Методичка для ДЗ Часть 1 (Выполнение домашних заданий и курсовых работ по дисциплине «Механика жидкости и газа» част 1), страница 2

Более точный расчет можно выполнить, перейдя от конечных разностей к дифференциалам:dpdV=− ;VkVкV0pкdVdp=−;Vp0 k Δp Vкpк − p0ln; Vк = V0 exp −;=−V0kk Δp ΔV = V0 − Vк = V0 1 − exp −;k V Δp Δp1 Δp 21 Δp 0ΔV ∼+1−+ . .. .− ... == V0 1 − 1 −k2 kk2 kКоличественная оценка погрешности в проведенном расчете может1 Δpбыть дана после подсчета слагаемого:2 k1 31,8 · 106·= 0,008,22 · 109т. е.

0,8 %.Рассмотренные примеры позволяют сделать важный с технической точки зрения вывод: капельные жидкости практически несжимаемы.2. Равновесие жидкости в поле силы тяжестиРассмотрим содержащуюся в сосуде жидкость, на свободнуюповерхность которой действует распределенное давление (рис. 2.1).Состояние жидкости определяется действием следующих сил:а) поверхностные — это контактные силы, распределенныепо границам любого выделенного объема. Они направлены по нормали к поверхностям и являются сжимающими.Количественной оценкой поверхностных сил служит интенсивность, или напряженность:ΔP= pср — среднее давление на площадкуΔFΔF ;ΔP= p — давление в точке покоящейсяlimΔF →0 ΔFоднородной жидкости, Па (Н/м2 );Рис.

2.1б) массовые — это силы, действующие нажидкость со стороны поля, в которое она помещена. Количественной оценкой этих сил являетсяlimΔV →0ΔQ= q̄,ΔMгде q̄ — единичная массовая сила, м/с2 ; ΔM = ΔV .Таким образом, q̄ — это ускорение, которое получает элементарная частица жидкости в данном поле. Если поле гравитационное,т. е. ΔQ — сила тяжести, то q̄ = ḡ.В покоящейся жидкости ( = 0) возможен лишь один вид напряжений — напряжение сжатия.Давление, которое представляет собой полное напряжение сжатия, возникающее от действия всех сил (поверхностных и массовых), приложенных к жидкости, называется абсолютным давлением.В международной системе единиц физических величин единицей измерения давления является паскаль (Па (Н/м2 )). Кратные11единицы — килопаскаль (кПа) и мегапаскаль (МПа):1 кПа = 103 Па;1 МПа = 106 Па.Распространена и внесистемная единица — техническая атмосфера:1 атм = 1 кГс/см2 = 98,1 кПа.В любой точке покоящейся однородной несжимаемой жидкостидавление может быть определено по основному уравнению гидростатики:p = p0 ± gh,где p0 — внешнее давление; gh — весовое давление.

Знак плюсв уравнении соответствует отсчету высоты столба жидкости h внизотносительно уровня, которому соответствует давление p0 , а знакминус — отсчету высоты h вверх.В практике теоретических расчетов и технических измеренийприменяется либо абсолютная, либо избыточная система давлений.Основное уравнение гидростатики также может быть использованокак в абсолютной системе давлений (тогда p0 = pа ), так и в избыточной (тогда p0 = pи ). На практике удобно отсчитывать давлениеот условного нуля, за который принимают давление атмосферноговоздуха у поверхности земли. Возможные случаи расчетов и измерений показаны на диаграмме давлений (рис. 2.2). Когда абсолютное давление pа превышает атмосферное pатм (на диаграммевариант A), имеет место избыточное давление pи :pи = pа − pатм .Если абсолютное давление меньше атмосферного (вариант C),избыточное давление отрицательно.

Недостаток давления до атмосферного называется вакуумом pв :pв = pатм − pа .Рис. 2.2При ориентировочных расчетах давление атмосферного воздухапри нормальных условиях можно принимать приблизительно равным 100 кПа.Линия pн.п (см. рис. 2.2) характеризует тот факт, что для капельных жидкостей нижним порогом падения абсолютного давлениябудет давление насыщенных паров pн.п , при котором происходитнарушение сплошности жидкости, сопровождаемое интенсивнымпарообразованием, внешне похожим на кипение. Значение этогодавления зависит от физических свойств жидкости и от температуры.Анализ основного уравнения гидростатики приводит к выводу,что поверхности уровня (поверхности равного давления) представляют собой горизонтальные плоскости, в их числе и свободнаяповерхность (СП) — поверхность раздела жидкости и газа.В гидростатике часто пользуются понятием «высота давления».

