Типовой расчет (математический анализ), 30 вариант

Вариант ЗО Задача 1 С помощью определения предела последовательности показать, что данная последовательность ии при и -+ОО имеет своим пределом число А. Найти целое значение Ф, начиная с которого ~ии — А~ < к. и = — — ~ А=О к=10 и Решение Рассмотрим неравенство л - натуральное Откуда логарифмируя обе чанги неравенства получим 1п — с 1п к, и > "й Чл>Ж ~~и„~ <к, где квадратные скобки Следовательно, 1г > О ЗФ(к) = % обозначают целую часть числа. То есть, число О является пределом последовательности.

1 Пусть теперь к = 10 ', Тогда Ф( — ) =- 1000 ВЫЧИСЛнтЬ ПрОдЕЛ 1НП(СОЗХ)ьх х-хО Решение „-20их х =Ба(1 — 2з1п2х)"х =1 (1-2з(п2х)2""'" х-хО х-хО 1нп(созх) ' = 1пп(1+(созх-1))" х-хО х О Задача 3 Вычислить производную у'(х) 1 . х у(х) = — агсз(п— 2 2'З Решение 1 . х' 1 1 1 2х х ~ГЗх у'(х) = -агсз1п Ы -2вих х х' =1пп (1 — 2з)п'х)20'""~ =е" х-хО ~ 1000 (~~ Задача 4 Вычислить производную у'(х) 1 х у(х) = — 1и —, 24 х'+ 8 Решение Р х' 1 1 ( х'+ ЙЬх'(х' + 8) — зх'х' 24х' у'( )= — !п —, 24 х~+$) 24~ хз ~~ (х~+8) 24х~ х Задача 5 Вычислить логарифмическую производную у' (х) 3 П+х у(х) =-~!— 2" 1-х Решение З 1 З Имеем !ну=-1п — (1+х)--!и-(1-х) 3 2 3 2 у' 11 3 1 З -=1-| -~1+*) — ь-(1-~)) 3 2 3 2 3 3 3 3(1+ ) 3 3(1 ) ~ 3(1+х) 3(1 — х)! 3(1+х)(1 — х) 1+х 1 — з.= 1-х (1+х)(1 — х) Задача 6 Вычислить производную у'(х) функции, заданной параметрнчески.

х = г+ 1п(соя г) у = г — 1п(з!и г) Решение По формуле у', = — ', имеем Х) созг у,' =(г-1п(з1пг)) =1- — =1-его з(пг з!пг х,' =(!+1п(созг)) =1- — =1-у соз1 1-сгу у.' = 1-сйт Задача 7 Вычислить производную у'(х) функции, заданной неявно уравнением ! (х;у) = 0 у'(х;у) =х'в!ну+у'созх — 2х Решение Функция у(х)определяется исходным уравнением, поэтому, если подставить ей вместо у в левую часть равенства, получим тождество х' з!ну+ у' сов х-2х = О. Продифференцируем левую часть равенства по правилу дифференцирования сложной функции 2хз1п у(х)+ хг сову(х) *у (х)+ Зуг соз т Я у(х) — уз яп х — 2 = 0 Отсюда легко находим у'(х): 2 — 2ха(п у(х)+ у' з)п х у'(х) = хг сову(х)+Зуг созх Зада~а 8 Найти предел, используя правило Лопиталя.

м -з» А =1пп »-»О фбх Решение 0 Неопределенность типа —. Используем правило Лопнталя 0 2» -3» (ег» е 3~) 2 2» З -3 А=!но =йш =1пп о «обх .. 3 3 3» о 6 3«ябхз соз' бх Задача 9 Найти предел, используя правило Лопиталя. !их А =1пп »- 41+2!па!их Решение Неопределенность типа —. Используем правило Лопиталя 1 !пх . (1пх) .

