Определение внутренних сил (Определение внутренних сил в стержневых систе), страница 2

е. от поперечного сечения (рис. 6, а); называетсясжимающей и считается отрицательной, если она направлена против внешней нормали, т. е. к сечению (рис. 6, б).Рис. 6Пример 1.1. Для стержня, находящегося в равновесии инагруженного так, как показано на рис. 7, построить эпюру нормальных сил N по его длине.Решение1. Определяем количество участков с постоянной нагрузкой,т. е.

участков, по длине которых закон изменения внешней нагрузки постоянен. В нашем примере таких участков два. Для удобстварасчетов на каждом участке вводим местную систему координатс началом отсчета в начале каждого следующего участка.Направление N выбираем, как правило, положительным.2. Рассматривая последовательно равновесие отсеченных левых частей стержня, определяем внутренние силы по длине каждого из его участков.9Первый участок: 0 ≤ z ≤ l;Fz  0; N1  2F  0; N1  2F .Второй участок: 0 ≤ z ≤ l;Fz  0; N 2  3F  2F  0;N2  F.Строим эпюру N (см.

рис. 7).Рис. 7Пример 1.2. Стержень длиной l, неподвижно закрепленный влевом сечении, нагружен равномерно распределенной нагрузкой1интенсивностью q  Н/м  и сосредоточенной силой ql , прило3женной на свободном торцестержня (рис. 8). Построить эпюру нормальных сил N вдоль осистержня.РешениеРис. 8101. Стержень имеет один участок с постоянным законом изменения внешней нагрузки (q == const).2. Заделку в левом сечениизаменяем реакцией R, которуюопределяем из условия равновесия всего стержня:Fz  0;1R  ql  ql  0;32R  ql.33.

Уравнение равновесия для отсеченной левой части стержняимеет вид:220  z  l; Fz  0; N  qz  ql  0; N  ql  qz; функция N —3312линейная; при z = 0 N  ql , при z = l N   ql.33Строим эпюру N (см. рис. 8).Пример 1.3. Для стержня(рис. 9) построить эпюру нормальных сил N по его длине.Решение1. Определяем количествоучастков с постоянной нагрузкой. Таких участков четыре.2. Из условия равновесиявсего стержня определяем реакцию R в заделке:Fz  0; R  F  2F  3F  F  0; R  F.3. Рассматривая последовательно равновесие отсеченныхлевых частей стержня, определяем внутренние силы по длинекаждого из его участков.Первый участок: 0 ≤ z1 ≤ l;Fz  0; N1  F  0; N1  F .Рис. 911Второй участок: 0 ≤ z2 ≤ l;Fz  0;N 2  F  F  0;N 2  0.Третий участок: 0 ≤ z3 ≤ l;Fz  0; N3  F  F  2 F  0;N 3  2 F .Четвертый участок: 0 ≤ z4 ≤≤ l;Fz  0; N4  F  2F  F  3F  0; N 4  F .Строим эпюру N (см.

рис. 9).Пример 1.4. Построитьэпюру нормальных сил N подлине стержня, показанного нарис. 10.Решение1. Определяем количествоучастков с постоянной нагрузкой. Таких участков четыре.2. Из условия равновесиявсего стержня определяем реакцию R в заделке:Fz  0;R  ql  ql  ql  ql  2ql  ql  0;R  ql.Рис. 10123. Рассматривая последовательно равновесие отсеченных левыхчастей стержня, определяем внутренние силы по длине каждого изего участков.Первый участок: 0 ≤ z1 ≤ l;Fz  0;N1  qz1  ql  0;N1  ql  qz1 , функция N1 — линейная; при z1 = 0 N1  ql , при z1 = lN1  0.Второй участок: 0 ≤ z2 ≤ l;Fz  0;N 2  qz2  ql  ql  ql  0;N 2  ql  qz2 , функция N 2 — линейная; при z2 = 0 N 2  ql , приz2 = l N 2  0.Третий участок: 0 ≤ z3 ≤ l;Fz  0; N3  ql  ql  ql  ql  ql  0; N3  ql.Четвертый участок: 0 ≤ z4 ≤ l;Fz  0; N 4  2qz4  ql  ql  ql  ql  ql  0; N 4  ql  2qz4 ,функция N 4 — линейная; при z4 = 0 N 4   ql , при z4 = l N 4  ql.Строим эпюру N (см.

рис. 10).Проанализировав вид внешней нагрузки и характер эпюр нормальных сил N, можно отметить следующее:а) при отсутствии распределенной нагрузки на участке величина N постоянна по его длине;б) при наличии распределенной нагрузки (постоянной интенсивности) N меняется в пределах участка по линейному закону;в) в том сечении, где приложена внешняя сосредоточеннаясила, эпюра N имеет «скачок» на ее величину.13Тема 2. КручениеКручение — такой вид нагружения стержня, при котором извнутренних силовых факторов в сечении остается только один —крутящий момент Mк.Рис. 11Правило знаков: будем считать внутренний крутящий моментMк положительным, если, глядя в торец сечения со стороны внешней нормали, видим его направленным против часовой стрелки(рис.

