имеет вид
M
A  N i A i
i 1
M
V  N iVi
i 1
Воспользуемся следующими обозначениями
W N
W N
N
W  N   0
 0
0
N
0
0
0 
N 

Численные модели в интроскопии
Проинтегрируем по объему элемента
1
1




W


A



W


A

W



u



A






W J S dv
dv 
V 
V
 jW A  W V



 W u A  
V
jW A  W V  dv 0
в матричной форме
 a11
a
 21
a12  A  Q
   

a22  V   0 

Численные модели в интроскопии
Элементы матрицы находятся заменой
A и V
соответствующими аппроксимирующими выражениями


1
T
T 1
T
T






a11   W   N   W
 N  W u  N  jW N dv
V






a12  W T N dv
V

T
T

a21  W  u  N   j W  N dv 0
V
T
a22  W  Ndv
V

Численные модели в интроскопии
Для составляющей со скоростью можем записать
  Ay Ax 
 Ax Az  


ˆ
u A x  u y 

 uz 

 

y 
x  
 z
  x
  Az Ay 
 Ay Ax  
  u x 
  
 yˆ  u z 


z 
y  
 x
  y
  Ax Az 
 Az Ay  
 
 zˆ  u x 


  u y 
x 
z  
 y
  z
T
W 
1
T
 N   W 

 b11 b12 b13 
1
 N  W T u N   b21 b22 b23 



 b31 b32 b33 

Численные модели в интроскопии
Коэффициенты сформированной матрицы подобны
коэффициентам матрицы, полученной ранее,
за исключением очевидного различия, связанного с
наличием коэффициента, содержащего скорость, а также
того, что получаемая матрица несимметрична.
Если приравняем скорость нулю, то получим точно такой
же результат, что и ранее
Полученная матрица подобна другим конечно-элементным
матрицам, включая типичную полосовую форму,
связанную с особенностью формирования матрицы
в методе конечных элементов

Численные модели в интроскопии
Коэффициенты системы вычисляются численным или
аналитическим интегрированием
(подобно тому, как это было ранее)
для каждого элемента и
вводятся в глобальную систему уравнений
Система может быть решена стандартными
методами, хотя и с большими затратами времени и
ресурсов компьютера.
Некоторые методы решения, такие как метод
сопряженных градиентов,
не могут быть использованы напрямую, но, как правило,
эта система может быть решена относительно легко

Численные модели в интроскопии
11.3. Пример решения задачи вихретокового контроля
Большое число применений предполагает использование
соосных между собой цилиндрических объектов и катушек
с током, геометрия которых описывается в цилиндрических
координатах.
Пример - вихретоковый контроль теплообменных
труб парогенераторов АЭС.
Основное преимущество
осесимметричных задач в том, что являясь в принципе
трехмерными, они могут быть решены в двумерной постановке.
Следовательно, решение получается более экономичное и точное

Численные модели в интроскопии
Уравнение гармонического переменного тока для системы
с осевой симметрией имеет вид
 2 A
r 2
2
1 A  A A


 2  J S  jA
2
r r
z
r
 1 Az A 
 Ar Az   1  rA  1 Ar 
  φˆ 

A rˆ 



  zˆ 
z 
r   r r
r  
 z
 r 
поскольку Ar  Az 0
 A   1  rA  
ˆ
  zˆ 

A r 
 z   r r 

Численные модели в интроскопии
Вариационный подход с энергозависимым функционалом,
рассчитываемым в цилиндрической системе координат
 1   A

F  A   r 
 2   z
V
 



2
2
2 


A
A

A
 


 
 z 
    J  A  j
rdrdzd 

r  
2
 r


со всеми изменениями энергозависимый
функционал примет вид
 1   A
F  A   x  z
 2   y
V
 
2
2
 Az A  

Az2 
  y 
    J z Az  j
rc drdzd

rc  
2

 x



Численные модели в интроскопии
Беря производную функционала по отношению к каждой
переменной и приравнивая ее нулю, получаем следующую
элементную матричную систему
  S  e  j  R e  A e  Q e
В качестве примера решения осесимметричной задачи
рассмотрим расчет импеданса измерительной катушки
при вихретоковом контроле трубы

Численные модели в интроскопии
Система вихретокового контроля труб с датчиком,
работающим в абсолютном или дифференциальном режиме
(осесимметричный дефект – проточка на внешней поверхности)

Численные модели в интроскопии
Сеть дискретизации для задачи

Численные модели в интроскопии
В результате решения задачи для каждого положения
датчика становятся известными значения векторного
магнитного потенциала во всех узлах сети.
По этим данным может быть рассчитан ряд важных параметров,
помимо магнитной индукции в элементах.
Эти параметры включают импеданс (или вносимое
напряжение) катушки, локальную и глобальную энергию
Импеданс катушки, сечение которой занимает K конечных
элементов, рассчитывается по формуле
j 2J S K
Z
 i Aci rci

2
IS
i 1

Численные модели в интроскопии
Годограф импеданса датчика в абсолютном
режиме работы
100
Im (U ), мВ
50
0
-50
-100
-100
-50
0
Re(U), мВ
50
100

Численные модели в интроскопии
Силовые линии магнитного поля вихретокового датчика
в абсолютном режиме: действительная и мнимая составляющие

Численные модели в интроскопии
После расчета распределения магнитного векторного
потенциала в узлах конечно-элементной сети, импеданс
рассчитывается каждой из катушек по формуле
j 2J S K
Z
 i Aci rci

2
IS
i 1
С учетом того, что направление плотности тока во второй
катушке имеет противоположное направление по отношению
к направлению в первой, выражение для расчета импеданса
принимает вид
j 2J S 1 K1
j 2J S 2
Z
 i Aci rci 

2
I S1
I S22
i 1
K2
 A r
i
i 1
ci ci

Численные модели в интроскопии
Годограф импеданса датчика в дифференциальном
режиме работы
40
Im (U ), м В
20
0
-20
-40
-40
-20
0
Re(U), мВ
20
40

Численные модели в интроскопии
Силовые линии магнитного поля вихретокового датчика
в дифференциальном режиме: действительная
и мнимая составляющие

Численные модели в интроскопии
 2J S
 2J S
 k

 k

Z R  jL 
Imag

A
r

j
Real

A
r
  i ci ci 
  i ci ci 
I S2
I S2
 i 1

 i 1

Индуктивность катушки может быть рассчитана по формуле
2J S
 k

L  2 Real   i Aci rci 
IS
 i 1

В двумерном плоскопараллельном случае
JS
 k

L  2 Real   i Aci 
IS
 i 1