Это высота столба жидкости, который, действуя своим весомна единицу площади, уравновешивает данное давление: p = gh,pоткуда h = .gНапример, p = 100 кПа. Если применять для измерения этого давления простейший жидкостной прибор — пьезометр, в котором в качестве рабочей жидкости будет использована вода ( == 1000 кг/м3 ), тоПри нулевом избыточном давлении (вариант B)pи = 0;12pа = pатм .h=100 · 103 ∼= 10 м вод. ст.103 · 1013для рис. 2.4:pвh0 = ; pвA = (−pв + gh1 ) = ghA ; pиB = (−pв + gh2 ) = ghB .gП р и м е ч а н и е. Используя уравнения Эйлера, которые лежат в основевывода основного уравнения гидростатики p = p0 ± gh, можно получитьзакон распределения давления для газообразных сред в поле силы тяжести.

В частности, dp = −g dz.Это уравнение справедливо как для капельных, практически несжимаемых жидкостей ( ∼= const), так и для газообразных сред ( = const). Дляppпоследних =и, следовательно, dp = −g dz.RTRTВ случае изотермического равновесия газа (T = const)ln p = −Рис. 2.3gz+ C,RTгде C — постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий:при z = 0 p = p0 .Имеем: gz .p = p0 exp −RTВ первом приближенииp∼= p0 − p0gz.RTПолученное выражение по форме аналогично основному уравнениюгидростатики p ∼= p0 − 0 gz.Рис. 2.4На рис. 2.3 и 2.4 показаны принципиальные схемы измерениядавлений pи и pв с помощью высоты столбов жидкости; M и V —манометр и вакуумметр, по показаниям которых можно судитьо значениях давлений pи и pв ; ПП — пьезометрическая поверхность(pи = 0).

Расчетные соотношения для рис. 2.3 имеют видh0 =14pи;gpиA = pи + gh = ghA ;Задача 2.1. Показание манометра hрт = 500 мм рт. ст. Определить: а) избыточное давление в килопаскалях; б) избыточное давление в метрах столба этилового спирта ( = 0,87); в) абсолютноедавление в килопаскалях, если барометрическое давление равноhбар = 736 мм рт. ст.Решение.

а) Избыточное давление в килопаскаляхpи =рт ghрт= 13 600 · 9,81 · 0,5 = 66 708 Па = 66,7 кПа;б) избыточное давление в метрах столба этилового спиртарт ghрт=сп ghсп ,hсп = hpтpтсп= 0,5 ·13 600= 7,816 м сп. ст.;87015Решение. Решим задачу в избыточной системе давления, руководствуясь основным уравнением гидростатики p = p0 ± gh.а) Избыточное давление на уровне точки 1: pи1 = 0. На основании закона о сообщающихся сосудах pи1 = 0. Уровню точки 2соответствует вакуум, причем таким же давление будет на этомуровне и в сосуде (на основании того же закона):pи2 = −рт ghрт .Следовательно, в точках дна сосуда давление будет равноpи = −арт ghрт+в gh2== −13 600 · 9,81 · 0,1 + 1000 · 9,81 · 2 = +6278 Па ∼= 6,3 кПа.Знак плюс в полученном результате означает, что в точках днасосуда будет положительное избыточное давление.б) По аналогии может быть определено и давление над СП:pи = −рт ghрт−в gh1== −13 600 · 9,81 · 0,1 − 1000 · 9,81 · 1 = −23 152 Па,pв = 23,152 кПа.в) Сила давления на крышку будет определяться величиной pви площадью F (рис.

2.5, б):бРис. 2.5в) абсолютное давление в килопаскаляхpа = pатм + pи ;pа =ртpатм =рт· g · hбар ;· g(hбар + hрт ) = 13 600 · 9,81 · 1,236 ∼= 165 000 Па = 165 кПа.Задача 2.2. К цилиндрическому сосуду диаметром D = 2 м, заполненному водой (рис. 2.5, а), подсоединен U-образный ртутныйвакуумметр. Его показание hрт = 100 мм рт.