х 1 . япх 1, х А =1нп = 13пг = 1пп " = — 1пп — = — 1пп ""'1+2!п$1пх °; 2! ' " '2созх 2" "х зх 2* 'хсозх ~11+2!па!пх) з(их 1, 1 1 = — 1пп 2 ""' соя х 2 Задача 10 Функцию у = 1(х) разложить ли формуле Тейлора и окрестности точки х43 до о((х — х )') Р(х) =( — х+4)е'" хз =-2 23=5 Решение Делаем замену х+2=1, х~-2 Г(1) =( — (1 — 2)+4)е' г"3 =(б-1)еео =е(6 — «)е' Используем стандартное разложение 12 13 14 15 Г(«) = е(6-1)(1 +1+ — + — + — + — + о(1')) = 2! 3! 4! 5! 4 5 З 4 3 з е« е« е« е» е« =бе+бе«+Зе«-+е» + — + — +о(1 )-е« вЂ” е« вЂ” — — — — — = 4 20 2 6 24 3 4 5 е1 е1 е1 =бе+5е«+2е» + — + — + — +о(» ) 2 12 120 Возвращаемся к переменной х: 1(х)=бе+5е(х+2)+2е(х+2)'+ + + +о((х+2)') +2)3 ( +2)4 ( +2)3 !г 1го Задача 11 Вычислить предел двумя способами: а) используя разложение по формуле Тейлора: б) с помощью правила Лопиталя, е" -з!пх — 1 — х' /2 А =!Ип я яО х' Решение 2 3 3 2 + — + — - — х+ — -1- — 3 2 6 6 2 1!т 3 х "ОЗх 3 е -з!пх-1 — х /2 я 2 1+Х а)А = 1нп = 1пп я-яО х' я-яО -з!их-1-х /2) .

е" -созх-х 2 я. О е" -зшх — 1 — х /2 . (е" А = 13гп, = 1пп я-яО Х я О б) ('- е"-созх-х), е" +з!пх йщ =!Ип 0 ( 2)., о бх я (е" +япх-1) . е'+созх 1 = 1йп = 1йп 6 3 Задача 12 3+/3Х2+сх+О/ П43ст!3оить г)зафик функции у 2 х +рх+д а=1, Ъ=З, с=15, 41=18, р=5, 41=6.

Решение х'+Зх'+15х+18 У= '+5 +6 Область определения х е -2 „.х ~ -3 (нули знаменателя) Функция имеет вид У=Р(х)/Д(х). Так как Р(-2)яя — 8-00, Р(-3)=-27300, то прямые х = — 2 и х = -Зявляются вертикальными асимптотами. Прн зтом значение функции стремится к -ОО когда х стремится к -2 справа илн к -3 слева (зто легко определяется по знакам числителя н знаменателя в окрестности указанных точек). Аналогично, значение функции стремится к +яо когда х стремится к -2 слева н к -3 справа.

Поделив («уголком») числитель на знаменатель, выделим целую часть дроби: 19х+30 у =х — 2+ (1) х'+5х+6 Отсюда видно, что прямая у = х-2 является наклонной асимптотой (так как при х-ряс дробная часть функции в формуле (1) стремится к О). Наклонную асимптоту можно найти и по стандартным формулам. Из формулы (1) следует, что график функции пересекает наклонную асимптоту в единственной точке х = — 30 /19 = — 1.58.

Положение зкстремумов и точки перегиба уточним с помощью производных. х'(х'+!Ох+18) „х(38х'+180х+216) И е: у'=,, у"= (х2+5х+6)2 (х'+ 5х+ 6)' Из выражения для производных следует, что х=О- точка перегиба, в точке х = — 5+ 3Г7 ~ — 2.35 функция достигает минимума (который как легко вычислить, положителен), в точке х = -5 - 3Г7 = -7.64 функция достигает максимума. Строим график. Задача 13 Построить график функции у(х) у= ( '-1)'" Представим функцию в виде Решение х У= 1). Область определения - х ~ 1 и х ~ — 1, то есть: х и (-сс;-1) ~ ~ (-1; 1) и (1;+со) . 2). Функция у(к) не является ни четной ни нечетной функцией. Периодической функция не является 3).