11).Пример 2.1. Для стержня (рис. 12) построить эпюру внутренних крутящих моментов Mк по его длине.Решение1. Определяем количество участков с постоянной внешнейнагрузкой. Таких участков четыре.2. Рассматривая последовательно равновесие отсеченных левых частей стержня, определяем внутренние крутящие моментыMк по длине каждого из его участков.Первый участок: 0 ≤ z1 ≤ l;M z  0;M к1  M  0; M к1  M .Второй участок: 0 ≤ z2 ≤ l;14M z  0;M к 2  M  M  0;M к 2  0.Третий участок: 0 ≤ z3 ≤ l;M z  0;M к 3  2M  M  M  0;M к 3  2M .Четвертый участок: 0 ≤ z4 ≤ l;M z  0;M к 4  3M  2M  M  M  0; M к 4  M .Учитывая правило знаков длявнутреннего крутящего момента Mк,рисуем эпюру внутренних крутящихмоментов (см.

рис. 12).Пример 2.2. Стержень, закрепленный левым сечением, нагруженравномерно распределенными моментами интенсивностью 3m  Нм/м по длине второго участка и интенсивностью m  Нм/м  по длине треРис. 12тьего участка, а также сосредоточенным моментом ml на свободномправом конце стержня (рис. 13).Построить эпюру Mк по всей длине стержня.Решение1. Определяем количество участков с постоянной внешнейнагрузкой.

Таких участков четыре.2. Из условия равновесия всего стержня определяем реактивный момент M R в заделке:M z  0;15M R  3ml  ml  ml  0;M R  ml.Полученный положительный знак момента M R соответствует его действительному направлению.3. Рассматривая последовательно равновесие отсеченных левых частей стержня,определяем внутренние крутящие моменты Mк по длинекаждого из его участков.Первый участок: 0 ≤ z1 ≤ l;M z  0; M к1  ml  0;M к1  ml.Второй участок: 0 ≤ z2 ≤ l;M z  0; M к 3mz2  ml  0;2M к 2  3mz 2  ml ,функцияM к 2 — линейная; при z2  0M к 2   ml , при z2  l M к 2  2ml.Третий участок: 0 ≤ z3 ≤ l;M z  0; M к ml  0;3M к 3  2ml  mz3 ,функция M к 3приz3  0 mz3  3ml — линейная;M к 3  2ml ,приz3  l M к 3  ml.Рис.

1316Четвертый участок: 0 ≤ z4 ≤≤ l; M z  0; M k4  ml  3ml  ml  0; M к 4  ml.На основании полученных уравнений строим эпюру Mк подлине стержня (см. рис. 13).По виду внешней нагрузки и характеру эпюр Mк можно сделать выводы:а) при отсутствии распределенного момента по длине участка величина Mк постоянна;б) при наличии распределенного момента постоянной интенсивности величина Mк в пределах участка меняется по линейномузакону;в) в том сечении, где приложен внешний сосредоточенныймомент, эпюра Mк имеет «скачок» на его величину.17Тема 3.

Изгиб прямого стержняИзгибом называется такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моментыи поперечные силы. Прямой стержень, находящийся в условияхизгиба, называется балкой. Деформированная ось стержня называется осью изогнутой балки.Поперечным изгибом называется такой вид нагружения, прикотором внутренние силовые факторы лежат в плоскости поперечного сечения, — это поперечная сила и изгибающий момент. Приотсутствии поперечной силы изгиб называется чистым.Алгоритм решенияОпределение опорных реакций. В зависимости от налагаемых ограничений на перемещения закрепленного сечения стержняразличают следующие виды опор:— шарнирно-подвижная опора (рис. 14) — запрещает линейные перемещения в направлении опоры; реакция такой опоры, сила RA , направлена вдоль опорной связи;Рис. 14— шарнирно-неподвижная опора (рис.

15) — запрещает линейные перемещения в плоскости по любым двум взаимноперпендикулярным направлениям, в такой опоре возникают две опорныереакции, RA и H A , по выбранным вертикальному и горизонтальному направлениям;18Рис. 15— жесткое закрепление, или заделка (рис. 16), — запрещаетвсе три перемещения в плоскости (два линейных по любым двумвзаимно перпендикулярным направлениям и одно угловое), в такой опоре возникают вертикальная реакция RA , горизонтальнаяреакция H A и реактивный изгибающий момент M A .На примере балки (рис.