ст. При известных значениях h1 = 1 м и h2 = 2 м определить: а) давление в точках днасосуда; б) вакуум над свободной поверхностью в сосуде; в) силудавления, нагружающую крышку. Построить эпюру распределенияизбыточного давления жидкости по высоте сосуда.16D2 =4= 23 152 · · 4 = 72 696 Н ∼= 72,7 кН.4Задача 2.3. Поршень диаметром D = 200 мм движется равномерно вверх в цилиндре, засасывая воду, температура которой30 ◦ C, из открытого бака с постоянным уровнем воды при барометрическом давлении hбар = 740 мм рт. ст. (рис. 2.6).

Определить:а) силу P , которую необходимо приложить к поршню в момент,когда он находится выше уровня воды в баке на отметке h = 5 м;б) высоту hmax , до которой можно поднять поршень в цилиндре,не опасаясь отрыва от него жидкости, если давление насыщенныхпаров воды pн.п = 4,27 кПа и ее плотность = 995 кг/м3 . ВесомP = Pатм − Pа = (pатм − pа )F = pв17поршня, трением его о стенки и трениемжидкости о внутреннюю поверхность цилиндра пренебречь.Решение.

а) Значение вакуума подпоршнем:pв = pатм − pa == gh = 995 · 9,81 · 5 = 48 805 Па.Сила P , которую нужно приложитьк поршню, чтобы удержать столб жидкости высотой h:Рис. 2.6D 2 = 48 805 ·· 0,04 = 1532 H = 1,523 кН.44б) В момент отрыва жидкости от поршня абсолютное давлениепод нимpн.п = pатм − ghmax .P = pвСледовательно, высоту hmax можно найти по выражениюhmax =pатм − pн.п=gрт ghбар− pн.пg==13 600 · 9,81 · 0,740 − 4270= 9,68 м.995 · 9,81Задача 2.4.

Показание дифференциального ртутного манометра составляет Δh = 300 мм рт. ст. (рис. 2.7). Определить перепаддавлений Δp над свободными поверхностями в сосудах A и B, заполненных бензином ( = 700 кг/м3 ).Решение. Выбрав базовую плоскость N –N , запишем условиеравенства давлений:p1 +б g(h + Δh) = p2Δp = p1 − p2 =Δp = gΔh(рт−б gh ++б gh + рт gΔh;рт gΔh − б gh − б gΔh;б ) = 9,81 · 0,3(13 600 − 700) = 37 965вого столба:ΔH =рт − б13 600 − 700· 0,3 = 5,53 м б. ст.Δhрт =б700Задача 2.5.

Вертикальный цилиндр (рис. 2.8) заполнен газом,относительная плотность которого = 0,4. Определить показаниеверхнего манометра x, подсоединенного на высоте H = 40 м относительнонижнего манометра, расположенногона уровне земли. Показание нижнего манометра h = 25 мм рт. ст.Температура окружающего воздуха+30 ◦ C. Барометрическое давлениеhбар = 740 мм рт. ст.

(давление воздуха на уровне нижнего манометра).Решение. Давление окружающеговоздуха на уровне верхнего манометра(точка C):Рис. 2.8pC = pатм − в gH.В абсолютной системе значения давления газа в цилиндрена уровнях точек A и B:Па ∼= 38 кПа.П р и м е ч а н и е. Перепад давлений можно также определить по рабочей формуле дифференциального ртутного манометра в метрах бензино-18Рис. 2.7pA = pатм +pB = pA −г gHрт gh;= pатм +рт gh − г gH.19=Верхний манометр показывает перепад давлений: pB − pC =рт gx. Тогдаpатм +x=рт gh − г gHрт gh − г gH+− pатм +в gHрт gв gH=h+(=врт gx;−г )Hрт.Плотность воздуха при нормальных условиях в = 1,225 кг/м3 .Уравнение состояния дает возможность определить плотность воздуха при заданных условиях:1p2 T1p1 V1 p2 V2=; при V =имеем 2 = 1;T1T2p1 T2740 288·= 1,134 кг/м3 .в = 1,225 ·760 303Относительная плотность газа=Тогда плотность газаггв.= 0,4 · 1,134 = 0,453 кг/м3 ,1,134 − 0,453= 27 мм рт.