Имеем 2 вертикальные аснмптоты х =1и х = -1. График не имеет наклонных или горизонтальных асимптот. 4). Пересечение с осью ОУ найдем, вычислив значение у(х) при х = О: имеем у(О)=0(О'-1)" =О.Имеемточку(0;0), Для нахождения пересечений графика с осью ОХ следует решить уравнение х = О. Корень этого уравнения к=О. Имеем ту же.гочку (О;О). з/ т 5). Производная данной функции равна у =(х(х -1) ) =(х — 1) — — х (х — 1) -ю т -ю т т -4о 2х' х' — 3 3 з/~~ 1 3(хг 1) (/х~ — 1 3(х~ — 1)4х' — 1 Определяем положение экстремумов.

Решим уравнение у' =О, то есть х' — 3 = О. Корнями этого уравнения являются точки х = ч'3 и х — — — ч'3 . х ~1 и х ~ -1 6). Вторая производная функции равна бх(х' — 1)-вх(х -3) бх3-бх-Ях3+24х 18х-2х' У- 3( '-1) 9( -1) 9( -1) 9( 3-1) 2 3 Найдйм точки перегиба. Решим уравнение у" = О, то есть „, = О. Корни этого 9(х' -1) уравнения х = О, х =3 и х =-3. х 331и х ~-1. Точки перегиба: х= О,х = 3 и х=-3. 7).

С учйгом предыдущих шести пунктов строим график функции у3'х). 'Г ~= к -к ,г-™ 1 -й Рис. 2 Задача 14 Построить график функции к-3 У= 2х+7 Решение Прямая У = — 7/2- вертикальная асимптота. Используя правило Лопиталя, имеем: е к 3 е к-3 !пп — =+333; 1пп — = О 2х+7 2х+ 7 Функция имеет положительный знак при У > -7 ~ 2 и отрицательна У < -7/2. Этих данных достаточно, чтобы нарисовать эскиз графика. Вычислим производные и уточним положение экстремумов и точек перегиба: 2х+ 5 „, (4х'+ 20х+ 29) е' ' (2х+7)' (2х+7)' Вторая производная нулей не имеет и меняет знак при переходе через вертикальную асимптоту. Точка х = -5 ! 2- минимум.

График функции приведен на рис. 3. Задача 15 . Построить линию, заданную уравнением р = ~(Гя) в полярных координатах р>О,О<1л<2ж р=4з1п Зу Решение Используя свойства тригонометрических функций, имеем р= 2П-созбгл). 2л Следовательно, период функции равен — =60'. При возрастании угла от О'до 30' 6 значения функции возрастают от 0 до 4. Прн дальнейшем увеличении угла до 60 значения функции убывают до О. На рис. 4 приведен график„он состоит из 6 лепестков. Рис. 4 Задача 16 Вычислить приближенно указанные величины. 108э 82 Решение Рассмотрим функцию у(х) = 1ой„х.

Выберем, соответственно, х, = 81, х„= 82. Найдбм значения функции и ее производной: 1, 1 У(,) =1 8,81 = 4, У(х) = —, У'(;) = — О 0112 х1п3 8Пп3 Используя формулу для приближенных вычислений, у(х) = У(х„)+ у (х )(х, — х,), получим: 1о8,82 ~ 4+0.0112(82-81) = 4.0112 Задача 17 Вычислить приближенно указанные величины. сов 63* Решение Рассмотрим функцию у(х) = соя х. ПерейдЕм к безразмерной переменной — от ~г, 63х градусов к радианам.

Выберем, соответственно, х, = 60 = —, х, = 63' = †. Найдем 3 180 значения функции и ее производной: У(ха) = соз — = —, У (х) = -зш х, У (х~ ) — Бш .Ы 2 1,3) 2 Используя формулу для приближйннык вычислений, У(х) = у(х,)+ У'(х,)(х, — х,), получим 63л 1 Л(63х к1 60 — ~г~/3 соз 63' = соз — =- — — ~ — — — ~ = =0.45 180 2 2 1,180 3) 120 Задача 18 Вычислить частные производные первого порядка 2 2) Решение Вычисляем первые производные: 2ух ~х 2 3 2у — — =1п(х — у )- Юх х' -у' 8у х' — у' Задача 19 Вычислить смешанные производные второго порядка и проверить, что они равны.